Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA
|
|
- Διόδοτος Χατζηιωάννου
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo n Γραµµικές Εξισώσεις modulo n To Κινέζικο θεώρηµα υπολοίπων To Κρυπτοσύστηµα RSA ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
2 Κρυπτοσυστήµατα Ένα κρυπτοσύστηµα µε δηµόσια κλειδιά (public-key cryptosystem) επιτρέπει:. την κωδικοποίηση µηνυµάτων έτσι ώστε, κάθε φορά που κάποιο µήνυµα m στέλνεται από τον Α στον Β, αν ο Γ κρυφακούσει τη συνοµιλία να µην µπορεί να αποκωδικοποιήσει το m.. την απλαστογράφητη ψηφιακή υπογραφή µηνυµάτων (digital signatures). To κρυπτοσύστηµα RSA βασίζεται στη σηµαντική διαφορά µεταξύ: της ευκολίας µε την οποία µπορούµε να βρούµε µεγάλους πρώτους αριθµούς και της δυσκολίας της παραγοντοποίησης του γινοµένου δύο µεγάλων πρώτων αριθµών. Κάθε συµµετάσχων A σε ένα κρυπτοσύστηµα κατέχει. ένα δηµόσιο (κοινώς γνωστό) κλειδί P Α, και. ένα µυστικό κλειδί S Α. τα οποία δηµιουργεί ο ίδιος. ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
3 Κρυπτοσυστήµατα Τα κλειδιά P Α και S Α χρησιµοποιούνται για κωδικοποίηση και αποκωδικοποίηση µηνυµάτων. ηλαδή, αν D είναι το σύνολο όλων των µηνυµάτων, το P Α και το S Α αποτελούν - συναρτήσεις από το D στον εαυτό του και επίσης, για κάθε m D πρέπει να ισχύει: S Α (P Α (m)) = m P Α (S Α (m)) = m Βασική υπόθεση: Μόνο ο Aµπορεί να υπολογίσει τη συνάρτηση S Α σε πρακτικά σύντοµο χρόνο. ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
4 Κωδικοποίηση Έστω ότι ο Βob θέλει να στείλει στην Alice το µήνυµα mµε τέτοιο τρόπο ώστε το m να είναι ακατανόητο σε οποιοδήποτε τρίτο. Τότε. ο Bob βρίσκει το δηµόσιο κλειδί της Alice, P Α.. υπολογίζει το µήνυµα m =P Α (m), και το στέλνει στην Alice.. όταν η Alice λάβει το µήνυµα m, χρησιµοποιεί το µυστικό της κλειδί S Α για την αποκωδικοποίηση του, m =S Α (m ). Προφανώς. m =m, και. οποιοσδήποτε τρίτος κρυφακούσει το m, µη κατέχοντας το S Α, δεν µπορεί να το αποκωδικοποιήσει. ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
5 Digital Signatures Έστω ότι η Alice θέλει να υπογράψει ένα µήνυµα m προς τον Βob. Τότε. Η Alice δηµιουργεί την υπογραφή της ως σ=s Α (m), και. στέλλει στον Bob το ζεύγος (m,σ).. Ο Bob λαµβάνοντας το ζεύγος (m,σ), χρησιµοποιεί το δηµόσιο κλειδί της Alice, P Α, και υπολογίζει το m =P Α (σ).. Αν m=m τότε συµπεραίνει πως το µήνυµα πράγµατι στάλθηκε από την Alice. Ορθότητα; Οι δύο τεχνικές µπορούν να χρησιµοποιηθούν ταυτόχρονα για να σταλούν κωδικοποιηµένα και υπογραµµένα µηνύµατα; Πρόκληση: πως µπορούµε να διαλέξουµε κατάλληλα συναρτήσεις (κλειδιά) S Α, P Α που να ικανοποιούν τις προδιαγραφές; ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -5
6 Βασικές Έννοιες Z= {,-,-,,,, } σύνολο ακεραίων αριθµών Ν = {,,, } σύνολο φυσικών αριθµών d a : d a: ο ακέραιος d διαιρεί τον ακέραιο α, δηλ. ακέραιος k τέτοιος ώστε a= d k. O a είναι πολλαπλάσιο του d. o d δεν διαιρεί τον a Αν a > και d a, τότε d a. Αν d και d a, τότε λέµε ότι ο d είναι διαιρέτης του a. Κάθε ακέραιος a έχει τους τετριµµένους διαιρέτες a και. Οι µητετριµµένοι διαιρέτες του a λέγονται οι παράγοντες του a. Ένας ακέραιος a> του οποίου οι µόνοι διαιρέτες είναι οι τετριµµένοι διαιρέτες και a λέγεται πρώτος αριθµός. Ένας ακέραιος a> είναι σύνθετος αριθµός αν δεν είναι πρώτος. ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -6
