2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

Transcript

1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΟΞΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Χρησιμιύμε τις αρακάτω μνάδες μέτρησης τόξων και γωνιών: Τόξ ενός ακτινίυ ( rad ), λέγεται τ τόξ u υ έχει μήκς ίσ με την ακτίνα R τυ κύκλυ Αν τ μήκς ενός τόξυ AB είναι s και τ μέτρ τυ σε ακτίνια α τότε: s α R ή s αr Γωνία ενός ακτινίυ ( rad ), λέγεται η είκεντρη γωνία υ βαίνει σε τόξ ενός ακτινίυ Τόξ μιας μίρας ( ένας κύκλς Γωνία μιας μίρας ( μίρας o o ), λέγεται ένα αό τα 60 ίσα τόξα στα ία χωρίζεται ), λέγεται η είκεντρη γωνία υ βαίνει σε τόξ μιας Είναι φανερό ότι ένα τόξ AB και η αντίστιχη είκεντρη γωνία τυ φ έχυν τ ίδι μέτρ όταν μνάδα μέτρησης της γωνίας είναι η είκεντρη γωνία υ βαίνει στην μνάδα μέτρησης τυ τόξυ Αν α, μ είναι τ μέτρ ενός τόξυ AB ( μιας γωνίας φ ) σε ακτίνια και μίρες αντίστιχα τότε ισχύει τύς: α μ 80 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Τ μέτρ ενός κύκλυ ( μιας λήρυς γωνίας ) είναι: rad ή Τ μέτρ ενός ημικυκλίυ ( μιας ευθείας γωνίας ) είναι: rad ή O o 60 o 80 Β u Α Τ μέτρ ενός τεταρτκυκλίυ ( μιας ρθής γωνίας ) είναι: rad ή o 90 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ι ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ o Έστω ω είναι μία ξεία γωνία ενός ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΒΓ ( Â 90 ) Ορίζυμε αεναντι καθετη λευρα ημω υτεινυσα αεναντι καθετη λευρα εφω ρσκειμενη καθετη λευρα ρσκειμενη καθετη λευρα συνω υτεινυσα ρσκειμενη καθετη λευρα εφω αεναντι καθετη λευρα ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 7

2 Εμένως αό τ διλανό σχήμα έχυμε: Γ ΑΓ ημω ΒΓ ΑΒ συνω ΒΓ ΑΓ εφω ΑΒ ΑΒ σφω ΑΓ Α ω Β ΙΙΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΠΟΙΑΣΔΗΠΟΤΕ ΓΩΝΙΑΣ ΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΝΗΤΙΚΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΓΩΝΙΕΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΛΗΡΗ ΓΩΝΙΑ Στ καρτεσιανό είεδ Ο θεωρύμε ότι όλες ι γωνίες διαγράφνται αό την ημιευθεία Ο με εριστρφή γύρω αό τ Ο κατά την θετική φρά ( αντίθετη αό την εριστρφή των δεικτών τυ ρλγιύ ) ή κατά την αρνητική φρά ( ίδια με την εριστρφή των δεικτών τυ ρλγιύ ) Αν θεωρήσυμε ιαδήτε γωνία ω με λευρές O, Oz τότε: Η ημιευθεία O λέγεται αρχική λευρά της γωνίας ω και Η ημιευθεία Οz λέγεται τελική λευρά της γωνίας ω Μία γωνία λέγεται θετική όταν διαγράφεται αό την ημιευθεία O με εριστρφή γύρω αό τ Ο κατά την θετική φρά και αρνητική όταν διαγράφεται αό την ημιευθεία O με εριστρφή γύρω αό τ Ο κατά την αρνητική φρά μ z O ˆ Oz η ία έχει μέτρ Γωνία ή α rad λέμε την θετική γωνία ή α rad Γωνία μ ή α rad λέμε την αρνητική γωνία Oz ˆ η ία έχει μέτρ μ ή α rad Με τν ρηγύμεν τρό ρίζνται γωνίες θετικές ή αρνητικές υ έχυν μέτρ o μεγαλύτερ αό τ μέτρ της λήρυς γωνίας ( 60 ή rad ), αρκεί η ημιευθεία O να διαγράει τυλάχιστν μία λήρη εριστρφή Παραδείγματα o Γωνία 70 είναι η γωνία ω υ διαγράφει η ημιευθεία O όταν κάνει δύ λήρης εριστρφές κατά την θετική φρά ω μ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 8

3 Γωνία είναι η γωνία ω υ διαγράφει η ημιευθεία O όταν κάνει μία λήρη εριστρφή και κατόιν διαγράφει γωνία κατά την αρνητική φρά Γωνία 5 rad είναι η γωνία ω υ διαγράφει η ημιευθεία O όταν κάνει,5 εριστρφές κατά την θετική φρά Γωνία είναι η γωνία ω υ διαγράφει η ημιευθεία O όταν κάνει,5 εριστρφές κατά την αρνητική φρά 500 o rad 0 ΓΩΝΙΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΑΡΧΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΛΙΚΗ ΠΛΕΥΡΑ Θεωρύμε μία γωνία ω με αρχική λευρά Ο και τελική λευρά Oz Αν η ημιευθεία Ο, εριστραφεί κατά την θετική φρά, συμληρώσει ν λήρεις εριστρφές, και στην συνέχεια διαγράει την γωνία ω, τότε θα έχει διαγράει γωνία o φ ν ω ή φ 60 ν ω υ έχει την ίδια τελική λευρά με την γωνία ω Αν όμως η ημιευθεία Ο, εριστραφεί κατά την αρνητική φρά, συμληρώσει ν λήρεις εριστρφές και στην συνέχεια διαγράει την γωνία ω, τότε θα έχει o διαγράει γωνία φ ν ω ή φ 60 ν ω υ έχει την ίδια τελική λευρά με την γωνία ω Εμένως υάρχυν άειρες γωνίες φ υ έχυν την ίδια αρχική και τελική λευρά o με την γωνία ω Όλες αυτές έχυν μρφή φ κ ω ή φ 60 κ ω, κ Ισχύει και τ αντίστρφ, δηλαδή αν δύ γωνίες ω, φ συνδένται με μια σχέση της ν * μρφής φ κ ω ή με ή λευρά Oz 60 o φ 60 κ ω, κ o, τότε η διαφρά τυς φ ω είναι ίση Αφύ έχυν την ίδια αρχική λευρά Ο, θα έχυν και την ίδια τελική Αό τα ρηγύμενα έχυμε : Αν δύ γωνίες ω και φ έχυν την ίδια αρχική και τελική λευρά τότε συνδένται με την σχέση: φ κ ω, κ ή φ 60κ ω, κ Και αντίστρφα αν ω, φ είναι δύ γωνίες υ συνδένται με την σχέση: φ κ ω, κ ή φ 60κ ω, κ τότε ι γωνίες ω και φ έχυν την ίδια αρχική και τελική λευρά Παραδείγματα Δίννται ι γωνίες: 50, 0, 800, 90, 690, 960 Να o αρασταθύν στη μρφή 60 κ ω, κ, όυ ω μη αρνητική γωνία μικρότερη αό Δίννται ι γωνίες:,,,,, Να αρασταθύν 5 6 στη μρφή κ ω, κ, όυ ω μη αρνητική γωνία μικρότερη αό ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Αν είναι ισδήτε ραγματικός αριθμός τότε υάρχει μναδική γωνία η ία Είναι θετική και έχει μέτρ rad, αν 0 Είναι αρνητική και έχει μέτρ rad, αν 0 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 9

4 Όλες ι γωνίες με τελική λευρά O όλες ι γωνίες με τελική λευρά O κ ή O έχυν μρφή ή O έχυν μρφή κ κ ή 80κ, κ ή 80 κ 90, Όταν δεν αναφέρεται η μνάδα μέτρησης μιας γωνίας, θα εννύμε μνάδα μέτρησης τ rad Όταν αναφέρυμε γωνία υ αντιστιχεί στν αριθμό 5 θα εννύμε γωνία 5 rad Οι γωνίες υ χρησιμιύμε σε καθημερινές εφαρμγές μετρύνται σχεδόν άντα σε μίρες Οι γωνίες υ χρησιμιύμε στα μαθηματικά ( Ανάλυση ) μετρύνται σχεδόν άντα σε ακτίνια ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΠΟΙΑΣΔΗΠΟΤΕ ΓΩΝΙΑΣ Έστω μια γωνία ω με αρχική λευρά την Ο και τελική την Οz Στην ημιευθεία Οz και έστω ρ OM M, αίρνυμε ιδήτε σημεί ενώ z M(,) ρ O ω Ορίζυμε: ημω, συνω, εφω με 0 και σφω με 0 ρ ρ Οι αριθμί ημω, συνω, εφω και σφω είναι ανεξάρτητι αό την θέση τυ σημείυ Μ άνω στην ημιευθεία Οz, εξαρτώνται μόν αό την γωνία ω και λέγνται τριγωνμετρικί αριθμί της γωνίας ω Αφύ η γωνία ω και ι γωνίες φ κ ω, κ ή την ίδια τελική λευρά έχυμε: ή ημ κ ω ημω συν κ ω συνω o φ 60 κ ω, κ έχυν ημ 60 κ ω ημω εφ κ ω εφω σφ κ ω σφω συν 60 κ ω συνω εφ 60 κ ω εφω όυ κ σφ 60 κ ω σφω όυ κ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 0

5 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Τριγωνμετρικός κύκλς λέγεται ένας κύκλς με κέντρ τη αρχή O 0,0 ( ρθκαννικύ ) συστήματς συντεταγμένων και ακτίνα ίση με την μνάδα μήκυς ρ Β(0,) ενός Α (,0) O Α(,0) Β (0, ) Έστω ότι η τελική λευρά μιας γωνίας ω τέμνει τν τριγωνμετρικό κύκλ στ ρ ΟΜ, έχυμε : σημεί Μ(,) Αφύ ημω τεταγμένη τυ σημείυ Μ συνω τετμημένη τυ σημείυ Μ εφω με 0 και σφω με 0 M(,) O ω Άμεσες συνέειες των ρηγύμενων είναι ότι: Τ ημω και τ συνω αίρνυν τιμές μεταξύ των αριθμών και Δηλαδή για ιαδήτε γωνία ω ισχύυν: ημω και συνω Τα ρόσημα των τριγωνμετρικών αριθμών εξαρτώνται αό τ τεταρτημόρι στ ί βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας ω και δίννται στν αρακάτω ίνακα ΤΡΙΓΩΝ ΑΡΙΘ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ημω συνω εφω σφω o o o Μνημνικός κανόνας O H ΕΣ Σ o ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

