Ε ΦΑΡΜΟΓΗ 1 Ένα σώμα μάζας m 800g ισορροπεί ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, συνδεδεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς K 00N / m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο ακλόνητα σε κατακόρυφο τοίχο, όπως στο σχήμα. Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του κατά 0cm, συσπειρώνοντας το ελατήριο, και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. α) Να υπολογίσετε την επιτάχυνσή του: i) τη στιγμή που το αφήνουμε ελεύθερο, ii) τη στιγμή που το σώμα έχει μετατοπιστεί κατά 5cm από τη θέση που το αφήσαμε ελεύθερο και iii) τη στιγμή που περνά από την αρχική του θέση ισορροπίας. 191
Φυσική Α Λυκείου β) Είναι η κίνηση του σώματος ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. α) Στο σχήμα βλέπουμε το σώμα διαδοχικά στις τρεις θέσεις και τις δυνάμεις που του ασκούνται (δύο επαφές, τρεις δυνάμεις). Το βάρος του w αλληλοεξουδετερώνεται με την κάθετη δύναμη από το λείο οριζόντιο δάπεδο F N, οπότε η συνισταμένη των δυνάμεων συμπίπτει με τη δύναμη του ελατηρίου F ελ. i) Τη στιγμή που αφήνουμε το σώμα ελεύθερο, η συσπείρωση του ελατηρίου είναι: Δ 1 0cm 0 m Δ 1 0,m. 100 Με τον νόμο του Hooke υπολογίζουμε το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου. N Fελ(1) Κ Δ 1 Fελ(1) 00 0, m Fελ(1) 40N m 800 Η μάζα του σώματος στο S.I. είναι: m 800g kg 0,8kg. 1.000 Από τον δεύτερο νόμο Newton υπολογίζουμε την επιτάχυνση. Fε λ(1) 40 m Fολ m α Fελ(1) m α1 α1 α1 m/s α1 50 m 0,8 s ii) Μετά από μετατόπιση του σώματος κατά 5cm, η συσπείρωση του ελατηρίου θα είναι: Δ 0cm 5cm Δ 15cm στο S.I. Δ 0,15m Όπως πριν, υπολογίζουμε πρώτα τη δύναμη του ελατηρίου και μετά την επιτάχυνση του σώματος. F Κ Δ F (00 0,15)N F 30N ελ() ελ() ελ() Fε λ() 30 m Fολ m α Fελ( ) m α α α m/s α 37,5 m 0,8 s 19
Κεφάλαιο : Δυναμική iii) Τη στιγμή που το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, που στην περίπτωση αυτή είναι και θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου, η συσπείρωση, επομένως και η δύναμη του ελατηρίου, μηδενίζονται στιγμιαία. Η συνισταμένη των δυνάμεων στο σώμα στιγμιαία μηδενίζεται. Επομένως: F m α F m α 0 m α α ολ ελ(3) 3 3 3 0 Παρατήρηση Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα ισχύει και για μεταβαλλόμενες δυνάμεις. β) Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη είναι η κίνηση στην οποία η επιτάχυνση μένει σταθερή σε σχέση με τον χρόνο. Στην παραπάνω κίνηση η επιτάχυνση ελαττώνεται καθώς το σώμα πλησιάζει στη θέση ισορροπίας, διότι ελαττώνεται και η δύναμη του ελατηρίου που το επιταχύνει. Η κίνηση δεν είναι ομαλά επιταχυνόμενη. Παρατήρηση Στη διάρκεια της κίνησης η ταχύτητα του σώματος αυξάνεται, αφού το σώμα επιταχύνεται. Η επιτάχυνσή του μικραίνει με τον χρόνο, δηλαδή η ταχύτητα του σώματος θα μεγαλώνει, αλλά όλο και πιο αργά. Δεν ισχύουν, άρα δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τις εξισώσεις της ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης, ώστε να υπολογίσουμε τη διάρκεια της κίνησης και την ταχύτητα με την οποία το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας του. Δηλαδή: 1 Δx α t και υ α t.7 Β Σ N Είδαμε ότι σε ένα σώμα ασκούνται τόσες δυνάμεις όσες είναι οι επαφές του, συν μία, το βάρος του και ότι, για να υπολογίσουμε την ολική δύναμη, τις προσθέτουμε. Το μέτρο της ολικής δύναμης μπορεί να είναι: Fολ 0 ή Fολ 0 193
