ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο, ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Σώμα Σ μάζας που κινείται προς τα δεξιά στη θετική κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου υ συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ακίνητο σώμα Σ διπλάσιας μάζας. Η μεταβολή της ορμής του σώματος Σ κατά την κρούση έχει αλγεβρική τιμή: α) β). 3. 3 γ) 0. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. Εφόσον έχουμε κρούση δύο σωμάτων ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής: ά ά p p p p p. Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: 0 ( )v 3v v () 3 όπου v το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος. Σ Η μεταβολή της αλγεβρικής τιμής της ορμής του σώματος Σ κατά την κρούση είναι: ά ά () p p p p p p p v p p 3 3 πριν Σ + 3 μετά v
Ερώτηση. Ένα σώμα Α που έχει μάζα και ταχύτητα συγκρούεται με άλλο σώμα Β που έχει διπλάσια μάζα και ταχύτητα, αντίρροπη της. Από τη κρούση δημιουργείται συσσωμάτωμα που παραμένει ακίνητο στο σημείο της σύγκρουσης. Ο λόγος των μέτρων των ταχυτήτων των δύο σωμάτων πριν από την κρούση, είναι: α) /. β). γ). Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. Έστω η ταχύτητα του σώματος Α και η ταχύτητα του σώματος Β. Εφόσον έχουμε κρούση δύο σωμάτων ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής: ά ά p p p p p + Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: A πριν B 3 μετά 0
Ερώτηση 3. Δύο σώματα Α και Β, με μάζες και 3 αντίστοιχα, βρίσκονται ακίνητα πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Δίνουμε στο σώμα Α αρχική ταχύτητα έτσι ώστε να κινηθεί προς τη θετική φορά και να συγκρουστεί κεντρικά και ελαστικά με το ακίνητο σώμα Β. Η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του σώματος Β μετά την κρούση είναι α). β). γ) 4. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική και το σώμα Β είναι αρχικά ακίνητο. Άρα η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του σώματος Β μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: () Αν αντικαταστήσουμε: =, =3, στον τύπο () προκύπτει: 3 4 3
Ερώτηση 4. Σώμα Σ μάζας συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ένα δεύτερο ακίνητο σώμα Σ μάζας. Αν ΔΚ είναι η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ και ΔΚ είναι η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ λόγω της ελαστικής κρούσης, τότε ισχύει Α). β). γ). Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική, άρα η κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων διατηρείται: 0 ά ά ά ά ά 0 4
Ερώτηση 5. Σώμα Σ μάζας που κινείται προς τη θετική κατεύθυνση συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερο ακίνητο σώμα Σ μάζας. Η ποσότητα της κινητικής ενέργειας που έχει μεταφερθεί από τo σώμα Σ στo σώμα Σ μετά την κρούση γίνεται μέγιστη όταν:. α). β). γ) Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική, το σώμα Σ έχει ταχύτητα μέτρου και το σώμα Σ είναι αρχικά ακίνητο. Άρα η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του σώματος Σ μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: () Επειδή το σώμα Σ είναι αρχικά ακίνητο η ποσότητα της κινητικής ενέργειας που έχει μεταφερθεί από το σώμα Σ στο Σ μετά την κρούση είναι: 4 ά ά ά ( ) () Η ποσότητα αυτή γίνεται μέγιστη όταν: 4 ά () 4 ( ) ( ) ( ) 4 4 0 ( ) 0 0 5
Ερώτηση 6. Δύο σώματα με μάζες και, εκ των οποίων η κινείται με ταχύτητα που έχει αλγεβρική τιμή υ ενώ η είναι ακίνητη, συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Μετά την κρούση η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας ' του σώματος θα δίνεται από τη σχέση: '. α) '. β) γ) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.. Σωστή απάντηση είναι η α. Σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής. p ( πριν) p ( μετά) p ( πριν) p ( πριν) p ( μετά) p ( μετά ) 0 ' ' ' ' () Επειδή η κρούση είναι ελαστική ισχύει και η Αρχή Διατήρησης της Κινητικής Ενέργειας. πριν μετά ' ' ' ' 0 ' ' ' ' ' () Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () και παίρνοντας υπόψη μας ότι ' και ', προκύπτει: ' ' (3) Λύνουμε τώρα το σύστημα των εξισώσεων () και (3). 6
(3) () ' ' ' ' ' ' ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 7
Ερώτηση 7. Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι είναι δυνατόν η αρχική ορμή ενός συστήματος δύο σωμάτων που συγκρούονται ελαστικά να είναι μηδέν, και μετά την κρούση η τελική ορμή του συστήματος να είναι μηδέν ενώ η κινητική ενέργεια του συστήματος να είναι διάφορη του μηδενός. Ο παραπάνω ισχυρισμός: α) Είναι ψευδής. β) Είναι αληθής. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. Η ορμή είναι μέγεθος διανυσματικό. Αφού πριν την κρούση η ορμή του συστήματος είναι μηδέν, αυτό σημαίνει ότι οι ορμές των σωμάτων είναι αντίθετες. p ( ) 0 p ( ) p ( ) 0 p ( ) p ( ) Η κινητική ενέργεια είναι μονόμετρο μέγεθος. Συνεπώς η αρχική κινητική ενέργεια του συστήματος είναι διάφορη του μηδενός. ( ) ( ) ( ) 0 Σε κάθε κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής του συστήματος. p ( πριν) p ( μετά) 0 p ( μετά) Άρα και μετά την κρούση η ορμή του συστήματος θα είναι μηδέν. Πάλι οι ορμές των σωμάτων θα είναι αντίθετες. p ( πριν) p ( μετά) 0 p ( μετά) p ( μετά) p ( μετά) p ( μετά) Επειδή όμως η κρούση είναι ελαστική, ισχύει και η Αρχή Διατήρησης της Κινητικής Ενέργειας του Συστήματος. ( πριν) ( μετά) Συνεπώς και η τελική κινητική ενέργεια του συστήματος θα είναι διάφορη του μηδενός. 8
Ερώτηση 8. Σώμα μάζας = kg κινείται προς τη θετική κατεύθυνση και προσπίπτει με ταχύτητα μέτρου υ =0 /s σε ακίνητη σφαίρα () μάζας και συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά με αυτή. Μετά την κρούση η () κινείται με ταχύτητα μέτρου υ =6 /s αλλά αντίθετης φοράς από την υ. Η μάζα του σώματος είναι: α) = kg. β) =/4 kg. γ) =4 kg. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. u 6 0 6 6 0 0 4 6 ' 4kg Παρατήρηση: Πρέπει να προσέξετε να βάλετε το πρόσημο μείον (-) στην ταχύτητα υ. 9
Ερώτηση 9. Σε μία ανελαστική κρούση μεταξύ δύο σωμάτων και, εκ των οποίων το είναι αρχικά ακίνητο, το ποσοστό της μεταβιβαζόμενης ενέργειας από το στο δίνεται από τη σχέση: α) a% 00%. β) a% 00%. γ) a% 00%. όπου ΔΚ η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του πρώτου σώματος, Κ η κινητική ενέργεια του δεύτερου σώματος και ΔΚ ολ η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. Προσοχή: Αφού η κρούση των δύο σωμάτων είναι ανελαστική δεν ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Κινητικής Ενέργειας. Η κινητική ενέργεια που απέκτησε το μετά την κρούση δεν ισούται με την κινητική ενέργεια που έχασε το. Ένα μέρος μεταφέρθηκε σαν θερμότητα στο περιβάλλον. Από την ενέργεια Κ που είχε το δόθηκε στο ενέργεια Κ. Από τα 00% a% Με την απλή μέθοδο των τριών προκύπτει: a% 00% 0
Ερώτηση 0. Κατά τη μετωπική ελαστική κρούση δύο σωμάτων και εκ των οποίων η είναι ακίνητη το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της (επί της αρχικής κινητικής ενέργειάς της) είναι -36%. O λόγος είναι: α) 9 ή. 9 β) 4 ή. 4 γ) ή. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Σωστή απάντηση είναι η α. Είναι γνωστό από τη θεωρία ότι μετά την ελαστική μετωπική κρούση δύο σωμάτων εκ των οποίων το ένα ήταν ακίνητο, τα δύο σώματα θα αποκτήσουν ταχύτητες: ' u και ' u, όπου και ' η αρχική και τελική ταχύτητα αντίστοιχα του αρχικά κινούμενου σώματος μάζας, ενώ και ' η αρχική και τελική ταχύτητα αντίστοιχα του αρχικά ακίνητου σώματος μάζας. Από τα δεδομένα προκύπτει: 36 64 64 ' 00 00 00 8 8 8 ' 0 0 0 η περίπτωση: 8 0 0 8 8 8 9 9 0
η περίπτωση: 8 0 0 8 8 8 9 0 9