6 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Οι γωνίες με τελική λευρά Ο ή Ο έχυν μρφή κ ή 80κ, κ τυς λευρά τέμνει τν τριγωνμετρικό κύκλ στα σημεία αντίστιχα Εμένως: ημ κ 0 Ειδικότερα: ημ0 ημ 0 ή ή ημ 80 κ 0, κ ημ0 ημ80 0 Οι γωνίες με τελική λευρά Ο ή Ο έχυν μρφή Α,0 κ ή και η τελική,0 ή 80 κ 90, κ και η τελική τυς λευρά τέμνει τν τριγωνμετρικό κύκλ στα σημεία Β(0,) 0, ή αντίστιχα Εμένως συνκ 0 ή συν 80 κ 90 0, κ Ειδικότερα: συν συν 0 ή συν90 συν70 0 Αό τα ρηγύμενα συμεραίνυμε ότι δεν ρίζεται: Η εφατμένη των γωνιών ω κ ή ω 80 κ 90, κ Η συνεφατμένη των γωνιών ω κ ή ω 80 κ, κ IV ΟΙ ΕΥΘΕΙΕΣ ΤΩΝ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΩΝ Θεωρύμε τις ευθείες ε, σ ι ίες εφάτνται σ έναν τριγωνμετρικό κύκλ στα Β 0, αντίστιχα σημεία Α,0 και Η ευθεία ε λέγεται ευθεία των εφατμένων και η σ λέγεται ευθεία των συνεφατμένων σ O Β ε Α Έστω ότι η τελική λευρά Oz μιας γωνίας ω ή η ρέκταση της τέμνει τν τριγωνμετρικό κύκλ στ σημεί M(,) και την ευθεία των εφατμένων ε στ σημεί, Ε Τα τρίγωνα ΠΟΜ και ΑΟΕ είναι όμια ότε έχυμε: ΠΜ ΑΕ ΑΕ ΟΠ ΟΑ Εειδή ΠΜ ημω ΟΠ συνω ΑΕ η σχέση () γράφεται: Όμως ι αριθμί εφω και, και Ε ημω Ε συνω ημω Ε συνω εφω Ε () Ε είναι μόσημι και συγκεκριμένα θετικί αν τ Μ βρίσκεται στ ή τεταρτημόρι και αρνητικί αν τ Μ βρίσκεται στ τεταρτημόρι Εμένως αό την σχέση () έχυμε: ή ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

7 εφω Ε τεταγμένη τυ σημείυ Ε Αν ότι η τελική λευρά Oz μιας γωνίας ω τέμνει την ευθεία των συνεφατμένων σ στ σημεί, όμια αδεικνύεται ότι: Σ(, ) Σ σφω Σ τετμημένη τυ σημείυ Σ σ O Β ω Α Σ, Ε, Ε Σ σ Σ, Σ O Β ω Α Ε, Ε ε ε σ ω Β O Α ε Σ, Ε, Ε Σ σ Σ, Σ Β Α ω ε Ε, Ε V ΓΝΩΣΤΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τριγωνμετρικί αριθμί : 0 6, 5, 60 Είναι γνωστί αό τις ρηγύμενες τάξεις και δίννται στν αρακάτω ίνακα: ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

8 Γωνία ω σε rad σε μίρες Τριγωνμετρικί αριθμί ημω συνω εφω σφω Τριγωνμετρικί αριθμί: Η τελική λευρά της γωνίας , 0 0 τριγωνμετρικό κύκλ στ σημεί Α,0 Η τελική λευρά της γωνίας 90 τριγωνμετρικό κύκλ στ σημεί τέμνει τν Β 0, τέμνει τν Η τελική λευρά της γωνίας 80 τέμνει τν τριγωνμετρικό κύκλ στ σημεί Α,0 Η τελική λευρά της γωνίας 70 σημεί Β0, Εμένως έχυμε τν αρακάτω ίνακα:, 80, 70 τέμνει τν τριγωνμετρικό κύκλ στ O Β(0,) Α (,0) Α(,0) Β (0, ) Γωνία ω Σε rad Σε μίρες ημω 0 0 Τριγωνμετρικί αριθμί συνω 0 0 εφω 0 σφω Δεν ρίζεται Δεν ρίζεται 0 Δεν 0 ρίζεται Δεν ρίζεται 0 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ Να βρεθύν ι τριγωνμετρικί αριθμί των γωνιών: 90 και 6090 Να βρεθύν ι τριγωνμετρικί αριθμί των γωνιών: 79 και 0 Αν α, να υλγιστεί η τιμή της αράστασης: Α ημα συνα εφα σφ6α Αν μ και Μ είναι η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης: να βρεθεί τ άθρισμα μ Μ f συν, 5 Να αλιηθεί η αράσταση: Β συν ημ συν ημ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 5

10 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υλγίσετε: Πόσες μίρες είναι τ rad Πόσα rad είναι μίρα Να βρείτε όσες μίρες είναι ι αρακάτω γωνίες:,, 6,,,,,, Να βρείτε όσα rad είναι ι αρακάτω γωνίες:,,,,,,,,, , 60, 90, 80 Να βρείτε σε ακτίνια και σε μίρες τις γωνίες υ δίννται στα αρακάτω σχήματα:, 70, Δίννται ι γωνίες: 7,, 7 6,, 7,, 08, 5,, 57,, 06, 9, Να αρασταθύν στη μρφή κ θ όυ κ και θ θετικός αριθμός μικρότερς αό Δίννται ι γωνίες: 880,,, 0, 890, 060, 0, 850, 70, 990, 900, 70 Να αρασταθύν στη μρφή 60κ θ όυ κ και θ θετικός αριθμός μικρότερς αό Σε έναν τριγωνμετρικό κύκλ υ τέμνει τν ημιάξνα O στ σημεί Α είναι εγγεγραμμέν τ ισόλευρ τρίγων ΑΒΓ Να βρείτε σε ακτίνια και μίρες τις θετικές είκεντρες γωνίες υ βαίνυν στα τόξα: ΑΒ, ΑΓ Να βρείτε σε ακτίνια και μίρες τις αρνητικές είκεντρες γωνίες υ βαίνυν στα τόξα: ΑΒ, ΑΓ 8 Να βρείτε τις τιμές τυ α για τις ίες αληθεύει η ισότητα: α α ημ συν α α 9 Να βρείτε τις τιμές τυ α για τις ίες αληθεύει η ισότητα: συν α α 0 Η τελική λευρά μιας γωνίας φ τέμνει τν τριγωνμετρικό κύκλ στ σημεί Μ Να βρείτε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας φ όταν: ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 6

11 Μ, 5 5 Μ, 5 5 (iii) Μ, (iv) Μ, Οι γωνίες θ, ω δίννται στ διλανό σχήμα Να βρείτε τ άθρισμα εφθ σφω θ ω Να βρείτε τυς αρακάτω τριγωνμετρικύς αριθμύς : ημ (iii) συν (iv) ημ 6 9 εφ (v) σφ Να βρείτε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς των γωνιών: 85 (iii) 99 (iv) Να υλγίσετε τις τιμές των αραστάσεων: ημ εφ0 συν σφ εφκ συν κ ημ κ Α, Β ημ εφ συν0 σφ σφ κ ημ κ 5 Αν 6α, να βρείτε την τιμή τυ κλάσματς 6 Αν f ημ συν, να βρείτε τ 7 f 6 ημα ημα ημα συνα συνα συνα 7 Να βρείτε την μεγαλύτερη και την μικρότερη τιμή των αραστάσεων: 8 Α ημ Β συν Γ Δ συν ημ 8 Αν 5ημ α 7, να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή υ μρεί να άρει α ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 7

12 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ( ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ) Για κάθε ισχύει: ημ συν Αόδειξη Έστω Μ τ σημεί στ ί η τελική λευρά της γωνίας τέμνει τν τριγωνμετρικό κύκλ Τότε ΟΠ ημ ΟΡ συν και Εμένως ημ συν ημ συν ΟΠ ΠΜ ημ συν ΟΠ ΟΡ ΟΜ O M ημ,συν ΠΟΡΙΣΜΑ Για κάθε ισχύυν: ημ συν ή ημ συν συν ημ ή συν ημ ΘΕΩΡΗΜΑ Για κάθε A κ, κ ισχύει: ημ εφ συν συν Για κάθε A κ, κ ισχύει: σφ ημ ΘΕΩΡΗΜΑ Για κάθε A κ, κ, κ Αόδειξη Για κάθε Aρίζεται η εφ και η σφ και έχυμε: ΠΟΡΙΣΜΑ Για κάθε A κ, κ, κ ισχύυν: εφ σφ σφ εφ ισχύει: εφ σφ ημ συν εφ σφ συν ημ ΘΕΩΡΗΜΑ Για κάθε A κ, κ ισχύυν: συν εφ ημ εφ εφ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 8

13 Αόδειξη Για κάθε A ρίζεται η εφ και είναι συν 0 Αό τ βασικό θεώρημα έχυμε: ημ ημ συν εφ συν συν συν συν εφ Είσης αό τ βασικό θεώρημα έχυμε: ημ συν ημ συν ημ εφ ημ εφ εφ εφ ημ εφ ΠΟΡΙΣΜΑ Για κάθε A κ, κ ισχύυν: συν ημ εφ εφ εφ Σχόλι Στις ρηγύμενες εριτώσεις ειλέγυμε τ ρόσημ ή τ ρόσημ ανάλγα με τ τεταρτημόρι στ ί βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας Παρατήρηση Στην τριγωνμετρία είναι λλές φρές χρήσιμες ι ταυτότητες: α β α β αβ α β α β αβ α β ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 9

14 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ Να βρεθύν ι άλλι τριγωνμετρικί αριθμί της γωνίας όταν και ημ 5 9 Να βρεθύν ι άλλι τριγωνμετρικί αριθμί της γωνίας όταν εφ 0 και Αν Αν 0 0 και ημ συν, να βρεθεί τ ημ ημ συν και ημ συν, να υλγιστεί τ ημ 5 Να αλιηθεί η αράσταση: 75ημ συν ημ συν 6 Να αδειχθεί ότι: συν ημ ημ συν εφ σφ 7 Αν και εφ σφ εφ σφ 0, να αδειχθεί ότι: εφ σφ 7 8 Αν, συνθ και ημθ να αλιηθεί η αράσταση: Π 9 Αν, να αδειχθεί ότι: συν συν συν συν ημ 0 Αν η εξίσωση λ 0 έχει ρίζες συνα και ημα, να αδειχθεί ότι 7 λ 8 Να αδειχθεί ότι η αράσταση: Α ημ 6 συν 6 ημ συν σταθερή τιμή ανεξάρτητη αό τ έχει ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 0

