Μαθηματικά και ανθρώπινες κοινωνίες ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Μαθηματικά και ανθρώπινες κοινωνίες ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΘΕΜΑ : ΠΟΙΑ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ;

ΜΕΛΗ : ΧΑΡΑ ΚΑΤΟΥΦΑ ΑΘΗΝΑ ΦΛΑΜΙΑΤΟΥ ΕΛΕΝΗ ΘΕΟΔΩΡΟΠΟΥΛΟΥ ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΓΡΗΣ ΚΟΥΡΟΣ ΝΤΑΝΕΣΙ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΓΕΩΡΓΙΟΣ Κ. ΝΤΟΝΤΟΣ (ΠΕ03) ΧΡΟΝΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012-ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2013 ΤΟΠΟΣ: 9 Ο ΓΕΛ ΠΑΤΡΩΝ ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ : ΜΟΥΣΕΙΟ ΚΑΤΑΚΟΛΟΥ (MUSEUM) & κ. ΝΤΟΝΤΟΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ

ΣΚΟΠΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ : Να ερευνήσουμε κατά πόσο και με ποιον τρόπο ο Αρχιμήδης συνέβαλλε στον τομέα των Μαθηματικών (θεωρήματα, εφευρέσεις, κλπ). ΜΕΘΟΔΟΙ : Διαδίκτυο, βιβλιογραφία, επίσκεψη σε Μουσείο. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ : Ο Αρχιμήδης έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην διαμόρφωση και στην ανάπτυξη των Μαθηματικών μέσω εφευρέσεων, πειραμάτων και θεωρημάτων. ΠΡΟΛΟΓΟΣ ( προβληματισμοί, ερωτήματα) :

Ποια η συμβολή του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ; Βιογραφία Γιατί ο Αρχιμήδης ήταν τόσο σημαντικός για την εποχή του και για τα μεταγενέστερα χρόνια ; Ποια η εξέλιξη της τεχνολογίας χάριν στον Αρχιμήδη ; ΕΙΣΑΓΩΓΗ :

Ο Αρχιμήδης είναι μια σπουδαία φιγούρα του ελληνισμού, αλλά και ολόκληρου του κόσμου, καθώς προσέφερε πολλά στον κλάδο των Μαθηματικών και όχι μόνο. Έχει χαρακτηριστεί από πολλούς ως μαέστρος των εφαρμογών των Μαθηματικών καθώς είναι ένας από τους σπουδαιότερους επιστήμονες και κανείς δεν τον έχει ξεπεράσει μέχρι σήμερα. Ασχολήθηκε όχι μόνο με τα Μαθηματικά, αλλά και με διάφορες εφευρέσεις, όπως το Οστομάχιον (επιτραπέζιο παιχνίδι το πρώτο παζλ), το τηλεβόλον Αρχιμήδους, το "Ωρολόγιο υδραυλικό" κλπ. Είναι γνωστό πως κάθε τι που ανακάλυπτε το υλοποιούσε και έτσι μπορούμε σήμερα να μελετάμε ομοιώματα των εφευρέσεων του, καθώς και διάφορα θεωρήματα του που αφορούν τα Μαθηματικά.. ΚΥΡΙΩΣ ΜΕΡΟΣ : ΣΤΟΧΟΙ: Να μελετήσουμε τη ζωή του. Να ασχοληθούμε με το έργο του και τις εφευρέσεις του. Να αναζητήσουμε τα έργα του Αρχιμήδη που δεν έχουν διασωθεί. Να εμβαθύνουμε σε ότι αφορά το Παλίμψηστο και την ιστορία μετάδοσης των κειμένων του. ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ: Για την επίτευξη των παραπάνω στόχων χρησιμοποιήθηκαν οι εξής μέθοδοι και τεχνικές(ερευνητικά εργαλεία): αναζητήσαμε στο διαδίκτυο πληροφορίες σχετικά με το βίο, τα έργα και τα κείμενα του Αρχιμήδη, ανατρέξαμε σε εγκυκλοπαίδειες και βιβλία που σχετίζονταν με την δράση του. Επιπρόσθετα, επισκεφθήκαμε το μουσείο Αρχαίας Ελληνικής Τεχνολογίας του Κατακόλου από το οποίο ανακτήσαμε σημαντικές γνώσεις για τις εφευρέσεις του. ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ: Αρχικά, αναρωτηθήκαμε κατά πόσο ο Αρχιμήδης ενεπλάκη στην επιστήμη των Μαθηματικών και με ποιο τρόπο συνέβαλλε στην εξέλιξη και στην ανάπτυξη της