7 Βασικές Έννοιες Πρώτοι αριθµοί :,,5,7,,,7,9,,9, Ο ακέραιος 9 είναι σύνθετος, αφού 9. ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΙΑΙΡΕΣΗΣ Για κάθε ακέραιο a και θετικό ακέραιο n, υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι q και r τέτοιοι ώστε r< nκαι a= qn+ r. q : πηλίκο της διαίρεσης του a δια n r = a modn : υπόλοιπο της διαίρεσης του a δια n n a a mod n = ΟΡΙΣΜΟΣ Αν a mod n = b mod n, γράφουµε a b(modn) ο a είναι ισοδύναµος µε τον b modulo n. ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -7
8 Βασικές έννοιες Έχουµε a b (mod n) n a-b Παραδείγµατα. 6 6(mod ), αφού 6=5 +6 και 6 = (mod 5), αφού - = (-) 5 + και = 5 + ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -8
9 Μέγιστος Κοινός ιαιρέτης Αν ο d είναι διαιρέτης του a και επίσης διαιρέτης του b, τότε ο d είναι κοινός διαιρέτης των a και b. Αν d a και d b τότε d (a+b) και d (a-b). Απόδειξη: d a a = kd a+b= (k+m)d, a-b=(k-m)d d b b = md Πιο γενικά: Aν d aκαι d bτότε d (ax+by) για οποιουσδήποτε ακεραίους x και y. Έστω ακέραιοι a και b, a ή b. Ο µέγιστος κοινός διαιρέτης ΜΚ (a,b) των a και b είναι ο µεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες των a και b. ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -9
10 Μέγιστος Κοινός ιαιρέτης Παραδείγµατα MK (,)=6 ΜΚ (5,7)= ΜΚ (,9)=9 Αν a ή b, τότε ΜΚ (a,b) min{ a, b } Ιδιότητες του µέγιστου κοινού διαιρέτη. ΜΚ (a,b) = ΜΚ (b,a). ΜΚ (a,b) = ΜΚ (-a,b). ΜΚ (a,b) = ΜΚ ( a, b ). ΜΚ (a,) = a 5. ΜΚ (a,ka) = a για κάθε k Ζ ύο ακέραιοι a και b λέγονται σχετικά πρώτοι αν ΜΚ (a,b)=. ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
11 Μέγιστος Κοινός ιαιρέτης ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω ακέραιοι a και b, a ή b. Τότε ο ΜΚ (a,b) είναι το ελάχιστο θετικό στοιχείο του συνόλου {ax + by x,y Z} των γραµµικών, ακεραίων συνδυασµών των a και b. ΠΟΡΙΣΜΑ Για κάθε ακέραιους a και b αν d a και d b, τότε d ΜΚ (a,b). ΠΟΡΙΣΜΑ ΜΚ (na,nb) = n ΜΚ (a,b) για κάθε ακεραίους a και b και µη αρνητικό ακέραιο n. ΠΟΡΙΣΜΑ Γιακάθεθετικούςακέραιουςn, a, και b αν n ab και ΜΚ (a,n)=, τότε n b. ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
12 Έστω Υπολογισµός µέγιστου κοινού διαιρέτη e e e f f a = p p... pr, b = p p... r f r οι παραγοντοποιήσεις σε πρώτους ακεραίους των a και b. Τότε: MK ( a, b) = p p min( e, f ) min( e, f ) p... r p min( e r, f r r ) Ο παραπάνω τύπος δείχνει ότι για να υπολογίσουµε τον µέγιστο κοινό διαιρέτη δύο ακεραίων αρκεί να τους παραγοντοποιήσουµε. Οι καλύτεροι αλγόριθµοι παραγοντοποίησης που είναι γνωστοί σήµερα δεν τρέχουν σε πολυωνυµικό χρόνο. Έτσι ο αλγόριθµος υπολογισµού του µέγιστου κοινού διαιρέτη µέσω της αναγωγής σε παραγοντοποίηση δεν θεωρείται πιθανό να δώσει ταχύ (πολυωνυµικό) αλγόριθµο. ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
13 ΘΕΩΡΗΜΑ Υπολογισµός ΜΚ (Θεώρηµα αναδροµής µέγιστου κοινού διαιρέτη). Για κάθε µη αρνητικό ακέραιο a και θετικό ακέραιο b, ΜΚ (a,b) = ΜΚ (a mod b, b) ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΛΗΜΜΑ ΜΚ (a,b) ΜΚ (a mod b, b). ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έστω d=μκ (a,b). Τότε d a και d b. Αφού amodb= a- a/b b, ο ακέραιος amodbείναι γραµµικός ακέραιος συνδυασµός των a και b, έπεται ότι d a modb. Αφού d b και d a modb, έπεται από το Πόρισµα, ότι d = ΜΚ (a,b) ΜΚ (b, a mod b). ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