15 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε τ λ, ώστε να υάρχει γωνία ω για την ία να ισχύει: λ λ λ ημω και συνω εφω και σφω λ λ λ Υλγισμός τριγωνμετρικών αριθμών Να βρείτε τυς άλλυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας όταν: ημ και 0 συν και 5 5 Να βρείτε τυς άλλυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας όταν: και σφ και 5 Να βρείτε τυς άλλυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας όταν: ημ και και εφ 5 Αν εφ, να βρείτε την τιμή της αράστασης: 6 Αν τ συνω είναι ρίζα της εξίσωσης την τιμή της αράστασης: 5 εφ συν 5 0 και συνω ημω Β εφω σφω 7 Αν η εφω είναι ρίζα της εξίσωσης βρείτε την τιμή της αράστασης: ημ συν ω, να βρείτε 0 και ω, να συνω ημω Γ ημω συνω 8 Αν και ημ συν ημ συν, να βρείτε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας 9 Αν και ημ συν, να βρείτε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας 0 66 Αν σφω 5 ημω και ω να βρείτε την τιμή της αράστασης: Π 9ημω 6συνω εφω 5σφω Αλίηση αραστάσεων Αν και ημ συν, να δείξετε ότι: 5 ημ συν 8 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

16 Αν εφ σφ, δείξετε ότι: εφ σφ 8 Να αλιήσετε τις αρακάτω αραστάσεις: ημ α συνα Να αλιήσετε τις αρακάτω αραστάσεις: ημ α συν α συν α ημ α ημα συνα ημα συνα 5 Να αλιήσετε τις αρακάτω αραστάσεις: ημ α ημ α συν α ημ α συν α συν α 6 Να αλιήσετε τις αρακάτω αραστάσεις: εφ α ημ α συν α ημ α εφ α συν α σφ α 7 Να αλιήσετε τις αρακάτω αραστάσεις: ημ α εφα εφα συν α συνα συνα Ταυτότητες 8 Να αδείξετε τις ταυτότητες: συν α εφ α ημ α 5συνα 5ημα 0 5ημα 5συνα 9 Να αδείξετε τις ταυτότητες: ημ α εφ α ημα συνα συνα ημα 0 Να αδείξετε τις ταυτότητες: εφ α ημ α συν α εφ α ημα συνα εφα ημα συνα εφα Να αδείξετε τις ταυτότητες: εφ α ημ α εφ α ημ α εφα σφβ εφα σφα εφβ εφβ Να αδείξετε τις ταυτότητες: εφ α ημ α συν α εφ α Να αδείξετε τις ταυτότητες: ημα συνα συνα ημα ημα Να αδείξετε τις ταυτότητες: συν εφ ημ συν ημ α ημ ασυν α συν α ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

17 εφ ημ συν εφ ημ συν εφ ημ ημ συν συν 5 Να αδείξετε την ταυτότητα: 6 Να αδείξετε τις ταυτότητες: εφα σφα εφα εφα σφα εφα ημ α εφ α συν α σφ α 6 εφ α ημα συνα ημα συνα ημ α ημα 7 Να αδείξετε ότι: 8 Να αδείξετε ότι: ημ8 εφ8 ημ8 συν8 σφω εφω ημω συνω 9 Να αδείξετε ότι: ημ ασυν β συν αημ β ημ α ημ β 0 Να αδείξετε ότι: ημα συνβ συνα ημβ συνα συνβ ημα ημβ Αν 0, να αδειχθεί ότι: συνα συνα συνα συνα ημα Αν ημ συν α, α να υλγίσετε συναρτήσει τυ α ημ συν εφ σφ (iii) ημ συν (iv) τις αραστάσεις: ημ συν Να αδείξετε ότι: Να αδείξετε ότι: 5 Να αδείξετε ότι: εφ α σφ α εφ α σφ α ημ α ημασυνα συν α ημ συν συν εφ εφ εφ ημω συνω 7 εφ ω σφ ω ημω συνω ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

18 I ΓΩΝΙΕΣ ΑΝΤΙΘΕΤΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Οι τελικές λευρές των αντίθετων γωνιών και τέμνυν τν τριγωνμετρικό κύκλ στα σημεία Μ, Μ αντίστιχα τα ία είναι συμμετρικά ως ρς τν άξνα Εμένως ημ ημ συν συν εφ εφ σφ σφ Δηλαδή Οι αντίθετες γωνίες έχυν τ ίδι συνημίτν και αντίθετυς όλυς τυς άλλυς τριγωνμετρικύς αριθμύς II ΓΩΝΙΕΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ή 80 Οι τελικές λευρές των αραληρωματικών γωνιών και τέμνυν τν τριγωνμετρικό κύκλ στα σημεία Μ, Μ αντίστιχα τα ία είναι συμμετρικά ως ρς τν άξνα Εμένως ημ ημ συν συν εφ εφ σφ σφ Δηλαδή Οι αραληρωματικές γωνίες έχυν τ ίδι ημίτν και αντίθετυς όλυς τυς άλλυς τριγωνμετρικύς αριθμύς III ΓΩΝΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΑΦΕΡΟΥΝ ΚΑΤΑ ή 80 Οι τελικές λευρές των αραληρωματικών γωνιών και τέμνυν τν τριγωνμετρικό κύκλ στα σημεία Μ, Μ αντίστιχα τα ία είναι συμμετρικά ως ρς την αρχή Ο των αξόνων Εμένως z ημ ημ συν συν εφ εφ σφ σφ z M(α,β) M(α, β) z M( α,β) z M( α, β) z z M(α,β) M(α,β) ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

19 Δηλαδή Οι γωνίες με διαφρά έχυν την ίδια εφατμένη και συνεφατμένη και αντίθετ τ ημίτν και τ συνημίτν IV ΓΩΝΙΕΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ή 90 Οι τελικές λευρές των συμληρωματικών γωνιών και τέμνυν τν τριγωνμετρικό κύκλ στα σημεία Μ, Μ αντίστιχα τα ία είναι συμμετρικά ως ρς την διχτόμ τυ και τυ τεταρτημρίυ Εμένως ημ συν συν ημ εφ σφ υ υ σφ εφ Δηλαδή Οι συμληρωματικές γωνίες έχυν τ ημίτν της μιας ίσ με τ συνημίτν της άλλης και την εφατμένη της μιας ίση με την συνεφατμένη της άλλης ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να υλγιστύν ι τριγωνμετρικί αριθμί της γωνίας αό τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας Λύση Εειδή, έχυμε: ημ ημ συν συν συν συν ημ ημ εφ εφ σφ σφ σφ σφ εφ εφ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να υλγιστύν ι τριγωνμετρικί αριθμί της γωνίας αό τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας M z M z ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 5

20 Λύση Εειδή, έχυμε: ημ ημ ημ συν συν συν συν ημ εφ εφ εφ σφ σφ σφ σφ εφ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να υλγιστύν ι τριγωνμετρικί αριθμί της γωνίας αό τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας Λύση Εειδή, έχυμε: ημ ημ ημ ημ συν συν συν συν συν ημ εφ εφ εφ εφ σφ σφ σφ σφ σφ εφ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Οι γωνίες ω και ω έχυν ημίτν ίσ ή αντίθετ με τ συνημίτν, συνημίτν ίσ ή αντίθετ με τ ημίτν της γωνίας ω και εφατμένη ίση ή αντίθετη με την συνεφατμένη, συνεφατμένη ίση ή αντίθετη με την εφατμένη της γωνίας ω Οι γωνίες ωκαι ω ( 0 ω ) έχυν ημίτν ίσ ή αντίθετ με τ ημίτν, συνημίτν ίσ ή αντίθετ με τ συνημίτν της γωνίας ω και εφατμένη ίση ή αντίθετη με την εφατμένη, συνεφατμένη ίση ή αντίθετη με την συνεφατμένη της γωνίας ω ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 6

21 Τ ρόσημ εξαρτάται αό τ τεταρτημόρι στ ί βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας ω, ω, γωνίας ω βρίσκεται στ ω, ω, αν θεωρήσυμε ότι η τελική λευρά της τεταρτημόρι ΤΥΠΟΙ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ημ ω ημω συν ω συνω εφ ω εφω σφ ω σφω ημ ωσυνω συν ωημω εφ ωσφω σφ ωεφω ημ ωσυνω συν ω ημω εφ ω σφω σφ ω εφω ημ ω συνω συν ω ημω εφ ωσφω σφ ωεφω ημ ω συνω συν ωημω ημ ω ημω συν ω συνω ημ ω ημω συν ω συνω ημ ω ημω συν ω συνω εφ ω σφω σφ ω εφω εφ ω εφω σφ ω σφω εφ ω εφω σφ ω σφω εφ ω εφω σφ ω σφω ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 7

22 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί η τιμή της αράστασης: 7 εφ εφ ημ ημ Αν A, B, Γ είναι γωνίες τριγώνυ ΑΒΓ, να αλιηθεί τ κλάσμα: Α Β Γ συν συν Α Β Γ σφ σφ Αν για τις ξείες γωνίες A, B ισχύυν Α Β 0 και συν Α Β, να 5 βρεθεί η εφβ Να αδειχθεί ότι: συν799 εφ7 0 συν85 Β, 5 5 Στ διλανό σχήμα έχυμε Α,7, ΑΓΟ θ Να βρεθεί τ ημθ Λύση Στ ρθγώνι τρίγων ΓΑΒ είναι ΑΓ και ΒΓ 5 Αό τ υθαγόρει θεώρημα έχυμε: ΑΒ ΑΓ ΒΓ 5 69, ότε ΒΓ 5 ημα ΑΒ Εειδή θ 80 α έχυμε: και ΑΒ ημθ ημ 80 α ημα 5 6 Αν θ και εφθ, να βρεθεί η τιμή της αράστασης: Α συν θεφ θ Α Α Γ θ 5 Ο α θ α 5 7 Γ 7 Γ Β Β 7 Να αλιηθεί η αράσταση: A ημ α συν α εφ α ημ α συν α εφ α ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 8

23 8 Να υλγιστεί η αράσταση: 9 ημ σφ 6 Α 5 8 συν εφ 9 Στ διλανό σχήμα η ευθεία ε εφάτεται στυς δύ κύκλυς με κέντρα K και Λ Αν ΚΜ 9, ΛΝ και ΚΛΝ, να βρεθεί τ συν ε Κ Μ Λ Ν ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 9

