(Έκδοση: )

Transcript

1 (Έκδοση: 06 04)

2 Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου η έκδοση: (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται αποκλειστικά από το μαθηματικό blog

3 Περιεχόμενα Σελίδες Πρόλογος:.. 3 Η ομάδα εργασιών... 5 Κεφάλαιο ο: Διανύσματα 6 Κεφάλαιο ο: Ευθεία... 3

4 Πρόλογος Στο παρόν αρχείο δίνονται όλες οι ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων που αφορούν στα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Β Λυκείου μαζί με τις λύσεις τους. Η παρουσίαση των λύσεων είναι κατά το δυνατόν αναλυτική έτσι, ώστε το αρχείο να μπορεί να διαβαστεί και να μελετηθεί εύκολα από τους μαθητές. Σε αρκετές περιπτώσεις οι λύσεις συνοδεύονται με αναφορές σε παρόμοιες ασκήσεις του σχολικού βιβλίου ή της τράπεζας θεμάτων καθώς και με κάποια στοιχεία θεωρίας ή ακόμα και μεθοδολογίας. Η εργασία αυτή εκπονήθηκε από μια διαδικτυακή (και όχι μόνο) ομάδα μαθηματικών από διάφορα μέρη της Ελλάδος. Η ομάδα συγκροτήθηκε από τους μαθηματικούς που ανταποκρίθηκαν στο κάλεσμα που απεύθυνε μέσα από το blog ο ακούραστος Μάκης Χατζόπουλος. Εργάστηκε με μεράκι, κάτω από πίεση χρόνου, για να προσφέρει στην εκπαιδευτική κοινότητα, μαθητές και καθηγητές, το συγκεκριμένο υλικό. Επιθυμία όλων μας είναι να συμβάλλουμε, έστω και ελάχιστα, στην βελτίωση της διδασκαλίας των μαθηματικών στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, μέσα από την παροχή υποστηρικτικού υλικού στην ελληνική εκπαιδευτική κοινότητα. Μετά την αρχική συγγραφή των λύσεων έγιναν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και βελτιώσεις για την όσο το δυνατό ποιοτικότερη παρουσίαση. Ζητούμε συγνώμη για τυχόν παραλείψεις, λάθη ή αστοχίες οι οποίες ενδεχομένως θα έχουν διαλάθει της προσοχής μας, κάτι αναπόδραστο στην εκπόνηση μιας εργασίας τέτοιας έκτασης σε τόσο στενά περιθώρια χρόνου. Θα ακολουθήσουν επόμενες εκδόσεις, όπου το υλικό θα βελτιωθεί. Οποιαδήποτε σχόλια, παρατηρήσεις, διορθώσεις και βελτιώσεις των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην ηλεκτρονική διεύθυνση Με εκτίμηση Η ομάδα του lisari

5 lisari team Αντωνόπουλος Νίκος (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου Κατεύθυνση - Άργος) Αυγερινός Βασίλης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου ΔΙΑΤΑΞΗ - Ν. Σμύρνη και Νίκαια) Βελαώρας Γιάννης (Φροντιστήριο ΒΕΛΑΩΡΑΣ - Λιβαδειά Βοιωτίας) Βοσκάκης Σήφης (Φροντιστήριο Ευθύνη - Ρέθυμνο) Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης (Φροντιστήριο Αστρολάβος - Άρτα) Δούδης Δημήτρης (3 ο Λύκειο Αλεξανδρούπολης) Ζαμπέλης Γιάννης (Φροντιστήρια Πουκαμισάς Γλυφάδας) Κακαβάς Βασίλης (Φροντιστήριο Ώθηση - Αργυρούπολη) Κάκανος Γιάννης (Φροντιστήριο Παπαπαναγιώτου Παπαπαύλου - Σέρρες) Κανάβης Χρήστος (Διδακτορικό στο ΕΜΠ ο ΣΔΕ φυλακών Κορυδαλλού) Καρδαμίτσης Σπύρος (Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων) Κοπάδης Θανάσης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίων 9+ - Πολύγωνο) Κουλούρης Αντρέας (3 ο Λύκειο Γαλατσίου) Κουστέρης Χρήστος (Φροντιστήριο Στόχος - Περιστέρι) Μανώλης Ανδρέας (Φροντιστήριο Ρηγάκης - Κοζάνη) Μαρούγκας Χρήστος (3 ο ΓΕΛ Κηφισιάς) Νάννος Μιχάλης ( ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας) Νικολόπουλος Θανάσης (Λύκειο Κατασταρίου, Ζάκυνθος) Παγώνης Θεόδωρος (Φροντιστήριο Φάσμα - Αγρίνιο) Παντούλας Περικλής (Φροντιστήρια Γούλα-Δημολένη - Ιωάννινα) Παπαδομανωλάκη Μαρία (Ιδιοκτήτρια Πρότυπου Κέντρου Μάθησης ΔΙΑΚΡΙΣΙΣ - Ρέθυμνο) Παπαμικρούλης Δημήτρης (Εκπαιδευτικός Οργανισμός Ρόμβος) Πορίχης Λευτέρης (Γυμνάσιο Λιθακιάς Ζάκυνθος) Ράπτης Γιώργος (6 ο ΓΕΛ Βόλου) Σίσκας Χρήστος (Φροντιστήριο Μπαχαράκης - Θεσσαλονίκη) Σκομπρής Νίκος (Συγγραφέας ο Λύκειο Χαλκίδας) Σπλήνης Νίκος (Φροντιστήριο ΟΡΙΖΟΝΤΕΣ - Ηράκλειο Κρήτης) Σπυριδάκης Αντώνης (Γυμνάσιο Βιάννου - Λασίθι) Σταυρόπουλος Παύλος (Ιδιωτικά Εκπαιδευτήρια Δούκα) Σταυρόπουλος Σταύρος (Γραμματέας Ε.Μ.Ε Κορινθίας - Γυμνάσιο Λ.Τ. Λέχαιου Κορινθίας) Τηλέγραφος Κώστας (Φροντιστήριο Θεμέλιο - Αλεξανδρούπολη) Τρύφων Παύλος ( ο Εσπερινό ΕΠΑΛ Περιστερίου) Χαραλάμπους Σταύρος (Μουσικό Σχολείο Λαμίας) Χατζόπουλος Μάκης (Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων) 4

