Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ( Α= 90 ), ν γνωρίζουμε ότι: = x + 3, β = x +, γ = x. ii. Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο ( Α= 90 ) κι ΑΔ ΒΓ τότε: ΒΔ ΑΒ A) = ΓΔ ΑΓ, B) ΑΒ ΒΔ ΑΒ =ΒΓ ΑΔ, Γ) = ΑΓ ΓΔ iii. Ν βρεθεί το μήκος του τμήμτος ΓΔ του διπλνού σχήμτος, ν ΒΔ = 3 ΑΓ. i. Π. Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ β + γ = ( x+ ) + x = ( x+ 3) x 4x 5= 0 x 5 = ή x = (πορρίπτετι) Άρ γ = x = 5, = 5 + 3= 3, β = 5 + =. ii. Α) Α μέλος: ΑΒ ΒΔ ΑΒ ΑΒ = ΒΓ = = ΓΔ ΑΓ ΑΓ ΑΓ ΒΓ Β) Είνι ΑΒ ΑΓ, κι ΒΔ ΑΔ, δηλδή οι γωνίες έχουν τις πλευρές τους κάθετες άρ είνι ίσες. ΑΒΔ κι ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 8 τ./48 ΔΑΓ Το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ είνι ισοσκελές, γιτί ΒΑΔ = ΑΒΔ = ω. Άρ ΑΔ = ΒΔ. Ομοίως το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΓΑ, γιτί ΔΓΑ = ΔΑΓ = ω. Άρ, ΑΔ = ΔΓ. Οπότε: ΑΔ=ΒΔ=ΔΓ. Είνι: ΑΒ = ΒΓ ΒΔ ΑΒ = ΒΓ ΑΔ ΑΒ ΒΓ ΒΔ ΒΔ Γ) Α μέλος: = = ΑΓ ΒΓ ΓΔ ΓΔ iii. Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ : ΑΓ =ΒΓ ΑΒ ΑΓ = 5 9 ΑΓ = 4. ΒΔ = 3 ΑΓ ΒΔ = 3 4 ΒΔ =. Ομοίως Π.Θ. στο ΒΓΔ. ΔΓ = ΒΔ + ΒΓ ΔΓ = + 5 ΔΓ = 69 ΔΓ = 3. ΑΣΚΗΣΗ η Ο ιδιοκτήτης του οικοπέδου που πεικονίζετι στο διπλνό σχήμ ποφάσισε ν περιφράξει το οικόπεδο. Ν βρείτε: i. Πόσ μέτρ συρμτόπλεγμ θ χρειστεί. ii. Το κόστος της περίφρξης, ν γνωρίζουμε ότι το κόστος νά μέτρο είνι 8. Δίνοντι: ΑΔ = 30m, ΑΒ = 80m κι ΒΓ = 70m. Φέρνουμε τη ΓΕ ΑΔ. i. ΕΓ = 80m, ΕΑ = 70m (ΑΒΓΕ ορθογώνιο) κι ΔΕ = ΔΑ ΕΑ ΔΕ = 30 70 ΔΕ = 60m. Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΓΕ. ΔΓ = ΔΕ + ΕΓ ΔΓ = 60 + 80 ΔΓ = 0000 ΔΓ = 00m.