Ερώτηση. Το βλήμα μάζας του σχήματος κινείται παράλληλα με το οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται πλαστικά με το κιβώτιο μάζας Μ που ισορροπεί με τη βοήθεια μικρού εμποδίου πάνω σε λείο ακλόνητο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ. Αν η ταχύτητα του βλήματος έχει μέτρο υ, τότε το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση θα είναι: α) β) γ) V V V. M. M. M Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Σωστή απάντηση είναι η β. Όπως είναι γνωστό, από τον 0 νόμο του Νεύτωνα σε γενικευμένη μορφή προκύπτει: p F p Ft p p Ft t p p F t () Από τη σχέση () παρατηρούμε ότι η ορμή ενός συστήματος διατηρείται μόνο αν η συνισταμένη των δυνάμεων στο σύστημα ή το χρονικό διάστημα που διαρκεί το φαινόμενο, τείνουν στο μηδέν. Στην περίπτωσή μας αυτό δεν συμβαίνει γιατί στη διάρκεια της κρούσης αναπτύσσεται μία τεράστια κάθετη αντίδραση από το κεκλιμένο επίπεδο. Μπορούμε όμως να εφαρμόσουμε την Αρχή Διατήρησης της Ορμής στον άξονα x x για το μικρό χρονικό διάστημα της κρούσης. 3
πριν μετά p p p p p p (x) (x) (x) (x) (x) (x) M M Επιλέγοντας θετική φορά προς τα πάνω, γράφουμε την παραπάνω σχέση αλγεβρικά: x 0 M V V M Στον άξονα y y δεν ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής για τους λόγους που αναφέραμε. 4
ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Σώμα Σ με μάζα kg και ταχύτητα μέτρου 0 / s, κινείται σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές, προς τη θετική κατεύθυνση, όπως στο σχήμα. Το σώμα Σ συγκρούεται με σώμα Σ μάζας 3kg που αρχικά είναι ακίνητο. Η κρούση οδηγεί στη συγκόλληση των σωμάτων. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα του συσσωματώματος που δημιουργείται μετά την κρούση. β) την απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά την κρούση. γ) το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος Σ που μεταφέρθηκε στο σώμα Σ. δ) τη μεταβολή της ορμής του σώματος Σ. Σ Σ α) Έστω V η ταχύτητα του συσσωματώματος που δημιουργείται αμέσως μετά την κρούση. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα των δύο σωμάτων: Σ πριν Σ + μετά v p p p p p πριν μετά πριν πριν μετά () ολ ολ συσ Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η εξίσωση () γράφεται αλγεβρικά: 0 ( )V V Με αντικατάσταση προκύπτει kg 0 40 s s V V V 8 kg 3kg 5 s β) Θεωρούμε ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο. Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά την κρούση είναι: 5
ά ά ά ά U U 0 ά ( U ) ( U ) ( )V Με αντικατάσταση προκύπτει: g 0 5kg 8 400J 60J 40J s s ά γ) Η κινητική ενέργεια του σώματος Σ μετά τη κρούση είναι: V και η κινητική ενέργεια του σώματος Σ πριν την κρούση είναι:. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος Σ που μεταφέρθηκε στο σώμα Σ είναι: V ά V Με αντικατάσταση προκύπτει: 3kg 8 ά s 364 0, 4 ή 4% 400 kg 0 s δ) Η μεταβολή της ορμής του σώματος Σ είναι: p p p ά Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: ά kg p p p p V p kg 8 kg 0 p 6kg 40 s s s s p 4kg s kg Άρα η ορμή του σώματος Σ ελαττώνεται κατά: p 4 s 6
Άσκηση. Σώμα μάζας 0,9 kg που είναι προσδεμένο στο άκρο τεντωμένου νήματος μήκους L, αφήνεται ελεύθερο από ύψος h, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν το νήμα βρίσκεται στην κατακόρυφη θέση, το σώμα έχει ταχύτητα μέτρου / s και συγκρούεται πλαστικά με βλήμα μάζας 0,kg και ταχύτητας μέτρου 48 / s με φορά προς το σώμα. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Να υπολογίσετε: h α) το ύψος h από το οποίο αφέθηκε ελεύθερο το σώμα μάζας. β) το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος που δημιουργείται μετά την κρούση. γ) το ύψος h' στο οποίο θα φτάσει το συσσωμάτωμα μετά την κρούση. δ) τη μεταβολή της μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά τη κρούση. Σε τι μορφή ενέργειας μετατράπηκε αυτή; Δίνεται: g 0 / s. α) Στο σώμα πριν από την κρούση η μόνη δύναμη που παράγει έργο είναι το βάρος, που είναι συντηρητική δύναμη. Άρα ισχύει το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας το οποίο εφαρμόζουμε για τις θέσεις Α και Γ του σώματος. (Θεωρούμε ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το σημείο της σύγκρουσης). E.. E.. U U 0 gh 0 h g Με αντικατάσταση προκύπτει: s h h 0, 0 s 7