6 Λύτες Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Προσανατολισμού Β τάξης Επιμελητής Νίκος Αντωνόπουλος Σήφης Βοσκάκης Γιάννης Κάκανος Χρήστος Κανάβης Χρήστος Κουστέρης Ανδρέας Μανώλης Θανάσης Νικολόπουλος Μαρία Παπαδομανωλάκη Δημήτρης Παπαμικρούλης Γιώργος Ράπτης Χρήστος Σίσκας Νίκος Σκομπρής Σταύρος Σταυρόπουλος Έλεγχος Κεφάλαιο Γιώργος Ράπτης Χρήστος Σίσκας Νίκος Σπλήνης Κεφάλαιο Νίκος Αντωνόπουλος Ανδρέας Μανώλης Σταύρος Σταυρόπουλος 30 Νοεμβρίου 04 Συντονιστής Γιάννης Ζαμπέλης Εξώφυλλο Μιχάλης Νάννος Πρόλογος Ανδρέας Κουλούρης Μάκης Χατζόπουλος lisari team η καλύτερη ομάδα λόγω teαm_ής!

7 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 6

8 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα ΑΣΚΗΣΗ (8603) B Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε AΔ ΑΒ 5ΑΓ και AΕ 5ΑΒ ΑΓ α) Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ και ΑΓ Μονάδες3 β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και ΒΓ είναι παράλληλα. Μονάδες παρόμοια με Α ομάδα σελ. 7 Μεθοδολογία Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα ΑΒ έχουμε AB OB OA Αν έχουμε να δείξουμε μια διανυσματική ισότητα τότε ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα Θεωρούμε σημείο αναφοράς ένα από τα σημεία της διανυσματικής ισότητας (πχ το Α) Εκφράζουμε όλα τα διανύσματα με αρχή το σημείο Α Κάνουμε πράξεις και καταλήγουμε σε μια σχέση που ισχύει είτε προφανώς είτε από δεδομένα α) Θεωρούμε σημείο αναφοράς το Α, οπότε: ΔΕ ΑΕ AΔ ΔΕ 5ΑΒ ΑΓ ΑΒ 5ΑΓ ΔΕ 5ΑΒ ΑΓ ΑΒ 5ΑΓ ΔΕ 3ΑΒ 3ΑΓ β) Μεθοδολογία Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα α, β τρεις τρόπους Δείχνουμε ότι α λβ, λ με β 0 είναι παράλληλα έχουμε τους παρακάτω (αυτή τη μέθοδο τη χρησιμοποιούμε όταν έχουμε μια διανυσματική ισότητα και δεν ξέρουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων) Αν α λβ, λ 0 τότε α β Αν α λβ, λ 0 τότε α β Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 7

9 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Αν α x, y, β x, y ( x y det α,β xy x y ) x y α x, y β x, y Αν, δείξουμε ότι λα λ λ y α ) x β και α, β det α,β 0 τότε αρκεί να δείξουμε μη κατακόρυφα διανύσματα αρκεί να α x, y είναι (ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος Από τη σχέση () έχουμε, ΔΕ 3ΑΒ 3ΑΓ ΔΕ 3 ΑΒ ΑΓ ΔΕ 3ΓΒ ΔΕ 3ΒΓ ΔΕ / /ΒΓ ΑΣΚΗΣΗ (8604) B Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε, Ζ σημεία τέτοια ώστε: AE AΔ, AΖ AΓ. 5 7 α) Να γράψετε τα διανύσματα EΖ και ΖΒ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ και ΑΔ. Μονάδες 3 β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Β, Ζ και Ε είναι συνευθειακά. Μονάδες α) Θεωρούμε σημείο αναφοράς το Α, οπότε: EΖ ΑΖ AΕ ΕΖ AΓ AΔ 7 5 ΕΖ AΒ ΒΓ AΔ 7 5 ΕΖ AΒ ΒΓ AΔ ΒΓAΔ 0 4 ΕΖ AΒ AΔ AΔ ΕΖ AΒ AΔ 7 35 Επίσης ΖΒ ΑΒ AΖ ΖΒ ΑΒ AΓ 7 παρόμοια με 4 Α ομάδα σελ. 7 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 8

