ΜΑΘΗΜΑ 7 Κεφάλαι o : Τριγωνµετρία Υπενότητα.: Τριγωνµετρικί αριθµί γωνίας ω µε 0 ω 80 Θεµατικές Ενότητες:. Επανάληψη από Β Γυµνασίυ.. Τριγωνµετρικί αριθµί πιασδήπτε γωνίας ω. Α. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΟ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ Ηµίτν µιας ξείας γωνίας ενός ρθγωνίυ τριγώνυ καλείται λόγς της απέναντι κάθετης πλευράς πρς την υπτείνυσα τυ τριγώνυ. Αν δηλαδή ω είναι µια ξεία γωνία ενός ρθγωνίυ τριγώνυ, τότε ισχύει: ηµω= απεναντι καθετη πλευρα υπτεινυσα ηλαδή στ παρακάτω ρθγώνι τρίγων τ ηµιτν της γωνίας Β, Γ θα είναι ίσ µε: Β ηµβ= = ΒΓ α και ΑΒ γ ηµγ= = ΒΓ α γ α Α β Γ Τ ηµίτν µιας γωνίας ω είναι ένας αριθµός. Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός - 5 -
Όσ µεγαλώνει µια ξεία γωνία, τόσ µεγαλώνει και τ ηµίτν της. Επειδή ι κάθετες πλευρές ενός ρθγωνίυ τριγώνυ είναι µικρότερες από την υπτείνυσα ισχύει η σχέση: 0<ηµω< Συνηµίτν µιας ξείας γωνίας ενός ρθγωνίυ τριγώνυ καλείται λόγς της πρσκείµενης κάθετης πλευράς πρς την υπτείνυσα τυ τριγώνυ. Αν δηλαδή ω είναι µια ξεία γωνία ενός ρθγωνίυ τριγώνυ, τότε ισχύει: συνω= πρσκειµενη καθετη πλευρα υπτεινυσα ηλαδή στ παρακάτω ρθγώνι τρίγων τ συνηµίτν της γωνίας Β, Γ θα είναι ίσ µε: Β ΑΒ γ συνβ = = ΒΓ α και συνγ = = ΒΓ α γ α Α β Γ Τ συνηµίτν µιας γωνίας ω είναι ένας αριθµός. Όσ µεγαλώνει µια ξεία γωνία, τόσ µικραίνει και τ συνηµίτν της. Επειδή ι κάθετες πλευρές ενός ρθγωνίυ τριγώνυ είναι µικρότερες από την υπτείνυσα ισχύει η σχέση: 0<συνω< Εφαπτµένη µιας ξείας γωνίας ενός ρθγωνίυ τριγώνυ καλείται λόγς της απέναντι κάθετης πλευράς πρς την πρσκείµενη κάθετη πλευρά. Αν δηλαδή ω είναι µια ξεία γωνία ενός ρθγωνίυ τριγώνυ, τότε ισχύει: Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός - 6 -
απεναντι καθετη πλευρα εφω= πρσκειµενηκαθετη πλευρα ηλαδή στ παρακάτω ρθγώνι τρίγων η εφαπτµένη της γωνίας Β, Γ θα είναι ίση µε: Β εφβ= = ΑΒ γ και ΑΒ γ εφγ= = γ α Α β Γ Η εφαπτµένη µιας γωνίας ω είναι ένας αριθµός πίς εκφράζει τη κλίση πυ σχηµατίζει µια ευθεία ε µε µια άλλη ριζόντια ευθεία.(η κλίση συνήθως δίνεται µε τη µρφή πσστύ) Όσ µεγαλώνει µια ξεία γωνία, τόσ µεγαλώνει και η εφαπτµένη της. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 0 Ο, 45 Ο ΚΑΙ 60 Ο Τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς γωνίας 45 µπρύµε να τυς υπλγίσυµε αν κατασκευάσυµε ένα ρθγώνι και ισσκελές τρίγων µε κάθετες πλευρές ίσες µε. Τότε τ τρίγων αυτό θα έχει ξείες γωνίες ίσες µε 45 και υπτείνυσα ίση µε. Παίρνντας τ ηµίτν και τ συνηµίτν των 45 θα έχυµε: ηµ 45 = = και συν 45 = = πότε ηµω εφω = = = συνω Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός - 7 -
Τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς γωνίας 0 και 60 µπρύµε να τυς υπλγίσυµε αν φέρυµε τ ύψς σε ένα ισόπλευρ τρίγων µε πλευρές ίσες µε. Τότε τ κάθε ρθγώνι τρίγων πυ σχηµατίζεται θα έχει ξείες γωνίες ίσες µε 0 και 60 και κάθετες πλευρές και. Παίρνντας τ ηµίτν και τ συνηµίτν των 0 και 60 αντίστιχα θα έχυµε: ηµ 0 = και συν 0 = πότε ηµ 0 εφ 0 = = = = = συν0 ηµ 60 = και συν 60 = πότε ηµ 60 εφ 60 = = = = συν60 Συνλικά λιπόν έχυµε τ παρακάτω πινακάκι ω ηµω συνω εφω 0 45 60 Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός - 8 -
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Υπενθυµίζυµε ότι: Σε ένα ρθγώνι τρίγων ι τριγωνµετρικί αριθµί µιας ξείας γωνίας είναι: εφβ= = ΑΒ γ και ηµβ= = ΒΓ α και ΑΒ γ συνβ = = ΒΓ α και ΑΒ γ εφγ= = ΑΒ γ ηµγ= = ΒΓ α συνγ = = ΒΓ α Β γ α Α β Γ Από τ παραπάνω τρίγων απδεικνύεται ότι ι τριγωνµετρικί αριθµί συµπληρωµατικών γωνιών είναι: ( 90 ) ( 90 ) ηµ ω =συνω συν ω =ηµω Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός - 9 -
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ ( Α= 90 ) είναι: AB = cm και ΒΓ = 0cm. Να βρείτε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς των ξειών γωνιών τυ.. Να υπλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς γωνίας 0 και 60. (Υπόδειξη: Κατασκευάστε ένα ισόπλευρ τρίγων µε πλευρά α = ). Να δείξετε ότι σε κάθε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ ( Α= 90 ) ισχύει: ηµβ α + = εφβ ηµγ βγ 4. Αν ω είναι ξεία γωνία ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΒΓ, να απδείξετε ότι ισχύυν ι σχέσεις: i) ηµω<εφω ( ) ii) εφω εφ 90 ω = 5. Να υπλγιστύν ι τιµές των παραστάσεων: i)a=ηµ 0 +ηµ 40 συν50 συν70 εφ 45 +ηµ 60 +συν 0 ii) Β= εφ 60 ηµ 45 6. ίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ = 0cm και Α= 0. Να υπλγίσετε τ ύψς τυ Α και τ εµβαδόν τυ. 7. Να δείξετε ότι τ εµβαδόν Ε ενός τριγώνυ ΑΒΓ, είναι Ε= α β ηµγ 8. Σε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ είναι: εφγ= και ΑΒ = 0cm. Να 4 υπλγίσετε τη περίµετρ τυ τριγώνυ και τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς της γωνίας Β. 9. Σε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ ( Α= 90 ) είναι: AB = 0cm και Γ= ɵ 5. Να υπλγίσετε τις πλευρές ΑΓ και ΒΓ τυ τριγώνυ. Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός - 0 -
0. ίνεται παραλληλόγραµµ ΑΒΓ µε Α= 60 και ΑΒ = 0cm. Αν τ ύψς τυ είναι ΑΕ = 5cm, να υπλγίσετε τις πλευρές τυ.. ίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ µε Α= 70 και βάση ΒΓ = 0cm. Να βρείτε την περίµετρ τυ τριγώνυ.. Σε κάθε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ ( Α= 90 ) να δείξετε ότι ισχύυν ι σχέσεις: i) ηµβ+συνβ=ηµγ+συνγ β γ ii) ηµβ συνβ=ηµγ συνγ= α iii) ηµ Γ συν Γ= ηµγ+συνβ iv) =εφγ συνγ+ηµβ γ β α. Να υπλγιστύν ι τιµές των παραστάσεων: i)a=ηµ 0 +εφ0 εφ60 συν60 ii) Β=ηµ 0 συν 60 +ηµ 60 συν0 iii) Γ=ηµ 5 συν 5 +ηµ 55 συν65 4. Αν ω µία ξεία γωνία ενός ρθγωνίυ τριγώνυ, να υπλγίσετε τις παραστάσεις: Α=εφω εφ 90 ω ( ) Β=εφ ω συν ω Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός - -
Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΠΟΙΑΣ ΗΠΟΤΕ ΓΩΝΙΑΣ ΟΡΙΣΜΟΙ y Μ(x,y) A(0,y) ρ x B(x,0) 0 x y Θεωρύµε ένα σύστηµα ρθγωνίων αξόνων xοy και ένα σηµεί Μ(x,y). Αν ω νµάσυµε τη γωνία πυ σχηµατίζεται από την ηµιευθεία Ox, όταν αυτή περιστραφεί γύρω από τ Ο αντίθετα από τυς δείκτες τυ ρλγιύ (θετική φρά) µέχρι να συµπέσει µε την ηµιευθεία ΟΜ και θέσυµε ΟΜ = ρ, τότε ρίζυµε να είναι: y x y ηµω= συνω= εφω= ρ ρ x Για κάθε γωνία ω ισχύει: ηµω συνω Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός - -
Τ πρόσηµ των τριγωνµετρικών αριθµών εξαρτάται από τ τεταρτηµόρι στ πί βρίσκεται τ σηµεί Μ. Τ πρόσηµ αυτό σε κάθε τεταρτηµόρι δίνεται στν παρακάτω πίνακα: (ή ΟΗΕΣ) ω o o o 4 o ηµω + + - - συνω + - - + εφω + - + - είτε τ παραπάνω πίνακα και από µια άλλη όψη: o o o o 4 ηµω συνω εφω σφω + + + + + + + + Ο Η Ε Σ (Ο: Όλα είναι θετικά Η:µόν τ Ηµίτν θετικό Ε: µόν η Εφαπτµένη θετική (άρα και η σφω) Σ: µόν τ Συνηµίτν θετικό.) «ηλ. ΟΗΕΣ εκφράζει πιι τριγωνµετρκί αριθµί είναι θετικί σε κάθε τεταρτηµόρι.» Παρατηρήστε ότι ισχύυν: ω 0 o 90 o 80 o 70 o 60 ηµω 0 0-0 συνω 0-0 εφω 0-0 - 0 Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός - -
(*) Παρατηρήστε επίσης ότι η εφαπτµένη γωνίας 90 και 70 µιρών ΕΝ ρίζεται!!!! (Γιατί;;;;) Όταν γράφυµε ηµ ω, συν ω και ( εφω ). ηλαδή ( ) ηµ ω= ηµω και όχι εφ ω εννύµε ( ),( ) ηµ ω=ηµω ηµω συνω και ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Στ ρθκαννικό σύστηµα αξόνων Οxy παίρνυµε τ σηµεί Μ(-, 5). Να υπλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς της γωνίας ω= xom. Λύση. Για την απόσταση ΟΜ= ρ έχυµε: ρ = x + y ( ) ρ = + 5 ρ = 44+ 5 ρ = 69 ρ = Τώρα είναι: 5 5 ηµω = y, συν ω x, εφω= y ρ = = ρ = x =. Αν η γωνία ω είναι αµβλεία, να δείξετε ότι ηµχ-εφχ-σφχ-συνχ>0. Λύση. Από υπόθεση, τ τόξ χ βρίσκεται (τελειώνει) στ τεταρτηµόρι. Επµένως θα ισχύει: Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός - 4 -
ηµχ > 0 συνχ < 0 συνχ > 0 + ηµχ συνχ εφχ σφχ > 0. εφχ < 0 εφχ > 0 σφχ < 0 σφχ > 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω πρτάσεις να σηµειώσετε τ σωστό (Σ) ή τ λάθς (Λ).. εφ 80 = Σ Λ. ηµ 90 = Σ Λ. συν 0 = 0 Σ Λ 4. ηµω> Σ Λ 5. συνω< Σ Λ 6. Αν ω γωνία τριγώνυ, τότε ηµω> 0 Σ Λ 7. Αν για την γωνία ω ισχύει συνω< 0, τότε η ω είναι αµβλεία Σ Λ 8. Αν η γωνία ω είναι αµβλεία, τότε ηµω> 0 Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σε ρθκαννικό σύστηµα αξόνων να πάρετε τ σηµεί Μ(-,) και να υπλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς της γωνίας xom.. Σε ρθκαννικό σύστηµα αξόνων να πάρετε τ σηµεί Μ(-6,8) και να υπλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς της γωνίας xom. Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός - 5 -