14 Υπολογισµός ΜΚ ΛΗΜΜΑ ΜΚ (a mod b, b) ΜΚ (a,b). ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έστω d= ΜΚ (a mod b,b). Τότε d amodbκαι d b. Αφού a = a/b b + (a mod b), o a είναι γραµµικός ακέραιος συνδυασµός των b και amodb. Αφού d amodbκαι d b, έπεται ότι d a. Συνεπώς d = ΜΚ (a mod b, b) ΜΚ (a,b). Από τα Λήµµατα και, έχουµε ΜΚ (a mod b, b) = MK (a,b). Ο αλγόριθµος του Ευκλείδη είναι άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος. ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
15 Αλγόριθµος του Ευκλείδη int GCD (int a, int b) if b == return a else return GCD(b,a mod b); ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΜΚ (,) = ΜΚ (,9)= ΜΚ (9,)= ΜΚ (,)= ΟΡΘΟΤΗΤΑ Έπεται από το Θεώρηµα και το γεγονός ότι ΜΚ (a,) = a. ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ Έπεται από το ότι a> b amodb< a. Έτσι αφού ο ένας ακέραιος µειώνεται αυστηρά σε κάθε δεύτερη αναδροµή, η αναδροµή τελικά θα τερµατίσει. ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -5
16 Ανάλυση χρονικής πολυπλοκότητας Υποθέτουµε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι a> b. Ο συνολικός χρόνος που παίρνει ο αλγόριθµος του Ευκλείδη για να τερµατίσει είναι ανάλογος του αριθµού των αναδροµών που εκτελούνται. Υπενθύµιση: Οι αριθµοί Fibonacci ορίζονται ως εξής: F[] = F[] = F[i] = F[i-] + F[i-], i ΛΗΜΜΑ Αν a > b και εκτελεσθούν k αναδροµές κατά την εκτέλεση του αλγορίθµου του Ευκλείδη πάνω στα a και b, τότε a F[k+] και b F[k+]. ΘΕΩΡΗΜΑ (ΘεώρηµατουLame) Για κάθε ακέραιο k, αν a>b και b<f[k+], τότε ο αλγόριθµος του Ευκλείδη κάνει λιγότερες από k αναδροµικές κλήσεις πάνω στα a και b. ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -6
17 Ανάλυση χρονικής πολυπλοκότητας Είναι πολυωνυµικός ο αλγόριθµος του Ευκλείδη; Αφού, b < F[ k + ] φ 5 k +, οπου φ = + 5 lg b ( k + ) lgφ lg 5, k O(lg b), και ο αριθµός των επαναλήψεων είναι γραµµικός στο µήκος εισόδου. Πάνω σε δυο αριθµούς µε β bits ο καθένας, ο αλγόριθµος του Ευκλείδη θα στοιχίσει Ο(β) αριθµητικές πράξεις και Ο(β³) πράξεις πάνω σε bits, υποθέτοντας ότι ο πολλαπλασιασµός και η διαίρεση αριθµών µε β bits o καθένας παίρνουν Ο(β²) δυαδικές πράξεις. ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -7
18 Γενικευµένος Αλγόριθµος του Ευκλείδη Μπορούµε να γενικεύσουµε τον αλγόριθµο του Ευκλείδη έτσι ώστε να υπολογίζει, όχι µόνο τον d=mk (a,b), αλλά και τις τιµές x, y για τις οποίες d=ax+by. int Extended_GCD(int a, int b) if b == return (a,,) else (d,x,y )=Extended_GCD(b,a mod b); (d,x,y)=(d,y,x - a/b y ); return (d,x,y) Ορθότητα; Χρονική Πολυπλοκότητα; ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -8
19 Κλάσεις Ισοδυναµίας modulo n Για κάθε ακέραιο n>, το σύνολο των ακεραίων µπορεί να διαιρεθεί σε n κλάσεις ισοδυναµίας ανάλογα µε το υπόλοιπο της διαίρεσης τους δια n. H κλάση της ισοδυναµίας modulo n που περιέχει ένα ακέραιο a είναι το σύνολο [ ] = { a + kn k Z } Το σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυναµίας modulo n συµβολίζεται σαν Κάθε κλάση Z αντιπροσωπεύεται από το ελάχιστο µη αρνητικό της στοιχείο,,, n-. Έτσι γράφουµε a n n = {[ a] a n } n [ ] n,[] n,..., [ n ] n Z n = {,,..., n } ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -9
