Stabilitatea sistemelor liniare si invariante in timp

Transcript

1 Sbili imlo lii i ivi i im I coiu vom fi l im lii i ivi i im cuzl liz biliii i domiul im IMEM u () i() τ dτ ; C : i() τ () τ mgii u() () τ dτ, ml mgii C C Simul u bil Dc ci cu ml mgii d du limi uul Fi u ml d cii u dvi mgii () () ( T ) u() i, C T, C T i

2 Siml c ud cu ml mgii l ciii mgii d du limi i cu ml mgii l ciii mgii d du limi umc bil i lg [] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [] [] [] [ ] [] [ ] [] [ ] [] [] [] i lg u im i im dic bil cumuloul ; cumuloul N N ; N N N N h N < < < liz biliii i domiul fcv Czul imlo i im coiuu () () () () () () () { } { } () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () u mgii i mgii dc mll Smlul cu Dc h h h h h H H P c H Q Q g P g ; Q P c c c c H m b b b b Q P H m m m m m m m m m m < >

3 h [ ] m ( () ) m ( () () () ) m ( c δ c δ () c () δ ) () D : ( () ) ( () () ) ( () ) m ( δ ' δ () () c ) () m ( () ) m ( () ) cm cm () () mgii dc mlul () Smlul div u mgii () ' () Di Mgii lui () m mgii oic ivl ichi c - l coi mgii i () mgii () o fi mgii m m m c i iml l m Mgii lui igu mgii lui () () m do dc cm dic dc CONDITIE NECESR DE STBILITTE : Gdul umoului fucii d f fi mi mic u gl dc gdul umioului 3

4 4 Mgii lui () () {} { } { } { } { } () () ( ) () h h,,, m H > cuzl i : l imul cu uul imul Dc () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () {} () () { }, d M M d d α h l l l l, dc mgii i mgii dc fi mgii ufici c : Pu c c igl mgii mgii dc fic m di mmbul d o fuci Smlul Dci : < < β τ τ α τ τ α τ τ τ α βτ βτ βτ β

5 Fuci d f H Dc H lg () oli dc gdul umoului u mi mic u gl dc gdul umioului u i dc oi olii i gc i milul g Coidii mo o fi fcu i u iml i im dic, olul i imgi fiid lu i c cz d couul ccului ui i olul milului g vid iioului ccului ui Locliz fucii d f vi l zolv cuii Q Dc gdul oliomului Q mi m dc, zolv ci cuii o fi dificil D c - u lbo ciii d bili c mi locliz olilo fucii d f f ccizz u im ic bil imli imgi imul bil i zolv cui olilo Ciii d bili lgbic DS um oliom ic Huwiz, loiomul uci u oliom Huwiz i lg Dc oliomul dcii iml uci : q () ( ) ( ) Dc Q () d l giv coficii li c o dciil i milul g l lului comldc dcii iml imgi Q i i l l l ic Huwiz uci o dciil l u Q cu 5

6 R i coficiii moomlo Rdciil cuiilo Sum lo Poduul lo l α l l Coficiii biomlo l α < l β l > l l u ic oziivi, u d fom : α l i u ic oziivi Toi coficiii uui oliom ic Huwiz u ic oziivi Toi coficiii uui oliom Huwiz i lg u oziivi c codiii u u i ufici l ± jβ l Ciiul d bili l lui Huwiz Codii c i ufici c o dciil cuii : () Q ib l ic giv c u >, oi dmiii mioi icili i digol i dmiului Δ fi ic oziivi Δ

7 Δ Dmiul liii i colo Sic oziivi mioilo igu ic bili imului c l umioul fucii d f oliomul Q() Dc uul di mioi ul uci imul bil i lg Dc uul di mioi giv uci imul ibil Emlu S lizz bili imului dci d cui difil : d () d () d () d () d() 7 4 3() () cu codiii iiil ul Fuci d f imului d d d d d : H () Coficiii oliomului Q() u :,, 7,3 4, i 3 Coficiii u ic oziivisimul - u fi bils lic ciiul lui Huwiz 5 Δ 5 5 Δ Doc Δ S clculz mioii >, Δ4 4 >,,5, imul coid bil icili i digol i dmiului : > Δ Δ >, Δ 3 4 3Δ >, > 7

