Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Transcript

1 ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης το λ είναι η (ε): y-y0=λ(x-x0) H ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων έχει εξίσωση y=λx H ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(x 0,y 0 ) και είναι παράλληλη στον άξονα των x έχει εξίσωση y= y0 H ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(x 0,y 0 ) και είναι παράλληλη στον άξονα των y έχει εξίσωση x= x0 O συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι ο συντελεστής του x όταν η εξίσωσή της είναι λυμένη ως προς y Δηλαδή 3y-6x+9=0 γίνεται 3y=6x-9 ή y=x-3 Άρα λ= // Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα των x, τότε λ=εφω 1

2 Αν Α(x 1,y 1 ) και Β(x,y ) είναι δυο σημεία μιας ευθείας (ε) τότε ο συντελεστής διεύθυνσής της είναι y y1 με x x1 x x 1 Η απόσταση ενός σημείου Α(x0,y0) από την ευθεία (ε): Ax+By+Γ=0 δίνεται από τον τύπο x0 By0 d( A, ) Η απόσταση δυο ευθειών(παράλληλων), με εξισώσεις (ε 1 ): y=λx+ β 1 (ε ): y=λx+β Δίνεται από τον τύπο 1 d( 1, ) 1 Αν η άσκηση μας ζητά να βρούμε τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α(x 0,y 0 ) τότε λέμε ότι όλες οι ευθείες που διέρχονται από το Α είναι η Κατακόρυφη x=xo και η y-y0=λ(x-x0) Αν η άσκηση μας ζητά να βρούμε τις ευθείες που έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ τότε λέμε ότι έχουν εξίσωση y=λχ+β Το εμβαδόν τριγώνου με κορυφές Α(x 1,y 1 ), Β(x,y ),Γ(x 3,y 3 ) δίνεται από τον τύπο 1 det( AB, A ) Για να υπολογίσουμε τη γωνία δυο ευθειών αρκεί να βρω ένα διάνυσμα που έχει τη διεύθυνση της μιας ευθείας και ένα άλλο που θα έχει τη διεύθυνση της άλλης ευθείας και να υπολογίσω τη γωνία την δυο διανυσμάτων. Το διάνυσμα με συντεταγμένες (Β,-Α) είναι παράλληλο με την ευθεία Αx+By+Γ=0

3 Ασκήσεις για λύση ΕΞ/1 Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που είναι παράλληλη στην ευθεία (x-3)+4(y-1)=10x-5y ΕΞ/ Να βρεθεί το κ ώστε οι ευθείες ε 1 : 4(κ-)x-y+5=0, ε : κx-y+001=0 να είναι κάθετες ΕΞ/3 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(3,-) και είναι κάθετη στην ευθεία y=3x-1 ΕΞ/4 Nα βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ευθεία x-4y+4=0 και διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών ε 1 : x-y+1=0, ε : -3x-y+5=0 ΕΞ/5 Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε και η γωνία φ που σχηματίζεται με τον άξονα των x όταν : α) διέρχεται από τα σημεία Α(,-1) και Β(,-5) β) διέρχεται από τα σημεία Α(5,-6) και Β(,-9) γ) διέρχεται από τα σημεία Α(4,-1) και Β(,-1) δ) είναι παράλληλη στο διάνυσμα a ( 1,4) ΕΞ/6 3 1 Na βρείτε το λ R ωστε οι ευθείες ε 1: y x 1 και ε : y x 4 3 είναι παράλληλες ΕΞ/7 Δίνεται η ευθεία ε: x-y+1=0 και το σημείο Α(3,). Να βρείτε το συμμετρικό του Α με άξονα συμμετρίας την ευθεία ε 3