β) Έστω v η ταχύτητα του συσσωματώματος που δημιουργείται αμέσως μετά τη κρούση. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα των δύο σωμάτων: ά ά p p p p p Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα αριστερά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: ( )V V () Με αντικατάσταση προκύπτει: 0,kg 48 0,9kg 4,8,8 s s s s V V V 3 0,9kg 0,kg s γ) Στο συσσωμάτωμα μετά τη κρούση η μόνη δύναμη που παράγει έργο είναι το βάρος, που είναι συντηρητική δύναμη. Άρα ισχύει το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας το οποίο εφαρμόζουμε για τις θέσεις Γ και Δ. (Θεωρούμε ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το σημείο της σύγκρουσης). V E.. E.. U U ( )V 0 0 ( )gh ' h ' g Με αντικατάσταση προκύπτει: 3 s h h 0, 45 0 s δ) Η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά τη κρούση είναι: ά ά ά ά U U 0 ά ( U ) ( U ) ( )V Με αντικατάσταση προκύπτει: 0,9g 0,kg 48 kg 3,8J 5, J 4,5J,5J s s s Η ενέργεια αυτή μετατράπηκε κατά την κρούση σε θερμότητα. 8
Άσκηση 3. Σώμα Σ μάζας κινούμενο προς τη θετική φορά σε λείο οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται με ταχύτητα μέτρου 8 / s κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Σ Σ Αμέσως μετά την κρούση, το σώμα μάζας κινείται αντίρροπα με ταχύτητα μέτρου ' 4 / s. Να υπολογίσετε: α) το λόγο των μαζών. β) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας αμέσως μετά την κρούση. γ) το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας που μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας λόγω της κρούσης. δ) την αλγεβρική τιμή της μεταβολής της ορμής των δύο σωμάτων, αν παρατηρείτε; kg. Τι Δίνεται g 0 / s. α) Ορίζουμε θετική φορά προς τα δεξιά. Άρα 4 / s. Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική, το σώμα Σ έχει ταχύτητα μέτρου 8 / s και το σώμα Σ είναι αρχικά ακίνητο. Άρα η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας κρούση δίνεται από τον τύπο: πριν του σώματος Σ μετά την + μετά () και η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας τύπο: () Ονομάζουμε το λόγο οπότε (3) Από τις σχέσεις (), (3) προκύπτει: του σώματος Σ μετά την κρούση δίνεται από τον 9
( ) ( ) ( ) Με αντικατάσταση προκύπτει: 8 ( 4 ) s s 3 8 ( 4 ) 4 s s Δηλαδή 3 β) Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας αμέσως μετά την κρούση θα υπολογιστεί από τη σχέση (): Με αντικατάσταση 3 προκύπτει: 3 4 (4) 8 και αντικαθιστώντας 8 / s προκύπτει: s 4 s γ) Επειδή το σώμα μάζας είναι πριν την κρούση ακίνητο, το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας που μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας λόγω της κρούσης είναι: ά Με αντικατάσταση =3 και 4 / s προκύπτει : ά 3 4 s 36 0, 75 ή 75% 64 8 s ά δ) Η μεταβολή της ορμής του σώματος Σ είναι: p p p 0
Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: p p 0 p 0 kg Με αντικατάσταση προκύπτει: p kg 4 p 8 s s Η μεταβολή της ορμής του σώματος Σ είναι: p p p ά Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: p p ( ) Είναι 3 kg 3 3 kg οπότε με αντικατάσταση προκύπτει: p kg ( 4 8) p -8 3 s s Παρατηρούμε ότι οι δύο μεταβολές είναι αντίθετες.
Άσκηση 4. Το σώμα μάζας u0 kg του παρακάτω σχήματος βάλλεται με αρχική ταχύτητα 0 / s πάνω σε οριζόντιο δάπεδο που παρουσιάζει συντελεστή τριβής 0,. Αφού διανύσει απόσταση s σώμα μάζας 9 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το ακίνητο 6kg που είναι αρχικά ακίνητο. Να βρείτε: α) την ταχύτητα του σώματος μάζας λίγο πριν την κρούση. β) τις ταχύτητες των σωμάτων αμέσως μετά την κρούση. γ) το ποσοστό της ενέργειας του σώματος που μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας. δ) το διάστημα d που θα διανύσει το σώμα μάζας μέχρι να σταματήσει. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g 0 / s. α) Φαινόμενο 0 : Κίνηση του από το Α στο Γ. Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας.
W W W A B N T 0 0 T s 80 0 gs 0 gs 0 gs 0 Tg 0 gs 0 00 0,09 / s 00 36 / s 64 / s 8 / s β) Φαινόμενο 0 : Κρούση του με το. Θεωρούμε θετική φορά προς τα δεξιά. Επειδή η κρούση των δύο σωμάτων είναι κεντρική και ελαστική ισχύουν οι τύποι: ' και ' Με αντικατάσταση έχουμε: 6 ' 8 / s 6 ' 8 / s 6 ' 4 / s ' 4 / s γ) Λίγο πριν την κρούση το σώμα μάζας είχε κινητική ενέργεια: 8 J 64J Αμέσως μετά την κρούση το σώμα μάζας έχει κινητική ενέργεια: ' 64 J 48J Το ποσοστό της ενέργειας του σώματος που μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας είναι: 48 e% 75% 64 e% 00% 00% δ) Φαινόμενο 3 0 : Κίνηση του από το Γ στο Δ. Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας. 3