8 liz biliii imlo cu ci giv Mooul d cu coiuu cioz lfom Sim cu ci u fi lcoului v() Iu volg Moo Plfom gul oiio θ() θ D K Moo θ() - K K K Schm imului i bucl dchi Schm imului i bucl ichi vjl imlo i bucl ichi Iibili l ubii, Nu c vm cuoi mui d im l licii l imlo i bucl ichi Coolul oclo chimic, Coolul muii, Sim oil Emlu d im ibil, c o fi biliz i ci giv 8

9 Sim lii cu ci giv ; ; U V Y X G Y H V X U Y V H U G Y Elimid i : Y Y Y H G H Q X X X H G Q Poduul W H G Y H Y z H z ; X H G X z H z G z zi fuci d f i bucl dchi Simul i bucl dchi ic bil dc dciil cuii W u l ic giv 9

10 Cv licii i coci l cii Simul iv Cuocd P do iiz imului iv, / P H K i G P Fuci d f imului cu ci Q KP( K ) KP P O vlo m cigului K o fi obiu cu juoul uui mlifico oiol Emlu Simul dic u divo imlm cu juoul uui codo (cuul i codo ooiol cu div cdii d iu d codo P Y iv bui fi u igo, Q - X RC C) Simul () X() - K P() () Y() () X() R - C K () Y() Com uo cciici idl l uo lm d cicui Cig co i-o bd d fcv oid d l u mlifico cu H ( ω) KH ( jω) H jω vibil i c bd Pu G K Q Q jω KH Dc i bd d fcv d i ifcu codii Q( jω) Q( ω) c K ( jω) ( j ) H KH ω uci

11 Sbiliz imlo ibil b H, > Icluzd c im i-o bucl, cu G K, H obi fuci d f imului cu ci Q( ) KH Kb b Polul imului cu ci Kb c iu i milul g dc Kb > I c cz imul i bucl ichi bil U fl d im, l c mim d ci ooiol cu mim d ii um im cu ci ooiol l doil mlu Fuci d f ociloului oli imli iui imgi b H G K b obi u im i bucl ichi cu fuci d im Q( ) Kb C i i imul mlu, i czul ui cii ooiol ( ) Sudiul imlo d odiul, co fuci d f gl Q c l u bil dc ω > i dc ξ>, dic dc i u ω ξω ω ω lizd comiv Q i Q zul c u um iflu i ci ooiol dc doc ξ Nu vom u dci biliz ociloul umi i ci ooiol D c b icludm i bucl d ci i o como diviv G K KQ( ) bk K b Simul i bucl ichi bil dc K b > i bk >

12 l il mlu H z H( z) G( z) β z Q( z) z G z H z β z z ( β ) Sbili obi dc z < <β< [] - [] -z - [] βz - Ibilii cuz d ci L micofo u jug umi mlul vocl c ovi d l vobio ci i u ml doi d l difuzo fl o bucl d ci Dc fz clo dou ml oivi oduc ii uului g d difuzo, l ui cui mlifico K mlific, K u do oogii uului i T- du ogii mlului d l difuzo l micofo K ii iii l udio d l difuzo K vobio -T ii udio ol l micofo - K -T Difuzo K K -K -T Micofo ii udio d l difuzo (doi) K T T Q KK KK ( > KK > - codii d ibili ) T KK P mu c di di difuzo i micofo c, u do ului c i dci K cd, imul ud dvi bil

13 Ciiul d bili Nqui Uiliz ciiului d bili Huwiz uu cuo ii fucii d f i bucl ichi imului cu ci Ei iuii cd c fuci d f u cuocu D mlu i czul idificii iml uui im cu ci, cd o fi idific do uuil i fcv H i G I c czui o fi foloi ciiul lui Nqui Sim cu ci cu cig vibil Y X KH KH G Y X H KH G Locliz olilo fucii d f i bucl ichi uu zolv cuii H G K 3