4 ΕΞ/8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(-3,), Β(1,6) Γ (3,-1). Να βρείτε τις εξισώσεις των υψών, των διαμέσων και των μεσοκαθέτων του καθώς και τις εξισώσεις των πλευρών του ΕΞ/9 Βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος ΑΒ με Α(1,4) και Β(-1,3) ΕΞ/10 Δίνεται η εξίσωση (λ+1)x-(λ-)y+4=0 (1) λ πραγματικός αριθμός Α) Να δειχθεί ότι η (1) παριστάνει ευθεία Β) Να βρεθεί ένα διάνυσμα παράλληλο με την ευθεία Γ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(-1,4) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα του ερωτήματος Β) ΕΞ/11 Δίνονται οι ευθείες ε 1 : (μ+1)x+ (μ+)y=0 και ε : μx -(3μ+)y+7=0.Nα βρείτε το μ ώστε η γωνία των δυο ευθειών να είναι ορθή. ΕΞ/1 Δίνεται η ευθεία ε: y=x+1 και το σημείο Α(,-1) Α) Να βρείτε το ίχνος της καθέτου από το Α στην ε Β) Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α ως προς την ε ΕΞ/13 Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με Α(1,-) και οι εξισώσεις των δυο πλευρών του είναι : y=x+1 και y=-x-3. Να βρείτε την κορυφή γ και τις εξισώσεις των άλλων πλευρών του ΕΞ/14 Δίνονται οι ευθείες ε 1 : y=3x και ε : y=3x-1 και το σημείο Ρ(1,0). Να βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο Ρ και τέμνει τις ευθείες ε 1, ε στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, ώστε (ΑΒ)=1 ΕΞ/15 Δίνεται η ευθεία ε: y=x-λ και το σημείο της Α(1,1).Να βρείτε Α) τα σημεία τομής της ευθείας ε με τους άξονες Β) την ευθεία δ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία ε Γ) το σημείο τομής των ευθειών ε και δ 4

5 Δ) το συμμετρικό του Α ως προς την δ ΕΞ/16 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(λ-1, λ-3) ΕΞ/17 Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ(1+ημ θ, -3συν θ) θ ανήκει στο R, κινείται πάνω σε σταθερή ευθεία ΕΞ/18 Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η ευθεία (λ-1)x+(λ -3)y+λ 3 +1=0 με λ ανήκει στο R A)να είναι παράλληλη στον άξονα των x B) να είναι παράλληλη στον άξονα των y Γ) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων ΕΞ/19 Έστω οι ευθείες ε 1 : (λ-1)x+λy=λ και λx+(λ+1)y=λ Α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε 1, ε τέμνονται για κάθε λ Β) Να βρείτε το σημείο τομής τους ΕΞ/0 Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών ε 1 : x-7y+=0 και ε : 3x+4y-1=0 ΕΞ/1 Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες : ( α + α +1)x (α α + 1)y ( α + α)=0 α R διέρχονται από το ίδιο σημείο. ΕΞ/ Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από το σημείο Α(-, 1) και σχηματίζει με την ευθεία ε: x +y 6 =0 γωνία ω= 4. ΕΞ/3 Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του μ (μ +)x + (μ- 3)y + (3μ 8μ + 5)= 0 R η εξίσωση: 5

6 παριστάνει ευθεία γραμμή. Πότε η ευθεία αυτή είναι παράλληλη προς τον άξονα xx ', πότε είναι παράλληλη προς τον άξονα yy ' και πότε διέρχεται από την αρχή των αξόνων; ΕΞ/4 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία Α(ημω, συνω) και Β(ημφ, συνφ). Να βρεθεί η απόσταση του Ο(0,0) από αυτή ( 0 ω φ < ). ΕΞ/5 Δίνονται τα σημεία Α(4,), Β(3,-1) και η ευθεία ε: y= -3x. Να βρεθεί σημείο Γ της ευθείας ε, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με κορυφή το Β. ΕΞ/6 Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το Α(,5/) και έχει συντελεστή διεύθυνσης διπλάσιο από την τετμημένη του σημείου τομής της με τον άξονα των x ΕΞ/7 Δίνεται το σημείο Μ(λ-3,λ+1) με λ πραγματικό αριθμό. Α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του Μ Β. Το σημείο Α(1,) ανήκει στον προηγούμενο γεωμετρικό τόπο; Γ. Να βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο ΕΞ/8 Δίνεται η ευθεία x-3y+6=0.βρείτε τη συμμετρική της ευθεία ως προς τον άξονα των x,ως προς τον άξονα των y και ως προς το Ο(0,0) ΕΞ/9 Δίνεται η εξίσωση (x+y-5)+λ(x+y-7)=0, λ πραγματικός Α. Δείξτε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε λ Β. Δείξτε ότι η ευθεία με την παραπάνω εξίσωση διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε λ πραγματικό ΕΞ/30 Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαραλλήλου των ευθειών x-y+1=0 και x-4y+3=0 6