10 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα ΖΒ ΑΒ AΒ ΒΓ 7 ΖΒ AΒ AΒ ΒΓ 7 7 ΒΓAΔ 7 ΖΒ AΒ AΒ AΔ ΖΒ AΒ AΔ 7 7 β) Μεθοδολογία Για να δείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ / /ΑΓ ή ΑΒ / /ΒΓ κ.ο.κ Από σχέση () έχουμε, ΖΒ AΒ AΔ AΒ AΔ AΒ AΔ 5 AΒ AΔ Από την σχέση () έχουμε, 5 ΖΒ ΕΖ ΖΒ / /ΕΖ Όμως το Ζ κοινό σημείο, άρα τα σημεία Β, Ζ, Ε συνευθειακά. ΑΣΚΗΣΗ 3 (0054) B Θεωρούμε τα σημεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ ΡΚ 3ΡΜ α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. Μονάδες 0 β) Για τα παραπάνω σημεία Κ, Λ και Μ να δείξετε ότι ισχύει ΑΛ 3ΒΛ ΜΒ ΑΚ ΑΜ ΒΚ όπου Α και Β είναι σημεία του επιπέδου. Μονάδες 5 παρόμοια με 6 Α ομάδα σελ. 7 α) Έχουμε, 5ΡΛ ΡΚ 3ΡΜ ΡΛ 3ΡΛ ΡΚ 3ΡΜ ΡΛ ΡΚ 3ΡΜ 3ΡΛ 3 ΡΛ ΡΚ 3ΡΜ ΡΛ ΚΛ 3ΛΜ ΚΛ ΛΜ. Άρα ΚΛ / /ΛΜ κι επειδή έχουν κοινό σημείο το Λ θα έχουν τον ίδιο φορέα, επομένως τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. β) Έχουμε, ΑΛ 3ΒΛ ΜΒ ΑΚ ΑΜ ΒΚ Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 9

11 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Με σημείο αναφοράς το Λ, ισοδύναμα, έχουμε: ΛΛ ΛΑ 3ΛΛ ΛΒ ΛΒ ΛΜ ΛΚ ΛΑ ΛΜ ΛΑ ΛΚ ΛΒ ΛΑ 3ΛΒ ΛΒ ΛΜ ΛΚ ΛΑ ΛΜ ΛΑ ΛΚ ΛΒ 3 ΛΚ 3ΛΜ ΚΛ 3ΛΜ ΚΛ ΛΜ που ισχύει από το ερώτημα (α). Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 0

12 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα.4 ΑΣΚΗΣΗ (8605) B Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ i 4 j, ΟB 3i j και ΟΓ 5i 5 j, όπου i και j είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x x και y y αντίστοιχα. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των ΑΒ και ΒΓ. Μονάδες β) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α, Β και Γ μπορεί να είναι κορυφές τριγώνου. Μονάδες 3 α) Μεθοδολογία Αν α x i y j τότε α x, y Αν α x, y και β x, y τότε α β x x, y y Οπότε: i 4 j, 4 5i 5 j 5, 5 Με σημείο αναφοράς το Ο, έχουμε, AB OB OA AB 3,, 4, λα λx,λy, B 3i j 3, AB 3, 4 και BΓ OΓ OΒ BΓ 5, 5 3, BΓ 5 3, 5 και AB, 3 BΓ, 6 β) Για να σχηματίζουν τρία σημεία του επιπέδου τρίγωνο, πρέπει να μην είναι συνευθειακά, όμως, 3 det AB, B ( 6) ( 3) άρα, οπότε τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, επομένως δεν σχηματίζουν τρίγωνο. ΑΣΚΗΣΗ (048) B Δίνονται τα διανύσματα i j, i 5 j και 7, 3. α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα,, είναι μη συγγραμμικά ανά δύο. Μονάδες 0 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4)

13 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα β) Να γραφεί το διάνυσμα ως γραμμικός συνδυασμός των και. Μονάδες 5 Μεθοδολογία Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα α, β δεν είναι παράλληλα αρκεί να δείξουμε ότι det α,β 0 με την προϋπόθεση πως γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των α, β Έχουμε i j, και i 5 j, 5 α) Έχουμε det, det, det, β) Μεθοδολογία Αν θέλουμε να γράψουμε ένα διάνυσμα α ως γραμμικό συνδυασμό δύο διανυσμάτων β και γ τότε πρέπει το α να γραφεί στην παρακάτω μορφή α κβ λγ με κ,λ Το διάνυσμα γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων,, αν και μόνο αν, υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί λ, μ τέτοιοι ώστε:,, Έχουμε, 7,3,, 5 7,3, άρα 4 7 είναι ο γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων, ΑΣΚΗΣΗ 3 (006) B Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α(,), Γ(4, 3) και Δ(, 3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ. Μονάδες 9 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4)

14 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β. Μονάδες 6 Έχουμε, ΑΔ xδ x Α, yδ yα,3 ΒΓ,, αφού ΑΒΓΔ, άρα και παραλληλόγραμμο. Επίσης, ΔΓ xγ x Δ, yγ yδ 4,3 3, 0 ΑΒ,0. άρα και α) Τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ είναι τα μέτρα των διανυσμάτων. Έχουμε λοιπόν: AB ΑΒ 0 4 ΔΓ και AΔ ΑΔ 4 5 ΒΓ β) Επειδή οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου ΒΔ, ΑΓ διχοτομούνται, το Κ είναι μέσον του ΑΓ. xα xγ 4 5 yα yγ 3 4 Οπότε: xκ και yκ. 5 Άρα: Κ,. Το Κ είναι μέσον και της ΒΔ οπότε για τον υπολογισμό της κορυφής Β έχουμε: Άρα: Β3, x y Κ Κ x y Β Β x y Δ Δ 5 xβ 5 xβ xβ 3. yβ 3 4 y Β 3 yβ ΑΣΚΗΣΗ 4 (0055) B Α α,3,β α, 4 α) Να βρείτε τα διανύσματα ΑΒ, ΒΓ. Θεωρούμε τα σημεία και Γ 4,5α 4,α. β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 8 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 3