14 Soluiil cuii H G did d vlo lui K K Po fi dmi vloi l lui K u c imul cu ci fi bil P bz ciiului lui Nqui o fi dmi c vloi i mi fucii G jω H j ω z gfic i lul ci fucii o uml d hodogf l lui W I coul fomulii ciiului lui Nqui u i lbil iciiul viii gumului, c d ifomii d hodogful ui fucii coml d vibil coml Piciiul viii gumului Cd couul C cu i o vloil fucii W Dc, d mlu: cug couul couzo W K ( )( ) { ( ) } { } { } g{ W ( )} cd i K > : g W g g S imz vlo viii lui cug od couul C Vcoul v o coml i juul oigiii Vii ughiului c il fc cu l d - π L cug coml couului C vii ughiului fom d v cu l ul Dci l o cug coml couului C d c vii gumului lui W d -π 4

15 ( ) ( ) { } { } { } C W K > W K g W g g Cd cug od couul i o gumul lui viz cu -4 π I gl, dc i iioul couului C g u zo l lui W cu odiul d mulilici m π { } { } uci coibui cui l vii gumului lui W d - m D c W icojo d m oi oigi lului W, W m m m m m m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W K,, i iioul couului C i,, i ioul u Cd cug od couul C i o gumul lui W ( ) ( { } { }) viz cu - π m m m i W icojo d m m m oi oigi lului W, W i o 5

16 K W, i iioul couului C i i ioul u ( )( ) { } { } { } { } { } ( g{ v} ) ; ( g{ v} ) ; ( g{ W }) ; ( ) ( ) g W g g g v g v Δ π Δ Δ π K W ; Δ 4π W ( g{ W }) ( ) ( ) ( ) ( ) ( q ) q ( { }) ( ) K,, i iioul couului C i,, i ioul u Δ g W π lul lul W q C θ θ g{w()} Eu m m ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) q q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q u,,, i,, i iioul couului C i ul z z z dciilo i ioul u m m m q q K W u L o cug coml couului C i igoomic vii π ( q) ( { } { }) gumului lui W d m m m o i juul oigiii lului i dci W W, W d mm m q oi, i o 6

17 uci cd u cou ichi C, di lul, cu o igu d i o, hodogful fcii iol W icojo oigi i o d u um d oi gl cu umul d zoui miu umul d oli i lui W di iioul couului C I um, olii i zouil vo coid cu o cu odiul lo d mulilici Dc uul di zouil lui W g couul C uci c coibui l vii gumului lui W cu - π Dc uul di olii lui W W g couul C uci c coibui l vii gumului lui cu π Emlu 3 3 W cu zoul β i olii α, α j, α 3 j ( )( ) W W C C ) u i oli u zoui i iio i dci u icojo oigi d c W b) i u ol i iio i W icojo oigi o d, i io W W C 3 C 4 c) i i oli i iioul couului C i W icojo oigi d 3 oi, i io d) i u ol i u zo i iioul couului C W u icojo oigi, dif di d zoui i cl d oli fiid ul 7

18 C 5 W ) i i oli i u zou i iioul couului C W icojo oigi d oi, i io, doc zoui oli- Pu c imul i bucl ichi fi bil c c o dciil cuii KH G ib l giv Fuci R H G u bui ib zoui i milul K d Numul zouilo di milul d o fi dmi cu juoul ciiului viii gumului Cd M couul C iccui milul d i iclud i imgi Pu oiu di couul fom i ( ω) C ocu d imgi R R j cu ω modificdu- i - i, dic i hodogful R lui R Coidd c o fuci iol cu gdul umoului mi mic u gl dc gdul umioului : Vlo lui R lim R co co oiu micicul couului C c icoju milul d Pu z lui R, cd cug couul C ( ω) ufici z hodogfului R j 8

19 R( jω ) G( jω) H( j ω) Pu z hodogfului R( jω) ufici K z hodogfului G j H j Couul C iccui o zouil lui R ( ω ) ( ω) R { } { } di milul d zd gfic hodogful lui o dmi ( R, R ) R d c oi iccui l oigi lului Polii lui u idici cu olii lui H G( )R( jω) G( jω) H( j ω) Dc R( jω) icoju K oigi d u umi um d oi uci G jω H jω icojo ucul d coodo -, d cli um d oi i i cli K G jω H jω cu ωmodificdu- d l - l - hodogf Nqui l imului R i bucl dchi u bui ib zoui i milul d u imgi u c imul i bucl ichi fi bil D c hodogful Nqui bui icojo ucul d coodo - i i-o K, d u um d oi gl C cu i - umul olilo di milul d i lui H G, i - umul olilo d imgi i lui H G C 9