W W W B N T 0 ' 0 0 T d 80 ' gd ' gd ' 6 d g 0, 0 0 Tg d 4 4
Άσκηση 5. Ένας ξύλινος κύβος μάζας Μ=0,9kg ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα μικρό βλήμα μάζας =0,kg το οποίο, λίγο πριν να συγκρουστεί, κινείται με ταχύτητα μέτρου u 0 =50/s, σχηματίζοντας με τον ορίζοντα γωνία φ, σφηνώνεται στον κύβο. Να υπολογίσετε: φ u 0 M α) την ταχύτητα V του συσσωματώματος. β) τη θερμότητα που αναπτύχθηκε κατά την κρούση. γ) το ποσοστό της μηχανικής ενέργειας του βλήματος το οποίο μεταφέρθηκε στον κύβο. δ) τη μεταβολή της ορμής του συστήματος των σωμάτων κατά την κρούση. Δίνονται: ημφ=0,6, συνφ=0,8. α) Η κρούση είναι πλάγια και πλαστική ενώ το συσσωμάτωμα μετά την κρούση θα κινηθεί οριζόντια. Στην οριζόντια διεύθυνση δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις άρα η ορμή του συστήματος των σωμάτων θα διατηρείται σε αυτή τη διεύθυνση. Στην κατακόρυφη διεύθυνση ο κύβος δέχεται δύναμη από το δάπεδο άρα σε αυτή τη διεύθυνση η ορμή του συστήματος των σωμάτων δεν διατηρείται. Για να εξετάσουμε την ορμή του συστήματος ανά άξονα αναλύουμε την ορμή του ελάχιστα πριν την κρούση σε κάθετες συνιστώσες: φ u ox p p (x) (y) u o u o u oy u 0 M (+M) V ελάχιστα πρίν την κρούση αμέσως μετά την κρούση Στην οριζόντια διεύθυνση η διατήρηση της ορμής του συστήματος των σωμάτων γράφεται: u M s o p(x) p(x) p' (M)(x) u o ( M)V V V 4 β) Το ποσό θερμότητας που αναπτύσσεται ισούται με τη μείωση της μηχανικής ενέργειας του συστήματος των σωμάτων κατά την κρούση τους. Δηλαδή: 5
Q ( ) - ( ) Q ( ) - u 0 ( M)V Q 7J γ) Ο κύβος αποκτά κατά την κρούση ενέργεια: MV άρα το ζητούμενο ποσοστό είναι: MV 0,9 4 J % 00% 00% 5, 76% u 0 0, 50 J δ) Η ορμή του συστήματος διατηρείται στον οριζόντιο άξονα όπως εξηγήσαμε προηγουμένως. Αντίθετα στον κατακόρυφο άξονα δε διατηρείται. Συνεπώς: p p p (p p ) p p p u p 3kg s y y(m) y() y(m) y() o 6
Άσκηση 6. Ένας ξύλινος κύβος μάζας M 4,5kg είναι δεμένος στο άκρο ενός αβαρούς και μη εκτατού νήματος μήκους L 0,, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε οροφή. Ο κύβος ηρεμεί με το νήμα κατακόρυφο. Ένα βλήμα μάζας 0,5kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα u0 0 / s και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με τον κύβο. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β) το ποσό θερμότητας που αναπτύσσεται κατά την κρούση των σωμάτων. γ) τη μέγιστη ανύψωση που επιτυγχάνει το συσσωμάτωμα μετά την κρούση. δ) την τάση του νήματος αμέσως μετά την κρούση των σωμάτων. Δίνεται g 0 / s. α) Κατά την κρούση η ορμή του συστήματος των σωμάτων διατηρείται σταθερή, άρα: L (Γ) p p p' (M) T u 0 0 ( M)V V s u 0 M (+) (A) (M+) V h ελάχιστα πρίν την κρούση W ολ ελάχιστα μετά την κρούση β) Το ποσό θερμότητας Q που αναπτύσσεται κατά την κρούση είναι ίσο με τη μείωση της μηχανικής ενέργειας του συστήματος των σωμάτων. Άρα: Q ( ) - ( ) Η κρούση διαρκεί ελάχιστα, άρα η δυναμική ενέργεια του συστήματος δε μεταβάλλεται. Συνεπώς: Q - u 0 ( M)V Q 90J γ) Στο σχήμα η θέση (Γ) είναι το υψηλότερο σημείο που φτάνει το συσσωμάτωμα μετά την κρούση, άρα η ταχύτητα του σε αυτή τη θέση μηδενίζεται στιγμιαία. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας από τη θέση (Α) έως τη θέση (Γ): W W () (M)( ) (M)( ) w T Η τάση του νήματος είναι κάθετη στην τροχιά του συσσωματώματος άρα W T =0. H () γράφεται: 7
V g 0 ( M)V ( M)gh h h 0, () Άρα το νήμα γίνεται οριζόντιο, αφού h=l. δ) Το συσσωμάτωμα μετά την κρούση διαγράφει τμήμα κυκλικής τροχιάς, άρα η συνισταμένη των δυνάμεων που δέχεται το συσσωμάτωμα στην ακτινική διεύθυνση έχει το ρόλο της κεντρομόλου δύναμης. Συνεπώς αμέσως μετά την κρούση θα ισχύει: V V F F W ( M) T ( M)g ( M) T 50N L L 8