24 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πλλαλής ειλγής Με ι αό τα αρακάτω δεν είναι ίσ τ Α Β συν 0 Δ ημ80 ημ00 Γ Με ι αό τα αρακάτω είναι ίσ τ Α ημ80 Β ημ 80 Γ συν50 συν0 : ημ60 Δ συν70 : συν0 Ε συν50 Ε συν70 Αν Α, Β, Γ δεν είναι αληθής; είναι γωνίες τριγώνυ ΑΒΓ, τότε ια τις αρακάτω ισότητες ια Α ημα ημ Β Γ Β σφβ σφα Γ Γ συνγ συν Α Β Δ Α Β Γ εφ σφ Ε Α Β συν Γ ημ Πι αό τα αρακάτω είναι μεγαλύτερ: Α ημ00 Β συν 0 Γ εφ0 Δ ημ0 Ε συν60 Υλγισμός Τριγωνμετρικών αριθμών 5 Να βρείτε τυς αρακάτω τριγωνμετρικύς αριθμύς: ημ50, συν0, εφ50, σφ5 εφ00, ημ5, 6 Να βρείτε τυς αρακάτω τριγωνμετρικύς αριθμύς: ημ, συν, εφ, σφ εφ, ημ, συν0, 7 συν 6, 7 Αν Α, Β, Γ είναι γωνίες ενός τριγώνυ ΑΒΓ, να αδείξετε ότι: Β Γ Α ημ ΒΓ ημα συν ημ Α Β Γ Β Γ Α (iii) συν συν (iv) εφ εφ 8 Αν Α, Β, Γ Αλίηση Παρατάσεων σφ σφ0 είναι γωνίες τριγώνυ ΑΒΓ, να βρείτε την τιμή τυ κλάσματς:: ημ Α συν Β Γ K ημ Β συν Α Γ 9 Να αλιήσετε τις αρακάτω αραστάσεις: 7 ημ ασυν α 5 5 ημ α ημ 9 θ ημ 90 θ ημ θ συν θ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 0

25 0 Να αλιήσετε τις αρακάτω αραστάσεις: ημ συν ημ συν ημ συν 5 ημ ημ 5 συν συν Να αλιήσετε τις αρακάτω αραστάσεις: συν 70 εφ 70 συν0 ημ0 ημ60 εφ5 συν 00 σφ05 Να αλιήσετε τις αρακάτω αραστάσεις: συν 9 σφ 9 συν αημ α ημ α ημ α Να αλιήσετε τις αρακάτω αραστάσεις: ημ 80 α εφ 70 α συν α 60 εφ 80 α εφ 90 α εφ 70 α ημ αεφ β σφ αημ γ σφ β συν α συν γ εφ α Υλγισμός τιμής αράστασης Να υλγίσετε την τιμή των αραστάσεων: εφ 0 ημ0 εφ5 εφ0 συν 0 συν θ ημ θ σφθ σφθ ημθ ημθ 5 Να υλγίσετε την τιμή των αραστάσεων: ημ εφ συν σφ συν0 συν50 εφ00 (iii) ημ 8 ημ σφ εφ 6 Να υλγίσετε την τιμή των αραστάσεων: ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

26 ημ 0 συν70 ημ0 7 συν ημ εφ σφ 7 Αν συνα και α, να βρείτε την τιμή της αράστασης: 5 εφ α ημ α Α σφ α συν α 8 Αν ημ και 0,, να βρείτε τ ημ 9 Αν η γωνία να βρείτε τ gθ είναι θ rad και g ημ 7 συν ημ 6, o 80 0 Αν Α, Β είναι εσωτερικές γωνίες τριγώνυ ΑΒΓ, συν 5Α Β, να βρείτε την εφβ 5 Αν 6, να βρείτε την τιμή τυ κλάσματς Α Β 6 και συν8 συν ημ6 ημ συν α συν α 0, να βρείτε την Αν εφ α Αν Α, Β, Γ είναι γωνίες τριγώνυ ΑΒΓ, να βρείτε την τιμή τυ κλάσματς: εφα Β εφα K εφ Β Γ εφγ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

27 ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τριγωνμετρική εξίσωση λέγεται κάθε ισότητα της μρφής f g g είναι δύ αραστάσεις υ εριέχυν τριγωνμετρικές εκφράσεις της μεταβλητής, όυ f Η λύση όλων των τριγωνμετρικών εξισώσεων, με κατάλληλυς μετασχηματισμύς, ανάγεται στην λύση μιας βασικής εξίσωσης της μρφής: ημ ημθ ή συν συνθ ή εφ εφθ ή σφ σφθ, όυ θ είναι γνωστή γωνία ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, I Η ΕΞΙΣΩΣΗ: ημ ημθ Θεωρύμε την εξίσωση ημ ημθ, όυ θ είναι γνωστή γωνία Εειδή ημθ ημ θ ημθ ημ κ θ και, έχυμε ημ θ ημ κ θ, κ, ότε συμεραίνυμε ότι ι λύσεις της εξίσωσης δίννται αό τυς τύυς: κ θ ή κ θ, κ M( α,β) z θ θ z M(α,β) II Η ΕΞΙΣΩΣΗ συν συνθ Θεωρύμε την εξίσωση συν συνθ, όυ θ είναι γνωστή γωνία Εειδή συνθ συν θ συνθ συν κ θ και, έχυμε συν θ συν κ θ, κ, ότε συμεραίνυμε ότι ι λύσεις της εξίσωσης δίννται αό τυς τύυς: κ θ ή κ θ, κ z M(α,β) M(α, β) z III Η ΕΞΙΣΩΣΗ εφ Θεωρύμε την εξίσωση εφ εφθ εφθ, όυ θ είναι γνωστή γωνία Εειδή εφθ εφ θ, έχυμε εφθ εφκ θ και εφ θ εφκ θ, κ, ότε συμεραίνυμε ότι ι λύσεις της εξίσωσης δίννται αό τν τύ: κ θ, κ M( α, β) z z M(α,β) ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

28 III Η ΕΞΙΣΩΣΗ σφ σφθ Θεωρύμε την εξίσωση σφ σφθ, όυ θ γνωστή γωνία Όως ρηγύμενα συμεραίνυμε ότι ι λύσεις της εξίσωσης δίννται αό τν τύ: είναι M( α, β) z M(α,β) κ θ, κ z Ανακεφαλαίωση Ισχύυν ι τύι: ημ ημθ κ θ ή κ θ, κ συν συνθ κ θ, κ εφ εφθ κ θ, κ σφ σφθ κ θ, κ Στα ρηγύμενα θεωρήσαμε ότι η γνωστή γωνία είναι θ rad Όταν η γνωστή γωνία είναι, τότε ι ρηγύμενι τύι γίννται: o o ημ ημθ 60κ θ ή o 60κ 80 θ, κ θ o o o συν συνθ 60κ θ, κ o o εφ εφθ 80κ θ, κ o o σφ σφθ 80κ θ, κ Παραδείγματα Να λυθύν ι εξισώσεις 5 ημ ημ ημ ημ0 6 συν συν 6 συν συν65 7 εφ εφ εφ εφ0 8 σφ σφ σφ σφ0 ΑΠΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λέγνται ι εξισώσεις της μρφής: ημ α, συν α, εφ α, σφ α, όυ α είναι ένας ραγματικός αριθμός Για να λύσυμε τις εξισώσεις αυτές βρίσκυμε μια γνωστή γωνία θ, τέτια ώστε: ημθ α, συνθ α, εφθ α, σφθ α Εμένως ι εξισώσεις γράφνται στη μρφή ημ ημθ, συν συνθ, εφ εφθ, σφ σφθ υ γνωρίζυμε τη λύση τυς ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

29 Παραδείγματα Να λυθύν ι εξισώσεις: ημ (v) εφ ημ (iii) συν (iv) συν (vi) εφ (vii) σφ (viii) σφ ΑΛΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Υάρχυν διάφρι τρόι με τυς ίυς μρύμε να λύσυμε μια τριγωνμετρική εξίσωση ανάλγα με την μρφή της Θα αναφέρυμε μερικύς αό αυτύς Λύση εξίσωσης με αραγντίηση Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση: συν συν συν Λύση εξίσωσης με τυς τύυς αναγωγής στ α τεταρτημόρι Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση: ημ συν 0 6 Λύση εξίσωσης με αλλαγή μεταβλητής Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση: ημ ημ 0 Λύση μγενύς εξίσωσης Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση: ημ ημσυν συν 0 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 5

30 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ ημ 0 συν (iii) εφ 0 (iv) σφ 0 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ημ 0 συν 0 (iii) εφ 0 (iv) σφ 0 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ημ (iv) εφ σφ 0 συν 0 6 (iii) εφ εφ 0 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις : ημ 0 ημ ημ 0 (iii) (iv) εφ 5 σφ 0 5 Να λυθεί η εξίσωση: ημ συν συν ημ 0 εφ εφ 0 6 Να λυθεί η εξίσωση: ημ συν 7 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: συν ημ 0 εφσφ (iii) συν ημ (vi) εφ συν 8 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: συν ημ συν (iii) ημ 7ημ 7ημ 0 συν ημ 0 (vi) σφ σφ 0 9 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ημ συν 0 ημ συν 0 (iii) συν συν ημ ημ 0 0 Για ιες τιμές τυ θ η εξίσωση ίσες ημθ 0 έχει δύ ρίζες ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 6

31 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ημ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ συν (iii) Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ημ συν (iii) Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ημ ημ (iv) εφ (iv) συν (iii) εφ (iv) Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: εφ (v) σφ σφ (v) σφ σφ (v) εφ ημ συν (iii) ημ 0 (iv) συν 0 (v) εφ 0 (vi) σφ 0 5 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ημ 0 συν 0 (iii) ημ (v) εφ 0 (vi) σφ 0 (iv) συν 6 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ημ συν (iii) εφ (vi) σφ (v) 7 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ημ (iv) συν 6 συν (v) εφ 6 ημ (iv) συν (iii) ημ (vi) σφ 8 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: (iv) ημ συν συν (v) εφ 6 6 (iii) ημ (vi) σφ 9 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ημ7 ημ συν συν (iii) ημ9 ημ6 0 (iv) συν5 συν 0 (v) εφ5 εφ (vi) εφ6 εφ 0 0 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 7