20 Αριθµητική modulo n Μια οµάδα (S, ) είναι ένα σύνολο Sµαζί µε µια δυαδική πράξη τα οποία ικανοποιούν τις πιο κάτω ιδιότητες:. για κάθε a,b S, a b S. υπάρχει e S τέτοιο ώστε a e=e a=a. για κάθε a,b,c S, (a b) c = a (b c). για κάθε a S, υπάρχει b S τέτοιο ώστε a b=b a=e Μια οµάδα ονοµάζεται Abelian οµάδα αν για κάθε a,b S, a b=b a. Παραδείγµατα:. Το ζεύγος (Ζ,+) είναι Abelian οµάδα.. Το ζεύγος ({A Α Χ}, ); Παρατήρηση: Αν a a (mod n) και b b ( mod n), τότε a+b a +b (mod n) και a b a b (mod n) ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
21 ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - Αριθµητική modulo n Ορίζουµε τις πράξεις + n (πρόσθεση modulo n) και n (πολλαπλασιασµός modulo n) πάνω στο σύνολο ως εξής: [a] n + n [b] n = [a+b] n [a] n n [b] n = [a b] n ΘΕΩΡΗΜΑ Τo ζεύγος (Ζ n, + n ) είναι Abelian οµάδα
22 * Z n Αριθµητική modulo n Ορίζουµε ως το υποσύνολο του που περιέχει τα στοιχεία του Z n που είναι σχετικά πρώτα µε το n: * Z n = {[a] Z n MK (a,n) = } * Z 5 Για παράδειγµα: = {,,,7,8,,,} ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - 8 7
23 Αριθµητική modulo n Z n * ΘΕΩΡΗΜΑ 5 Το ζεύγος (, n ) είναι µια Abelian οµάδα. * Z n Ονοµάζουµε την οµάδα (, n) πολλαπλασιαστική οµάδα modulo n. Z n * * To µέγεθος του συνόλου, δίνεται από τη συνάρτηση φ του Euler: όπου ο p παίρνει τιµές από τους περιττούς παράγοντες του n. Παράδειγµα: φ(5)=5(-/)(-/5)= =8 Αν ο p είναι πρώτος αριθµός τότε φ(p) = Z n φ( n ) = n ( ) p p n ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
24 Γραµµικές Εξισώσεις modulo n Πρόβληµα: Με δεδοµένα τιµές a, b, n, πως µπορούµε να βρούµε όλες τις τιµές x για τις οποίες ax b (mod n); ΘΕΩΡΗΜΑ 6 Έστω d=μκ (a,n) και d=ax'+ny'. Η εξίσωση ax b(modn) έχει λύση µόνο όταν o d b και οι λύσεις της εξίσωσης είναι ακριβώς οι: x = x (b/d) mod n x i = (x + i (n/d)) mod n, i d- Αν b=, δηλαδή αν ax (mod n), τότε ονοµάζουµε το x πολλαπλασιαστικό αντίστροφο του a modulo n. ΠΟΡΙΣΜΑ Για κάθε n>, αν ΜΚ (a,n)=, τότε η εξίσωση ax (mod n) έχει ακριβώς µια λύση modulo n. ιαφορετικά δεν έχει καµιά λύση. ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
25 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ Γραµµικές Εξισώσεις modulo n LE_Solver(a,b,n){ (d,x,y )=Extended_GCD(a,n); if (d b) x[] = x (b/d) mod n; for (i=; i<d; i++) x[i] = (x[]+i(n/d))mod n else no solutions Χρονική Πολυπλοκότητα: Ο(lg n + MK (a,n)) ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -5
26 Μας επιτρέπει To Κινέζικο θεώρηµα υπολοίπων Αν n=n n n k να περιγράψουµε µια - ισοδυναµία µεταξύ των δοµών Ζ n και Ζ Ζ n n Ζ nk. ηλαδή, πράξεις στην πρώτη οµάδα µπορούν να επιτευχθούν ως πράξεις στη δεύτερη οµάδα. Σαν αποτέλεσµα, µπορούµε να σχεδιάσουµε αποδοτικότερους αλγόριθµους για πράξεις modulo n, δουλεύοντας modulo n i <n. ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω n=n n n k, όπου οι n i είναι µεταξύ τους σχετικά πρώτοι, τότε, για κάθε ακέραιο x και a, x a (mod n i ) για i k x a (mod n). ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -6