Άσκηση 7. Μικρή σφαίρα Σ, μάζας u kg που κινείται πάνω σε λείο επίπεδο με ταχύτητα 0 / s συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ μάζας Να υπολογίσετε: α) τις ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση. 8kg. β) τη μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας καθώς και τη μεταβολή της ορμής του συστήματος των σφαιρών. γ) τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ. δ) το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ που μεταφέρθηκε κατά την κρούση στη σφαίρα Σ. α) Στην περίπτωση αυτή αντιμετωπίζουμε την κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών, εκ των οποίων η μία είναι αρχικά ακίνητη. Στην περίπτωση αυτή οι εξισώσεις που εφαρμόζουμε είναι: (+) u u u u (Σ ) πριν την κρούση u (Σ ) u μετά την κρούση u 8 u 0 u 6 8 s s u 0 u 4 8 s s Το πρόσημο (-) της u δηλώνει ότι η σφαίρα Σ μετά την κρούση κινείται προς τα αριστερά. β) Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας Σ υπολογίζεται ως εξής: P P P P u u P kg 6 0 P 3kg s s s Αντίστοιχα για τη μεταβολή της σφαίρας Σ έχουμε: P P P P u 0 P 8kg 4 3kg s s Για τη μεταβολή της ορμής του συστήματος των σφαιρών έχουμε: 9
P P P P 3kg 3kg P 0 s s Το αποτέλεσμα είναι αναμενόμενο αφού η ορμή του συστήματος των σωμάτων διατηρείται, άρα θα πρέπει: P 0 γ) Η κινητική ενέργεια της σφαίρας Σ μεταβλήθηκε κατά: u u kg 6 0 64J s s δ) Η κρούση είναι ελαστική άρα η μείωση της ενέργειας του Σ κατά την κρούση ισούται με την ενέργεια που μεταφέρεται στο Σ. Το ζητούμενο ποσοστό ισούται με: 64J % 00% 00% 00% % 64% u 00J 30
ΘΕΜΑ Δ Πρόβλημα. Σφαίρα Σ μάζας κινείται με ταχύτητα μέτρου 6 / s και συγκρούεται με άλλη σφαίρα Σ μάζας, που είναι αρχικά ακίνητη. Η κρούση είναι έκκεντρη και ελαστική και η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Μετά την κρούση, η σφαίρα Σ κινείται με ταχύτητα διεύθυνση κάθετη στη διεύθυνση της. Να υπολογιστεί: που έχει α) το μέτρο και η διεύθυνση της ταχύτητας της σφαίρας Σ, μετά την κρούση. β) το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας Σ, μετά την κρούση. γ) το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας μάζας που μεταβιβάστηκε στη σφαίρα μάζας λόγω της κρούσης. δ) το μέτρο της μεταβολής της ορμής της σφαίρας Σ κατά τη κρούση, αν kg. Δίνεται η μαθηματική ιδιότητα. α) Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η πορεία των δύο σφαιρών μετά την έκκεντρη κρούση. Αναλύουμε την ταχύτητα σε δύο συνιστώσες οι οποίες έχουν μέτρα: x και y Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής για κάθε άξονα χωριστά: x x: p p p p p p ά ά ά.x.x.x.x.x.x Σ Σ x +y θ +x y' y θ x Επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: 0 0 x x () x y y: p p p p p p ά ά ά.y.y.y.y.y.y Επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα πάνω, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: 3
0 y y () y y Υψώνουμε τις σχέσεις () και () στο τετράγωνο και τις προσθέτουμε κατά μέλη: 4 4 4 ( ) 4 (3) Επειδή η κρούση είναι ελαστική η κινητική ενέργεια του συστήματος διατηρείται. ά ά ά 0 (4) Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις (4) και (3): 6 6 3 s 6 3 3 3 3 3 s s 6 s 3 4 3 s () = = = 30 β) Αφαιρούμε κατά μέλη τις σχέσεις (3) και (4): 3 s γ) Επειδή η σφαίρα μάζας είναι ακίνητη πριν τη κρούση, το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας μάζας που μεταβιβάστηκε στη σφαίρα μάζας λόγω της κρούσης είναι: ά 3 s ή 66,7% 3 6 s δ) Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής: p p ά p p p p p p p ά ά ά ά 3
p p p p p p ά ά ά Δηλαδή η μεταβολή της ορμής της σφαίρας Σ έχει αντίθετη κατεύθυνση από την ταχύτητα και μέτρο p Με αντικατάσταση =kg και 3 προκύπτει: s p kg 3 kg p 4 3 s s 33