32 ημ συν συν ημ 0 (iii) ημ ημ 0 (iv) συν5 ημ 0 (v) εφ5 εφ (vi) εφ σφ 0 6 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ημ ημ συν 6 ημ 0 (iii) εφ εφ 0 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ημ συν 0 (iii) εφ 0 (iv) σφ 6 0 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ημ συν 0 ημ συν 0 (iii) εφ σφ 0 (iv) εφ σφ 0 (v) ημ ημ 0 (vi) ημ συν 0 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ημ συν 0 ημ συν ημ συν 0 (iii) εφ σφ (iv) εφ εφ 5 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: συν συν 0 (iii) εφ σφ (iv) 6 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: συν συν 0 (iii) συν 5συν 0 (iv) ημ ημ 0 εφ εφ ημ ημ 0 7 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ημ ημ συν ημ (iii) ημ συν συν (iv) 8 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: 7ημ 5συν 0 (iii) ημ συν συν (iv) 9 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: εφσυν συν εφ εφ 0 εφ σφ συν ημ εφ σφ εφ εφ εφ 0 (iii) συν εφ ημ (iv) ημεφ εφ ημ 0 0 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: συν ημ συν ημ Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ημ συν συν ημ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 8

33 Για ιες τιμές τυ θ Δίνεται η εξίσωση εφθ 0 έχει δύ ρίζες ίσες η εξίσωση ημθ ημθ 0 Να δείξετε ότι για κάθε θ η αραάνω εξίσωση έχει ρίζες ραγματικές Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (iii) Για ιες τιμές τυ θ μία ρίζα της αραάνω εξίσωσης είναι διλάσια της άλλης Να λυθεί η εξίσωση: ημεφ ημ εφ 5 Να λυθεί η εξίσωση: 6 Να λυθεί η εξίσωση: ημ ημσυν συν συν ημ 7 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ημ συν ημ 0 συν ημ συν (iii) ημ συν συν ημ 0 συν συν 8εφ 5 (iv) 8 Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ημ συν 0 ημ συν 0 (iii) (iv) συν ημ εφ ημ συν 6 συν συν εφ σφ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 9

34 5 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΗΜΙΤΟΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ Ορίζεται μία συνάρτηση f η ία σε κάθε ραγματικό αριθμό αντιστιχίζει τν αριθμό ημ f ημ Η f λέγεται συνάρτηση ημίτν, δηλαδή έχει τύ Σχόλι Όταν γράφυμε ημ, όυ της γωνίας rad είναι ένας ραγματικός αριθμός, εννύμε τ ημίτν ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ημ Θεωρύμε τη συνάρτηση f ημ : H συνάρτηση f έχει εδί ρισμύ Α Η συνάρτηση f Για κάθε έχει σύνλ τιμών f A, ισχύει f ημ ημ f Άρα η συνάρτηση f εριττή, ότε έχει κέντρ συμμετρίας την αρχή O των αξόνων είναι Εειδή ημ ημ ημ για κάθε, συμεραίνυμε ότι η συνάρτηση f Γνωρίζυμε ότι τ ημ M είναι εριδική με ερίδ Τ είναι η τεταγμένη τυ σημείυ στ ί η τελική λευρά της γωνίας τέμνει τν τριγωνμετρικό κύκλ Όταν τ μεταβάλλεται αό τ 0 τ Α μέχρι τ, τ M rad κινείται αό μέχρι τ Β Άρα η τεταγμένη τυ αυξάνει, υ σημαίνει ότι η συνάρτηση f Όμια αδεικνύεται ότι η συνάρτηση f γνησίως φθίνυσα στ διάστημα, γνησίως αύξυσα στ διάστημα, ημ είναι γνησίως αύξυσα στ διάστημα ημ είναι: Ο Β Μ Μ Α 0, Τα ρηγύμενα συμεράσματα φαίννται στν διλανό ίνακα f ημ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 50

35 Εειδή f A, η συνάρτηση αρυσιάζει: μέγιστ τ όταν ελάχιστ τ όταν Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f ημ δίνεται στo, στ διάστημα διλαν σχήμα: 0, Ο Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f II Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ Ορίζεται μία συνάρτηση g τν αριθμό συν συνημίτν ημ λέγεται ημιτνειδής καμύλη η ία σε κάθε ραγματικό αριθμό, δηλαδή έχει τύ g ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ g Θεωρύμε τη συνάρτηση g συν : H συνάρτηση g έχει εδί ρισμύ Α Η συνάρτηση g συν Η g συν έχει σύνλ τιμών ga, αντιστιχίζει λέγεται συνάρτηση Για κάθε ισχύει g συν συν g Άρα η συνάρτηση g είναι άρτια, ότε έχει άξνα συμμετρίας τν άξνα Εειδή συν συν συν για κάθε, συμεραίνυμε ότι η συνάρτηση h είναι εριδική με ερίδ Τ Γνωρίζυμε ότι τ συν είναι η τετμημένη τυ σημεί M στ ί η τελική λευρά της γωνίας rad τέμνει τν τριγωνμετρικό κύκλ Όταν τ μεταβάλλεται αό τ 0 μέχρι τ, τ M κινείται αό τ Α μέχρι τ Α Άρα η τετμημένη τυ ελαττώνεται, υ σημαίνει ότι η συνάρτηση g συν είναι γνησίως φθίνυσα στ διάστημα 0, Όμια αδεικνύεται ότι η συνάρτηση διάστημα, g Α συν είναι γνησίως αύξυσα στ Β Β Μ Μ Α ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 5

36 Τα ρηγύμενα συμεράσματα φαίννται στν διλανό ίνακα f συν Εειδή f A, η συνάρτηση αρυσιάζει: μέγιστ τ όταν 0 ελάχιστ τ όταν Η γραφική αράσταση της συνάρτησης g συν δίνεται στo, στ διάστημα αρακάτω σχήμα: 0, Ο III Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Ορίζεται μία συνάρτηση f κ, αντιστιχίζει τν αριθμό εφ Η f λέγεται συνάρτηση εφατμένη η ία σε κάθε ραγματικό αριθμό, δηλαδή έχει τύ f με εφ κ, ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ h εφ Θεωρύμε τη συνάρτηση h εφ : Αν κ, κ, τότε συν 0 Εμένως η συνάρτηση h ρισμύ Α κ, κ έχει εδί Εειδή για κάθε αριθμό α, υάρχει ένας ραγματικός αριθμός, τέτις ώστε εφ α h A συμεραίνυμε ότι η συνάρτηση g έχει σύνλ τιμών Για κάθε ισχύει h εφ εφ h Άρα η συνάρτηση h είναι εριττή, ότε έχει κέντρ συμμετρίας την αρχή O των αξόνων Εειδή εφ εφ εφ για κάθε, συμεραίνυμε ότι η συνάρτηση g είναι εριδική με ερίδ Τ Θα μελετήσυμε την συνάρτηση στ διάστημα, ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 5

37 Γνωρίζυμε ότι η εφ M είναι η τεταγμένη τυ σημείυ στ ί η τελική λευρά της γωνίας rad τέμνει την ευθεία ε των εφατμένων Όταν τ μεταβάλλεται αό τ μέχρι τ, τ M κινείται αό τ Β μέχρι τ Β Άρα η τετμημένη τυ αυξάνεται, υ σημαίνει ότι η συνάρτηση h εφ είναι γνησίως αύξυσα στ διάστημα Τα ρηγύμενα συμεράσματα φαίννται στν διλανό ίνακα, h εφ δ 0 0 Β Β ε Μ Μ Α Μ δ Εειδή ha η συνάρτηση h Δίνντας στ τιμές λύ κντά στ δεν έχει ακρότατα αλλά μεγαλύτερες αό, ι τιμές της συνάρτησης ελαττώννται αεριόριστα Δηλαδή η συνάρτηση έχει όρι αό δεξιά στ Δίνντας στ τ και γράφυμε τιμές λύ κντά στ lim h αλλά μικρότερες αό συνάρτησης αυξάνυν αεριόριστα Δηλαδή η συνάρτηση έχει όρι αό αριστερά στ lim h τ και γράφυμε Η γραφική αράσταση της συνάρτησης στ διάστημα σχήμα:, h δίνεται στo αρακάτω εφ, Ο, ι τιμές της IV Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Ορίζεται μία συνάρτηση f η ία σε κάθε ραγματικό αριθμό με κ, κ f σφ, αντιστιχίζει τν αριθμό σφ, δηλαδή έχει τύ Η f λέγεται συνάρτηση συνεφατμένη ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 5

38 σ φ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ φ Θεωρύμε τη συνάρτηση φ σφ : Αν κ, κ, τότε ημ 0 Εμένως η συνάρτηση h Α κ, κ έχει εδί ρισμύ Εειδή για κάθε αριθμό α, υάρχει ένας ραγματικός αριθμός, τέτις ώστε συμεραίνυμε ότι η συνάρτηση φ φa σφ α Για κάθε έχει σύνλ τιμών ισχύει φ σφ σφ φ Άρα η συνάρτηση φ είναι εριττή, ότε έχει κέντρ συμμετρίας την αρχή O Εειδή σφ σφ σφ για κάθε συνάρτηση φ στ διάστημα των αξόνων, συμεραίνυμε ότι η είναι εριδική με ερίδ Τ Θα μελετήσυμε την συνάρτηση 0, Γνωρίζυμε ότι η σφ M είναι η τετμημένη τυ σημείυ στ ί η τελική λευρά της γωνίας τέμνει την ευθεία σ rad των συνεφατμένων Όταν τ μεταβάλλεται αό τ 0 μέχρι τ, τ M κινείται αό τ Άρα η τετμημένη τυ ελαττώνεται, υ σημαίνει ότι η συνάρτηση h σφ είναι γνησίως φθίνυσα στ διάστημα 0, Β μέχρι τ Β Τα ρηγύμενα συμεράσματα φαίννται στν διλανό ίνακα φ σφ 0 δ Μ Α Μ 0 Β Μ σ Β Α δ Εειδή φa η συνάρτηση h δεν έχει ακρότατα Δίνντας στ τιμές λύ κντά στ 0 αλλά μεγαλύτερες αό 0, ι τιμές της συνάρτησης αυξάνυν αεριόριστα Δηλαδή η συνάρτηση έχει όρι αό δεξιά στ 0 τ και γράφυμε lim φ 0 Δίνντας στ τιμές λύ κντά στ αλλά μικρότερες αό, ι τιμές της συνάρτησης ελαττώννται αεριόριστα Δηλαδή η συνάρτηση έχει όρι αό αριστερά στ τ και γράφυμε lim φ φ Η γραφική αράσταση της συνάρτησης διάστημα 0, δίνεται στo αρακάτω σχήμα: σφ, στ Ο ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 5