20 Euul ciiului d bili Nqui Codii c i ufici c imul i bucl ichi coid fi ic bil c umul d iccuii l ucului d coodo -, d c hodogful Nqui K l imului i bucl dchi H jω G jω i io cd ω modific d l - l, fi gl cu umul olilo lui H G C dic cu i di milul d i d imgi, Obvii Dc imul i bucl dchi bil uci H G u oli i milul d i ici imgi Dci hodogful Nqui l imului i bucl dchi u bui iccuic ucul d coodo, K ( ω) ( ω ) ( ω) ( ω) Doc h i g u fucii l H j G j H j G j i dci * * * * ( ω) ( ω ) ( ω) ( ω ) ( ω) ( ω ) ( ω) ( ω) { } { } * * H j G j H j G j H j G j H j G j * * * { } {( ) } i g H jω G jω g H jω G jω g H jω G jω g H jω G jω di Hodogful Nqui u domiul d vii lui ω ivlul -, obi i imi f d l lului coml H G hodogful Nqui u domiul d vii lui ω cui i ivlul (, )

21 Eml G ; H( ) Ei dou modlii d couci hodogfului imului, 5 i bucl dchi Pim bzz cciicil Bod l imului i bucl dchi i { } { } c d dou folo vloil H ω G ω i g H ω G ω u vloil H ω G ω { ( ω) ( ω) } i H G Doc imul i bucl dchi bil u c i imul i bucl ichi fi bil c c u fi iccui ucul d coodo, K < u > K K K > u K > dic K >

22 U im i bucl dchi ibil, vd u ol i milul d: G H ( ) ( )( ) Pu c imul i bucl ichi fi bil c c ucul ciic - / K fi icoju d hodogf o igu d, i iv clo d coic c lucu obi dc: < /K<, c c im K > i K >, dic K > jω - ω ω- ω T ( jπ 3 N iocm l mlul imului cuic Fi K K ) K i G H j( ω Tπ G jω H jω ) Modulul ui i gumul i ω T π Doc imul i bucl dchi bil, hodogful Nqui u voi iccuic ucul ciic /K, u K < Doc K i K u mifici d ui cuic, u oziiv Simul i bucl dchi bil dc KK < -/K ω -/K

23 Czul olilo imului i bucl dchi iui imgi jm -jm Coidm czul uui ol imgi () H () ( ) Pu lic ciiul viii gumului l fl c i czuil io coid couul C, modific, i fl ic fi ocoli olul d imgi, i - u micc d z ε, i cli im cu M M C lul jε z ε vm: -jε ε G( jω) H ( jω) jω( jω ) ω i lim G Vlo oduului GH o co i dci u ici o vii gumului cd ω c d l l - Tbui dci m hodogful Nqui umi u imgi i u miccul d jω { G( jω) H ( jω) } vicl hodogfului Nqui ccul d z ω M π j gω cgω, dic imo ω - Rm dmim como oduului miccul d z Doc z ε id zo, vii ughiului cuz d olul - ul ε - -/K g{} π/ ω- ω Rz id l - ~ cgε jε ε θ -jε ω g{} -π/ u Δg g{ G( jω) H ( jω) } { G( jω) H ( jω) } ( θ θ ) I chimb micc Δg { G( jω) H ( jω) } hodogfului cu 8 i o uci cd c d l - ω l ω miccul d z ε θ i dci π π ω ω π c im o uci 3

24 ω - - -/K g{} π/ ω- ω g{} -π/ Rz id l Pu dmi vloildmi u cigul K, vom fc miu c i iioul couului coid u fl ici mc olul di oigi, doc l - m l i f, ocolidu - l i d cu miccul d z ε I coci ucul ciic u bui fi icoju d hodogf, u v bili imului i bucl ichi zul c bui vm < u K > K C ω Czul imlo i im dic Pu c imul i im dic i bucl ichi fi bil c c ici u zo l cuii : R( z) G( z) H( z) u fi i f ccului ui K Fi : ˆR( z) R z Dc z u zo ( ol) l lui R( z) uci u zo (ol) l lui Rˆ ( z ) z Dc z > uci < Oic zo (ol) l lui R( z) di ioul ccului z ui u zo (ol) l lui ˆR z iu i iioul ccului ui Cofom iciiului viii gumului dc z cug od ccul iccui oigi lului ( { } { }) ui i o uci Rˆ z Rˆ z, Rˆ z i o d u um d oi gl cu dif di umul d zoui i d oli i lui ˆR z iui i iioul ccului ui P ccul ui i D c ˆ z R R z Evlu lui ˆR z, cd z cug od ccul ui i o, idic cu vlu lui R z, cd z cug od ccul ui i io 4