Πρόβλημα. Σώμα Σ μάζας 4kg βρίσκεται ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Ένα δεύτερο σώμα Σ μάζας kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου 0 / s και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το Σ. Να υπολογίσετε: α) τις ταχύτητες των δύο σωμάτων μετά την κρούση. β) το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σώματος Σ. γ) το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ που μεταφέρθηκε στο σώμα Σ. δ) τη μέγιστη συσπείρωση Δl του ελατηρίου. Σ Σ Δίνεται η σταθερά του ελατηρίου N k 00 α) Ορίζουμε θετική φορά προς τα δεξιά. Η κρούση είναι κεντρική και ελαστική, το σώμα Σ έχει ταχύτητα μέτρου υ =0/s και το σώμα Σ είναι αρχικά ακίνητο. Άρα η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας Σ Σ πριν του σώματος Σ μετά την κρούση δίνεται από τον τύπο: + μετά () και η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας τύπο: () του σώματος Σ μετά την κρούση δίνεται από τον 4 3 Με αντικατάσταση προκύπτει: 0 0 6 4 s 5 s s προς τα αριστερά όπως στο σχήμα) (έχει φορά και 0 4 5 s s β) Η μεταβολή της ορμής του σώματος Σ : p p p ά 34
Επειδή όλα τα διανύσματα των ορμών έχουν την ίδια διεύθυνση, επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά, η παραπάνω εξίσωση γράφεται αλγεβρικά: p p 0 p 0 kg Με αντικατάσταση προκύπτει: p 4kg 4 p 6 s s Επειδή η αλγεβρική τιμή της μεταβολής της ορμής είναι θετική, ταυτίζεται με το μέτρο. γ) Η κινητική ενέργεια του Σ μετά την κρούση είναι: ά Επειδή το σώμα Σ αρχικά ήταν ακίνητο, το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ που μεταφέρθηκε στο σώμα Σ, είναι: ά 4kg 4 s 46 0, 64 ή 64% 00 kg 0 s δ) Κατά τη συμπίεση του ελατηρίου όλη η κινητική ενέργεια του σώματος Σ μετατρέπεται σε δυναμική ενέργεια στο ελατήριο: Εφαρμόζουμε τη διατήρηση της Μηχανικής ενέργειας για το σύστημα Σ -k : U kl l k και με αντικατάσταση 4kg, 4 και s N k 00 προκύπτει: 4kg l 4 l 4 l 0,8 s 00 0 35
Πρόβλημα 3. Το σώμα μάζας kg του παρακάτω σχήματος, ακουμπάει χωρίς να έχει προσδεθεί 4 στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k 0 N /. Το ελατήριο είναι συμπιεσμένο σε σχέση με το φυσικό του μήκος κατά 0, με τη βοήθεια νήματος. Κάποια στιγμή το νήμα κόβεται και το σώμα μάζας συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το αρχικά ακίνητο σώμα μάζας 4kg. Το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο. To μετά την κρούση κινείται σε μη λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης 0 30 που παρουσιάζει τριβές με συντελεστή τριβής ολίσθησης 3. 5 Α. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος λίγο πριν την κρούση του με το σώμα. β) τις ταχύτητες των σωμάτων αμέσως μετά την ελαστική τους κρούση. γ) το διάστημα που θα διανύσει το μέχρι να σταματήσει. Β. Θα επιστρέψει το στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, αν υποτεθεί ότι το μήκος του κεκλιμένου επιπέδου είναι αρκετά μεγάλο για την κίνηση του σώματος; Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g 0 / s. Α. α) Φαινόμενο 0 : Κίνηση του υπό την επίδραση της δύναμης του ελατηρίου. Κατά την αποσυμπίεση του ελατηρίου όλη η δυναμική ενέργεια του μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια του σώματος μάζας. Η επαφή της με το ελατήριο χάνεται στο φυσικό μήκος του. Εφαρμόζουμε τη διατήρηση της Μηχανικής ενέργειας για το σύστημα -k μεταξύ της αρχικής συσπειρωμένης θέσης του ελατηρίου και του φυσικού του μήκους. 36
E (A) E (M) (A) U(A) (M) U(M) 0 k l 0 k l 4 0 0, / s 0 / s β) Φαινόμενο 0 : Κρούση του με το. Θετική φορά λαμβάνεται αυτή προς τα αριστερά. Επειδή η κρούση των δύο σωμάτων είναι κεντρική και ελαστική ισχύουν οι τύποι: ' και ' Με αντικατάσταση έχουμε: 4 ' 0 / s 4 ' 0 / s 4 ' 6 / s ' 4 / s γ) Φαινόμενο 3 0 : Κίνηση του στο κεκλιμένο επίπεδο. Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για το από τη θέση Γ έως τη θέση Δ. 37
W W W g N 0 hs 0 ' gh 0 s80 0 ' g s 0 g s ' gs ' s g 6 s 3 3 0 5 6 s 8 0 0 s Β. Όταν το σώμα σταματήσει, η τριβή ολίσθησης μετατρέπεται ακαριαία σε στατική τριβή και αντιτίθεται στην συνιστώσα g x που έχει την τάση να ξαναθέσει σε κίνηση το σώμα. Αν η g x είναι μεγαλύτερη της μέγιστης τιμής της στατικής τριβής το σώμα θα επανέλθει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Αν η g x είναι μικρότερη ή ίση της μέγιστης τιμής της στατικής τριβής το σώμα δεν θα επανέλθει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου και θα σταματήσει οριστικά. Σε αυτή την περίπτωση στο σώμα θα ασκείται η στατική τριβή που θα είναι ίση με το g x και όχι η μέγιστη τιμή της στατικής τριβής. Έλεγχος: gx g 40 N 0N 3 3 (ax) g 40 N 5 Αφού η g x είναι μεγαλύτερη της μέγιστης τιμής της στατικής τριβής το σώμα θα επανέλθει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. 38