. Σε ρθκαννικό σύστηµα αξόνων να πάρετε τ σηµεί Μ(-,0) και να υπλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς της γωνίας xom. 4. Σε ρθκαννικό σύστηµα αξόνων να πάρετε τ σηµεί Μ(0,) και να υπλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς της γωνίας xom. 5. Σε ρθκαννικό σύστηµα αξόνων να πάρετε τ σηµεί Μ(,-) και να υπλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς της γωνίας xom. 6. Σε ρθκαννικό σύστηµα αξόνων να πάρετε τ σηµεί Μ(4,) και να υπλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς της γωνίας xom. 7. Σε ρθκαννικό σύστηµα αξόνων να πάρετε τ σηµεί Μ(-,-) και να υπλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς της γωνίας xom. 8. Μια ευθεία (ε) έχει εξίσωση y= x. (i) Να σχεδιάσετε την ευθεία (ε) και να πρσδιρίσετε την τετµηµένη ενός σηµείυ της Μ πυ έχει τεταγµένη 6. (ii) Να υπλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς της γωνίας ω= xom. 9. Αν η γωνία ω είναι αµβλεία, να απδείξετε ότι: (i) ηµω > συνω (ii) εφω ηµω + 5συνω < 0 0. Να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή των παραστάσεων ηµ x+ και συν x+ 5.. Να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή των παραστάσεων 5 ηµ x και συν x.. Να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή των παραστάσεων συν x+ και ηµ x+ 5συν y.. Να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή των παραστάσεων και +ηµ x. 7+ συν x 4. Να υπλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς της γωνίας των 5. Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός - 6 -
5. Να υπλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς της γωνίας των 0. 6. Να υπλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς της γωνίας των 50. 7. Να υπλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς της γωνίας των 0. 8. Χωρίς να υπλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς των γωνιών 8, 80, 77 µιρών να βρείτε τ πρόσηµό τυς. 9. Χωρίς να υπλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς των γωνιών 00, 00, 00 µιρών να βρείτε τ πρόσηµό τυς. 0. Να βρείτε τ πρόσηµ των παραστάσεων: Α=ηµ 00 συν00 εφ00 Β=συν 00 +ηµ 00 +εφ00. Να υπλγίσετε τυς τριγωνµετρικύς αριθµύς των γωνιών 0, 90,80, 70 και 60. Στη συνέχεια να υπλγίσετε την τιµή της παράστασης: 90 ( Α= ηµ εφ80 συν 70 ). Να υπλγίσετε την τιµή των παραστάσεων: Α= 4ηµ 80 + συν 90 ( ) Β= εφ συν 80 5 90. Να υπλγιστύν τα γινόµενα: συν60 συν80 ηµ 90 ηµ 70 ( +εφ80 ) ( +εφ60 ) Παπαδόπυλς Μαρίνς-Μαθηµατικός - 7 -