27 Υπολογισµός δυνάµεων στην Z n Σε πολλές περιπτώσεις είναι χρήσιµο να υπολογίσουµε την ακολουθία δυνάµεων ενός ακέραιου modulo n: π.χ. a *, a, a, a,... a Z n i i mod Θεώρηµα του Euler Για κάθε n> a φ ( n ) * (mod n), a Z n Θεώρηµα του Fermat Αν ο p είναι πρώτος αριθµός, τότε a p * (mod p), a Z p Οπιοκάτωαλγόριθµος υπολογίζει την τιµή a b mod n ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -7
28 Υπολογισµός δυνάµεων στην * Z n Modular_Exponentiation(a,b,n) c=; d=; <b[k],,b[],b[]> = η τιµή του b στο δυαδικό σύστηµα for (i=k, i, i--){ c = c; d = d d mod n if b[i]== c = c+; d = d a mod n return d Ορθότητα Ανά πάσα στιγµή η τιµή του d είναι ίση µε a c mod n Στο τέλος της διαδικασίας c= b.άρα το ζητούµενο έπεται. Χρονική Πολυπλοκότητα Αν οι a, b, n έχουν β bits o καθένας, τότε η διαδικασία απαιτεί Ο(β³) βήµατα. ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -8
29 To Κρυπτοσύστηµα RSA Στo κρυπτοσύστηµα RSA, κάθε συµµετάσχων δηµιουργεί τα κλειδιά του ως εξής:. ιάλεξε δύο µεγάλους πρώτους αριθµούς p και q (µε ψηφία ο καθένας).. Υπολόγισε τον n=pq.. ιάλεξε ένα µικρό περιττό ακέραιο, e, ο οποίος είναι σχετικά πρώτος µε τον φ(n) = (p-)(q-).. Υπολόγισε το πολλαπλασιαστικό αντίστροφο modulo φ(n) του e, και ονόµασε το d. 5. Γνωστοποίησε το ζεύγος (e,n) ως το δηµόσιο σου κλειδί. 6. Κράτα το ζεύγος (d,n) ως το µυστικό σου κλειδί. ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -9
30 To Κρυπτοσύστηµα RSA Θεωρούµε ότι D=Z n Η συνάρτηση P=(e,n) ορίζεται ως: P(M) = Μ e mod n H συνάρτηση S=(d,n) ορίζεται ως: S(C) = C d mod n Οι συναρτήσεις P και S ικανοποιούν τις απαιτούµενες προδιαγραφές; Θέλουµε:. P(S(M)) = M, S(P(M)) = M. H τιµή του S(δηλαδή του d) να µην είναι υπολογίσιµη σε πολυωνυµικό χρόνο. ΘΕΩΡΗΜΑ P(S(M)) = M, S(P(M)) = M ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
31 To Κρυπτοσύστηµα RSA ΑΠΟ ΕΙΞΗ Από τους ορισµούς των P και S, έχουµε P(S(M)) = S(P(M)) = Μ ed mod n Αφού οι e και d είναι πολλαπλασιαστικά αντίστροφοι modulo φ(n), τότε ed = + k(p-)(q-) για κάποιο ακέραιο k. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις:. Αν Μ (mod p), τότε Μ (mod p).. ιαφορετικά από το Θεώρηµα του Fermat, M ed (Μ(M) p- ) k(q-) (mod p) M () k(q-) (mod p) M (mod p) Παρόµοια µπορεί να δειχθεί ότι M ed Μ (mod q). Από το Πόρισµα του Κινέζικου Θεωρήµατος Υπολοίπου, M ed Μ (mod n) όπως χρειάζεται. ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
32 To Κρυπτοσύστηµα RSA ΟΡΘΟΤΗΤΑ Προφανώς, αν η παραγοντοποίηση µεγάλων αριθµών ήταν πρακτικά δυνατή, τότε κάποιος θα µπορούσε να σπάσει το κρυπτοσύστηµα (παραγοντοποιώντας τον n και βρίσκοντας αρχικά τον φ(n) και στη συνέχεια τον d από τους e και φ(n)). Μέχρι σήµερα η θεωρία και η τεχνολογία δεν επιτρέπουν γρήγορη παραγοντοποίηση. Επίσης, µέχρι σήµερα δεν έχει βρεθεί άλλος τρόπος για αποκωδικοποίηση µηνυµάτων που δεν περιέχει εύρεση των παραγόντων p και q. ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Παράγοντες που επηρεάζουν τη χρονική πολυπλοκότητα της µεθόδου είναι Για δηµιουργία κλειδιών πολυπλοκότητα εύρεσης µεγάλων πρώτων αριθµών πολυπλοκότητα λύσης γραµµικής εξίσωσης Για (απο)κωδικοποίηση µηνυµάτων Υπολογισµός δυνάµεων, ο οποίος εξαρτάται από το µέγεθος του µηνύµατος και τον n. ΕΠΛ Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα -
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης
Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές Χρήστος Ξενάκης Το σύνολο των ακεραίων Ζ = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Το σύνολο των φυσικών Ν = {0, 1, 2,...}
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΠρόβληµα 2 (12 µονάδες)
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2015-2016 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Ε. Μαρκάκης, Θ. Ντούσκας Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων Πρόβληµα 1 (12 µονάδες) 1) Υπολογίστε τον
Διαβάστε περισσότεραιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r
ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών ο a διαιρεί τον b: συµβολισµός: a b Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς a b και a c a (b + c) a b a bc, για κάθε c Z +
Διαβάστε περισσότεραΠρόβληµα 2 (15 µονάδες)
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότερα(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier
Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ασύμμετρα Κρυπτοσυστήματα κλειδί κρυπτογράφησης k1 Αρχικό κείμενο (m) (δημόσιο κλειδί) Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότερα* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.
Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Κωνσταντίνου Ελισάβετ
Κρυπτογραφία Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα [1, n] που
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 7 εκεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Για κάθε
Διαβάστε περισσότερα2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.
Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν
Διαβάστε περισσότερα2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Η θεωρία αριθμών και οι αλγεβρικές δομές τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο στην κρυπτολογία. Αριθμο-θεωρητικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται σήμερα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://stes.google.com/ste/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου ακαδηµαϊκού έτους 29-2 Τρίτη, 3 Αυγούστου 2 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι)
Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτοσυστήματα Δημοσίου κλειδιού Αποστολέας P Encryption C Decryption P Παραλήπτης Προτάθηκαν το 1976 Κάθε συμμετέχων στο
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία ηµόσιου Κλειδιού Η µέθοδος RSA. Κασαπίδης Γεώργιος -Μαθηµατικός
Κρυπτογραφία ηµόσιου Κλειδιού Η µέθοδος RSA Τον Απρίλιο του 977 οι Ρόναλντ Ρίβεστ, Άντι Σαµίρ και Λέοναρντ Άντλεµαν, ερευνητές στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασσαχουσέτης (ΜΙΤ) µετά από ένα χρόνο προσπαθειών
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότερα3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009
3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση. Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών
Ε Μ Π Σ Ε Μ & Φ Ε Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Κωστής Γ Διδάσκοντες: Στάθης Ζ Άρης Π 9 Δεκεμβρίου 2011 1 Πιθανές Επιθέσεις στο RSA Υπενθύμιση
Διαβάστε περισσότεραa = a a Z n. a = a mod n.
Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισμός της δύναμης z=x b modn
Υπολογισμός της δύναμης z=x b modn 1.Γράφουμε τον εκθέτη b στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης i b = b i όπου i= 0 bi {0,1} I==0,1,,l-1.Εφαρμόζουμε έπειτα τον εξής αλγόριθμο: z=1 for I=l-1 downto 0 do z=z modn
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ
KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ 1 Το Κρυπτοσύστηµα RSA Η ιδέα της κρυπτογραφίας δηµοσίου κλειδιού παρουσιάσθηκε για πρώτη φορά το 1976 από τους Dffe και Hellman Ένα χρόνο αργότερα, οι R L Rvest, A Shamr
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 2-1
ιαίρει και Βασίλευε Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Η Μέθοδος Σχεδιασµού Αλγορίθµων ιαίρει και Βασίλευε Επίλυση Αναδροµικών Εξισώσεων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - ιαίρει και Βασίλευε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότερα2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008
2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης Στη µνήµη του δασκάλου µου, Χάρη Βαφειάδη... www.math.uoc.gr/
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Ιουνίου ακαδηµαϊκού έτους 29-21 Παρασκευή, 1 Ιουνίου 21 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Η συνάρτηση φ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n > 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 13: Αλγόριθμοι-Μεγάλων ακεραίων- Εκθετοποίηση- Πολλαπλασιασμός πινάκων -Strassen Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 7 Απριλίου 2017 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΟρισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε:
Συµβολισµός Ω( ) Τάξη των Συναρτήσεων () Εκτίµηση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R η f(n) είναι Ω( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C
Διαβάστε περισσότεραF 5 = (F n, F n+1 ) = 1.
Λύσεις Θεμάτων Θεωρίας Αριθμών 1. (α) Να δειχθεί ότι ο πέμπτος αριθμός της μορφής Fermat, δηλαδή ο F 5 2 25 + 1 διαιρείται από το 641. (β) Εστω F n η ακολουθία των αριθμών Fermat, δηλαδή F n 2 2n + 1,
Διαβάστε περισσότεραΕΥΡΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ
ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ Το πρόβλημα: Δεδομένα: δύο ακέραιοι a και b Ζητούμενο: ο μέγιστος ακέραιος που διαιρεί και τους δύο δοσμένους αριθμούς, γνωστός ως Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους (Greatest
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir, Adlemann, 1977) Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κρυπτοσύστημα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις
Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο Σηµειώσεις Προετοιµασίας για Μαθηµατικούς ιαγωνισµούς Ασκήσεις Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Νοέµβριος 2012 1 Ασκησεις στη Θεωρια Αριθµων 1 Μαθηµατική
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Ασύμμετρη Κρυπτογραφία. Χρήστος Ξενάκης
Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Ασύμμετρη Κρυπτογραφία Χρήστος Ξενάκης Ασύμμετρη κρυπτογραφία Μονόδρομες συναρτήσεις με μυστική πόρτα Μια συνάρτηση f είναι μονόδρομη, όταν δοθέντος
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ιστορία Ασύμμετρης Κρυπτογραφίας Η αρχή έγινε το 1976 με την εργασία των Diffie-Hellman
Διαβάστε περισσότεραΌνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291
ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα
Διαβάστε περισσότεραΚατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων
ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 008 Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων Άσκηση Παρατηρούμε ότι ο χρόνος εκτέλεσης μέσης περίπτωσης της κάθε εντολής if ξεχωριστά: if (c mod 0) for (k ; k
Διαβάστε περισσότεραΟικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ.
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ. Έτους 2011-2012 Μαριάς Ιωάννης Μαρκάκης Ευάγγελος marias@aueb.gr markakis@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΟικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ.
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ. Έτους 2015-2016 Μαρκάκης Ευάγγελος markakis@aueb.gr Ντούσκας Θεόδωρος tntouskas@aueb.gr
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΣΤΟΥΚΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ:ΜΠΛΑ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΣΤΟΥΚΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ:ΜΠΛΑ Η Alice θέλει να στείλει ένα μήνυμα m(plaintext) στον Bob μέσα από ένα μη έμπιστο κανάλι και να μην μπορεί να το
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία
Κεφάλαιο 9 Αλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία 9.1 Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε κάποια στοιχεία από Θεωρία Αριθμών και ελάχιστα από Θεωρία Ομάδων. Οι γνώσεις αυτές είναι οι ελάχιστες απαραίτητες για την κατανόηση
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος
Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Ζωή Παρασκευοπούλου Νίκος
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο
Διαβάστε περισσότεραΚατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων
ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 00 Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων Άσκηση Αφού ξέρουμε με ακρίβεια τον αριθμό των βασικών πράξεων που εκτελεί ο κάθε αλγόριθμος σε δεδομένα μεγέθους, θα
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ
KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ 1 Γενικά Η ψηφιακή υπογραφή είναι µια µέθοδος ηλεκτρονικής υπογραφής όπου ο παραλήπτης ενός υπογεγραµµένου ηλεκτρονικού µηνύµατος µπορεί να διαπιστώσει τη γνησιότητα του,
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη
Διαβάστε περισσότεραΑ Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),
Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Καλογερόπουλος Παναγιώτης
Διαβάστε περισσότεραΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Δ Εξάμηνο
ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Δ Εξάμηνο Ασύμμετρη Κρυπτογράφηση (Κρυπτογραφία Δημόσιου Κλειδιού) Διδάσκων : Δρ. Παρασκευάς Κίτσος Επίκουρος Καθηγητής e-mail: pkitsos@teimes.gr, pkitsos@ieee.org
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη
Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη
Διαβάστε περισσότεραΟικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ.
