3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας

Transcript

1 . Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας αέναντι κάθετη λευρά ημβ υοτείνουσα ημγ ΑB ροσκε ίμενη κάθετη λευρά συνβ υοτείνουσα συνγ αέναντι κάθετη λευρά εφβ ροσκε ίμενη κάθετη λευρά εφγ ΑΒ AΓ ροσκε ίμενη κάθετη λευρά σφβ αέναντι κάθετη λευρά σφγ AB ΑB AB ΑΒ AΓ Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0 o ω 0 o Θεωρούμε ένα σύστημα συντεταγμένων Οxy στο είεδο και Ot μία ημιευθεία αυτού. Αν ω είναι η γωνία ου αράγεται αό τον ημιάξονα Ox όταν εριστραφεί κατά τη θετική φορά γύρω αό το Ο μέχρι να συμέσει για ρώτη φορά με την ημιευθεία Ot τότε ο θετικός ημιάξονας Ox λέγεται αρχική λευρά της γωνίας ω, ενώ η ημιευθεία Ot λέγεται τελική λευρά της ω. ημω y ρ συνω ρ x εφω x y σφω y x (με την ροϋόθεση ότι x 0) (με την ροϋόθεση ότι y 0) Γ (διαφορετικού του Ο) της τελικής λευράς της γωνίας ω και ρ την αρχή των αξόνων Ο(0,0). όου (x, y) οι συντεταγμένες οοιουδήοτε σημείου x y η αόσταση του Γ αό

2 Τριγωνομετρικός κύκλος Τριγωνομετρικός κύκλος λέγεται ο κύκλος με κέντρο την αρχή Ο(0,0) ενός συστήματος συντεταγμένων και ακτίνα ρ. Γενικότερα, αν η τελική λευρά μιας γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ(x, y), τότε ισχύει: ημωyτεταγμένη του σημείου Μ συνωxτετμημένη του σημείου Μ Για το λόγο αυτό ο άξονας yy λέγεται και άξονας των ημιτόνων, ενώ ο άξονας xx λέγεται και άξονας των συνημιτόνων. Παρατηρήσεις : α) Οι τιμές του συνω και του ημω μιας γωνίας ω δεν μορούν να υερβούν κατά αόλυτη τιμή την ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου, ου είναι ίση με. Δηλαδή: ημω και συνω β) Τα ρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω, ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας αυτής, είναι όως δείχνει ο αρακάτω ίνακας. Ο άξονας των εφατομένων Θεωρούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο και μια γωνία ω ου η τελική της λευρά τον τέμνει στο σημείο M(x, y). Φέρνουμε την εφατομένη ε του τριγωνομετρικού κύκλου στο σημείο Α. Αν η τελική λευρά της γωνίας τέμνει την ευθεία ε στο σημείο Ε τότε ισχύει:

3 εφωy Eτεταγμένη του σημείου Ε Για το λόγο αυτό η ευθεία ε, ου έχει εξίσωση x, λέγεται άξονας των εφατομένων. Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών Το ακτίνιο (rad) είναι μονάδα μέτρησης γωνίας. Ένα ακτίνιο ( rad) είναι η είεδη γωνία η οοία όταν γίνει είκεντρη ορίζει τόξο, σε οοιοδήοτε κύκλο, με μήκος ίσο με την ακτίνα του. Αό τον ορισμό αυτό ροκύτει και η σχέση μοίρας και ακτινίου ως μονάδων μέτρησης γωνιών, ως εξής : α μ 80 Όου α είναι τα ακτίνια της γωνίας και μ οι μοίρες της γωνίας. Για αράδειγμα: για να ροσδιορίσουμε τα ακτίνια της γωνίας 5 0 εργαζόμαστε με βάση τον ροηγούμενο τύο ως εξής: α α 5 α 5 80 α για να ροσδιορίσουμε τις μοίρες της γωνίας rad, εργαζόμαστε ως εξής: rad μ μ 0 μ μ 0