κοινωνίας. Έπειτα, αναζητήσαμε πληροφορίες σχετικά με τη ζωή του και διερωτηθήκαμε για ποιο λόγο ο Αρχιμήδης έπαιξε καθοριστικό ρόλο στα χρόνια που έζησε αλλά και αυτά που ακολούθησε. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ: ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Ο ΒΙΟΣ ΤΟΥ Δεν υπαρχει συγκεκριμενη χρονολογια για την ημερομηνια γέννησης του μεγάλου Έλληνα μαθηματικού και γι'αυτο περνούμε πληροφορίες από την ημερομηνια θανάτου του, η ποια χρονολογείται περίπου στο 212πχ, τότε που ο Αρχιμήδης ήταν 75 χρονών. Η αιτία θανάτου του ήταν ο φόνος από κάποιον ρωμαίο στρατιώτη κατά τη διάρκεια της άλωσης της πόλεως στην οποία γεννήθηκε και κατοικούσε. Λόγο αυτού του περιστατικού καταλήγουμε στο συμπερασμα οτι γεννήθηκε περίπου το 287πχ. βάσει της πραγματείας του Πλούτωνα παίρνουμε πληροφορίες οτι ο Αρχιμήδης ήταν συγγενής του βασιλιά των Συρακουσών Ιέρωνος. ΚΟΙΝΩΝΙΚΟΣ ΠΕΡΙΓΥΡΟΣ Ο Αρχιμήδης παρέμεινε κάποια χρόνια στην Αλεξάνδρεια, όπου δημιούργησε φιλίες με σπουδαίους μαθηματικούς όπως ο Κώνων ο Σάμιος,ο Ερατοσθένης,ο κυρηναίος και ο Δοσίσθεος. Πατέρας του Αρχιμήδη ήταν ο αστρονόμος Φειδίας και είχε υπολογίσει το πηλίκο των διαμέτρων του ήλιου και της σελήνης. Κάποιος άραβας έχει αποκαλέσει τον Αρχιμήδη γιο του Πυθαγόρα κάτι που δεν ισχύει, λόγο του οτι οι άραβες συνήθιζαν να χρησιμοποιούν την φαντασία τους όταν έγραφαν για τις ζωές των ελλήνων προκατόχων τους. Κάτι άλλο που θεωρούμε επίσης λανθασμένο, είναι οτι ο Αρχιμήδης ήταν μαθητής του Πλάτωνα λόγο του οτι ο Πλάτωνας πέθανε 60 χρόνια πριν από την γέννηση του Αρχιμήδη. Βέβαιο είναι ότι το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του το έζησε στις Συρακούσες, ενώ σύμφωνα με τους άραβες συγγραφείς ένα μεγάλο διάστημα το πέρασε στην Αίγυπτο και αφότου επέστρεψε επισκέφτηκε και άλλες χώρες μέσα στις οποίες συγκαταλέγεται και η Ισπανία. Εκεί, σύμφωνα με τον Leonardo da Vinci,ο Αρχιμήδης βοήθησε τον βασιλιά Ecliderides του Cilodastri,σε έναν θαλάσσιο πόλεμο εναντίων των Άγγλων με την ανακάλυψη μιας συσκευής για αναβλύζουσα καμένη πίσσα στα καράβια των αντιπάλων. Όμως αυτή του την επίσκεψη στην Ισπανία επιβεβαιώνει κατά κάποιον τρόπο και ο Διόδωρος, αφού ανέφερε ότι το χρυσό μέταλλο που χρησιμοποίησε ο Αρχιμήδης στην κατασκευή του κοχλία ήταν ισπανικής προελεύσεως. Η ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Ο Αρχιμήδης ήταν κατά κύριο λόγο μοναχικός τύπος. Τα νεανικά του χρόνια τα πέρασε σπουδάζοντας για ένα διάστημα στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, όπου δημιούργησε φιλία με τον Κόνωνα, ένα ταλαντούχο μαθηματικό τον οποίο εκτιμούσε