15 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα γ) Αν α, να βρείτε τον αριθμό λ ώστε ΑΓ λαβ. Μονάδες 0 Μονάδες 7 παρόμοια με εφαρμογή σελ. 38 α) Έχουμε, και ΑΒ α α, 4 3 α α,, ΒΓ 4 α,5α 4 4 α 4,5α β) Για να είναι συνευθειακά τα Α, Β, Γ αρκεί ΑΒ / /ΒΓ, δηλαδή ΑΒ / /ΒΓ det ΑΒ, ΑΓ 0 0 α 4 5α γ) Για α Επομένως, 5α α 4 0 5α α 4 0 5α α 4 4α 4 α έχουμε Α,3, Β, 4, Γ4,9 και ΑΓ 4,9 3 6, 6, ΑΒ, 4 3, ΑΓ λαβ 6, 6 λ, 6, 6 λ, λ 6 λ λ 6 6 λ ΑΣΚΗΣΗ 5 (007) B,4 5,, α) Να γράψετε το συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε 0 Θεωρούμε τα σημεία (Μονάδες ) β) Έστω α =. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. (Μονάδες 3) Μεθοδολογία Αν Αx Α, y Α και Β Β ΑΒ x x, y y Β x, y τότε B Α B Α B Α B Α ΑΒ x x y y παρόμοια με 8 Α ομάδα σελ. 40 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 4

16 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα α) Έχουμε : x x, y y 5 ), 4 B A B A 5, 4 3, 5 και Οπότε, Λύνουμε το τριώνυμο Έχουμε Οπότε Δ β Δ α α , απορρίπτεται αφού α Έτσι καταλήξαμε ότι α =. β) Για α = τα σημεία είναι Α(5, 6) και Β(, - ). Το σημείο Μ ανήκει στον άξονα x x οπότε η τεταγμένη του θα είναι 0 και θα έχει την μορφή Μ(x M,0). Επειδή το τρίγωνο ΜΑΒ είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ θα ισχύει ότι (ΜΑ) = (ΜΒ). Έτσι έχουμε, (MA) x x y y 5 x 6 0 A M A M M 5 5x x x x 36 x 0x 6 M M M M M M (MB) x x y y x 0 άρα B M B M M x x 4 x x 4 x x 5 M M M M M M M M M M M M M M x 0x 6 x x 5 x 0x 6 x x 5 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 5

17 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα x 0x 6 x x 5 x 0x 5 6 x 64 M M M M M M M x 64 6 M x M 3 Έτσι λοιπόν το σημείο είναι το 6 M,0 3 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 6

18 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα.5 ΑΣΚΗΣΗ (8556) Β Δίνονται τα διανύσματα α και β π με α, β = 3 και α =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα α β και κα β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος α β. Μονάδες 8 Μονάδες 0 Μονάδες 7 παρόμοια με 5 και 7 Α ομάδα σελ. 47 Μεθοδολογία Για να βρούμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων που γνωρίζουμε τα μέτρα τους και τη γωνία τους χρησιμοποιούμε τον τύπο α β α β συν α, β Για να βρούμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α x, y β x, y που γνωρίζουμε τις συντεταγμένες τους χρησιμοποιούμε τον τύπο α β xx yy Για να βρούμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων που γνωρίζουμε τα μέτρα τους καθώς και μια σχέση μεταξύ των διανυσμάτων τους, απομονώνουμε στο ένα μέλος τα δυο διανύσματα και υψώνουμε στο τετράγωνο ώστε να «δημιουργήσουμε» το εσωτερικό γινόμενο που ψάχνουμε. και α) Έχουμε, β) π α β α β συν α,β α β συν 3 Μεθοδολογία Αν θέλουμε να δείξουμε ότι δύο διανύσματα α και β είναι κάθετα αρκεί να δείξουμε ότι α β 0 Αφού α β κα β έχουμε, Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 7

19 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα γ) α β κα β 0 κ α α β κα β β 0 κ α κ αβ β 0 κ κ 0 4κ 4 κ 8 0 6κ κ Μεθοδολογία Αν γνωρίζουμε τα μέτρα δύο διανυσμάτων α,β και την γωνία τους α, β μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο οποιουδήποτε διανύσματος της μορφής u λα μβ υπολογίζοντας το u u λα μβ λα λαμβ μβ λ α λαμβ μ β λ α λμ α β μ β. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Στο τέλος πρέπει να θυμόμαστε να παίρνουμε τη ρίζα της ποσότητας που έχουμε υπολογίσει. Έχουμε, α β (α β) 4 α 4α β β 4 α 4α β β άρα α β 4 6 τότε ΑΣΚΗΣΗ (858) Β Έστω τα διανύσματα α και β για τα οποία : α β και α) Να αποδείξετε ότι α β β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α β και α β α,β 60 Μονάδες 0 Μονάδες 5 α) Είναι α α, οπότε β) Έχουμε παρόμοια με 7 Α ομάδα σελ. 47 και θέμα 8556 α β α β συν α,β α β συν60 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 8

20 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Άρα Επίσης Άρα α β α β α β α β α β α β 8 4 α β 4. α β α β α β α β α β α β 8 6 α β 6. ΑΣΚΗΣΗ 3 (0056) Β 5π Έστω α,β δύο διανύσματα με α, β, α,β και u α β. 6 α) Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα α β και α u. Μονάδες 6 β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u. Μονάδες 9 παρόμοια με 7 Α ομάδα σελ. 47 και θέματα 8556, 858 α) Έχουμε, 5π 3 α β α β συν α,β συν 6. 6 και β u β α β β α β 6 β β) Έχουμε, u α β α β α 4α β 4 β άρα, u ΑΣΚΗΣΗ 4 (8598) Β Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ κ 6κ 9, κ 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο ΑΒ ΑΓ και ΑΓ,6, όπου κ β) Να βρείτε τις τιμές του κ, ώστε τα διανύσματα ΑΒ και ΑΓ να είναι κάθετα. γ) Για κ να βρείτε το διάνυσμα ΒΓ Μονάδες 8 Μονάδες 9 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 9