39 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αό τις συναρτήσεις υ θα ασχληθύμε, εριδικές μρεί να είναι αυτές υ τύς τυς εριέχει, μόν τριγωνμετρικές εκφράσεις, της ανεξάρτητης μεταβλητής IV ΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ: f ρ ημω, g ρ συν ω, h ρ εφω ΚΑΙ φ ρ σφω, ΟΠΟΥ ρ,ω 0 Αδεικνύεται ότι ι συναρτήσεις f είναι εριδικές με ερίδ Τ ω ρημω και g έχυν εδί ρισμύ τ και σύνλ τιμών τ ρ,ρ τιμή ρ και μέγιστη τιμή ρ Οι συναρτήσεις h είναι εριδικές με ερίδ ρεφω και φ Τ ω ρσφω με ρ,ω 0 ρσυνω με ρ,ω 0:, ότε έχυν ελάχιστη κ κ έχυν εδία ρισμύ τα A h, κ ω, A φ, κ ω έχυν σύνλ τιμών τ, ότε δεν έχυν μέγιστη και ελάχιστη τιμή και Παράδειγμα Η συνάρτηση f ημ έχει εδί ρισμύ Α, έχει ελάχιστη τιμή, μέγιστη τιμή και είναι εριδική με ερίδ Τ Η γραφική της αράσταση δίνεται στ διλανό σχήμα Ο ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 55

40 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ Να εξετασθεί αν ι αρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή εριττές: f ημ συν f ημσυν f ημ (iii) (iv) f συν Αν, με την βήθεια της μντνίας των τριγωνμετρικών 8 συναρτήσεων να συγκριθύν ι αριθμί: ημ, ημ συν, συν (iii) ημ ημ (iv) συν8, συν8 Δίνεται η συνάρτηση f: για την ία ισχύει: f f ημσυν Να αδειχθεί ότι η f είναι εριττή Να βρεθεί τύς της (iii) Να αδειχθεί ότι η f είναι εριδική με ερίδ Τ, Να βρεθεί τ εδί ρισμύ των συναρτήσεων: f f συν (iii) f εφ ημ (iv) f σφ 5 Να βρεθεί τ σύνλ τιμών και μέγιστη, ελάχιστη τιμή των αρακάτω συναρτήσεων: 7 f συν f 5 ημ (iii) f ημ (iv) f 5ημ 7συν Είσης να βρεθύν ι τιμές τυ για τις ίες ι αραάνω συναρτήσεις αίρνυν ακρότατες τιμές 6 Να βρεθύν τα σημεία στα ία ι γραφικές αραστάσεις των αρακάτω συναρτήσεων τέμνυν τυς άξνες : f ημ f συν συν f ημ συν 7 Αν, συναρτήσεων: f ημ g φ ημ (iii), να σχεδιαστύν ι γραφικές αραστάσεις των αρακάτω ημ (iii) h ημ (iv) ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 56

41 8 Να βρεθεί η ερίδς και η μέγιστη, ελάχιστη τιμή των αρακάτω συναρτήσεων: f ημ f συν (iii) f εφ 6 Κατόιν να γίνει η γραφική τυς αράσταση σε διάστημα λάτυς μιας εριόδυ 9 Η συνάρτηση ερίδ f α ημ β γ, α 0, β 0 έχει μέγιστη τιμή, και η γραφική της αράσταση διέρχεται αό τ σημεί Να βρεθύν τα α, β και γ Α, 8 Να βρεθύν η ερίδς, η μέγιστη τιμή και η ελάχιστη τιμή και της συνάρτησης g ημ6 Είσης να βρεθύν ι τιμές τυ για τις ίες η συνάρτηση g αρυσιάζει μέγιστη και ελάχιστη τιμή (iii) Να βρεθύν τα σημεία στα ία η γραφική αράσταση της συνάρτησης g τέμνει τν άξνα (iv) Να βρεθύν ι τιμές:,, g 6, g, g (v) Να γίνει η γραφική αράσταση της συνάρτησης g, 0, και κατόιν στ ίδι σύστημα αξόνων να γίνει η γραφική αράσταση της συνάρτησης f, 0, g0 g 0 Να βρεθύν ι εξισώσεις των αρακάτω ημιτνειδών καμύλων: 5 5 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 57

42 Στ αρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση της συνάρτησης f ημ στ διάστημα 0, C f Να γίνυν ι γραφικές αραστάσεις των αρακάτω συναρτήσεων: g ημ h ημ (iii) s ημ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 58

43 Τριγωνμετρικές συναρτήσεις Να δείξετε ότι ι συναρτήσεις f ημ ημ συν συν ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 6 και είναι σταθερές και να βρείτε την σταθερή τιμή τυς Δίνεται η συνάρτηση g ημ ημ ημ συν 7 Να βρείτε τις τιμές: f f ημ συν εφ f (iii) f (iv) 5 f 6 Πεδί ρισμύ Σύνλ τιμών Μντνία Ακρότατα Να βρείτε τ εδί ρισμύ των αρακάτω συναρτήσεων: f f συν συν (iv) f (v) f σφ ημ συν (iii) f 5 εφ Να βρείτε τ εδί ρισμύ των αρακάτω συναρτήσεων: f f εφ f ημ (iii) σφ 5 Να βρείτε τ σύνλ τιμών των αρακάτω συναρτήσεων: f συν f ημ 5 (iii) f συν (iv) f εφ (v) f ημ 6 Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των αρακάτω συναρτήσεων: f ημ f 5συν (iii) f 7 ημ ημ ημ f ημ 5συν (iv) f (v) f (vi) (vii) f ημ ημ 7 Να βρείτε τις τιμές τυ για τις ίες ι αρακάτω συναρτήσεις αίρνυν μέγιστη και ελάχιστη τιμή: f ημ f συν (iii) f ημ f συν 6 (iv) (v) f ημ (vi) f 8 Να βρείτε την ερίδ των αρακάτω συναρτήσεων: ημ f f συν f εφ f ημ συν (iv) f (iii) (v) (vi) συν ημ, α 0 α f ημ εφ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 59

44 9 Να εξετάσετε αν ι αρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή εριττές: f ημ εφ f 5ημ (iii) f 7 εφ συν συν ημ ημ (iv) f (v) f (vi) f 5 ημ (vii) f ημ εφ (viii) f ημ ημ 0 Να εξετάσετε αν ι αρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή εριττές: f ημ συν f ημ (iii) f ημ ημ ημ συν (iv) f (v) f (vi) f ημ5 ημ 5ημσυν Με την βήθεια της μντνίας των τριγωνμετρικών συναρτήσεων να βρείτε τα ρόσημα των αραστάσεων: ημ ημ εφ00 εφ60 εφ εφ05 (iii) ημ 0 ημ 0 ημ5 συν0 5 εφ εφ 6 Με την βήθεια της μντνίας της συνάρτησης f αύξυσα σειρά τυς αριθμύς: ημ00, ημ50, συν60, ημ70, συν50, ημ να διατάξετε σε ημ50 Αν, να συγκρίνετε τυς αριθμύς: ημ και ημ συν και συν (iii) εφ Γραφικές αραστάσεις και εφ Να σχεδιάσετε στ ίδι σύστημα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των αρακάτω συναρτήσεων: f ημ, g ημ, h ημ όυ 0 5 Να σχεδιάσετε στ ίδι σύστημα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των αρακάτω συναρτήσεων: f συν, g συν h συν όυ 0, 6 Να σχεδιάσετε στ ίδι σύστημα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των αρακάτω συναρτήσεων: f ημ g ημ όυ 0, 7 Δίνεται η συνάρτηση f ημ, h ημ Να βρείτε τ εδί ρισμύ της συνάρτησης f Να βρείτε την μέγιστη τιμή, την ελάχιστη τιμή και την ερίδ της f (iii) Να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της f σε ένα διάστημα λάτυς μιας εριόδυ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 60

45 8 Δίνεται η συνάρτηση f συν Να βρείτε τ εδί ρισμύ της συνάρτησης f Να βρείτε την μέγιστη τιμή, την ελάχιστη τιμή και την ερίδ της f (iii) Να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της f σε ένα διάστημα λάτυς μιας εριόδυ 9 Δίνεται η συνάρτηση f ημ ημ Να βρείτε τ εδί ρισμύ της συνάρτησης Να αλιήσετε τν τύ της στ διάστημα 0, (iii) Να βρείτε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή της (iv) Να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της f (v) Να λύσετε την εξίσωση f f Παραμετρικές 0, στ διάστημα 0 Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f αημ β διέρχεται αό τα σημεία 9 Α, αράσταση της f και 5 Β, Δίνεται η συνάρτηση f αημ β Να βρείτε τυς α, β και να κάνετε την γραφική, α,β 0 Να βρεθύν τα α, β αν η συνάρτηση f έχει σύνλ τιμών τ διάστημα, και ερίδ Τ Να βρεθύν τα σημεία υ η γραφική αράσταση της f τέμνει τυς άξνες και (iii) Να βρεθύν ι τιμές τυ για τις ίες η f δέχεται μέγιστ και ελάχιστ (iii) Να συμληρώσετε τν αρακάτω ίνακα τιμών της συνάρτησης f 0 f (iv) Nα σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f στ διάστημα 0, και με τη βήθεια αυτής βρείτε τα διαστήματα μντνίας και τ ρόσημ της f Δίνεται η συνάρτηση f αημ β Τ και η f έχει μέγιστη τιμή 5, τότε: Να βρεθύν ι αριθμί α και β, α,β 0 Αν Τ η ερίδς της f με Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της f καθώς και ι τιμές τυ για τις ίες η f δέχεται μέγιστ και ελάχιστ (iv) Να εξετάσετε αν η γραφική αράσταση της f τέμνει τν άξνα (v) Nα σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f στ διάστημα 0, και με αυτήν βρείτε τα διαστήματα μντνίας και τ ρόσημ της f ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 6

46 6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ Α ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Για ιεσδήτε γωνίες α, β ισχύει: ΠΟΡΙΣΜΑ Για ιεσδήτε γωνίες α, β Αόδειξη συν α β συνα συνβ ημα ημβ ισχύει: συν α β συνα συνβ ημα ημβ Έχυμε: συν α β συν α β συνα συν β ημα ημ β συνα συνβ ημα ημβ συνα συνβ ημα ημβ Β ΗΜΙΤΟΝΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ Για ιεσδήτε γωνίες α, β ισχύει: ημα β ημα συνβ ημβ συνα Αόδειξη Έχυμε: ημ α β συν α β συν αβ συν ασυνβ ημβ ημ α ημα συνβ ημβ συνα ΠΟΡΙΣΜΑ Για ιεσδήτε γωνίες α, β ισχύει: ημ α β ημα συνβ ημβ συνα Αόδειξη Έχυμε: ημ α β ημ α β ημα συν β ημ βσυνα συνα συνβ ημβ συνα ημα συνβ ημβ συνα Γ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ Για ιεσδήτε γωνίες α, β ισχύει: εφα β εφα εφβ εφα εφβ Αόδειξη Έχυμε: ημα συνβ ημβ συνα ημ α β ημα συνβ ημβ συνα συνα συνβ συνα συνβ εφα β συνα β συνα συνβ ημα ημβ συνα συνβ ημα ημβ συνα συνβ συνα συνβ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 6