και ως άνθρωπο και ως διανοητή, καθώς επίσης και με τον Ερατοσθένη, έναν ακόμη καλό μαθηματικό. Ο Αρχιμήδης συνήθιζε να στέλνει τα κείμενά του, κάποιες φορές με αποδείξεις και κάποιες άλλες όχι, στους συναδέλφους του στην Αλεξάνδρεια και ιδίως στον Ερατοσθένη και στον Κόνωνα(στον οποίον όπως αναφέρεται μιλούσε πάντα με μεγάλο θαυμασμό), καθώς και σε έναν μαθητή του το Δοσίθεο περιμένοντας την γνώμη τους. Τα κείμενα αυτά συνοδεύονταν και από εισαγωγικές επιστολές οι οποίες συνήθως περιείχαν μια περίληψη των προτάσεων που κάθε φορά αποδείκνυε. Μερικές φορές μάλιστα οι εισαγωγικές αυτές επιστολές αποτελούνταν και από προτάσεις προηγούμενων επιστολών. Αρχικά, έστελνε στους φίλους του τους μαθηματικούς μονάχα τις προτάσεις του με σκοπό να τις σχολιάσουν. Τους παρότρυνε να βρουν μόνοι τους τις αποδείξεις, γιατί όπως υποστήριζε αυτό έπρεπε να το κάνουν για τον εαυτό τους. Όπως αναφέρει ο ίδιος ο Αρχιμήδης στην πραγματεία του { Περί ελίκων} ήθελε να δώσει την ευχαρίστηση στους υπόλοιπους μαθηματικούς να τις ανακαλύψουν οι ίδιοι. Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα, ο ίδιος έστελνε την ολοκληρωμένη και σωστή απόδειξη. Μάλιστα, μερικές φορές χρειάστηκε να περάσουν χρόνια προτού ο Αρχιμήδης, υπό την πίεση των φίλων του, δημοσιεύσει πλήρες αποδείξεις των προτάσεων του. Χάρη σε αυτή τη διαδικασία που ακολουθούσε είμαστε σε θέση να συμπεράνουμε λεπτομέρειες σχετικές με τη σειρά την οποία ο Αρχιμήδης έκανε τις ανακαλύψεις του και επιπλέον πληροφορίες σχετικές με τη δημοσιοποίηση τους. Τέλος, τη φήμη που απέκτησε ο Αρχιμήδης δεν την οφείλει μονάχα στις επιστολές αυτές που συνήθιζε να στέλνει. Το έργο του πάνω στην αστρονομία είχε διαδοθεί και είχε προκαλέσει μεγάλο θαυμασμό. Σύμφωνα με την εισαγωγή της πραγματείας του, πέρασαν αρκετά χρόνια πριν από την πρώτη έκδοση των προτάσεων και των προβλημάτων που περιείχε το έργο {Περί σφαίρας και κυλίνδρου} μέχρι την επικοινωνία του Αρχιμήδη για δεύτερη φορά με τους μαθηματικούς στην Αλεξάνδρεια. Μάλιστα με μια επιστολή του ο Αρχιμήδης δήλωσε οτι δύο από τις προτάσεις του ήταν λανθασμένες και ο λόγος που τον οδήγησε στο να κάνει αυτή την κίνηση ήταν γιατί ήθελε να παραπλανήσει τους μαθηματικούς τους οποίους συνήθιζαν να του κλέβουν τις εφευρέσεις. Ο Αρχιμήδης είχε αφιερώσει κάποια απο τα εργα του όπως το {Έφοδος} στον φιλο του Ερατοσθένη, και κάποια άλλα όπως το {Περί ελίκων} στο Δοσίθεο. τέλος το έργο {Ψαμμίτης} ειχε αφιερωθεί στον Γέλωνα. Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΩΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΟΣ Τα μονα εργα που εχουν σωθεί ειναι η πραγματεία {Περί μεγεθών και αποστημάτων ηλίου και σελήνης}, στην οποία υπάρχουν οι εξής προτάσεις : η απόσταση της γης απο τον ήλιο ειναι μεγαλύτερη απο το 18-πλάσιο και μικρότερη απο το 20-πλάσιο της απόστασης γης-σελήνης. Οι διάμετροι του ήλιου και της σελήνης εχουν τον αυτό λόγο όπως οι αποστάσεις τους. Ο λόγος της διαμέτρου του ήλιου προς τη διάμετρο της γης είναι μεγαλύτερος απο 19/3 και μικρότερος απο 43/6. Το μεγαλύτερο επίτευγμα του Αρχιμήδη ως αστρονομος ήταν η κατασκευή ενός πλανηταρίου. ΜΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Όταν ο βασιλιάς Ιέρωνας, αφότου πέτυχε να γίνει βασιλιάς των Συρακουσών, θέλησε

