κινηµατική καταστατική = k θ ισορροπία στροφικό ελατήριο

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "κινηµατική καταστατική = k θ ισορροπία στροφικό ελατήριο"

Οκυροη Καλύβας
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 u Η κινηµατική u= sinθ θ θ καταστατική M ισορροπία = k θ M = H cosθ H στροφικό ελατήριο k Μ H k = u

2 ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ δυναµική ενέργεια Π = U + V Π = 1 + k θ H u ( ) καταστατική M = k θ κινηµατική u= sinθ θ Απαιτώ στάσιµη τιµή dπ = du 1 1 u Π= Η = Η k θ u k u k Η= u

3 u 1 Η 1 u θ 1 Η θ στροφικό ελατήριο k 1 στροφικό ελατήριο k

4 u 1 Η 1 u θ 1 Η θ Μ

5 Η 1 θ 1 Μ 1

6 ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ δυναµική ενέργεια Π = U + V 1 1 Π= U + V = M θ + M θ Ηu Η u καταστατικές κινηµατικές M = k θ M k θ θ u = θ + θ ( ) 1 1 = ( ) u ( u u ) = θ 1 u 1 Π ( u, u ) = k + k Η u Η u

7 Απαιτώ στάσιµη τιµή Π Π dπ = u + u = u 1 1 u Π = u 1 Π = u k1 k1 Η 1 u1 = k1 4k1 k u Η +

8 u 1 u u 3 k A F 1 F F k 3 B k C

9 καταστατική σ =Εε κινηµατική ε = du d + σ + p() u() σ+ σ ισορροπία ( dσ ) Α+ pd= du ΕΑ = d p ( ) = p() EA = Q

10 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ u ( ) = + u() du Ε Α=Q d = = p() EA = Q

11 q() EI w() + κινηµατική w k= ( ) 3 1+ w w καταστατική Μ =ΕΙk

12 Μ Q q() Μ+ Μ ισορροπία Ν + Q+ Q Ν+ Ν d Μ d d w = q q ΕΙ = d d d

13 Άρθρωση w = Μ = Πάκτωση w = w = Ελεύθερο άκρο V = Μ =

14 Μονωµένο άκρο q= = Πηγές θερµότητας κατά µήκος q s () = k() = αγωγιµότητα Άκρο όπου διατηρείται σταθερή η θερµοκρασία θ=θ

15 q q s q+dq +d d θ k f = d ( ) q θ dθ = = d ( ) = θ ( ) =

16 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ( u) = g( ) m στο χωρίο Ω Συνοριακές συνθήκες i ( ) b u = c i 1,,..., i = m σε κάθε σηµείο στο σύνορο Β ( m 1) uu,, u,..., u Βασικές ή ουσιώδεις ή κινηµατικές ή Dirichlt ( m) ( m+ 1) ( m 1) u, u,..., u Φυσικές ή Nwmann

17 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ + = p() EA = Q 1 ( ) ( ) Π= σεdv p d u Q u ΕΑ Π ( ) = ( ) u u d p u d Q u

18 Στάσιµη τιµή δπ = ΕΑ Θεωρώ τη µεταβολή της δu( ) ( u ) d p ud Q u( ) δ δ δ = { ( ) } δ ( ) ( ) Ε Αu Q u ΕΑ u + p δud = ( ) Ε Α u = Q Φυσική συνοριακή συνθήκη Ε Α u + p= u ( ) τυχαία αποδεκτή συνάρτηση ιαφορική εξίσωση δ u() =

19 Γενική µορφή διαφορικής εξίσωσης ου βαθµού d d du g h u = p d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u = u u = q ( ) ( ) u u = u = u ( ) ( ) u u = q = u ( ) ( ) u u = q = q Αντίστοιχο συναρτησιακό 1 Π = + ( u) g ( ) u d h( ) u d p( ) ud g ( ) q u( ) δπ=

20 Galrkin ( ) Ε Αu ku= p u ( ) = συνοριακές συνθήκες u ( ) = q ( S ) Για κάθε αποδεκτή συνάρτηση u * ( ) ( ΕΑ + ( )) u ( ) = u ( ) = q * u ku p u d ( W ) Για κάθε αποδεκτή συνάρτηση u * ( ) ( ) ( ) Ε Α uu d+ kuu d p u d ΕΑ q u = ( W ) * * * *