47 ημα ημβ συνα συνβ εφα εφβ ημα ημβ εφα εφβ συνα συνβ ΠΟΡΙΣΜΑ Για ιεσδήτε γωνίες α, β ισχύει: εφα β Αόδειξη Έχυμε: εφα εφβ εφα εφβ εφα εφ β εφα εφβ εφα εφβ εφα β εφ α β εφα εφ β εφα εφβ εφα εφβ Δ ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ Για ιεσδήτε γωνίες α, β ισχύει: σφα β σφα σφβ σφα σφβ Αόδειξη Έχυμε: εφ α εφβ σφα β εφ α β εφ α β εφ αεφβ σφα σφβ σφα σφβ σφβ σφα σφβ σφβ σφα σφα σφα σφβ σφβ σφβ ΠΟΡΙΣΜΑ Για ιεσδήτε γωνίες α, β ισχύει: σφα β σφα σφβ σφβ σφα Αόδειξη Έχυμε: σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα β σφα β σφα σφ β σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφβ σφα ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 6

48 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΤΩΝ ΤΥΠΩΝ Ισχύυν ι τύι: ημα β ημα συνβ ημβ συνα συν α β συνα συνβ ημα ημβ εφα εφβ εφα εφβ σφα σφβ σφα σφβ 5 εφα β 6 εφα β 7 σφα β ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ημ α β ημα συνβ ημβ συνα συν α β συνα συνβ ημα ημβ εφα εφβ εφα εφβ σφα σφβ σφ α β σφβ σφα 8 Με την βήθεια των ρηγύμενων τύων μρύμε : I Nα υλγίσυμε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς γωνιών υ είναι ίσες με τ άθρισμα ή την διαφρά γωνιών των ίων γνωρίζυμε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς Παράδειγμα Να βρεθύν ι τριγωνμετρικί αριθμί των γωνιών: και II Nα υλγίσυμε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς αθρίσματς ή διαφράς γωνιών των ίων γνωρίζυμε έναν αό τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς Παράδειγμα Αν ημα με α 5 και συνβ με β, να υλγιστύν ι τριγωνμετρικί αριθμί τυ αθρίσματς α β III Nα αδεικνύυμε διάφρες τριγωνμετρικές ταυτότητες IV Nα αδεικνύυμε διάφρες σχέσεις σχετικά με τις γωνίες ενός τριγώνυ IV Nα λύνυμε τριγωνμετρικές εξισώσεις 5 75 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 6

49 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ Να υλγιστύν ι τριγωνμετρικί αριθμί της γωνίας 5 Όμια υλγίζνται ι τριγωνμετρικί αριθμί των γωνιών: 75 και 05 Να υλγιστεί η τιμή των αρακάτω αραστάσεων: συν70 συν0 συν80 συν0 ημ9 συν9 συν9 ημ9 συν69 συν9 συν8 συν 5 5 συν συν ημ ημ εφ εφ ημ συν ημ συν εφ εφ (iii) (iv) 7 5 εφ εφ εφ εφ Να αδειχθεί ότι: ημα β εφα εφβ συνα συνβ σφα σφβ ημ α β ημα ημβ Να αδειχθεί ότι: εφ 5α εφ α εφ 5α εφ α εφ7α εφα 5 Αν συνα με α και ημβ με β, να υλγιστύν ι 5 τριγωνμετρικί αριθμί της διαφράς α β 6 Να αδειχθεί ότι: συν α βσυν α β συν α ημ β συν β ημ α 7 Αν σφα σφβ, α β ημα ημβ και α,β 0,, τότε να βρεθεί η γωνία 8 Αν αβ με α, β κ εφα εφβ, να αδειχθεί ότι: 9 Αν α β γ, να αδειχθεί ότι: εφα εφβ εφγ εφα εφβ εφγ σφα σφβ σφβ σφγ σφγ σφα (iii) συν α συν β συν γ συνα συνβ συνγ 0 Να αδειχθεί ότι: ημ α β ημ β γ ημ γ α 0 συνα συνβ συνβ συνγ συνγ συνα Να αδειχθεί ότι αν σ ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει ή σχέση συν Α συν Β συν Γ Τότε τ τρίγων είναι ρθγώνι, και αντίστρφα ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 65

50 Να λυθύν ι εξισώσεις: ημ ημ συν συν (iv) ημ5 ημ συν 0 (iii) εφ εφ Στ διλανό σχήμα δίνεται ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ, Α 90 με Στην λευρά ΑΒ αίρνυμε τ σημεί Δ ΒΓΔ ΑΓ Αν ΓΔ 5, ΒΔ και, να βρεθεί η εφατμένη της γωνίας Γ Α 5 Δ Β Δ Γ Δίνεται τετράγων ΑΒΓΔ λευρές ΓΔ ΒΖ ΖΓ Αν και τα σημεία Ε, Ζ, ΒΓ αντίστιχα τέτια ώστε ΕΓ ΑΕΖ ω ΕΔ, τότε να βρεθεί η εφω στις και Α ω Β Ζ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 66

51 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τριγωνμετρικί αριθμί αθρίσματς διαφράς γωνιών Να υλγίσετε τυς αρακάτω τριγωνμετρικύς αριθμύς: συν75 7 ημ (iii) 5 εφ (iv) συν0 Να υλγίσετε την τιμή των αραστάσεων: ημ 0 ασυνα συν 0 αημα συν ασυνα ημ αημα (iii) συν ασυν α ημ αημ α 6 6 εφ θ εφ7 θ (iv) εφ θ εφ 7 θ Να υλγίσετε την τιμή των αραστάσεων: ημ0 συν συν0 ημ συν85 συν5 ημ85 ημ5 (iii) συν6 συν ημ6 ημ (iv) εφ00 εφ0 εφ0 εφ0 Να υλγίσετε την τιμή των αραστάσεων: συν68 συν8 ημ8 ημ68 ημ5 συν ημ συν5 ημ ημ6 ημ6 ημ0 συν συν8 συν0 ημ5 εφ εφ5 σφ78 σφ0 (iii) (iv) εφ5 εφ εφ 9 σφ7 5 Να υλγίσετε την τιμή των αραστάσεων: συν70 συν0 συν80 συν0 συν69 συν9 συν8 συν 7 7 ημ συν συν ημ (iii) ημ συν συν ημ (iv) συν ημ συν ημ ημ ημ συν συν 8 8 ημ0 συν0 συν0 ημ0 συν9 συν ημ9 ημ 6 Να υλγίσετε την τιμή των αραστάσεων: 7 εφ εφ ημ9 συν9 συν9 ημ εφ εφ συν συν ημ ημ Να υλγίσετε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας α β όταν: ημα, α 5 και 5 συνβ, β ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 67

52 8 Να υλγίσετε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας α β 8 συν α, α 0 και ημ β, 5 όταν: 0 β 9 Να υλγίσετε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας α β όταν: 7, α και σφβ, 8 εφα 7 0 Να βρείτε τ συνβ Να βρείτε τ ημα όταν Αν 9 συνα, Αλίηση αραστάσεων όταν ημβ συνα 5 5, εφα β α, να βρείτε την, συν α β 0, β 0 α και β, α 56 και β εφα Να γράετε σε αλύστερη μρφή τις αραστάσεις: συνα συνα ημα ημα συν α β ημα ημβ (iii) ημ 90 ασυν 90 β συν 90 αημ 90 β Να γράετε σε αλύστερη μρφή τις αραστάσεις: συνα β ημα ημβ ημ α β ημ α β συν α β ημα ημβ συν α β συν α β (iii) ημ 0 α ημ 0 α ημ α (iv) Να γράετε σε αλύστερη μρφή τις αραστάσεις: εφα εφα εφβ εφ5 α εφα εφα εφβ (iii) εφα εφβ εφα β εφβ (iv) εφα εφβ εφ α β εφβ συν 60 α συν α 60 συν α 5 Να γράετε σε αλύστερη μρφή τις αραστάσεις: συνα ημα εφα ημα σφα συνα (iii) εφ α εφ α σφ α σφ α Τριγωνμετρικες ταυτίτητες (iv) 6 Να αδείξετε τις ταυτότητες: ημ5 εφ0 συν5 6 ημ α β συν α β συν α β εφβ (v) εφ 5 εφ 5 ημ α β ημ α β ημ α ημ β (iii) ημα συνα εφα εφα (iv) ημ α β εφα εφβ συνα συνβ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 68

53 7 Να αδείξετε τις ταυτότητες: εφ α εφ β εφ α β εφ α β εφ αεφ β εφα β εφα εφβ εφα εφβ εφα β (iii) ημα ημ 60 α συν 0 α συνα εφα (iv) συνα ημ 5 α ημ 60 α συνα 8 Να αδείξετε τις ταυτότητες: συν 0 α συν0 συνα εφα ημ 0 α ημ0 ημα ημ α β ημ α ημ β ημα ημβ συν α β σφα συνβ ημβ συνβ σφα ημβ (iii) σφα β 9 Να αδείξετε τις ταυτότητες: εφα ημ 5 α ημ 5 α εφα (iv) συνα ημ α συν αημα συν α 0 (iii) εφα εφβ σφα β εφα εφβ σφα β 0 Να αδείξετε τις ταυτότητες: ημ α β συνβ ημβ συν α β ημα συν α βσυν α β ημ α βημ α β συνα εφα εφβ εφα εφβ εφ α β εφ α β (iii) συν α βσυν α β συν α ημ β συν β ημ α (iv) εφα β εφβ γ εφγ α εφα βεφβ γεφγ α Να αδείξετε ότι: εφ α εφ α εφα εφα εφ α εφ α (iv) ημ α β ημ β γ ημ γ α 0 ημα ημβ ημβ ημγ ημγ ημα Να αδείξετε ότι: Αν α β 5 εφα εφβ τότε ημ α β συν α β συν α β συν α συν α συν α (iii) ημ α ημ α ημ α συνα συνβ συν α β συν α συν β ημ α β (iv) Να αδείξετε ότι: ημα ημ β γ ημβ ημ γ α ημγ ημ α β 0 εφα εφβ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 69