Φυσική Α Λυκείου Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα αναφέρεται στην πρώτη περίπτωση και ο δεύτερος νόμος στη δεύτερη. Ο πρώτος νόμος μάς λέει ότι, όταν η ολική δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα είναι μηδενική, η ταχύτητα του σώματος είναι σταθερή και, αντίστροφα, όταν η ταχύτητα ενός σώματος είναι σταθερή, τότε η ολική δύναμη που του ασκείται είναι μηδενική. Ο δεύτερος νόμος μάς λέει ότι, όταν σε ένα σώμα ασκείται ολική δύναμη, τότε η ταχύτητα του σώματος αλλάζει και, αντίστροφα, όταν η ταχύτητα ενός σώματος αλλάζει, τότε του ασκείται ολική δύναμη. Είναι πολύ σημαντικό να τονίσουμε ότι: Κάθε σώμα, κάθε στιγμή ικανοποιεί ή τον πρώτο ή τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα..8 Σ Κ - Οι δύο νόμοι του Νεύτωνα εξηγούν τις κινήσεις και την ακινησία των σωμάτων, συνδέοντας την αιτία, που είναι η δύναμη, με το αποτέλεσμα, δηλαδή με την κίνηση. Η κίνηση μιας πέτρας που την αφήνουμε να πέσει στη γη και η ισορροπία της πέτρας αφού μείνει ακίνητη στο έδαφος εξηγούνται με τους νόμους του Νεύτωνα. Από την κίνηση ενός σώματος μπορούμε να προσδιορίσουμε την ολική δύναμη που του ασκείται. Αν, για παράδειγμα, το σώμα παραμένει ακίνητο ή κάνει ε.ο.κ., η επιτάχυνσή του είναι μηδενική, επομένως η ολική δύναμη που του ασκείται είναι μηδενική. Μπορούμε επίσης από την ολική δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα να βγάλουμε συμπεράσματα για την κίνησή του. Για παράδειγμα, όταν η ολική δύναμη που ασκείται 194
Κεφάλαιο : Δυναμική στο σώμα είναι σταθερή, η επιτάχυνση του σώματος θα είναι επίσης σταθερή και, αν το σώμα κινείται ευθύγραμμα, η κίνησή του θα είναι ομαλά μεταβαλλόμενη. Στο σχήμα 31 αποδίδεται η σύνδεση μεταξύ κινήσεων και δυνάμεων για τις κινήσεις που περιγράφουμε. Η σύνδεση μπορεί να γίνει με την επιτάχυνση. Στις επόμενες εφαρμογές μπορούμε πάντα να υπολογίσουμε από τις κινήσεις την επιτάχυνση και από την επιτάχυνση να περάσουμε στις δυνάμεις. Αντίθετα, ενώ μπορούμε πάντα να υπολογίσουμε από τις δυνάμεις την επιτάχυνση, δεν μπορούμε να περάσουμε από την επιτάχυνση στις συγκεκριμένες εξισώσεις για την κίνηση όταν η επιτάχυνση, άρα και η ολική δύναμη, μεταβάλλονται. Σχήμα 31 Από τις εξισώσεις για την κίνηση, στις δυνάμεις Στις εφαρμογές 13, 14, 15 υπολογίζουμε από τις εξισώσεις για την κίνηση την επιτάχυνση και μετά περνάμε στις δυνάμεις. Ε ΦΑΡΜΟΓΗ 13 Ένα αρχικά ακίνητο σώμα μάζας m 3kg επιταχύνεται ευθύγραμμα ομαλά. Αν η ταχύτητά του μετά από 4s είναι 4m / s, να υπολογίσετε το μέτρο της συνισταμένης των δυνάμεων που του ασκούνται. Αρχίζουμε από τις εξισώσεις για την κίνηση του σώματος. 195
Φυσική Α Λυκείου 1 α σταθερό υ α t (1) Δx α t Από την εξίσωση (1) υπολογίζουμε πρώτα την επιτάχυνση του σώματος. υ 4 υ α t α α m/s α 6m/s t 4 Κατόπιν, από τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής υπολογίζουμε την ολική δύναμη. F m α F (3 6)N Fολ 18N ολ ολ Ε ΦΑΡΜΟΓΗ 14 Σε σώμα μάζας 0,5kg, που κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο, ασκούνται οι οριζόντιες δυνάμεις F1 18 Ν και F, όπως στο διπλανό σχήμα. Το σώμα κινείται ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενα στην κατεύθυνση της δύναμης F, 1 η οποία συμπίπτει με τη θετική κατεύθυνση του άξονα x. Τη χρονική στιγμή t0 0 το σώμα διέρχεται από τη θέση x0 0 με ταχύτητα υ0 7m / s. Αν τη χρονική στιγμή t 5s το σώμα διέρχεται από τη θέση x 