να αφιερώσει στους αθάνατους θεούς σε ένα ναό ένα χρυσο στεφάνι.το παράγγειλε έναντι αμοιβής σε χρυσοχόο και όταν αυτό ετοιμάστηκε ζύγιζε όσο έπρεπε.το έργο αυτό που παραδόθηκε μέσα στη χρονικη προθεσμια απο τον τεχνίτη, δέχτηκε την λήρη επιδοκιμασία του βασιλιά και επιπλέον είχε το προκαθορισμένο βάρος.αργότερα διατυπώθηκε η κατηγορια οτι αφαιρεθηκε μέρος του χρυσού και στη θέση του τοποθετήθηκε στο στεφάνι ανάλογο μέρος αργύρου.ο Ιέρωνας αγανάκτησε διότι εξαπατήθηκε.επιδή λοιπόν ήταν προβληματισμένος για το πώς θα αποδείκνυε την απάτη, έδωσε εντολη στον Αρχιμήδη να ερευνήσει την υπόθεση.καθώς ο τελευταίος προσπαθούσε να εκπληρωσει την εντολή του βασιλιά εισήλθε στο Βαλάνειο για να κάνει μπάνιο και όταν μπήκε μέσα στην μπανιέρα του ήρθε στο νου ότι όσο νερό χυνόταν έξω από την μπανιέρα τόσο ήταν το βάρος του βυθιζόμενου σώματος. Στη συνέχεια απο τη σκέψη για την αιτία αυτού του φαινομένου φώναξε Εύρηκα Εύρηκα.Αυτη ειναι και η αρχή της υδροστατικής. Ο ΘΑΝΑΤΟΣ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Υπάρχουν πολλές εκδοχές για τον θάνατο του μέγα μαθηματικού Αρχιμήδη.Η ποιό διαδεδομένη εξ'αυτών είναι η εξής: Όταν η πόλη των Συρακουσών κατελήφθει από τον Μαρκελλο με προδοσία φονεύθηκε απο κάποιον Ρωμαίο κατά τη διάρκεια της γιορτής της Αρτέμιδος.Ο τρόπος του θανάτου του ήταν ο εξής: Ο Αρχιμήδης βρησκόταν σκυμμένος μελετώντας κάποιο γεωμετρικό διάγραμμα και μη γνωρίζοντας ποιος τον τραβά φώναξε {Ω άνθρωπε! μην αγγιζεις το διάγραμμα μου!}. Το έργο του Το έργο του Αρχιμήδη υπήρξε μεγαλιώδες, τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά, και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς: γεωμετρία, οπτική, υδραυλική, μηχανική, αρχιτεκτονική και την πολιορκητική. Το όνομα του έχει συνδεθεί με τη γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα,την λύση σπουδαίων μαθηματικών προβλημάτων, καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του, τις Συρακούσες. Επιπρόσθετα, επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη, αλλά και τους Άραβες επιστήμονες που μετέφρασαν όλα του τα έργα στα αραβικά (όπου διασώθηκαν αρκετά,αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί). Ο Αρχιμήδης έγραψε τα πρώτα βιβλία για την επίπεδη γεωμετρία και στερεομετρία, την αριθμητική και τα μαθηματικά. Επίσης ανακάλυψε αρχή του ειδικού βάρους και του μοχλού. Στη Γεωμετρία, το έργο του Αρχιμήδη αποτελείται κατά κύριο λόγο από πρωτότυπες μελέτες σχετικά με τον τετραγωνισμό των καμπυλόγραμμων επίπεδων σχημάτων, καθώς και με τον τετραγωνισμό και τον κυβισμό καμπύλων επιφανειών. Μία μέρα ο βασιλιάς παρήγγειλε στο μεγαλύτερο καλλιτέχνη των Συρακουσών να του φτιάξει μία κορώνα από καθαρό χρυσάφι. Όταν ο βασιλιάς πήρε την κορώνα, άρχισαν να διαδίδονται φήμες πως ο καλλιτέχνης τον είχε κοροϊδέψει, παίρνοντας ένα μέρος από το χρυσάφι και αντικαθιστώντας το με άλλο μέταλλο. Βέβαια, η τελειωμένη κορώνα ζύγιζε το ίδιο με το χρυσάφι του βασιλιά. Ο βασιλιάς τότε ζήτησε από τον Αρχιμήδη να εξετάσει το ζήτημα. Στα πειράματά του, ο Αρχιμήδης βρήκε τον

