4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire

Transcript

1 4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru sbil, izâd să reviă, după u imp fii (şi perurbţi dispăru), l o ouă sre de echilibru sţior cu su fără erore sţioră. Dcă ces lucru u ese reliz, î sesul că mărime de ieşire re o vriţie cu mliudie di ce î ce mi mre î imp (oscil su perodic), se spue că sisemul ese isbil. Se iroduc două ipuri de sbilie: - sbilie ieră (su î ses Lipuov); - sbilie eeră (su de ip irre mărgiiă - ieşire mărgiiă). Sbilie ierǎ U sisem liir, coiuu şi ivri, izol de mediul eer (dică liber) ese descris de ecuţi difereţilă () = (), R cu codiţi iiţilă () = şi R u prmeru rbirr şi fi. Ecuţi crcerisică: λ =, cu rădăci. Soluţi ecuţiei difereţile: () = e Î fucţie de semul prmerului po păre urmăorele siuţii: dcă > uci lim ( ) =, R \ { } deci sisemul ese isbil dcă = uci R, ( ) =, deci sisemul ese ier sbil dcă < uci lim ( ) =, R deci sisemul ese ier simpoic sbil > = < ) sisem isbil b) sisem ier sbil c) sisem ier simpoic sbil

2 Sbilie ieră ese o propriee sisemelor cre u depide de semlele eere şi se referă l evoluţi liberă sări sisemului liz. U sisem (A,b,c T ) ese: A. sbil (ier) dcă M >,.î. e M, ; b. simpoic sbil (ier) dcă e A, câd Se po demosr urmăorele eoreme: U siem (A,b,c T ) ese: 1. ier sbil, dcă şi umi dcă vlorile proprii le mricei A u oe Re λ i, ir cele vlori proprii cre u pre relă ulă rebuie să fie rădăcii simple le poliomului crcerisic. 2. ier simpoic sbil, dcă şi umi dcă vlorile proprii le mricei A u Reλ i <, cesă codiţie fiid echivleă cu : ( ) {, 1 σ A = λ1 λ} C ude σ ( A ) ese specrul mricei A. Im(s)=jω C 1 Zo de sbilie ier simpoic Re(s)< Re(s)=σ Zo de isbilie Re(s)> sbilie ier Re(s)= (vlori proprii simple)

3 Sbilie eerǎ Sbilie eeră se referă l evoluţi ieşirii sisemelor dimice câd l irre cesor se plică semle de ip impuls. δ() h() sisem eer sric sbil H(s) δ() h() sisem eer isbil H(s) U sisem (A,b,c T ) ese:. sbil (eer) dcă M >. î. h () M, b. sric sbil (eer) dcă h () dcă Se po demosr urmăorele eoreme: U sisem (A,b,c T ) ese: 1. eer sbil, dcă şi umi dcă polii fucţiei de rsfer u Re p i ir cei poli cre u pre relă ulă rebuie să fie poli simpli. 2. eer sric sbil, dcă şi umi dcă polii fucţiei de rsfer u Re p i <, cesă codiţie fiid echivleă cu: Ρ H( s) C

4 Se observă imedi că sbilie ieră implică pe ce eeră σ ( ) ( ) A C Ρ H s C dr reciproc u ese devră (cu ecepţi czului câd form primră lui H(s) ese ireducibilă, fp ce deermiă rsformre icluziuii î eglie). Se pue problem cum se poe preci sbilie fără clcul efeciv rădăciile poliomului crcerisic? Răspusul l cesă îrebre ese d de crieriul Hurwiz. Crieriul Hurwiz Fie fuci de rsfer : Y() s b s b s+ b H() s = = U() s s s... s cu poliomul crcerisic: 1 ( )... m 1 m P s = s + s + + s Codiţiile ecesre şi suficiee c sisemul descris de H(s) să fie sbil eer su : ) oţi coeficieţii lui P(s) rebuie să fie diferiţi de zero şi poziivi b) c oţi deermiţii pricipli i mricei Hurwiz să fie sric poziivi: H = > H = >, H = >

5 Evlure sbiliii sisemelor liire, coiue si ivrie Tipul modelului dimic Tipul sbilie ivesig de Ecui crcerisic Deumire rdciilor Ecuii de sre T A, b, c ( ) sbilie ier deci si sbilie eer P ( λ) = de ( λ I A) P ( λ ) = vlorile proprii Fucii de rsfer m 1 Y() s bm 1 s b1 s+ b H() s = = 1 U() s s + s s+ sbilie eer 1 ( ) P s = s + s s+ Ps () = polii fuciei de rsfer