21 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Μονάδες 8 παρόμοια με 3, Α ομάδα σελ. 47 α) Το εσωτερικό γινόμενο ΑΒ ΑΓ ισούται με, ΑΒ ΑΓ κ 6κ 9 κ 3 6 κ 6κ 9 6κ 8 κ 9 β) Έχουμε, ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ 0 κ 9 0 κ 3 κ 3 0 κ 3 0 ή κ 3 0 κ 3 ή κ 3 γ) Για κ έχουμε ΑΒ 4,. Επομένως, ΒΓ ΑΓ ΑB, 6 4, 3,8 ΑΣΚΗΣΗ 5 (0059) Β Δίνονται τα διανύσματα α,3 και β,. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u α β Μονάδες 0 β) Να βρείτε το θετικό αριθμό x για τον οποίον τα διανύσματα u και v x, x είναι κάθετα Μονάδες 5 παρόμοια με 3 Α ομάδα σελ. 47 και θέμα 8598 α) Έχουμε, u α β,3,,3 4, 3, 4 β) Έχουμε u v u v 0 3x 4 x 0 3x 4x 4 0 Η () είναι εξίσωση δευτέρου βαθμού με Δ β 4αγ Οπότε έχει λύσεις : x Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 0

22 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Επειδή x > 0 δεκτή είναι μόνο η x 3 ΑΣΚΗΣΗ 6 (0070) Β Έστω, δυο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν 3 9,, 3 α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων, και το εσωτερικό γινόμενο β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u 3 Μονάδες Μονάδες 3 παρόμοια με 7 Α ομάδα σελ. 47 και θέματα 8556, 858, 0056, 0057 α) Έχουμε τις σχέσεις 3 9 () και (). Προσθέτουμε τις () και () κατά μέλη : Πάμε στην σχέση () και αντικαθιστούμε το. Οπότε έχουμε, 3 β 9 6 β 9 β 9 6 β 3. Για το εσωτερικό γινόμενο έχουμε : π α β α β συν α, β 3συν β) Για να βρούμε το μέτρο ενός διανύσματος θεωρούμε το τετράγωνο του μέτρου. Έτσι έχουμε : u α 3β α 3β α α 3β 3β 4α αβ 9β 4 α αβ 9 β Άρα u 6 ΑΣΚΗΣΗ 7 (8558) Β ΑΒ 4, 6 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι:, ΑΓ, 8 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4).

23 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΑΜ, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 7 β) Να αποδείξετε ότι η γωνία Α είναι οξεία. Μονάδες 0 γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Μονάδες 8 α) Έχουμε, Άρα ΑΜ (ΑΒ ΑΓ), όμως ΑΒ ΑΓ ( 4 6) ( 8) ( 4). ΑΜ ( 4) ( 7) β) Έχουμε, οπότε, ΑΒ ΑΓ 4 ( 6) ( 8) ΑΒ ΑΓ 40 ΑΒ ΑΓ συν Α 40 συν Α 0 ΑΒ ΑΓ άρα συνα 0 δηλαδή Α 90 γ) Έστω Β(x Β, y Β), τότε ΑΒ (xβ 3, yβ ) άρα, xβ 3 4 xβ ΑΒ 4, 6 (x Β 3, yβ ) 4, 6 και και yβ 6 yβ 5 Επομένως, Β(, 5). Επίσης, αν Γ(x Γ, y Γ) τότε ΑΓ (xγ 3, yγ ) άρα xγ 3 xγ 5 ΑΓ, 8 (xγ 3, yγ ), 8 και και yγ 8 yγ 7 ΑΣΚΗΣΗ 8 (0053) Β Δίνονται τα διανύσματα α,β με β α 4 και α β 8. Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4)

24 α) Να υπολογίσετε τη γωνία α,β β) Να αποδείξετε ότι β α 0.. Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα Μονάδες 0 Μονάδες 5 παρόμοια με 4 Β ομάδα σελ. 49 α) Έχουμε, β 4 Άρα και α, επομένως α β 8 8 συν α,β. α β 4 8 α,β 80 ή π rad. β) Από το (α) ερώτημα έχουμε ότι α,β 80 οπότε α β κι αφού β α, β α β α 0 ΑΣΚΗΣΗ 9 (0057) Β π Δίνονται τα διανύσματα α,β με α, β και α,β. Να υπολογίσετε τα 3 εξής: α) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α,β και κατόπιν της παράστασης α α β β) το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων α β και β α Μονάδες 0 Μονάδες 5 α) Είναι οπότε, παρόμοια με 7 Α ομάδα σελ. 47 και θέματα 8556, 858, 0056 α β α β συν α,β α α β α α β 3 β) Σύμφωνα με τη θεωρία, έχουμε : Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 3

