Μάθηµα 8. , δέχεται εφαπτοµένη στο σηµείο της ( k, f ( k)), k D

Transcript

1 Μάθηµα 8 Κεφάλαιο : ιαφορικός Λογισµός Θεµατικές Ενότητες: Εξίσωση Εφαπτοµένης Η προϋπόθεση ύπαρξης εφαπτοµένης (ένα κατά συνθήκη ψεύδος) και η εξίσωσή της Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης µε πεδίο ορισµού το D, δέχεται εφαπτοµένη στο σηµείο της ( k, ( k)), k D, αν και µόνο αν η είναι παραγωγίσιµη στο κ Σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση εφαπτοµένης βρίσκεται µε την επόµενη µέθοδο: Εύρεση εξίσωσης εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) στο σηµείο επαφής ( k, ( k )) Βήµα : Γράφουµε τη γενική µορφή Έστω y= λ + b η εξίσωση της που θα έχει η εξίσωση της ζητούµενης εφαπτοµένης ζητούµενης εφαπτοµένης Βήµα : Βρίσκουµε το συντελεστή Βρίσκουµε την '( ) και µετά, διεύθυνσης λ της εφαπτοµένης αντικαθιστώντας όπου χ το κ, βρίσκουµε το λ= '( k ), που είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης Βήµα : Γράφουµε την (ε) (όπως έχει Η (ε) γράφεται: y= λ + b µε λ γίνει µέχρι στιγµής) γνωστό αριθµό Βήµα 4: Βρίσκουµε το β, στηριγµένοι Αντικαθιστούµε στον τύπο της στη λογική ότι το σηµείο επαφής είναι συνάρτησης όπου χ το σηµείο κοινό σηµείο και της συνάρτησης και επαφής κ και βρίσκουµε το y = ( k) της εφαπτοµένης Αντικαθιστούµε στον πιο πάνω τύπο της (ε) όπου χ το κ και βρίσκουµε το y = λ k+ b Απαιτούµε να ισχύει y = y και βρίσκουµε το b Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, ιαφορικός Λογισµός 8

2 Προσοχή: Όπως γίνεται φανερό πιο πάνω, όλα εξαρτώνται από το σηµείο επαφής (κ, (κ)) Τίποτα δεν γίνεται χωρίς αυτό Στις ασκήσεις αυτής της ενότητας λοιπόν, αν δεν µας δίνεται το κ, ξεκινάµε δουλειά υποθέτοντας «έστω (κ, (κ)) το σηµείο επαφής» Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης (λ) Είναι το σηµαντικότερο «εργαλείο» που έχουµε στη διάθεσή µας, όταν λύνουµε ασκήσεις σε αυτήν την ενότητα Έστω λοιπόν ότι έχουµε µια συνάρτηση, παραγωγίσιµη στο σηµείο της Έχουµε τις εξής περιπτώσεις: Αν έχουµε τον τύπο της, τότε λ= (k) Αν έχουµε την εξίσωση εφαπτοµένης στη µορφή y= a+ b, τότε λ=α Αν έχουµε τη γωνία ω που σχηµατίζει η εφαπτοµένη µε τον άξονα χ χ, τότε λ=εφω Προσοχή: Από τα πιο πάνω, γίνεται φανερό ότι ισχύει λ= a= εφω = '( k) Η τριπλή αυτή ισότητα, είναι το «κλειδί» για την επίλυση πολλών ασκήσεων Σε κάθε περίπτωση, το ποια µορφή του λ θα χρησιµοποιήσουµε, εξαρτάται από τα δεδοµένα της εκάστοτε άσκησης Συντελεστής διεύθυνσης εφαπτοµένης λ = εφω = α = '( k ) Απαραίτητες υπενθυµίσεις Έστω ( ε) : y= αχ+ β,( ε) : y= c+ d δύο ευθείες Τότε ισχύουν τα επόµενα: ε ε ( ) //( ) α = c (Συνθήκη παραλληλίας) ( ε ) ( ε ) α c= (Συνθήκη καθετότητας) Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, ιαφορικός Λογισµός 8