νόμο του ειδικού βάρους (όταν δηλαδή ένα στερεό σώμα μπει μέσα σε υγρό χάνει τόσο βάρος όσο είναι το βάρος του όγκου του υγρού που εκτοπίζει). Όταν άρχισαν να κυκλοφορούν στις Συρακούσες φήμες πως οι Ρωμαίοι είχαν στραφεί εναντίον τους, ο Αρχιμήδης εξακολουθούσε τις μελέτες και τις εφευρέσεις. Εκείνη την περίοδο, ο Αρχιμήδης εφηύρε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους ( ρωμαϊκός ζυγόςκαντάρι, τρίσπαστο-ανυψωτική τριπλή τροχαλία, τον ατέρμονα κοχλία-έλιξ του Αρχιμήδους). Επίσης κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας. Όταν άρχισε η πολιορκία των Συρακουσών από τους Ρωμαίους, οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη αποδείχτηκαν εξαιρετικά χρήσιμες: αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατμού), καταπέλτες, τόσο έξυπνα κατασκευασμένους ώστε είχαν και μακρινή και κοντινή εμβέλεια. άρπαγες (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) κάτοπτρα για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών τηλεβόλα ( μηχανές για εκτόξευση βλημάτων) Στοιχεία για τα έργα π ου έχουν χαθεί! Πρόκειται για μια σειρά <<αγνοούμενων>> χειρογράφων του Αρχιμήδη, τα οποία έχουν διασωθεί χάρη σε διάφορες έρευνες που έχουν πραγματοποιηθεί από τους παλαιότερους αλλά και τους σύγχρονους ερευνητές. Μερικά από αυτά είναι τα εξής: 1.Ο Πάππος αναφέρει έρευνες του Αρχιμήδη σχετικά με τα ημικανονικά πολύεδρα. Αρχικά, αναφέρει τα πέντε κανονικά πολύεδρα και συγχρόνως περιγράφει άλλα δεκατρία, τα οποία ανακαλύφθηκαν από τον Αρχιμήδη και τα οποία είναι ημικανονικά, αφού περιέχονται σε πολύγωνα ισόπλευρα και ισογώνια που δεν είναι όμοια μεταξύ τους. 2. Στον Ψαµµίτη ο ίδιος ο Αρχιμήδης αναφέρει ένα προηγούμενο βιβλίο του, αφιερωμένο στον Ζεύξιππο, το οποίο πραγματευόταν την ονομασία (κατονόµαξις) των αριθµών. Συγκεκριμένα, σε αυτό το βιβλίο αναπτύχθηκε το σύστημα της έκφρασης αριθμών μεγαλύτερων από εκείνους που μπορούσαν να γραφούν με το συνηθισμένο ελληνικό συμβολισμό, δηλαδή αριθμούς μέχρι τον τεράστιο αριθμό που παριστάνεται από τον 1 και ακολουθείται από 80.000 εκατομμύρια εκατομμυρίων ψηφία. 3. Ο Θέων ο Αλεξανδρεύς αποδίδει στον Αρχιµήδη ένα έργο οπτικής που ονομάζεται Κατοπτρικά, όπου αντικείμενα που ρίχνονται στο νερό φαίνονται όλο και μεγαλύτερα όσο πιο βαθιά βυθίζονται. Ακόμη, ο Ολυμπιόδωρος είχε αναφέρει πως ο Αρχιμήδης είχε αποδείξει το φαινόμενο της διάθλασης <<μέσω ενός δακτυλίου τοποθετημένου σε ένα δοχείο (με νερό)>>. Επιπλέον, ένας σχολιαστής στα Κατοπτρικά παραθέτει μια απόδειξη του Αρχιμήδη σχετικά με την ισότητα των γωνιών πρόσπτωσης και ανάκλησης σε ένα κάτοπτρο. 