25 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα α ββ α συν α β,β α α β β α Έχουμε : α β β α αβ α β 4αβ 3αβ α β 3 9 α β α β α 4αβ 4β α 4αβ 4 β Οπότε, α β 3 β α β α β 4αβ 4α β 4αβ 4 α 4 4 Οπότε, β α 3 Αντικαθιστούμε τα αποτελέσματα που βρήκαμε στη σχέση () και έχουμε : α ββ α συν α β,β α = α β β α ΑΣΚΗΣΗ 0 (0058) Β Δίνονται τα διανύσματα α, 3 α) τη γωνία α,β β) το διάνυσμα u α β α β α και β 3,3. Να υπολογίσετε Μονάδες 0 Μονάδες 5 α) Είναι συν α,β Επειδή είναι 0 α,β π, τότε β) Έχουμε, Επίσης οπότε, παρόμοια με, 6 Α ομάδα σελ. 47 α β α β α,β π 3 α α α β u α β α β α 4 β 3 α 4 3,3, 3 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 4

26 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα 4 3,, 3 4 3, 3 ΑΣΚΗΣΗ (005) Β Δίνονται τα διανύσματα α,β α) Να υπολογίσετε τα α, α β β 7 και α β. με α και β. β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος α β. β) Να βρείτε την προβολή του α β στο διάνυσμα β. α) Έχουμε, Άρα β) Έχουμε, α α α β β 7 α β β 7 β 7 α β α β α α β 4β α 4α β 4 β Άρα γ) Ισχύει ότι β α β 3., Μονάδες 6 Μονάδες 9 Μονάδες 0 παρόμοια με Α ομάδα σελ. 47 β 4 β προβ α β / /β δηλαδή υπάρχει λ τέτοιο ώστε: προβ α β λ β β Όμως 7 α β β β προβ β α β 7 β λβ 7 λβ 7 λ λ 4 Άρα 7 προβ β α β β. 4 ΑΣΚΗΣΗ (0050) Β Δίνονται τα διανύσματα α (,7) και β (, 4). α) Να βρεθεί η προβολή του α πάνω στο β. Μονάδες 0 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 5

27 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να είναι παράλληλη στο β. Μονάδες 5 α) Γνωρίζουμε ότι, προβ α / /β β δηλαδή υπάρχει λ τέτοιο ώστε: προβα λ β λ (, 4) (λ, 4λ) β παρόμοια με Α ομάδα σελ. 48 Όμως: α β β προβ α (,7) (,4) (,4) (λ,4λ) 7 4 λ 4 4λ β λ 6λ 30 0λ λ λ προβ α, 4 3,6 β. Άρα Μεθοδολογία Για να αναλύσουμε ένα διάνυσμα β σε δυο κάθετες συνιστώσες ώστε η μια να είναι παράλληλη σε ένα α ακολουθούμε την εξής διαδικασία. Έστω β και β οι κάθετες συνιστώσες του β, oπότε β β β () Έστω β / /α β λα με λ και β α β α 0 Έχουμε, α β α β β α β α β α β α λ α λ α λ α α β από όπου βρίσκουμε λ επομένως λ = γνωστός αριθμός. α Στη συνέχεια από τον τύπο β λα υπολογίζουμε το β, τέλος από τη σχέση β β β υπολογίζουμε το β β) Έστω α α α με α α και α / /β α προβ α 3,6 β από α) ερώτημα α α α α α, 7 3, 6 3, 7 6, α β ΑΣΚΗΣΗ 3 (0069) Β Δίνονται τα διανύσματα, 3, Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 6

28 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα α) Να βρείτε την προβολή του πάνω στο Μονάδες 0 β) Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη με το Μονάδες 5 παρόμοια με Α ομάδα σελ. 48 και θέμα 0050 α) Επειδή προβα / /β είναι προβα λβ, λ, τότε: β β 3 α β β προβ α β (λβ) λ β β 5 αλλά β, άρα 5 λ λ, οπότε προβα λβ,, β β) Έστω α α α με α α και α / /β, άρα α προβα, β από το α) ερώτημα, τότε α α α (, 3),, , α β α α ΑΣΚΗΣΗ 4 (8606) Δ Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ (4, ) και ΟΒ (, ) όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΟΑ και ΟΒ είναι κάθετα. Μονάδες 4 β) Αν Γ(α,β) είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A και Β τότε: i) να αποδείξετε ότι: AΒ ( 3, 4) και AΓ (α 4,β ) ii) να αποδείξετε ότι: 4α 3β 0 Μονάδες 5 Μονάδες 6 iii) αν επιπλέον τα διανύσματα ΟΓ και ΑΒ είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ Μονάδες 0 α) Έχουμε, ΟΑ ΟΒ 4 ( ) 0, άρα ΟΑ ΟΒ. Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 7

29 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα β) i) Είναι ΟΓ (α,β) και AΒ ΟΒ ΟΑ (, ) (4, ) ( 3, 4) AΓ ΟΓ ΟΑ (α,β) (4, ) (α 4,β ) ii) Τα Α, Β, Γ συνευθειακά αν, και μόνο αν, 3 4 AΒ / /AΓ det(aβ, AΓ) 0 α 4 β 0 3(β ) 4(α 4) 0 3β 6 4α 6 0 4α 3β 0 0 4α 3β 0 () iii) Είναι ΟΓ ΑΒ ΟΓΑΒ 0 3α 4β 0 () Από το σύστημα των (), () έχουμε 30 6 β β 4α 3β 0 α 9β 30 5β α 4β 0 α 6β 0 3α 4β 0 4β 8 α α άρα Γ, 5 5 ΑΣΚΗΣΗ 5 (866) Δ Δίνονται τα διανύσματα, και για τα οποία ισχύουν:,,, 60 και, όπου. α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο. β) Αν ισχύει, τότε: i) να αποδείξετε ότι: Μονάδες 3 Μονάδες 6 ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος Μονάδες 8 iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 3 και είναι κάθετα. Μονάδες 8 παρόμοια με 5, 7 Α ομάδα σελ. 47 και θέματα 8556, 858, 0056, 0057, 0070 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 8

