ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι.

Transcript

1 Σύγχρονο ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο Κατά το πέρας της εξέτασης οι λύσεις θα αναρτηθούν στο και στο site του φροντιστηρίου. 5ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ & ης Μαρτίου 74 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ & Γραβιάς 85 ΚΗΠΟΥΠΟΛΗ & Πρωτεσιλάου 63 ΙΛΙΟΝ & Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Καθηγητές: ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ ΦΑΣΜΑ Τάξη: B ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: 15 Μαρτίου 015 Ονοματεπώνυμο:... Να δώσετε τον ορισμό της παραβολής.. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο του A( x1, y 1) έχει εξίσωση. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). α) Αν για διανύσματα, ισχύει 0 τοτε 0 ή 0. β) Τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αν και μόνο αν det AB, A 0. γ) Η εξίσωση y y x x x x y y παριστάνει όλες τις ευθείες που διέρχονται από το 0 0 A( x, y ). δ) Η συμμετρική ευθεία της Ax By 0 ως προς τον x x έχει εξίσωση Ax By 0. Μονάδες 5 Μονάδες 10 ε) Για δυο κάθετες ευθείες θα ισχύει πάντα 1. 1 Μονάδες 10 Δίνονται τα σημεία Α(-3,), Β(1,-) και Γ(0,1).. Να δείξετε ότι τα ΑΒΓ σχηματίζουν τρίγωνο και να βρείτε το εμβαδόν του. Μονάδες 6. Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ. Μονάδες 7. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΒ του τρίγωνου. Μονάδες 6. Να βρείτε σημεία Δ του x x ώστε το τρίγωνο ΑΔΓ να είναι ορθογώνιο στο Δ. Μονάδες 6

2 Δίνεται η εξίσωση και η ευθεία. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( 1 ) παριστάνει ευθεία για κάθε πραγματικό αριθμό α. Στην συνέχεια να αποδείξετε ότι για τις διαφορετικές τιμές του α οι ευθείες περνούν από σταθερό σημείο. Μονάδες 7 Να βρεθεί η προβολή του Α(3,) στην. Ποιο είναι το σημείο της με την ελάχιστη απόσταση από το Α; Μονάδες 6 Έστω ( ε) η ευθεία που προκύπτουν για α= 0. a. Να δείξετε ότι τα σημεία ανήκουν στον κύκλο και πως η (ε) είναι μια διάμετρος του. Μονάδες 7 b. Να υπολογιστεί το εμβαδόν τετραγώνου που σχηματίζεται από τις ευθείες και το σημείο Α. Μονάδες 5 Δίνεται η εξίσωση (1). Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλους για κάθε και πως όλοι οι κύκλοι της (1) έχουν σταθερή ακτίνα. Μονάδες (4+3=7) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που ορίζονται από την (1). Μονάδες 6 Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι της οικογένειας (1) εφάπτονται σε δυο σταθερές ευθείες τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 7 Αν τα 1, σημεία του κύκλου που προκύπτει από την (1) για λ= 0, έτσι ώστε υπολογίσετε το.. να Μονάδες 5 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