3 ( ε ) ( ε ) α = c b= d (Συνθήκη ταύτισης) 4 ( ε) // ' α = (Ευθεία παράλληλη στον οριζόντιο άξονα χ χ, δηλαδή οριζόντια ευθεία) 5 Για να βρω τα σηµεία στα οποία η (ε ) τέµνει τους άξονες, θέτω όπου χ= και βρίσκω το y και θέτω όπου y= και βρίσκω το χ 6 Για να βρω το σηµείο τοµής των (ε ), (ε ), λύνω το σύστηµα των εξισώσεων των δύο ευθειών Σηµαντικές παρατηρήσεις Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης εφάπτεται στον άξονα χ χ στο σηµείο κ, αν και µόνο αν ισχύουν τα εξής: ( k ) = και '( k ) = Η ευθεία y= a+ b είναι κοινή εφαπτοµένη των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων, στο κοινό σηµείο τους κ, αν και µόνο αν ισχύουν τα εξής: ( k) = ( k) και '( k) = '( k) Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, ιαφορικός Λογισµός 84

4 Λυµένες ασκήσεις Βρείτε την εξίσωση εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) = +, στο σηµείο της A(, ()) Λύση Είναι A = R Η είναι παραγωγίσιµη στο R (ως πολυωνυµική συνάρτηση) µε '( ) = Έστω (ε): y= a+ b η εξίσωση εφαπτοµένης της C στο Θα είναι a= '() =, εποµένως a= και η (ε) γράφεται y= + b Για χ= έχουµε: y= + b () = άρα + b= b= Άρα, τελικά, η ζητούµενη εξίσωση εφαπτοµένης είναι η y= Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) =, ( ) = +, έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο, στο οποίο οι εφαπτόµενές τους είναι κάθετες Λύση Κατ` αρχάς, είναι A = R*, A = R Αναζητούµε τα κοινά σηµεία µεταξύ των C, C = + + = Horner ( )( + ) = = ( ) ( ) ( ) Άρα οι C, C τέµνονται στο σηµείο (, )Τώρα έχουµε: '( ) =, '( ) =, οπότε '() =, '() = εποµένως ισχύει Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, ιαφορικός Λογισµός 85

5 '() '() =, από το οποίο προκύπτει η ζητούµενη καθετότητα των δυο εφαπτοµένων ίνονται οι συναρτήσεις ( ) = a + b+, ( ) = Βρείτε τα a, b R, ώστε οι C, C να έχουν κοινή εφαπτοµένη στο σηµείο µε τετµηµένη Λύση Οι, είναι παραγωγίσιµες στο R, R* αντίστοιχα, µε '( ) = a+ b, '( ) = Από υπόθεση έχουµε: () = () a+ b+ = a=, b= '() = '() a+ b= 4 Βρείτε την εφαπτοµένη της ευθεία y= 9+ ( ) = + 5 που είναι παράλληλη στην Λύση Η είναι παραγωγίσιµη στο R µε '( ) = Έστω (κ, (κ)) το σηµείο επαφής της ζητούµενης εφαπτοµένης Από τη συνθήκη παραλληλίας, θα ισχύει '( k) = 9 k = 9 k = 6 Άρα αναζητούµε την εξίσωση εφαπτοµένης της Έστω (ε): y= a+ b η ζητούµενη εξίσωση εφαπτοµένης C στο σηµείο της (6, (6)): Θα είναι a= '(6) = 6 = 9, οπότε η (ε) γράφεται y= 9+ b y= 54+ b y= 54+ b Για χ=6 έχουµε: (6) = (6) = 54+ b= b= άρα θα πρέπει να είναι Άρα, τελικά, η ζητούµενη εφαπτοµένη είναι η ευθεία µε εξίσωση y= 9 Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, ιαφορικός Λογισµός 86

6 Άλυτες ασκήσεις Βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της που αναφέρεται: C, στο σηµείο µε τετµηµένη το 4 ( ), ( ) = +, = ( ) = + +, = ( ) 5 6, = + + = = + + = 5 ( ) =, = 4 6 ( ) =, = ( ) =, = + 8 ( ) =, = 9 ( ) =, = + ( ) = + +, = ( ), ( ) = +, = = + + = ( ) = +, = 4 = + + = ( ), + 5 ( ) =, = 6 Έστω (ε) η εφαπτοµένη της ( ) = στο σηµείο Μ(κ,(κ)) Αν Α, Β είναι τα σηµεία στα οποία αυτή η εφαπτοµένη τέµνει τους άξονες χ χ και ψ ψ αντίστοιχα, να δείξετε ότι το εµβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό 7 είξτε ότι υπάρχουν σηµεία της C της ( ) =, στα οποία οι εφαπτόµενες είναι (µεταξύ τους) παράλληλες Ισχύει το ίδιο µε την ( ) = ; Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, ιαφορικός Λογισµός 87