54 (iii) ημ 5α συν α συν 5α ημ α ημ7α ημα ημ α β ημ α β συν ασυν β εφ α εφ β Να αδείξετε τις ταυτότητες: (iv) συν ασυν βεφ αεφ β ημ α βημ α β ημ α β ημ α ημ β ημα ημβ συν α β συν α (iii) εφα ημ α ημ α β ημ α β ημα ημβ ημα ημβ (iv) 5 Να αδείξετε ότι α β 5 όταν: εφα σφα, (iii), εφβ 5 σφβ εφα μ, και α, β και α, β μ εφβ και μ 0 μ είναι ξείες γωνίες είναι ξείες γωνίες ημα συνβ ημ α β εφα β συν α β ημα ημβ 6 Αν α, β, γ είναι ξείες γωνίες και ισχύυν εφα εφ, εφβ εφ και εφγ ημ συν, κ, να αδείξετε ότι α β γ 7 Να εκφράσετε τα ημ α β γ, συν α β γ και εφα β γ των τριγωνμετρικών αριθμών των γωνιών α, β, γ 8 Αν α β γ να αδείξετε ότι: συναρτήσει εφα εφβ εφγ εφα εφβ εφγ σφα σφβ σφβ σφγ σφγ σφα (iii) (iv) συν α συν β συν γ συνα συνβ συνγ ημ α ημ β ημ γ συνα συνβ συνγ 9 Αν α β γ να αδείξετε ότι: α β γ α β γ σφ σφ σφ σφ σφ σφ εφα εφβ εφγ εφαεφβ εφγ συνα συνβ συνγ (iii) ημβ ημγ ημγ ημα ημα ημβ 0 Να αδείξετε ότι: ημ0 ημ0 ημ00 συν0 συν50 συν70 ημ0 0 (iii) ημ50 εφ00 ημ60 ημ0 (iii) σφ 5 σφ5 σφ 5 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 70

55 Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ Α και αντιστρόφως ισχύει ημα ημ Β Γ συν Β Γ εφβ, να αδείξετε ότι Στ διλανό σχήμα είναι ΑΓ ΑΔ, να αδείξετε ότι: εφβ εφω,όυ Β ΑΒΓ εφ Β Η ΒΔ Β 60 Αν αβ είναι διχτόμς της γωνίας Β, αν ημα 5, 0 α και ημβ, 0 0 α, να αδείξετε ότι: Να αδείξετε ότι η συνάρτηση f συν συν συν συν είναι σταθερή και να βρείτε την σταθερή τιμή της Τριγωνμετρικές εξισώσεις 5 Να λύσετε τις εξισώσεις: ημ ημ συν συν εφ0 εφ εφ0 εφ (iii) συν ημ ημ 0 (iv) ημ5 ημ συν 0 Γ Δ Α ω Β 6 Να λύσετε τις εξισώσεις: ημ α συν α ημα ημ 60 ημ 60 (iii) συν 60 συν 60 (iv) ημ 5 ημ 60 ημ 5 ημ Να λύσετε τις εξισώσεις: ημ συν συν ημ συν συν ημ ημ 6 6 εφ εφ (iii) εφ εφ (iv) εφ εφ εφ εφ 8 Να λύσετε τις εξισώσεις: εφ εφ εφ συν ημ ημ5 0 εφ εφ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 7

56 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΙΠΛΑΣΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Α ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α ΘΕΩΡΗΜΑ Ισχύυν ι τύι: ημα ημα συνα συνα συν α ημ α εφα σφ α εφα σφα εφ α σφα Αόδειξη Έχυμε: ημα ημ α α ημασυνα ημασυνα ημασυνα συνα συν α α συνασυνα ημαημα συν α ημ α Είσης συν α ημ α συν α συν α συν α συν α συν α, και συν α ημ α ημ α ημ α ημ α εφα εφα εφα εφα εφ α α εφα εφα εφ α σφα σφα α σφα σφα σφ α σφα σφα σφα συν α ημ α ΠΟΡΙΣΜΑ Αν στυς ρηγύμενυς τύυς αντικαταστήσυμε τ α με α αίρνυμε: α α α α α α ημα ημ συν συνα συν ημ συν ημ α α εφ σφ εφα σφα α α εφ σφ Β ΤΥΠΟΙ ΑΠΟΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Μρύμε να υλγίσυμε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας α, όταν γνωρίζυμε τ συνα ΘΕΩΡΗΜΑ Ισχύυν ι τύι: συνα συνα ημ α συν α συνα συνα εφ α σφ α συνα συνα Αόδειξη Έχυμε: συνα συνα ημ α ημ α συνα ημ α ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 7

57 συνα συνα συν α συν α συνα συν α συνα ημ α συνα εφ α συν α συνα συνα συνα σφ α εφ α συνα Γ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α ΑΠΟ ΤΗΝ εφα ΘΕΩΡΗΜΑ Ισχύυν ι τύι: εφα ημα εφ α εφ α συνα εφ α Αόδειξη Έχυμε: ημα συνα ημα ημα συνα εφα ημα ημα συνα συν α συνα ημ α συν α ημ α συν α ημα εφ α συν α συν α συνα συν α ημ α ημα συν α συν α συνα συνα συν α ημ α συν α συν α συνα εφ α συν α ημ α ημα εφ α Δ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α ΑΠΟ ΤΗΝ εφα ΘΕΩΡΗΜΑ Ισχύυν ι τύι: ημα ημα ημ α Αόδειξη Έχυμε: ημα ημ α α ημα συνα ημα συνα ημα συνα συνα ημα ημ α συνα συν α συνα ημα συν α ημα ημ α ημα ημ α ημα ημ α ημα ημ α ημα ημ α ημα ημ α συνα συν α α συνα συνα ημα ημα συν α συνα ημα συνα ημα συν α συνα συν α συνα συν α συνα συν α συνα ημ ασυνα συν α συνα συνα συν α ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 7

58 Να αδειχθεί ότι: εφ εφ εφ εφ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ σφ σφ σφ σφ 0 Αν ημα, α, να βρείτε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας α Να αδειχθεί ότι: Να αδειχθεί ότι: ημ συν 8 8 ημ συν συν ημ ημ 5 Να βρεθύν ι τριγωνμετρικί αριθμί: ημ, συν και εφ 6 Να αδείξετε ότι: εφ α 8συν α συν α 8ημ α εφα ημα συνα εφ α 7 Να αδειχθεί ότι: συνα συνα εφ α συνα συνα 8 Να αδειχτεί ότι ημα συνα ημα συνα ημ0 συν0 συν0 8 9 Να αδειχθεί ότι: 5 7 συν συν συν συν Να λυθύν ι εξισώσεις: ημ συν συν ημ Να λυθύν ι εξισώσεις: εφ εφ συν συν 0 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 7

59 Αν 0 α, να αδειχθεί ότι: ημα συνα ημα Για τη γωνία α ισχύει ότι: 5συνα συνα 7 0 Να αδειχτεί ότι συνα 5 Αν ειλέν ισχύει α, να υλγιστύν ι τριγωνμετρικί αριθμί, συνα και εφα ημα Να λύσετε την εξίσωση ημ συν 0 Να αδειχτεί ότι συνα α εφ ημα ημα για όλες τις τιμές τυ α υ ρίζεται η ισότητα 5 Να αδείξετε ότι: αό όλα τα ρθγώνια τρίγωνα με δσμένη υτείνυσα, τ ισσκελές τρίγων έχει τ μεγαλύτερ εμβαδόν Λύση Έστω ΑΒΓ, Α 90 ρθγώνι τρίγων με σταθερή υτείνυσα ΒΓ α, τότε ΑΒ α συνβ και ΑΓ α ημβ Αν Ε είναι τ εμβαδό τυ τριγώνυ, έχυμε Ε ΑΒ ΑΓ ασυνβα ημβ α ημβ συνβ α ημβσυνβ α ημβ Τ εμβαδόν γίνεται μέγιστ όταν ημβ Β 90 Β 5 Αφύ Β 5 τότε και Γ 5, δηλαδή τ τρίγων είναι ισσκελές Άρα αό όλα τα ρθγώνια τρίγωνα με δσμένη υτείνυσα, τ ισσκελές τρίγων έχει τ μεγαλύτερ εμβαδόν Γ Α α Β ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 75

60 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Υλγιστικές Να αλιήσετε τα αρακάτω κλάσματα: συνα (iii) συνα ημα ημα ημα ημα συν α (iv) συνα ημα συνα Να βρείτε την γωνία φ ενός τριγώνυ όταν: ημ φ συν φ ημφ συνφ συν ημ συν συν Να αδείξετε ότι: Να αδείξετε ότι: ημ α β συν α β ημβ ημα ημα φ ημφ εφ συνφ 5 Να αδείξετε ότι: φ ω ημφ ημω συνφ συνω συν φ φ συν ημ συνφ 6 6 Να υλγίσετε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας α, όταν: ημα και α εφα και α 7 Να υλγίσετε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας α, όταν: α 5 α συν και ημ 0 7 α 5 εφ και α ημα 8 Να υλγίσετε τ, αν συνα Να υλγίσετε τ εφα ημα, αν εφα ημα 9 Αν α εφ α εφ συνα, α 5, να βρείτε τυς ημα 0 Να υλγίσετε τυς εφβ και σφα β Να βρείτε τυς φ ημ, φ συν και φ εφ, όταν:, συνα και εφα, όταν: εφα και εφβ συνφ, φ 5 (iii) ημφ, 5 Να βρείτε τυς φ ημ, φ συν και φ εφ, όταν: φ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 76

61 συνφ, φ (iv) εφφ Να βρείτε τυς ημα και συνα, όταν: 7 συνα, α 5 ημα, Αν, φ α 5 ημα συνα, α, να βρείτε τυς ημα, συνα 5 Να βρείτε τ ημ, αν εφ και εφα Να βρείτε τ συν, αν 6 Αν συν ημ, να βρείτε τυς ημ και συν ημ συν 7 Να υλγίσετε τα αρακάτω: (iii) ημ συν (iv) ημ 8 εφ 8 8 Να υλγίσετε τις αρακάτω αραστάσεις: σφ σφ 8συν0 συν50 συν (iii) ημ ημ (iv) ημ συν Αν 0 Αν ημα 7 ημ εφ ημα ημα συνα, να βρείτε την τιμή της αράστασης εφα, να βρείτε την τιμή της αράστασης ημα σφ Αν α α ημ συν, α, να βρείτε τ ημα Αν 5 ημα, α, να βρείτε τ α ημ 5 6 Αδεικτικές Να αδείξετε ότι: α ημα συν ημα ημα α (iii) εφ ημα ημα α ημα ημ 6α 6α ημ α (iv) ημ συν συνα Να αδείξετε ότι: ημ εφ ημ συν εφ ημ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 77