3 Σύγχρονο ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο 5ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ & ης Μαρτίου 74 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ & Γραβιάς 85 ΚΗΠΟΥΠΟΛΗ & Πρωτεσιλάου 63 ΙΛΙΟΝ & ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 15 Μαρτίου 015 ΘΕΜΑ Α A1. Σελίδα 89, σχολικό βιβλίο A. Σελίδα 83, σχολικό βιβλίο A3. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β1. Βρίσκουμε τα διανύσματα ΑΒ = (4, 4), ΑΓ = (3, 1). Για να σχηματίζουν τα Α, Β, Γ τρίγωνο, θα πρέπει detαβ, ΑΓ 0. Πράγματι detαβ, ΑΓ = 4 4 = = Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο: (ΑΒΓ) = 1 detαβ, ΑΓ = 1 8 = 4 τ. μ Β. Για να βρω την ευθεία ΑΒ, θα πρέπει να γνωρίζω τον συντελεστή διεύθυνσης της και ένα σημείο της. Επομένως: λ ΑΒ = y Β y Α x B x A = 1 ( 3) = 4 4 = 1 (ΑΒ) : y y A = λ ΑΒ (x x A ) y = 1(x + 3) y = x 1 Β3. Έστω (ε) η μεσοκάθετος της πλευράς ΑΒ. Αφού (ε ) (ΑΒ), έχουμε λ ΑΒ λ ε = 1 λ ε = 1. Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του μέσου Μ, του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, άρα: x Μ = x Α+x Β = 3+1 = 1, y Μ = y Α+y Β = = 0 M( 1, 0) (ε) : y y Μ = λ ε (x x Μ ) y 0 = 1(x + 1) y = x + 1.

4 Β4. Το σημείο Δ βρίσκεται στον άξονα x x, άρα Δ(x, 0). Βρίσκουμε τα διανύσματα ΑΔ = (x + 3, ), ΔΓ = ( x, 1). ΑΔ ΔΓ ΑΔ ΔΓ = 0 x ΑΔ x ΔΓ + y ΑΔ y ΔΓ = 0 (x + 3)( x) 1 = 0 x + 3x + = 0 x 1 = 1 και x =. Έχουμε τελικά, τα σημεία Δ( 1, 0) και Δ(, 0). ΘΕΜΑ Γ Γ1. Η εξίσωση (1 a)x + (a )y + 5a + 1 = 0 ( 1) παίρνει την μορφή Αx + Βy + Γ = 0, οπου Α = 1 α, Β = α και Γ = 5a + 1. Εξετάζουμε αν υπάρχουν τιμές του α για τις οποίες Α = 0 και Β = 0 ταυτόχρονα. Έχουμε: Α = 0 Β = 0 1 α = 0 α = 0 α = 1 α = 1 που είναι αδύνατο. Επομένως για κάθε πραγματικό αριθμό α, ισχύει η συνθήκη Α 0 ή Β 0 οπότε η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία. Σταθερό σημείο : α τρόπος: Η εξίσωση (1) μετατρέπεται στην μορφή (x y + 1) + a( x + y + 5) = 0 () Για να ισχύει η () για κάθε πραγματικό αριθμό α, θα πρέπει το πρώτο μέλος να είναι το μηδενικό x y + 1 = 0 x = 6 πολυώνυμο, άρα: x + y + 5 = 0 y = 7 Επομένως όλες οι ευθείες της μορφής (1) διέρχονται από το σταθερό σημείο Κ 6, 7. β τρόπος: Για α = 0 στην εξίσωση ( 1) προκύπτει η ευθεία x y + 1 = 0 Για α = 1 στην εξίσωση ( 1) προκύπτει η ευθεία x + 6 = 0 x y + 1 = 0 x = 6 Λύνουμε το σύστημα x + 6 = 0 y = 7 Επομένως οι δυο παραπάνω ευθείες διέρχονται από το σημείο Κ 6, 7. Όμως για x = 6 και y = 7, η (1) γίνεται: (1 a) 6 + (a ) 7 + 5a + 1 = 0 6 1α + 7α 7 + 5α + 1 = 0 0 α = 0 Δηλ το Κ ανήκει στην (1), άρα όλες οι ευθείες της διέρχονται από το σταθερό σημείο Κ 6, 7. Γ. Η ευθεία (ζ) x + y = 0 έχει λ ζ =. Έστω Α η προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία (ζ). Αφού (ζ ) (ΑΑ ), έχουμε λ ΑΑ λ ζ = 1 λ ΑΑ = 1.