7 ΕΞ/31 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(0,4), Γ(9,1) και εσωτερική διχοτόμο ΒΔ την ευθεία με εξίσωση y=x. A. Bρείτε την εξίσωση της πλευράς ΒΓ B. Βρείτε το Β ΕΞ/3 Δίνεται η ευθεία με εξίσωση : y=x+1. Να βρείτε το σημείο Μ της παραπάνω ευθείας που είναι το πλησιέστερο στην αρχή Ο(0,0). ΕΞ/33 Να βρείτε το σημείο του άξονα xx ' που ισαπέχει από την αρχή των αξόνων και την ευθεία ε: 3x 4y 4 =0. ΕΞ/34 Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, του οποίου οι τρεις κορυφές είναι τα σημεία Α(-, 3), Β(4, -5) και Γ( -3, 1). ΕΞ/35 Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες προς την eυθεία ε: y= - 1 x + 1 και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδό Ε= 9. ΕΞ/36 παριστάνει ευθεία, η οποία διέρχεται από σταθερό σημείο Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση x y 1 0, θ 0, ΕΞ/37 Δίνονται οι ευθείες ε 1: (μ +1)x + (μ+)y =0 και ε : μx (3μ +)y +7 =0. Να βρείτε το μ, ώστε η γωνία των ε 1 και ε να είναι 90. ΕΞ/38 Δίνονται οι ευθείες ε 1 : (λ-1)x+λy=3λ και ε : λx+(λ+1)y=3λ+1 Α. Να δείξετε ότι οι ε 1 και ε τέμνονται για κάθε λ πραγματικό αριθμό 7

8 Β. Να βρείτε ότι το σημείο τομής Μ των παραπάνω ευθειών βρίσκεται σε μια ευθεία (η) Γ. Αν Α(-1,) να βρείτε σημείο Β της ευθείας (η) που να απέχει από την ευθεία ΟΑ απόσταση ίση με 5 ΕΞ/39 Δίνονται οι ευθείες ε 1 : y=x+3 και ε : x-y=5 Α.Nα δείξετε ότι οι ευθείες ε 1 και ε είναι παράλληλες Β. Να βρείτε την απόσταση των ε 1 και ε Γ. Να βρείτε τη μεσοπαράλληλη των ε 1 και ε Δ. να βρείτε τη διχοτόμο της οξείας γωνίας που σχηματίζει η ευθεία ε 1 με τον άξονα των y ΕΞ/40 Δίνεται η ευθεία ε: y=3x+ και το σημείο Α(-1,1) Α. να βρείτε την απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε Β. να βρείτε την ελάχιστη απόσταση του σημείου Ο (0,0)από τα σημεία της ε, καθώς και το πλησιέστερο σημείο Β της ευθείας ε προς το Ο Γ. Να βρείτε σημείο Γ της ευθείας ε, ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΓ να είναι 3 Δ. Να βρείτε σημείο Μ της ευθείας ε, που να ισαπέχει από το Α και από την ευθεία της διχοτόμου της γωνίας x Oy ΕΞ/41 Έστω η ευθεία ε: ( ) x a y 0, η οποία είναι κάθετη στο (, 1) ) να βρείτε την ελάχιστη τιμή του ) Αν και Α,Β τα σημεία τομής της ε με τους άξονες, να βρείτε: (ι). το γεωμετρικό των σημείων Μ που είναι μέσα του ΑΒ (ιι) το γεωμετρικό τόπο των σημείων Ν που ικανοποιούν τη σχέση = 8

9 ΕΞ/4 Έστω η ευθεία ε : x y 0 (1) ί κάθετη στην ευθεία η: x+y+3=0 και. να δείξετε οτι 0. να βρείτε την ελαχιστη απόσταση των σημείων της ευθείας (η) από το Ο(0,0). να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλύεται από τις ευθείες (ε),(η) και τον άξονα των x ΕΞ/43 ί η ευθεία (ε): x y 4 a. Αν το εμβαδόν που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα των x είναι 8 τ.μ, να αποδείξετε οτι / / ΕΞ/44 Δίνεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Από τις κορυφές του φέρνουμε ευθείες ε 1, ε,ε 3 παράλληλες μεταξύ τους. Αν d(ε 1, ε )=d 1, d(ε 1, ε 3 )=d, d(ε 3, ε )=d 3 να αποδείξετε ότι : d 1 + d + d 1 3= 3 9