Οπότε Π=ΔΓ+ΓΒ+ΑΒ+ΑΔ= 00 + 70 + 80 + 30 = 380m. ii. Το κόστος της περίφρξης είνι 380 8 = 6840. ΑΣΚΗΣΗ 3 η Μί έκτση ενός κήπου έχει σχήμ πρλληλογράμμου ΑΒΓΔ με ΑΒ = 0m κι ΑΔ = m. Έν τμήμ συνδέει τις κορυφές Β κι Δ κι έν άλλο τις Α κι Γ. i. Αν το μονοπάτι ΒΔ έχει μήκος 4m, ν υπολογιστεί το μονοπάτι ΑΓ. ii. Αν δύο άλλ ευθύγρμμ μονοπάτι συνδέουν την κορυφή Α με τ μέσ Ε κι Ζ των ΒΓ κι ΔΓ ντίστοιχ, ν υπολογίσετε το μήκος κθενός πό τ μονοπάτι ΑΕ κι ΑΖ. Λύση i. Θ.Διμέσων στο τρίγωνο ΑΔΒ. ΑΔ + ΑΒ ΒΔ + 0 4 5 ΑΜ = = = = 8 ΑΜ = 8 Οπότε: ΑΓ = ΑΜ ΑΓ = 8 ii. Εφρμόζω το Θεώρημ των διμέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ. ( ) 0 + 8 ΑΒ + ΑΓ ΒΓ 680 ΑΕ = = = = ΑΕ =. Εφρμόζω το Θεώρημ των διμέσων στο τρίγωνο ΑΔΓ. ( ) + 8 0 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 8 τ./49 40 40 ΑΔ + ΑΓ ΔΓ 9 ΑΖ = = = = ΑΖ = ΑΣΚΗΣΗ 4 η Η σκηνή ενός θεάτρου έχει σχήμ ημικυκλίου διμέτρου ΑΒ. Δύο μικρόφων βρίσκοντι στ σημεί Γ κι Δ του ημικυκλίου, ενώ έν τρίτο στο σημείο τομής Μ των ΑΓ κι ΒΔ. Ένς ηθοποιός στέκετι στο Ν της ΑΒ, ώστε ΜΝ ΑΒ. i. Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει σημείο τέτοιο ώστε τ σημεί Β, Γ, Μ, Ν ν ισπέχουν πό υτό. ii. Ν ποδειχθεί ότι τ Α, Δ, Μ, Ν είνι ομοκυκλικά. iii. Αν ΑΒ = 0m, ν βρεθεί το x ότν x = ΑΜ ΑΓ + ΒΜ ΒΔ. 8 8 i. Η γωνί ΒΓΑ = 90, ως εγγεγρμμένη γωνί που βίνει σε ημικύκλιο. Επιπλέον ισχύει: ΜΝ ΑΒ, δηλδή ΜΝΒ = 90. Έτσι, ΒΓΜ+ ΜΝΒ = 90 + 90 = 80, πρπληρωμτικές. Οπότε το τετράπλευρο ΒΓΜΝ είνι εγγεγρμμένο σε κύκλο. Άρ τ σημεί Β, Γ, Μ, Ν ισπέχουν πό το κέντρο του κύκλου. ii. Η γωνί ΒΔΑ = 90, ως εγγεγρμμένη γωνί που βίνει σε ημικύκλιο. Επιπλέον ισχύει ΜΝ ΑΒ δηλδή ΜΝΑ = 90. Έτσι, ΒΔΑ+ ΜΝΑ = 90 + 90 = 80, πρπληρωμτικές. Οπότε το τετράπλευρο ΑΔΜΝ είνι εγγεγρμμένο σε κύκλο. Άρ τ σημεί Α, Δ, Μ,Ν ισπέχουν πό το κέντρο του κύκλου. iii. x =ΑΜ ΑΓ+ΒΜ ΒΔ x=αβ ( ΑΝ+ΒΝ) x=αβ ΑΒ x= 00 ΑΣΚΗΣΗ 5 η Μι πίστ γώνων τχύτητς έχει σχήμ κυκλικού δκτυλίου κι οριοθετείτι πό δύο ομόκεντρους κύκλους (Ο, R) κι (Ο, ρ) με R = 0 κι ρ = 5. Ένς θλητής Μ κολούθησε την πορεί ΑΒ όπως φίνετι στο σχήμ, η οποί εφάπτετι στο κύκλο (Ο, ρ) στο Γ. Ν ποδειχθεί ότι σε οποιδήποτε θέση της διδρομής ΑΒ κι ν βρισκότν ο θλητής Μ, η τιμή της πράστσης ΜΑ ΜΒ + ΜΓ ήτν στθερή. Κτόπιν ν υπολογιστεί η τιμή υτή.