4. Ο Αρχιµήδης αναφέρει ένα έργο του Στοιχεία των µηχανικών, ενώ αλλού αναφέρει πως κάποια πρόταση έχει αποδειχθεί στο Περί ισορροπιών, χωρίς όµως να υπάρχει η συγκεκριµένη πρόταση. Ωστόσο, ο Ήρων αναφέρει τα γραπτά του Αρχιμήδη τα οποία φέρουν τον τίτλο <<Έργα περί του μοχλού>> και δηλώνει πως ο Αρχιμήδης παρουσίασε μια συγκεκριμένη διαδικασία σε ένα βιβλίο, το οποίο φέρει τον τίτλο <<Στοιχεία επί των στηρίξεων>>. Επίσης, ο Σιμπλίκιος αναφέρει πως τα κεντροβαρικά ήταν προβλήματα περί του κέντρου βάρους τα οποία επιλύθηκαν από

τον Αρχιμήδη και είχαν ως αντικείμενο να δείξουν πως βρίσκουμε το κέντρο βάρους, δηλαδή το σημείο ενός σώματος από το οποίο ένα σώμα παραμένει σε ηρεμία σε οποιαδήποτε θέση. 5. Ένα ακόμη έργο Περί σφαιροποιίας που έχει σωθεί, στο οποίο ο Αρχιµήδης ασχολούταν µε την κατασκευή ενός πλανητάριου. 6. Από αραβικές πηγές έχουµε πληροφορίες για διάφορα έργα του Αρχιµήδη για την εγγραφή κανονικού επταγώνου σε κύκλο, για την κατασκευή ωρολογίου που λειτουργούσε µε νερό, περί κύκλων εφαπτοµένων αλλήλων, περί των αρχών της γεωµετρίας, περί παραλλήλων γραµµών και περί τριγώνων. Άλλα χαμένα έργα που αναφέρονται είναι τα εξής: Αριθμητικά, το υδραυλικό ρολόι, περί ζυγών, πλινθίδες και κύλινδροι, ισοπεριμετρικά, επισίδια βιβλία, περί παραλλήλων γραμμών, προοπτική, περί κοίλων παραβολικών καυστικών κατόπτρων, περί βαρύτητας και ελαφρότητος (Πυκνόμετρα - Αραιόμετρα), περί ημερολογίου, καύσις δια των κατόπτρων, περί του μεγέθους του ενιαυτού, περί του υπολογισμού της επιφανείας και του όγκου ακανονίστων σωμάτων, περί κύκλων εφαπτομένων αλλήλων, περί δρομομέτρων (Οδόμετρα πλοίων) και περί κύκλου. ΙΣΤΟΡΙΑ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΧΕΙΡΟΓΡΑΦΩΝ Πολλές φορές οι αρχαιολόγοι χρειάζεται να σκάψουν βαθιά με υπομονή και επιμονή για να φέρουν στο φως έναν αρχαιολογικό θησαυρό. Αυτός όμως ο θησαυρός ήρθε στο φως με τα «φώτα» της πυρηνικής Φυσικής και της σύγχρονης τεχνολογίας. Πρόκειται για μια σειρά «αγνοούμενων» χειρογράφων του Αρχιμήδη, του διάσημου μαθηματικού, φυσικού και εφευρέτη της Ελληνιστικής εποχής. Η ιστορία αυτών των χειρογράφων μπορεί να αποτελέσει τυπικό παράδειγμα για το πώς τόσα χειρόγραφα και αρχαιολογικοί θησαυροί έχουν χαθεί και δεν έχουν φτάσει στα χέρια των σύγχρονων ερευνητών. Τα χειρόγραφα αυτά δεν είναι τα αυθεντικά από τα χέρια του Αρχιμήδη του 3ου αι. π.χ., αλλά αντιγράφηκαν από το πρωτότυπο γύρω στον 10ο αιώνα. Όμως διακόσια χρόνια αργότερα, κάπου στον 12ο αιώνα, κάποιος μοναχός αγνοώντας την σπουδαιότητα αυτού του κειμηλίου, χρησιμοποίησε τις περγαμηνές αυτές για να συγγράψει επάνω τους ένα κείμενο προσευχών. Έτσι το κείμενο του Αρχιμήδη καταστράφηκε, όντας το υπόστρωμα για το έργο του μοναχού. Η πρακτική αυτή - δηλ. της χρησιμοποίησης του υλικού ενός παλιότερου έργου για να καταγραφεί πάνω του κάτι πιο νέο - είναι συχνή στους προηγούμενους αιώνες, καθώς σπάνιζαν τα ποιοτικά υλικά στα οποία κάποιος μπορούσε να γράψει ή να ζωγραφίσει. Έτσι πολλά αρχαία κείμενα ή ζωγραφικοί πίνακες χρησίμευσαν ως «υπόβαθρο» για άλλους,