30 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα α) Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και είναι ίσο με:, 60. β) Έχουμε, i). ii) Για είναι άρα 7 άρα 7. iii) Έχουμε, , δηλαδή 3 0 3, Άρα πράγματι τα διανύσματα 3 και είναι κάθετα. ΑΣΚΗΣΗ 6 (868) Δ α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες: u v u v και u v u v β) Δίνονται τα διανύσματα,, για τα οποία ισχύουν: 0 και i) Να αποδείξετε ότι: και Μονάδες 0 Μονάδες 8 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 9

31 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα ii) Να αποδείξετε ότι: Μονάδες 7 α) Έχουμε, u v u v παρόμοια με 5 Α ομάδα, 4 Β ομάδα σελ και θέμα 0053 u v u v u v uv u v u v uv u v u v u v u v u v. u v uv u v Ομοίως: u v u v u v u v u v u v u v u v u v uv u v u v uv u v u v u v u v u v. u v uv u v β) Έστω ότι τότε 3, 4 και 7. Για να δείξουμε ότι, από α ερώτημα αρκεί να δείξουμε ότι. Από τη σχέση 0 ισοδύναμα έχουμε ότι, οπότε ( ) και επειδή 7 είναι 7. Επιπλέον είναι 3 4 7,άρα και από το α ερώτημα έχουμε ότι. Για να δείξουμε ότι, από α ερώτημα αρκεί να δείξουμε ότι. Από τη σχέση 0 ισοδύναμα έχουμε ότι, οπότε ( ) Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 30

32 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Διανύσματα και επειδή 3 είναι 3. Επιπλέον είναι , αφού 0 Άρα και από το α ερώτημα έχουμε. ii) Α τρόπος (Σδράκας Βασίλης από τη Λάρισα) Αρκεί να δείξουμε ότι 7α 3γ 0 Έχουμε, άρα, 7α 3γ 7α 3γ 49α 4α γ 9γ 49 α 4 α γ συν α, γ 9 γ 49 9λ 4 3λ 7λ 9 49λ 0 7α 3γ 0 7α 3γ 0 Β τρόπος: Βρήκαμε ότι ώστε k. και άρα και, οπότε υπάρχει k, με k 0, Όμως k Εδώ διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 3 k 7. Αν 0, τότε προφανώς και η σχέση k που ισχύει. γίνεται ισοδύναμα k 0 0, οπότε το ζητούμενο Αν 0 0, τότε από τη σχέση 3 k 7 7 έπεται ότι 3 k 7 k 3 7 και αφού k 0, άρα k, τότε 3 7 k Άρα σε κάθε περίπτωση ισχύει ότι Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 3

33 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο ο: Ευθεία Παράλληλες;; Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 3

34 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία ΑΣΚΗΣΗ (8575) Β Δίνονται τα σημεία Α, και Β5,6..-. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και B. (Μονάδες 0) β) Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει εξίσωση την y x 7 (Μονάδες 5) Μεθοδολογία : Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθεία που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία δίνεται από τον τύπο λ ΑΒ y x B B y x διεύθυνσης έχει τη μορφή y yo λ ε (x x o). A A. Επίσης μια ευθεία (ε) της οποίας ορίζεται ο συντελεστής 6 α) Θα έχουμε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΒ είναι λαβ, άρα η 5 ευθεία ΑΒ θα έχει εξίσωση ε ΑΒ : y (x ) Μεθοδολογία : Για να βρούμε την μεσοκάθετο ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ;έχουμε 3 τρόπους: xa xb Α τρόπος:, Βρίσκουμε το μέσο Μ ( χρησιμοποιώντας τους τύπους xm και y M y A y B ) και με δεδομένο ότι η ευθεία είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα θα έχουμε το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης τους ισούται με Β τρόπος: Ξέρουμε ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος επομένως απαιτούμε (ΜΑ)=(ΜΒ) β) Α τρόπος 5 6 Το μέσο Μ του τμήματος ΑΒ θα έχει συντεταγμένες: Μ, 3,4. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ είναι,άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της μεσοκάθετης (ε) θα είναι λε, αφού η (ε) είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ. Τότε η μεσοκάθετη ευθεία (ε) του τμήματος ΑΒ θα έχει εξίσωση: ε : y 4 (x 3) y x 7 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 33

35 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Β τρόπος [Έστω Μ(x, y) σημείο της μεσοκαθέτου του ΑΒ τότε ισχύει (ΜΑ) (ΜΒ) (x ) (y ) (x 5) (y 6) x x y 4y 4 x 0x 5 y y 36 8x 8y 56 0 y x 7 ] Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού : Παράγραφος. / Εφαρμογή, Παράγραφος. / Α Ομάδα / Άσκηση 4 Παρόμοιες Ασκήσεις Τράπεζας : 0063 Άσκηση (860) Β Δίνεται η ευθεία (ε) : y x και το σημείο Α(, 4). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην (ε). Μονάδες 0 β) Να βρείτε την προβολή του σημείου Α πάνω στην (ε) Μονάδες 5 α) Ο τύπος της εξίσωσης ευθείας που διέρχεται από δοσμένο σημείο Α(x o, y o ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: y y λ x x o Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας Ax By Γ 0 δίνεται από τον τύπο: Α λ Β Οπότε για την ευθεία (ε) : y x είναι λε λε Αν ονομάσουμε (ε ) την ευθεία που αναζητούμε, τότε είναι: (ε) (ε ) λε λε άρα, ε λ λ ε y y λ (x x ) y ( 4) (x ) y 4 x y x 6 (ε ) o ε o o β) Η προβολή του Α στην ευθεία (ε) είναι το σημείο τομής των (ε), (ε ). Οπότε λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους, έχουμε: Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 34