21 Galrkin Θεωρώ N ( ) = φ ( ) *( ) * και u a φ ( ) u a i= 1 i i N = i= 1 i i ώστε ( )( * ) ( )( * ) jφ j i φ i jφ j i φi ( * ) * p ai φi d Q ai φi( ) ΕΑ a a d+ k a a d = N β N K a i ij j i i= 1 j= 1 F= όπου K = ΕΑ φφ d + k φφ d ij i j i j ( ) φ φ ( ) F = p d+ Q i i i

22 N Kijaj = F [ Κ] a = i j= 1 F [ K] K K K K K K K K K N 1 N = N1 N NN [... ] T a = aa 1 a N [... ] T F = F1F F N

23 ( ) ΕΑu ku= p u ( ) = συνοριακές συνθήκες u ( ) = q = = j- j-1 j j+1 j+ N 1 φ j () j- j-1 j j+1 j+

24 φ j () 1 h φ j () j- j-1 j j+1 j+ 1/h [φ j ()] j- j- j-1 j j+1 j+ -1/h 1/h j-1 j j+1 j+

25 φ 1 () = = = = φ () φ 3 () = = = φ 4 () =

26 ακριβής λύση προσεγγιστική λύση u u 1 u 3 u 4 = =

27 Τοπικό σύστηµα συντεταγµένων = = j- j-1 j j+1 j+ N A h = Β - A B, ξ = Α ξ = 1 = Β ξ = 1 h ( ξ ) = + ( 1+ ξ ) A

28 Μορφή συναρτήσεων στο στοιχείο φ A φ B A B, ξ h = Β - A 1 φa ξ φj 1 ξ ( ) = ( ) = ( ) 1 φb ξ φj+ 1 1 ξ ( ) = ( ) = ( + )

29 φ1 φ 1, ξ = 1 = = h + 1 h = 1

30 ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΟΠΙΚΩΝ ΜΗΤΡΩΟΥ ΑΚΑΜΨΙΑΣ K ij = ΕΑ φφ d i j + k φφ d i j 1 1 A B A ΕΑ kh ΕΑ kh + + h 3 h 6 B ΕΑ + h kh 6 ΕΑ + h kh 3

31 K K K K A B A B

32 F F 1 A B

33 φ 1 () φ () φ 3 () φ j () φ N+1 () = = j N+1

34 Γενική διαδικασία Χωρίζουµε τοχωρίο σε Ντµήµατα (στοιχεία) µε κόµβους,1,,,ν+1, όπου ο πρώτος κόµβος είναι στο = και ο τελευταίος στο = Ορίζουµε τιςγραµµικές συναρτήσεις ("στέγες") σε κάθε στοιχείο Σε κάθε στοιχείο υπολογίζω τα K ij F i «Φυτεύω" τα τοπικά µητρώα, στο συνολικό "µητρώο ακαµψίας" και το "µητρώο φόρτισης". Λύνω το σύστηµα [ K ] u= F Για κάθε στοιχείο η λύση και η παράγωγός της είναι ( ) = φi( ) i + φ i + 1( ) i + 1 u ( ) = φ ( ) iui + φ i + 1( ) ui + 1 u u u

Σχετικά έγγραφα

Galerkin ( ) ( ) συνοριακές συνθήκες L * u ku p x u dx ( ) Για κάθε αποδεκτή συνάρτηση L L L

Galerkin ( ) ( ) συνοριακές συνθήκες L * u ku p x u dx ( ) Για κάθε αποδεκτή συνάρτηση L L L Galrkn ( ) Ε Αu ku= p x u ( 0) = 0 συνοριακές συνθήκες u ( L) = q L ( S ) Για κάθε αποδεκτή συνάρτηση u * ( x ) 0 L ( ΕΑ + ( )) u ( 0) = 0 u ( L) = ql * u ku p x u dx ( W ) Για κάθε αποδεκτή συνάρτηση