Πρόβλημα 4. Ένα σώμα μάζας 35kg ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k 0N /, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε οροφή. Κάποια στιγμή ένα βλήμα μάζας =5 kg βάλλεται από απόσταση h 3, κάτω από το σώμα Μ με αρχική ταχύτητα μέτρου 0 6 / s και με φορά προς τα πάνω και συγκρούεται πλαστικά με το σώμα μάζας Μ. Να υπολογίσετε: α) Το μέτρο της ταχύτητας του βλήματος λίγο πριν την κρούση. β) Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. γ) Τη θερμότητα που αναπτύχθηκε κατά την διάρκεια της κρούσης. δ) Τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου από την αρχική του θέση. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g 0 / s. F 0 Mg F 0 Mg k. Mg (*) k α) Φαινόμενο 0 : Κίνηση του από το Α προς το Γ. Θ.Μ.Κ.Ε. για το : W A g 0 gh gh 56 03, / s 644 64 / s 643 / s 0 8 3 / s () 39
β) Φαινόμενο 0 : Πλαστική κρούση -Μ. Α.Δ.Ο (λίγο πριν λίγο μετά την κρούση) p πριν p μετά p p p p ' ' M M Επιλέγοντας θετική φορά προς τα πάνω, γράφουμε την παραπάνω σχέση αλγεβρικά: u 40 3 ( M)V V V / s M 40 V 3 / s () γ) Q ( ) ( ) (3) Η αρχική κινητική ενέργεια του συστήματος είναι: (4) ( ) 0 5 8 3 J 480J Η τελική κινητική ενέργεια του συστήματος είναι: ( ) ( M)V (5 35) 3 J 03J ( ) 60J (5) (4),(5) (3) Q 480 60 J Q 40J δ) Φαινόμενο 3 0 : Συσπείρωση του ελατηρίου. Θ.Μ.Κ.Ε για το συσσωμάτωμα από το ΓΔ (ή διατήρηση της μηχανικής ενέργειας του συστήματος μεταξύ των θέσεων Γ και Δ) W W (M)g F 0 ( M)V ( M)gx k k x (*) ( M)V ( M)gx k k kx kx Mg ( M)V ( M)gx kx k x k ( M)V gx kx kx gx ( M)V 0 0x 50x 403 0 x 5x 6 0 x 6 x απορρίπτεται δεκτή 40
Πρόβλημα 5. Το σώμα του διπλανού σχήματος έχει μάζα άκρο κατακόρυφου μη εκτατού νήματος μήκους 0,8. Σώμα μάζας 0, kg κινείται με ταχύτητα υ 0 και συγκρούεται πλαστικά με το σώμα Μ. Να υπολογίσετε: 4,8kg και ισορροπεί δεμένο στο κάτω O α) Την ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει το σώμα ώστε μετά την πλαστική τους κρούση, το συσσωμάτωμα να διαγράψει μία πλήρη κυκλική τροχιά (να κάνει ανακύκλωση). β) Το μέτρο της μεταβολής της ορμής της μάζας πριν και μετά την κρούση. υ 0 l M γ) Την τάση Τ 0 του νήματος πριν την κρούση. δ) Την τάση Τ του νήματος αμέσως μετά την κρούση. Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g 0 / s. α) Φαινόμενο 0 : Πλαστική κρούση -M. Α.Δ.Ο (λίγο πριν - λίγο μετά) p πριν p μετά p p p p ' ' M M u M V 0 M V 0, 4,8 V 0 0 5V () 0, Φαινόμενο 0 : Κίνηση συσσωματώματος από το Α στο Γ. 4
Εφαρμόζουμε το Θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας. W W A (M)g T ' ( M)V ( M)V ( M)g 0 V V 4g V V 4g () ' ' Φαινόμενο 3 0 : Συνθήκη ανακύκλωσης στο σημείο Γ. F F R ' V ' V int0 T M g M V g V g 00,8 / s V,8 / s (3) ' ' ' (3) () V,8 4 0 0,8 / s,8 7, / s 9 / s V 3 / s (4) (4) () u 0 53 / s u 0 75 / s β) Το μέτρο της ορμής της μάζας πριν την κρούση είναι: p u 0 0, 75kg / s p 5kg / s Το μέτρο της ορμής της μάζας μετά την κρούση είναι: p p V 0, 3kg / s 0,6kg / s Το μέτρο της μεταβολής της ορμής του κατά την κρούση είναι: p p p 0,6 5 kg / s p 4,4kg / s γ) Επειδή αρχικά το σώμα μάζας Μ ισορροπούσε: F 0 T0 Mg 0 T 0 T0 4,80N T 0 48N Mg δ) Το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την κρούση μπαίνει σε κυκλική κίνηση. Προσοχή: Η τάση του νήματος δεν ισούται με το βάρος του συσσωματώματος ( T M g ) και η συνισταμένη της τάσης και του βάρους είναι η κεντρομόλος δύναμη. 4
V V (4) F F T M g M T M g M R 9 T 50 5 N 0,8 T 300N Ημερομηνία τροποποίησης: 3/08/05 Επιμέλεια: Ιωάννης Αλεξόπουλος, Αντώνιος Γεωργούσης, Νικόλαος Στέρπης Επιστημονικός έλεγχος: Αντώνιος Παλόγος, Βασίλειος Ραυτόπουλος, Κωνσταντίνος Στεφανίδης 43