36 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία άρα y x (x 6) x y x 6 y x B, 7 x x 7 y x y 6 Επομένως η προβολή του Α πάνω στην (ε) είναι το σημείο 7 5 B, Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού : Παράγραφος. / Α Ομάδα / Άσκηση 3 Άσκηση 3 (0066) Β Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(3,), Β(,) και Γ(,4). α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τις εξισώσεις του ύψους ΒΔ και της διαμέσου ΑΜ. (Μονάδες 8) α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΓ είναι 4 3 λ 3 3 Άρα η εξίσωση της ΑΓ είναι: y - = - 3(x - 3) ή y = - 3x + 0. Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 35

37 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία β) Επειδή ΒΔ ΑΓ είναι λβδ λαγ ή 3 λβδ ή λβδ. 3 Άρα η εξίσωση του ύψους ΒΔ είναι: y (x ) ή 3y - 3 = x + ή x 3y + 4 = 0. 3 Οι συντεταγμένες του μέσου Μ της ΒΓ είναι x και y, δηλαδή Μ,. Οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της διαμέσου ΑΜ είναι: λ Άρα η εξίσωση της ΑΜ είναι: 3 y (x 3) ή 5y 5 = - 3x + 9 ή 3x + 5y 4 = 0. 5 Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού : Παράγραφος. / Α Ομάδα / Εφαρμογή, Παράγραφος. / Α Ομάδα / Άσκηση Παρόμοιες Ασκήσεις Τράπεζας: 040 ΑΣΚΗΣΗ 4 (007) Β Θεωρούμε μια ευθεία (ε) και ένα σημείο Α(6, -) εκτός της (ε). Έστω Μ(, ) η προβολή του Α στην (ε). Να βρείτε: α) Την εξίσωση της ευθείας (ε). (Μονάδες 3) β) Το συμμετρικό του Α ως προς την (ε). (Μονάδες ) α) Αρχικά έχουμε, λ y y ( ). x x 6 4 M A ΑΜ M A Εφόσον το Μ είναι η προβολή του Α στην (ε) η ΑΜ θα είναι κάθετη στην (ε) και θα ισχύει ότι AM (ε) λαμ λε λε λε. Η ευθεία (ε) έχει τη μορφή y yo λ ε (x x o ). Όμως λε και το Μ(, ) ανήκει στην (ε), άρα y (x ) y x 4 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 36

38 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Οπότε (ε) : y x 3 β) Έστω Α το συμμετρικό του Α ως προς την (ε). Το σημείο Μ θα είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΑ. Οπότε : xa xa 6 xa xm 4 6 x x και A A y y y ym y y 3 A A A A A Άρα το συμμετρικό του Α ως προς την (ε) είναι το Α ( -, 3) Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού: Παράγραφος. / Εφαρμογή, Παράγραφος. / Β Ομάδας / Άσκηση 6 Παρόμοιες Ασκήσεις Τράπεζας : 860 Άσκηση 5 (0073) Β Δίνονται τα σημεία Α(, 3), Β(-, 5) και Γ(-, -4). α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο. β) Να βρείτε το συμμετρικό Δ του Β ως προς το μέσο Μ της ΑΓ. γ) Τι σχήμα είναι το ΑΒΓΔ; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας. (Μονάδες 8) (Μονάδες 0) (Μονάδες 7) α) Έχουμε, AB xb x A, yb ya,5 3 ( 3, ) και BΓ x x, y y ( ), 4 5 (, 9) (, 9). Γ Β Γ Β Παρατηρούμε ότι : 3 det AB, BΓ 3 ( 9) ( ) Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 37

39 Τράπεζα θεμάτων - Κεφάλαιο ο: Ευθεία Οπότε τα διανύσματα AB και BΓ είναι μη συγγραμμικά, δηλαδή τα Α, Β, Γ είναι μη συνευθειακά, άρα σχηματίζουν κορυφές τριγώνου. β) Το σημείο Μ είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ. Έτσι έχουμε : xa xγ xm 0 ya yγ 3 4 ym Άρα έχουμε το μέσο Μ 0, της ΑΓ. Το σημείο Μ θα είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΔ. Έτσι έχουμε : xβ xδ xδ xm 0 0 x x και Δ y y 5 y ym 5 y y 6 Β Δ Δ Δ Δ Δ Οπότε το συμμετρικό του σημείου Β ως προς το Μ είναι το Δ(, - 6) γ) Παρατηρούμε ότι το σημείο Μ διχοτομεί τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ και ΒΔ, οπότε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Παρόμοιες Ασκήσεις Σχολικού: Παράγραφος. / Εφαρμογή, Παράγραφος. / Α Ομάδας / Άσκηση 6, Παράγραφος. / Β Ομάδας / Άσκηση 6 ΑΣΚΗΣΗ 6 (8584) Β Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε : x y 8 0, ε : x 4y 0 0 και το σημείο Α της ε που έχει τετμημένη το 4. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α Μονάδες 5 β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ε Μονάδες 0 γ) Αν Β είναι το σημείο τομής των ευθειών ε και ε, τότε να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β Μονάδες 0 Η ομάδα του lisari (Έκδοση: 06 4) 38