Προεκτείνουμε το ευθύγρμμο τμήμ ΟΜ. Έστω Κ κι Λ τ σημεί τομής με τον κύκλο (Ο,R). Οπότε ισχύει: ΜΑ ΜΒ=ΜΚ ΜΛ ΜΑ ΜΒ= R ΟΜ R+ΟΜ ( ) ( ) ( ) ΜΑ ΜΒ= R ΟΜ ΜΑ ΜΒ= R ΜΓ + ρ ΜΑ ΜΒ = R ΜΓ ρ ΜΑ ΜΒ+ΜΓ = R ρ ΜΑ ΜΒ + ΜΓ = 400 5 ΜΑ ΜΒ + ΜΓ = 75. ΑΣΚΗΣΗ 6 η Τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρές = 5, β = 7, γ = 3. i. Ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο είνι μβλυγώνιο. ii. Ν υπολογίσετε την προβολή της πλευράς γ πάνω στην πλευρά. iii. Ν υπολογίσετε τη διάμεσο μ. iv. Αν Σ σημείο του ύψους ΒΗ, ν ποδείξετε ότι ΣΓ ΣΑ = 6. i. Ισχύει ότι: + γ = 5 + 3 = 5+ 9= 34 κι β = 7 = 49. Το τρίγωνο ΑΒΓ είνι μβλυγώνιο με μβλεί γωνί την Β, γιτί β > + γ. ii. β = + γ + ΒΔ 49= 5+ 9+ 0 ΒΔ ΒΔ=,5. β + γ 49+ 9 5 9 9 iii. μ = = = μ =. iv. Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΑΓ. Από ο θεώρημ των διμέσων έχουμε ότι: 6 8 γ = β ΗΜ 5 9= 4 ΗΜ ΗΜ = ΗΜ =. 4 7 8 Οπότε: ΣΓ ΣΑ = ΑΓ ΗΜ ΣΓ ΣΑ = 7 ΣΓ ΣΑ = 6. 7 ΑΣΚΗΣΗ 7 η Δίνετι ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος του ΑΔ κι το ορθόκεντρο του Η. i. Ν ποδείξετε ότι ΒΓ = 3 ΑΗ. ii. Από το Η ν φέρετε ευθεί ε ΒΓ. Αν Ρ σημείο της ε, ν ποδείξετε ότι: ΡΒ + ΡΓ = ΡΑ. 4 i. Ισχύει ότι: ΑΗ = ΑΔ. Οπότε: ΑΗ = ΑΔ. 3 9 4 4 4 4 3 Β μέλος: 3 3 ΒΓ ΒΓ ΒΓ ΑΗ = ΑΔ = ΑΒ = ΒΓ = =ΒΓ. 9 3 3 4 3 4 ΒΓ 3 ΑΗ ii. Α μέλος: ΡΒ + ΡΓ = ΡΔ + ΡΒ + ΡΓ = ΡΔ + 3 3 ΡΒ + ΡΓ = ( ΡΗ + ΗΔ ) + ΑΗ ΡΒ + ΡΓ = ΡΗ + ΗΔ + ΑΗ ΑΗ 3 3 ΡΒ +ΡΓ = ΡΗ + + ΑΗ ΡΒ +ΡΓ = ΡΗ + ΑΗ + ΑΗ ΡΒ + ΡΓ = ΡΗ + ΑΗ ΡΒ + ΡΓ = ΡΗ + ΑΗ ΡΒ + ΡΓ = ΡΑ ( ) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 8 τ./50
ΑΣΚΗΣΗ 8 η Στο εσωτερικό της υλής ενός σπιτιού υπάρχει μικρός κήπος με λχνικά, όπως στο κόλουθο σχήμ. Αν το εμβδόν του κήπου είνι m κι οι διστάσεις της υλής είνι m κι 3m, τότε: i. Ν υπολογίσετε το x. ii. Αν x = 4,5m, πόσο σύρμ θ χρειστούμε γι ν περιφράξουμε τον κήπο; i. ( 3 x) ( x) = x 5x+ 7= 0 x = 8 ή x = 4,5 ii. Έστω το μήκος κι β το πλάτος του κήπου. x + + x= 3 4,5 + + 4,5 = 3 = 4m x + β + x= 4,5 + + 4,5 = β = 3m ΑΣΚΗΣΗ 9 η Σε μί κυκλική πλτεί υπάρχει ευθύγρμμο μονοπάτι ΑΒ= 5m. Ένς πεζός βρίσκετι στο σημείο Π του μονοπτιού το οποίο ισπέχει πό το Α κι το κέντρο Κ της πλτείς. Αν η διάμετρος του δάσους είνι 40m, ν υπολογιστεί η πόστση του πεζού πό το άκρο Β. Έστω x =ΠΒ. Προεκτείνουμε