νεότερους. Έτσι δημιουργούνταν τα λεγόμενα «παλίμψηστα» δηλ. πάπυροι ή περγαμηνές που σβήνονταν για να γραφεί πάνω τους κάτι άλλο. Είναι επίσης λογικό ένας καλόγερος του μεσαίωνα να θεωρήσει σημαντικότερη μια σειρά προσευχών από ένα κλασσικό κείμενο, το οποίο έτσι κι αλλιώς μπορεί να μην πολύσυμπαθούσε (καθαρά για θρησκευτικούς λόγους). Τέλος πάντων, το συγκεκριμένο χειρόγραφο είχε αγοραστεί το 1998 σε πλειστηριασμό από ανώνυμο ιδιωτικό συλλέκτη με την τιμή των 2.000.000 δολαρίων (!!!), ο οποίος όχι μόνο το δάνεισε στο μουσείο της Βαλτιμόρης, αλλά και χρηματοδότησε τις έρευνες για να αποκαλυφθεί το κείμενο του Αρχιμήδη που είχε αποσβεστεί ΠΑΛΙΜΨΗΣΤΟ Ο όρος παλίμψηστο περιγράφει αρχαία κείμενα σε πάπυρους και περγαμηνές ή ζωγραφικά έργα που επικαλύφτηκαν με άλλο κείμενο ή εικόνα σε μεταγενέστερο χρόνο αφού πρώτα το καθάριζαν με τη βοήθεια χημικών ουσιών όπως κιτρικό οξύ ή με άλλες μεθόδους όπως τριβή. Αυτό συνέβαινε ως επί το πλείστον διότι η περγαμηνή ήταν εξαιρετικά πολύτιμο υλικό. Με τις σύγχρονες επιστημονικές μεθόδους όπως πολυφασική απεικόνιση και ακτίνες Χ είναι πια δυνατή η ανάγνωση των χαμένων δεδομένων. Ένα παλίμψηστο που πρόσφατα διαβάστηκε ολόκληρο είναι το παλίμψηστο του Αρχιμήδη. Περιέχει τρεις πραγματείες του, Περί μηχανικών θεωρημάτων, Περί των επιπλεόντων σωμάτων και Οστομάχιον. Πρόκειται για ένα βιβλίο φτιαγμένο από περγαμηνή. Το ταξίδι του μέσα στο χρόνο είναι μακρύ. Χρονολογείται τον 10ο αιώνα μχ και πιστεύεται ότι πρόκειται για αντιγραφή από αρχαιότερη πηγή διατηρώντας τα ελληνικά του πρωτοτύπου. Δυόμιση αιώνες αργότερα ένας μοναχός στην Ιερουσαλήμ, ονόματι Ιωάννης Μύρωνας, έσβησε το παλιό κείμενο, δίπλωσε τις σελίδες στη μέση και έγραψε προσευχές. Για χρόνια έμεινε ξεχασμένο. Ανακαλύφθηκε το 1846 από τον Κώνσταντιν Φον Τίσενντορφ ενώ το 1998 βρέθηκε σε μια δημοπρασία των Cristie s στη Νέα Υόρκη και αγοράστηκε για 2,2 εκατομμύρια δολάρια από συλλέκτη του οποίου το όνομα δεν έγινε γνωστό. Σημερινός κάτοχος είναι το Walters Art Museum της Βαλτιμόρης μετά τη δωρεά του άγνωστου συλλέκτη. Το 2006 φανερώθηκε ολόκληρο το έγγραφο από μια ομάδα επιστημόνων με επικεφαλή τον φυσικό Uwe Bergmann. Το βιβλίο περιείχε ακόμα δυο κείμενα, ένα του

φιλόσοφου Αλέξανδρου της Αφροδισιάδος και ένα του Αθηναίου ρήτορα Υπερείδη. inside-archimedes-palimpsest-in.jpgτο βιβλίο εξαιτίας των κακών συνθηκών φύλαξης και χρήσης ήταν σε πολύ κακή κατάσταση διατήρησης και οι εργασίες συντήρησης διήρκησαν τέσσερα χρόνια. Χρειάστηκε να λυθεί φύλλο για να συντηρηθεί και να υποστεί επεξεργασία. Χρησιμοποιήθηκαν τεχνικές απεικόνισης σε διαφορετικά μήκη κύματος του υπέρυθρου, ορατού και υπεριώδους φωτός. Με τη χρήση