4 Τριγωνομετρικός ίνακας ω 0 ημω 0 συνω εφω 0 σφω ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να μετατρέψετε σε ακτίνια τις γωνίες: α) 0 0, β) 5 0, γ) 0 0, δ) 5 0, ε) 50 0, στ) 0 0, ζ) 90 0, η) 00 0, θ) 0 0, ι) 5 0, ια) 50 0, ιβ) 80 0, ιγ) 0 0, ιδ) 5 0, ιε) 0 0, ιστ) 00 0, ιζ) 0 0, ιη) 0 0. Να μετατρέψετε σε ακτίνια τις γωνίες: α) 50 0, β) 800 0, γ) 0 0, δ) 50 0, ε) 70 0, στ) 00 0, ζ) 90 0, η) Να μετατρέψετε σε μοίρες τις γωνίες: α) 0 rad, β) rad, γ) rad, δ) rad, ε) rad, στ) rad, ζ) rad, η) rad 8. Να μετατρέψετε σε μοίρες τις γωνίες: α) rad, β) rad, γ) 5 8 rad, δ) 5 rad, ε) 9 rad, στ) 9 rad, ζ) rad 5 5. Να βρείτε το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών: α), β), γ), δ). 5. Να βρείτε το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών: α) 0 0, β) 9 0, γ) 00 0, δ) Αν 0<α< και 0<β< να ροσδιορίσετε τα ρόσημα των αραστάσεων: α) Αημα συν5β, β) Βημ(α+β), γ) Γημ( α+β), δ) Δσυν(α+β)

5 8. Αν 0<α< α) Αημα+συν 9. Αν <α< 0. Αν 0<α< και. Αν <ω< <β<0 να ροσδιορίσετε τα ρόσημα των αραστάσεων: β, β) Βημ(α β), γ) Γημ(α+β), δ) Δσυν(α+β) να ροσδιορίσετε το ρόσημο της αράστασης Αημα+εφ(α να ροσδιορίσετε το ρόσημο της αράστασης Αημα σφ(α να ροσδιορίσετε το ρόσημο των αραστάσεων: ημω σφω α) Ασφω συνω ημω, β) Β συνω εφω. Αν <ω< να δείξετε ότι: ημ 5 (ω+ )+ημω συν ω+ημω συν(ω )<0 ) συνα+σφ( ) ) συν( α).. Αν ημω σφω<0 και συνω εφω>0, να βρείτε σε οιο τεταρτημόριο βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας ω.. Να υολογίσετε τις τιμές των αραστάσεων: α) ημ β) εφ γ) σφ +συν ημ σφ συν εφ +ημ συν +ημ εφ 8συν 5. Να υολογιστεί η τιμή της αράστασης Α ημ συν ημ συν. ημ. Να ροσδιορίσετε την τιμή της αράστασης: ημ750 0 συν( 0 0 ) ημ0 0 συν Να υολογίσετε την τιμή των αραστάσεων: σφ α) ημ (συν ημ7)+, β) σφ εφ 9 σφ +εφ+ συν( ) 8. Να δείξετε ότι: συν00 0 ημ( 0 0 )+ημ0 0 συν Για οιες τιμές του x έχουν νόημα οι αρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: α) συνθx 5 β) ημθx x+ γ) ημ(θ ) x x δ) συνθ x

6 0. Να ροσδιορίσετε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των αραστάσεων: α) Α+συν5x, β) Β ημx, γ) Γ ημ x, δ) Δ 5 συνx, ε) Ε 5 ημx. Να εξετάσετε αν υάρχει γωνία ω για την οοία ισχύει ημω 8.. Δίνεται η εξίσωση x (+συνθ)x+συνθ0. α) Να αοδείξετε ότι η αραάνω εξίσωση έχει δύο λύσεις ραγματικές κι άνισες, για κάθε γωνία θ. β) Αν x, x είναι οι λύσεις της εξίσωσης, να αοδείξετε ότι: i. x +x ii. x x ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ. Η γωνία ω 5 και η γωνία φ έχουν την ίδια τελική λευρά. Σωστό Λάθος. Αν ω<0 τότε εφω<0. Σωστό Λάθος. Αν ημω<0 και συνω>0 τότε σφω>0. Σωστό Λάθος. Για κάθε γωνία ω ισχύει ημω <. Σωστό Λάθος 5. Για κάθε γωνία ω ισχύει ημω. Σωστό Λάθος. Υάρχει γωνία ω για την οοία ισχύει ημω. Σωστό Λάθος ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. Η γωνία θ50 0, σε ακτίνια είναι Α. 5. Αν ημω Α. x< Β. x x 5 Γ., με x 0, τότε Β. 0<x< Δ. Ε. Γ. x<0 Δ. x> Ε. x<0 ή x>. Η μέγιστη τιμή της αράστασης Αημ(ω ) είναι: Α. Β. 5 Γ. Δ. Ε. 0