το ευθύγρμμο τμήμ ΚΠ. Έστω Γ κι Δ τ σημεί τομής με τον κύκλο. Ισχύει: ΑΠ ΠΒ = ΠΔ ΠΓ = ΚΔ ΚΠ ΚΠ + ΚΓ ( 5 x) x ( ) ( ) ( 5 x) x= ( 0 ΚΠ) ( ΚΠ+ 0) ( 5 x) x= 0 ΚΠ ( ) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 8 τ./5 5x x = 400 5 x 5x= 5 x= 9. ΑΣΚΗΣΗ 0 η Από σημείο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε πράλληλες προς τις πλευρές ΑΓ κι ΑΒ που τις τέμνουν στ σημεί Δ κι Ζ ντίστοιχ. Αν ΒΜ = x, ΒΓ =. Ε i. Ν εκφράσετε ως συνάρτηση των, x τους λόγους Ε, Ε Ε Ε = ΖΜΓ όπου: Ε= ( ΑΒΓ ), Ε = ( ΔΒΜ ), ( ) ii. Ν δείξετε ότι: Ε+Ε Ε. Πότε ισχύει η ισότητ; i. Τ τρίγων ΑΒΓ κι ΔΒΜ έχουν τη Β Ε ΒΔ ΒΜ κοινή οπότε: =. Αλλά ΔΜ//ΑΓ, Ε ΒΑ ΒΓ ΒΜ ΒΔ x Ε x ( ) πό το Θ. Θλή έχουμε ότι = = Οπότε: = ΒΓ ΒΑ Ε. Όμοι προκύπτει ότι: Ε x =. Ε ii. Με πρόσθεση κτά μέλη προκύπτει: ( ) Ε Ε x x Ε +Ε x + x x + x + = + = Ε+Ε = Ε Ε Ε Ε x + x Αρκεί ν δείξω ότι: Είνι 4x + 4x 4x + 4x 0 ( x ) 0, που ισχύει γι κάθε x, R. Αν x 0 τότε x =, δηλδή το Μ είνι μέσο ρου ΒΓ.
ΑΣΚΗΣΗ η Δίνετι ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς κι φέρουμε τη διχοτόμο Βx της εξωτερικής γωνίς Β κι την ΑΚ Βx. 3 i. Ν βρείτε το μήκος της ΓΚ κι ν δείξετε ότι ( ΒΓΚ ) = ( ΑΒΚ ) =. 8 ii. Ν βρείτε το μήκος του ύψους ΒΛ. 0 i. Είνι Β =Β = = 60, οπότε Β =Γ= 60 δηλδή Βx // ΑΓ. Αλλά ΑΚ Βx οπότε κι ΑΚ ΑΓ, δηλδή το ΚΑΓ είνι ορθογώνιο τρίγωνο. Φέρω το ύψος ΑΜ, οπότε τ τρίγων ΑΚΒ κι ΑΒΜ είνι ίσ, γιτί ΑΒ κοινή πλευρά, Κ=Μ= 90, Β =Β 3 = 60. 3 Οπότε ΑΚ = ΑΜ =, ΚΒ = ΒΜ = Εφρμόζω το Πυθγόρειο Θεώρημ στο τρίγωνο ΑΚΓ. 3 3 ΓΚ = ΑΚ + ΑΓ ΓΚ = + ΓΚ = + 4 7 7 ΓΚ = ΓΚ= 4 3 3 Είνι ( ΑΒΚ ) = ΚΒ ΑΚ ( ΑΒΚ ) = ( ΑΒΚ ) = 8 Τ τρίγων ΑΒΚ κι ΓΚΒ έχουν κοινή βάση την ΚΒ κι ίσ ύψη, φού ΑΓ//Βx. Οπότε είνι ισοδύνμ, 3 δηλδή:( ΑΒΚ ) = ( ΒΓΚ ) = 8 3 7 3 ii. Είνι: ( ΒΚΓ ) = ΚΓ ΒΛ = ΒΛ ΒΛ = ΒΛ = 8 7 4 ΑΣΚΗΣΗ η Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ εγγράφουμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΚΛ. Ν ( ABΓΔ ) βρείτε το λόγο ( ΑΚΛ) Έστω η πλευρά του τετργώνου κι x η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου. x 3 Τότε: ΑΓ =, ΑΜ = κι ΜΓ=ΜΛ (το τρίγωνο ΜΓΛ είνι ορθογώνιο κι ισοσκελές). x 3 x Οπότε: ΑΓ ΑΜ = ΜΛ = ( ) ( ΑΒΓΔ ) 3+ 3 x = ( 3 ) Οπότε: = =. ( ΑΚΛ) x 3 3 4 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 8 τ./5