60m, να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F. Αρχίζουμε από τις εξισώσεις για την κίνηση του σώματος, η οποία είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα. Η θέση του σώματος γίνεται x έχουμε: 1 α σταθερό υ υ0 α t x υ0 t α t (1) 60m τη χρονική στιγμή t 5s. Από την εξίσωση (1) 1 (x υ0t) (60 7 5) x υ t α t α α m/s α m/ s 0 t 5 Η επιτάχυνση και η ολική δύναμη έχουν την κατεύθυνση της F. 1 Το βάρος του σώματος και η κάθετη δύναμη από το οριζόντιο δάπεδο αλληλοεξουδετερώνονται. Fολ m α F1 F m α F F m α F (18 0,5 )N F 17N 196
Κεφάλαιο : Δυναμική Ε ΦΑΡΜΟΓΗ 15 Ένα σώμα μάζας 8kg και βάρους 80N ανυψώνεται κατακόρυφα με αβαρές νήμα, όπως στο σχήμα. Το σώμα είναι αρχικά ακίνητο και κινείται ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενα. Αν μετά από ανύψωση κατά m η ταχύτητά του γίνεται 4m / s, να υπολογίσετε το μέτρο της τάσης του νήματος. Το αρχικά ακίνητο σώμα επιταχύνεται ευθύγραμμα ομαλά, άρα: 1 α σταθερό υ α t (1) x α t () Απαλείφουμε τον χρόνο από τις εξισώσεις (1) και () (εφαρμογή 7, ενότητα 1.7) και υπολογίζουμε την επιτάχυνση. υ 4 α α m/s α 4m/s x Στο σώμα ασκούνται η τάση του νήματος και το βάρος του. Η επιτάχυνση και η ολική δύναμη έχουν την κατεύθυνση της τάσης του νήματος Τ. Με τον δεύτερο νόμο Newton υπολογίζουμε την τάση. Fολ m α Τ w m α T ( 8 4 80) N T 11N Από τις δυνάμεις, στις εξισώσεις για την κίνηση. Στις εφαρμογές 16 και 17 που ακολουθούν και στην εφαρμογή 1 που προηγήθηκε υπολογίζουμε από τις δυνάμεις την επιτάχυνση. Μόνο όμως στις εφαρμογές 16 και 17 θα περάσουμε από την επιτάχυνση στις εξισώσεις για την κίνηση. Στην εφαρμογή 1 είδαμε ότι η επιτάχυνση μεταβάλλεται και οι συγκεκριμένες εξισώσεις δεν ισχύουν. Ε ΦΑΡΜΟΓΗ 16 Σε σώμα μάζας 4kg, που κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο, ασκούνται οι οριζόντιες δυνάμεις F 18 Ν και F 10N, όπως 1 στο σχήμα. Το σώμα κινείται ευθύγραμμα στην κατεύθυνση της δύναμης F. 1 Τη χρονική στιγμή t0 0 η ταχύτητα του σώματος είναι 7m / s. Να υπολογίσετε σε πόσο χρόνο μετά τη στιγμή αυτή το σώμα θα κινείται με ταχύτητα 5m / s. 197
Φυσική Α Λυκείου Η σταθερή συνισταμένη, άρα και η σταθερή επιτάχυνση, έχουν την κατεύθυνση της F. 1 Το σώμα κινείται στην κατεύθυνση αυτή, οπότε επιταχύνεται ομαλά. Αρχικά, με τον δεύτερο νόμο Newton υπολογίζουμε από τις δυνάμεις την επιτάχυνση. F1 F 18 10 Fολ m α F1 F m α α α m/s α m/s m 4 Οι εξισώσεις για την κίνηση του σώματος είναι: α σταθερό υ υ0 α t (1) 1 Δx υ0 t α t Από την εξίσωση (1) υπολογίζουμε τον χρόνο. υ υ0 5 7 υ υ0 α t t t s t 9s α Ε ΦΑΡΜΟΓΗ 17 Ένα σώμα μάζας kg και βάρους 0N βρίσκεται αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο δάπεδο. Με ένα νήμα ασκούμε στο σώμα κατακόρυφη τάση T 6N, όπως στο σχήμα, και αρχίζουμε να το ανυψώνουμε τη χρονική στιγμή t0 0. Να υπολογίσετε σε ποια χρονική στιγμή το σώμα θα έχει ανυψωθεί κατά 6m και την ταχύτητά του την ίδια στιγμή. Η επιτάχυνση και η ολική δύναμη έχουν την κατεύθυνση της τάσης του νήματος Τ (σχήμα α). Με τον δεύτερο νόμο Newton υπολογίζουμε από τις δυνάμεις την επιτάχυνση F ολ m α Τ w m α T w α α 6 0 m/s α 3 m/s m Σχήμα α 198
Κεφάλαιο : Δυναμική Το αρχικά ακίνητο σώμα επιταχύνεται ευθύγραμμα ομαλά. 1 α σταθερό υ α t (1) Δx α t () Από την εξίσωση () υπολογίζουμε πρώτα τον χρόνο. 1 Δx Δx 6 Δx α t t t t s t s α α 3 Από την εξίσωση (1) υπολογίζουμε την ταχύτητα. υ α t υ (3 )m/s υ 6m / s