5 (ΑΑ ) : y y A = λ ΑΑ (x x A ) y = 1 (x 3) x y + 1 = 0 Για να βρω τις συντεταγμένες του Α, αρκεί να λύσω σύστημα x y + 1 = 0 x = 1 5 x + y = 0 y = 5. Επομένως το ζητούμενο σημείο είναι Α 1 5, 5. Το σημείο της (ζ ) με την ελάχιστη απόσταση από το Α, είναι το Α. Γ3. Η ευθεία που προκύπτει για α= 0 είναι (ε) : x y + 1 = 0. a. Για να ανήκουν τα σημεία Μ πάνω στον κύκλο, θα πρέπει οι συντεταγμένες του, να επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου. Πράγματι: (x 3) + (y ) = 0 ( 5συνθ + 3 3) + ( 5ημθ + ) = 0 ( 5συνθ) + ( 5ημθ) = 0 0ημ θ + 0συν θ = 0 που ισχύει. Ο κύκλος έχει κέντρο το Α( 3, ). Παρατηρώ ότι ανήκει στην ευθεία ε, αφού = 0, επομένως (ε) μια διάμετρος του. b. Παρατηρώ ότι η ευθεία (ε) ταυτίζεται με την (ΑΑ ), επομένως οι ευθείες ( ε) και (ζ ) τέμνονται στο Α. Άρα το ζητούμενο τετράγωνο έχει πλευρά α = (ΑΑ ) = d(a, ζ) = 3+ = 8 = και Ε = α = = 64 5 τ. μ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση x + y + 4λx λy + 5λ 1 = 0 (1). Δ1. Η (1) είναι στην μορφή x + y + Αx + Βy + Γ = 0 με Α = 4λ, Β = λ και Γ = 5λ 1. Α + Β 4Γ = (4λ) + ( λ) 4(5λ 1 ) = 16λ + 4λ 0λ + 4 = 4 > 0 Επομένως παριστάνει κύκλους για κάθε λ R με ακτίνα ρ = Α +Β 4Γ = 4 = = 1 Δ. Οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση (1) έχουν κέντρα Κ Α, Β δηλ Κ( λ, λ). x = λ x = y Έστω Κ(x, y). Έχουμε: y = λ y = λ Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία (ε) x + y = 0. Δ3. Αφού η εφαπτομένη και η ακτίνα είναι κάθετες μεταξύ τους, για να υπάρχουν δυο ευθείες που θα εφάπτονται σε όλους τους κύκλους, θα πρέπει αυτές οι εφαπτόμενες να είναι παράλληλες μεταξύ τους και παράλληλες με την ευθεία ε. Έστω ε 1 και ε οι ζητούμενες ευθείες. Αφού d(ε, ε 1 ) = d(ε, ε ) = ρ έπεται ότι η ευθεία ε είναι η μεσοπαράλληλη των ε 1 και ε.

6 Έστω Α(x ο, y ο ) σημείο της εφαπτομένης, οπότε έχουμε: d(α, ε ) = ρ, δηλαδή: d(α, ε ) = 1 x ο + y ο 1 + = 1 x ο + y ο = 5 x ο + y ο = 5 ή x ο + y ο = 5 Τελικά, οι ζητούμενες ευθείες είναι: (ε 1 ) x + y + 5 = 0 και (ε ) x + y 5 = 0 Δ4. Για λ = 0 ο κύκλος που προκύπτει είναι x + y = 1, δηλ κυκλος με κεντρο το Ο(0, 0)και ρ = 1. Αφου (Μ 1 Μ ) < ρ = αρα Μ 1 Μ χορδή του κύκλου. Το τρίγωνο Μ 1 ΟΜ είναι ισοσκελές (Μ 1 Ο = ΟΜ = ρ), επομένως ΟΓ διάμεσος και ύψος. (ΟΓ) = (Μ 1 Ο) (ΜΓ) = 1 3 = = 1 4 (ΟΓ) = 1 Άρα ΟΜ 1 + ΟΜ = ΟΓ = ΟΓ = 1 = 1.