25 Euul ciiului lui Nqui u im i im dic Codii c i ufici u c imul i bucl ichi fi bil c umul d iccuii i io l ucului d coodo -, d c hodogful K Nqui l lui G H cd Ω modific d l l π bui fi gl cu umul olilo lui H z G z i ioul ccului ui c gc -/K v C θ θ v Ω, π Z G( )H( ) Ωπ - /3 -/K Eml G ( z) H ( z) G( ) H ( ) v v π G z z v j( θ θ ) j( θ θ ) i/ i obi u z z Vloil mim i miim l lui v u 3/ Ω i Ω π, civc l Ω, H ( ) Doc g{ G( ) H ( )} ( θ θ ) ul d cug l hodogfului cl o,vlo mim gumului fiid 4π, c c im c icoju oigi d oi Cum imul i bucl dchi bil, zul c u c i imul ichi fi bil, ucul ciic / K u bui fi icoju d hodogful NquiI coci, < u > d K K ud < K < u < K < I cocluziimul i bucl ichi m bil u K, (, ) 5

26 U ol l imului i bucl dchi ccul ui G v v ( z) H ( z) ( z ) ccului ui, C, dugd u micc d z ε, c l olul i iioul ccului ui j( Ωθ) H ( ) G( ) H ( ) i g{ G( ) H ( )} ( Ω θ) G v i co Ω i Ω coω lim Ω ( coω) vicl l hodogful Nqui v θ π / 3i g{ G( ) H ( ) Ωπ / 3} π { G( ) H ( ) } π i v modulul / { G( ) H ( )} dci modulul gl cu D m Ω π θ π g Ωπ { G( ) H ( )} l' Hoil z S modific couul L Ω π / 3 Pu 4coΩ 3 3 lim imo Ω C π- cgε π θπ/ ε θ θ-π/ v Ω v θ π π Cd cugm miccul ε i o, θ c d l l c gumul uf o vii π π Δg{ G( ) H ( )} Ω π, c c im c hodogful icojo oigi l ifii, i o, uci cd - Ω c d l π l bui vm < u < K < K Pu c imul i bucl ichi m bil, Ω π - C -/K Ωπ/3 Ωπ -3/ - / Ω5π/3 Ω θπ ε / θ πθ- cgε π/ π j Ω v v θ Ω 6

27 Mgiil d mlific i d fz Uoi i i, u u im bil, i c mu o fi modific mlific imului i c dfzj ulim o fi iodu i im i fl ic l m bil S um mgi d mlific imului di g, vlo miim lui K u c imul di d, u ϕ dvi ibil S um mgi d fz imului di g, vlo miim lui ϕ, u K, u c imul di d dvi ibil jω jω jϕ H G K Pi modific lui K u lui ϕ uul di olii fucii d f i bucl ichi o jug imgi, i ucul j ω : jϕ K H jω G jω 7

28 Emlu G K G () H () jg{ G( jω ) H ( jω )} ( jω ) H ( jω ) giv Fi ω fcv l c: 4 [ ] ( ), 5 ( 5, ) Doc imul i bucl dchi bil,u c imul i bucl ichi m bil c c ucul ciic m i ioul hodogfului zv d mlific v fi di, Doc imii fcoi di mmbulg u oziivi c c oil coml fi l, d l ucul ciic l ici hodogfului cu l givpu ϕ, cui dvi: { } jg { G( jω ) H ( jω ) } g G ( jω ) H ( j ) ω π L fcv ω K G( jω ) H ( j ) ω Fi ω fcv l c G( jω ) H ( jω ) zv d fz v fi : ϕ π g{ G( jω ) H ( jω )} loc ici hodogfului cu l giv zv d mlific 8