3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ έ _ ά ί ί _ ά ί έ _ ά ί _ ά ί _ ά έ _ ά ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΥΧΑΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ y y y όπου η απόσταση του Μ από την αρχή των αξόνων Ο y ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Για έναν σύντομο κατά προσέγγιση υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών χρησιμοποιούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο, ο κύκλος δηλ. που έχει κέντρο Ο και ρ=. Σύμφωνα με τα παραπάνω θα ισχύει : y (ή ) (ή ). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΑ ΠΡΟΣΗΜΑ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Από τον τριγωνομετρικό κύκλο προκύπτουν και τα πρόοσημα των τριγωνομετρικών αριθμών όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Οι γωνίες εκτός από μοίρες, μετριούνται και με ακτίνια (rad). Ένας κύκλος είναι π rad, οπότε προκύπτει ο τύπος που μετατρέπει τις μοίρες σε ακτίνια και αντίστροφα για μια γωνίας ω : όπου η γωνία ω είναι και α rad. π.χ. η γωνία είναι 8 rad 8 Έτσι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών του ο τεταρτημορίου δίνονται από τον παρακάτω πίνακα : Γωνία ω ή rad ημω συνω εφω ή rad ή rad σφω Δεν ορίζεται ή rad ή rad Δεν ορίζεται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΕΝΑΣ ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΤΟΥ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΠΙΝΑΚΑ ο ΒΗΜΑ : Αρχικά γραφούμε : ή Γωνία ω rad ή rad ή rad ή rad ή rad ημω συνω εφω σφω ο ΒΗΜΑ : Συμπληρώνουμε κάτω από τις ρίζες κατά σειρά τους αριθμούς,,,, και υπολογίζουμε το κάθε αποτέλεσμα. ή ή ή ή ή Γωνία ω rad rad rad rad rad ημω συνω εφω σφω ο ΒΗΜΑ : Οι τιμές του συνω είναι «ανάποδες» από τις τιμές του ημω ή ή ή ή Γωνία ω rad rad rad rad ημω συνω ή rad εφω σφω ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ο ΒΗΜΑ : Για την εφω ισχύει : άρα : ή ή ή Γωνία ω rad rad rad ημω συνω εφω σφω ή rad ή rad δεν ορίζεται ο ΒΗΜΑ : Οι τιμές της εφω είναι «ανάποδες» από τις τιμές της σφω ή ή ή ή Γωνία ω rad rad rad rad ημω συνω εφω σφω δεν ορίζεται ή rad δεν ορίζεται ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ,,8, 7 ή,, 8, 7,, 8, 7,,, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ «ΜΕΓΑΛΩΝ» ΓΩΝΙΩΝ ( ) ή σε ακτίνια ( ) ( ) ή σε ακτίνια ( ) ( ) ή σε ακτίνια ( ) ( ) ή σε ακτίνια ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ) (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε τα μήκη,y και τη γωνία ω. Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ορθογώνιο άρα : Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ορθογώνιο άρα : άρα. Επίσης y y y y y y y ) (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να εκφράσετε σε rad γωνία : i. ii. iii. iv. 8 i. Χρησιμοποιούμε τον τύπο για 8 rad. Άρα rad 8 ii. Χρησιμοποιούμε τον τύπο για 8 rad. Άρα rad 8 iii. Χρησιμοποιούμε τον τύπο για rad. Άρα 7 rad 8 iv. Χρησιμοποιούμε τον τύπο για και έχω : και έχω : και έχω : και έχω : rad. Άρα 8 rad ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ) (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να μετατρέψετε σε μοίρες γωνία : i. rad ii. rad iii. rad iv. rad i. Γνωρίζουμε ότι rad rad rad ii. 8 rad iii. 8 rad iv. Από τον τύπο, 8 για, έχουμε : 8 8 μοίρες. 8 ) (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας : i. 8 ii. iii. 8 iv. i. Θα χρησιμοποιήσουμε τους τύπους ( ), ( ), ( ) και ( ) Αν κάνουμε τη διαίρεση 8 : θα βρούμε πηλίκο και υπόλοιπο. Άρα ισχύει : 8 οπότε έχουμε : 8 ( ) 8 ( ) 8 ( ) 8 ( ) ii. Αν κάνουμε τη διαίρεση : θα βρούμε πηλίκο 8 και υπόλοιπο. Άρα ισχύει : 8 οπότε έχουμε : (8 ) (8 ) (8 ) (8 ) iii. Αν κάνουμε τη διαίρεση 8 : θα βρούμε πηλίκο και υπόλοιπο 8. Άρα ισχύει : 8 8 οπότε έχουμε : 8 ( 8) 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 8 ( 8) 8 8 ( 8) 8 8 ( 8) 8 (δεν ορίζεται) iv. Αν κάνουμε τη διαίρεση : θα βρούμε πηλίκο και υπόλοιπο. Άρα ισχύει : οπότε έχουμε : ( ) ( ) ( ) ( ) (δεν ορίζεται) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ..... και ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν και, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad. Έχω Όμως Επίσης :, άρα βρισκόμαστε στο ο τεταρτημόριο όπου, άρα και. (Άσκηση σελ Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν και, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Έχω : Όμως, άρα βρισκόμαστε στο ο τεταρτημόριο όπου, άρα Επίσης : και. (Άσκηση σελ. Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν και, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad. Έχω : Όμως :, όμως, άρα βρισκόμαστε στο ο τεταρτημόριο όπου, άρα. Επίσης. Τέλος. (Άσκηση σελ. Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν και, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Έχω :.. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Από τον τύπο, όμως άρα βρισκόμαστε στο ο τεταρτημόριο άρα, άρα. Επίσης Τελικά η παράσταση.. (Άσκηση 7 σελ. Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι, τα σημεία (, y) του επιπέδου με και y, είναι σημεία κύκλου Ο(,) κέντρου και ακτίνας ρ=. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η απόσταση του σημείου (, y) από την αρχή των αξόνων Ο(,) είναι ιση με. Έχουμε : ( ) ( ) ( y ) y ( ) ( ) ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα. (Άσκηση 8 σελ. Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν ισχύει και y, να δείξετε ότι y. Έχω : y ( ) ( ) ( ) που ισχύει. 7. (Άσκηση σελ. Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι : i. ii. i. Με τον περιορισμό ότι : και έχω : ί ( )( ) ii. που ισχύει. ( ) ( ) ( )( ) ( )

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ που ισχύει. 8. (Άσκηση σελ. Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι : i. ii. i. Με τον περιορισμό ότι : και έχω : ( ) ( ) ( ) που ισχύει. ii. Με τον περιορισμό ότι :, και ()() έχω : ( ) ( ) ( )( ) ( ) που ισχύει.. (Άσκηση σελ. Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν να αποδείξετε ότι :. Έχω : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) όμως Άρα ( ) ( ). Όμως : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα ( ) άρα βρισκόμαστε στο ο και στο ο άρα ισχύει, οπότε. Επίσης άρα ισχύει και. Άρα που ισχύει.