διαφορετικών μεθόδων επεξεργασίας αποκαλύφθηκαν τα κρυμμένα κείμενα. Στην προσπάθεια αυτή συμμετείχαν επιστήμονες διαφόρων ειδικοτήτων, συντηρητές, μαθηματικοί, φυσικοί, φιλόλογοι και ειδικοί στην επεξεργασία της εικόνας. Οι πληροφορίες που έδωσαν τα κείμενα αυτά αναθεωρούν την ιστορία των μαθηματικών και αποδεικνύουν ότι ο Αρχιμήδης γνώριζε τις αρχές και την πρακτική του Διαφορικούκαι του Ολοκληρωτικού λογισμού πολλούς αιώνες πριν τη διατύπωσή τους από τον Νεύτωνα και τον Λάιμπνιτς. Το απόλυτο άπειρο Ο Αρχιμήδης, στην πραγματεία του «Περί μεθόδου των θεωρημάτων μηχανικής» ασχολείται με την έννοια του απόλυτου απείρου και το Παλίμψηστο περιέχει το μόνο σωζόμενο αντίγραφο του σημαντικού συγγράμματος. Ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός ισχυρίζεται ότι δύο διαφορετικά σύνολα γραμμών είναι ίσα σε πλήθος, αν και είναι σαφώς κατανοητό ότι είναι άπειρα. Η προσέγγιση αυτή είναι όμοια με έργα του 16ου και του 17ου αιώνα, που οδήγησαν στην επινόηση του λογισμού. Το Στομάχιον Το Στομάχιον (ΟΣΤΟΜΑΧΙΟΝ = μάχη με οστά) ένα από τα αρχαιότερα ελληνικά παιχνίδια Επίσης, μόνο στο Παλίμψηστο βρέθηκε το «Στομάχιον» του Αρχιμήδη, η αρχαιότερη πραγματεία περί συνδυαστικής. Θεωρείται ότι ο Αρχιμήδης προσπαθούσε να ανακαλύψει με πόσους τρόπους θα μπορούσε να ανασυνδυάζει 14 τμήματα και να κάνει ένα τέλειο τετράγωνο. Η απάντηση είναι : 17.152 συνδυασμούς. Η συνδυαστική θεωρείται ζωτικής σημασίας στην πληροφορική.

Εκτός από τα έργα του Αρχιμήδη, στο Παλίμψηστο βρέθηκαν επίσης κρυμμένα ένα σχόλιο πάνω στις «Κατηγορίες» του Αριστοτέλη, καθώς και κείμενα του Υπερείδη, Αθηναίου ρήτορα του «χρυσού αιώνα». Αποτελέσματα:. Αρχικά, μελετήσαμε την βιογραφία του Αρχιμήδη και στη συνέχεια, αναζητήσαμε πηγές σχετικά με το έργο και τις εφευρέσεις του, επεξεργαστήκαμε όσα βρήκαμε και καταλήξαμε στα πιο ουσιώδη. Έπειτα, συλλέξαμε πληροφορίες όσον αφορά τα έργα του που δεν έχουν διασωθεί και τέλος, εστιάσαμε στον Παλίμψηστο και στον τρόπο με τον οποίο διασώθηκαν κάποια από τα κείμενα του. Συμπεράσματα: Από όλη αυτή την εμπειρία, κερδίσαμε γνώσεις και χρήσιμες πληροφορίες για έναν από τους σπουδαιότερους επιστήμονες της αρχαίας μας ελληνικής ιστορίας, που με τις μαθηματικές του εξισώσεις και τις εφευρέσεις του, μας οδήγησε στην εξέλιξη και στην πρόοδο της σημερινής μας τεχνολογίας. Μπορούμε να πούμε ότι ακόμα και σήμερα, μέσω των εφευρέσεών του, ανακαλύπτουμε καινοτόμες μεθόδους για την επίλυση προβλημάτων. Επίλογος: Από την εργασία μας αντλήσαμε σημαντικές πληροφορίες για τον Αρχιμήδη. Διαπιστώσαμε πως ήταν όχι μόνο σημαντικός Μαθηματικός, αλλά και παιδαγωγός και αστρονόμος. Επιπρόσθετα, έχει χαρακτηριστεί ως μαέστρος των εφαρμογών των Μαθηματικών και ήταν από τους πιο σπουδαίους επιστήμονες της εποχής του αλλά και των μεταγενέστερων χρόνων. Κλείνοντας, θα πρέπει να αναφερθεί πως είχε διδάξει στους μαθητές του πως στην ζωή πρέπει να υπάρχει μέτρο.