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ. Έτους 2015-2016 Μαρκάκης Ευάγγελος markakis@aueb.gr Ντούσκας Θεόδωρος tntouskas@aueb.gr
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Σάββατο 20 Απριλίου 2013 Ασκηση 1. 1) είξτε ότι η
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Διαβάστε περισσότεραΘεωρια Αριθµων Προβληµατα
Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο
Διαβάστε περισσότεραιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012
ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΣημειωματάριο μαθήματος 1ης Νοε. 2017
Σημειωματάριο μαθήματος 1ης Νοε. 2017 Παραδείγματα συναρτήσεων. Αναδρομικές συναρτήσεις. Ξεκινήσαμε πακετάροντας παλαιότερό μας κώδικα για τον υπολογισμό των διαιρετών ενός φυσικού αριθμού σε συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Θεωρία Αριθμών 2/4/2014. Θεωρία Αριθμών
Κρυπτογραφία Θεωρία Αριθμών Παύλος Εφραιμίδης v1.8, 02/04/2014 1 Θεωρία Αριθμών Θεωρία Αριθμών Ένας όμορφος κλάδος των μαθηματικών Απέκτησε μεγάλη πρακτική αξία χάρη στη Σύγχρονη Κρυπτογραφία Η Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Χρήστος Κούτρας Γιώργος
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω
Διαβάστε περισσότερα(x) = δ(x) π(x) + υ(x)
Μάθηµα 12 Κεφάλαιο 4ο: Πολυώνυµα Πολυωνυµικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες: Α. ιαίρεση Πολυωνύµων Β. Σχήµα Horner Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Αν ( χ), δ ( χ) δύο πολυώνυµα µε δ ( χ) 0 και βαθµούς
Διαβάστε περισσότεραΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ
ΤΕΙ Κρήτης ΕΠΠ Εργαστήριο Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστηµάτων ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΤΕΙ Κρητης Τµηµα Εφαρµοσµενης Πληροφορικης Και Πολυµεσων Fysarakis Konstantinos, PhD kfysarakis@staff.teicrete.gr Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ PRIMES P. Από τα αριστερά προς τα δεξία Saxena, Kayal και Agrawal. Επιµέλεια : Γεωργίου Κωνσταντίνος.
ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ PRIMES P Επιµέλεια : Γεωργίου Κωνσταντίνος Ιούνιος 003 Από τα αριστερά προς τα δεξία Saena, Kayal και Agawal Η ασχολία της ανθρωπότητας µε τους πρώτους αριθµούς Παράδοση
Διαβάστε περισσότεραΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων. Λουκάς Γεωργιάδης
ΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων Λουκάς Γεωργιάδης loukas@cs.uoi.gr www.cs.uoi.gr/~loukas Βασικές έννοιες και εφαρμογές Αλγόριθμος: Μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος Δομή
Διαβάστε περισσότερα2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008
2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Δημήτριος Μπάκας Αθανάσιος
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού
Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών και Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικού Mετσόβιου Πολυτεχνείου
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Σε αυτή την άσκηση καλείστε να αναλύσετε και να υπολογίσετε το
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΠολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Lab 3
ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Lab 3 Η Aσύμμετρη Kρυπτογραφία ή Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού χρησιμοποιεί δύο διαφορετικά κλειδιά για την κρυπτογράφηση και αποκρυπτογράφηση. Eπινοήθηκε στο τέλος της δεκαετίας
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι
Διαβάστε περισσότερα