7 8 Για τις επόµενες συναρτήσεις, βρείτε τις εφαπτόµενές τους που είναι οριζόντιες (αν φυσικά υπάρχουν) 4 a) ( ) = + b) ( ) = e + c) ( ) = 9 είξτε ότι οι εφαπτόµενες των ( ) =, ( ) = + στο κοινό τους σηµείο, είναι µεταξύ τους κάθετες a+ a Βρείτε τον αριθµό a R*, ώστε η κλίση της ( ) = + a ίση µε ½ στο να είναι Βρείτε τις εφαπτόµενες της ( ) = + 5, οι οποίες είναι: a) Παράλληλες στην ευθεία y= 9+ b) Κάθετες στην ευθεία y= είξτε ότι η ευθεία y= έχει µε την C της σηµεία, στο ένα από τα δύο εφάπτεται ( ) = δύο κοινά Εξετάστε αν υπάρχει πολυώνυµο ου βαθµού, του οποίου η γραφική παράσταση να εφάπτεται στις ευθείες y= +, y=, στα σηµεία Α(, ) και Β(, ) αντίστοιχα 4 Βρείτε τα σηµεία στα οποία η φ( χ) = ηµ χ ηµ χ, χ [, π ] έχει οριζόντια εφαπτοµένη 5 Αν παραγωγίσιµη συνάρτηση στο R και ισχύουν '() =, ( ) = ( + + ), να δείξετε ότι η εφαπτοµένη της C στο, εφάπτεται και της C στο π π 6 Αν φ παραγωγίσιµη συνάρτηση και φ( ηµχ) = e χ συνχ, χ [, ], να βρείτε την φ () και να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της C φ στο, σχηµατίζει µε τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο 7 Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο, µε την εφαπτοµένη της στο ( ) () να έχει συντελεστή διεύθυνσης 4 Βρείτε το lim Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, ιαφορικός Λογισµός 88

8 8 Αν ( ) =, να βρείτε: a) Την εφαπτοµένη της C που σχηµατίζει µε τον άξονα χ χ γωνία 45 b) Τις εφαπτόµενες της C που διέρχονται από το σηµείο Α(, -) c) Την εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην εφαπτοµένη της C, στο σηµείο Β(, 9) 9 Βρείτε την εφαπτοµένη της ( ) = e που περνάει από την αρχή των αξόνων + 6 Βρείτε τις εφαπτόµενες της C της ( ) =, οι οποίες: a) Είναι οριζόντιες b) Είναι παράλληλες στην ευθεία y= Βρείτε το k R, ώστε η C της ( ) = 4+ k+ να περνάει από το σηµείο Μ(,) Μετά, βρείτε τις οριζόντιες εφαπτόµενες της C είξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των ( ) =, ( ) = + έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο, στο οποίο οι εφαπτόµενές τους είναι κάθετες Βρείτε τα a, b R, ώστε η ευθεία y+ 4=, να εφάπτεται της της ( ) = a ln + b + στο 4 Βρείτε το a R, ώστε οι ( ) = + a+, ( ) = να έχουν κοινή εφαπτοµένη σε ένα κοινό τους σηµείο 5 Βρείτε τα a, b R, αν η ευθεία y= 5 εφάπτεται της ( ) = + + στο a b C 6 Βρείτε τα a, b R, ώστε οι εφαπτοµένη στο ( ) = + a+ b, ( ) = + να έχουν κοινή 7 Βρείτε τις εφαπτόµενες της ( ) =, στα σηµεία που η γραφική της παράσταση τέµνει τον οριζόντιο άξονα Μετά, δείξτε ότι αυτές οι εφαπτόµενες είναι µεταξύ τους κάθετες Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, ιαφορικός Λογισµός 89

9 8 Βρείτε την εφαπτοµένη της αρχή των αξόνων + ln ( ) =, η οποία περνάει από την 9 Βρείτε τα κοινά σηµεία των ( ) = 4, ( ) = και δείξτε ότι, σε ένα από αυτά, οι C, C έχουν κοινή εφαπτοµένη 4 4 Βρείτε την εφαπτοµένη της ευθεία y + = ( ) = +, που είναι παράλληλη στην + ln 4 είξτε ότι η ( ) = έχει µία µόνο εφαπτοµένη, η οποία: a) ιέρχεται από την αρχή των αξόνων b) Είναι παράλληλη στον άξονα χ χ 4 Βρείτε τα a, b, c R, για τα οποία η ( ) = a + b+ c περνάει από το σηµείο (,) και εφάπτεται της ευθείας y= στην αρχή των αξόνων Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, ιαφορικός Λογισµός 9