Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι», αφού και οι δύο έννοιες που ε- µπλέκονται δεν αφορούν το φαινόµενο αυτό καθ εαυτό, την ταλάντωση δηλαδή, αλλά την εξίσωση κίνησης που επιλέξαµε για να περιγράψουµε την ταλάντωση. Νόηµα έχουν µόνο φράσεις του τύπου «η φάση της αποµάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης τάδε είναι» ή «η αρχική φάση της αποµάκρυνσης στην τάδε εξίσωση κίνησης είναι» Οι ορισµοί των εννοιών «φάση» και «αρχική φάση» πρέπει να αντληθούν από τη διαφορική εξίσωση και τη λύση της (την εξίσωση κίνησης δηλαδή) και όχι να τεθούν αυθαίρετα και εκ των προτέρων. Οποιαδήποτε συνάρτηση και να γράψουµε στη Φυσική, για οποιοδήποτε µέγεθος, επιβάλλεται να δώσουµε και το πεδίο ορισµού της Ενδιάµεσες εµπειρίες κατά τη ροή του κειµένου, υποστηρίζουν τις θέσεις Οι γενικές µορφές των εξισώσεων κίνησης είναι αυτές των µαθηµατικών. Οι ειδικές µορφές τους εξαρτώνται από τις υποθέσεις που θα κάνουµε, τις επιλογές στις οποίες θα καταλήξουµε και τις συνθήκες που δίνονται στο συγκεκριµένο πρόβληµα Η γενική µορφή της εξίσωσης στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση είναι x=c +C µε 0 Τα C και C, γενικά, δεν είναι η αρχική ταχύτητα υ 0 και η αρχική θέση x 0 του υλικού σηµείου, αλλά ούτε και συνδυασµοί τους. Είναι συνδυασµός των δύο συνθηκών που απαιτείται να µας δίνει η άσκηση, αν δε µας δίνει απευθείας την εξίσωση Ο λόγος ύπαρξης, η τοποθεσία άντλησης και η πορεία των ορισµών δεν είναι ίδια και αυτό δε γίνεται να αγνοηθεί ούτε κατά την παρουσίασή τους, ούτε κατά τη χρήση τους Σε µια εξίσωση κίνησης γενικά, ίσως αποδειχτεί πολύ επικίνδυνο να επεµβαίνουµε και να αλλάζουµε τη µεταβλητή από σε - 0. Μπορούµε απλά να βάζουµε το πεδίο ορισµού της

Γενικά Συνεχίζοντας, έστω και µε µεγάλη καθυστέρηση, την κουβέντα για τη «φάση» και την «αρχική φάση», θα προσπαθήσω να συνεισφέρω κι εγώ στην αναζήτηση του σωστού ορισµού της αρχικής φάσης που έθεσε ο ιονύσης, πιστεύοντας ότι οι σωστοί ορισµοί είναι, όχι απλά απαίτηση µιας σωστής Φυσικής, αλλά απαραίτητη προϋπόθεση µιας σωστής σκέψης. Στην αναζήτηση αυτή τη συγκεκριµένη, επιβάλλεται να ανατρέξουµε στην ξεχωριστή εκείνη εσωτερική λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων, µε την οποία διάφορες ποσότητες (µεγέθη) ορίζονται καθώς αποκαλύπτονται στο φυσικό, αλλά όχι στο µαθηµατικό. Ας αρχίσουµε µε παράδειγµα απλό: Η εξίσωση κίνησης στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση Για κάποιον αδρανειακό παρατηρητή, η συνισταµένη των δυνάµεων που δρουν σε υλικό σηµείο µάζας m είναι µηδέν. Τη χρονική στιγµή 0 αρχίζει να µελετά την κίνηση. Να βρεθεί η γενική µορφή της εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου. Η εξίσωση κίνησης x() ή πιο απλά x, του υλικού σηµείου, προσδιορίζεται από το ο νόµο του Νεύτωνα d x ma = 0 = 0 µε 0 () d Η διαφορική αυτή εξίσωση είναι γραµµική δευτέρου βαθµού και άρα η λύση της θα απαιτήσει δύο προσδιοριστέες για τον φυσικό σταθερές C και C (µη προσδιοριστέες για το µαθηµατικό, µιας και αυτός συνήθως δεν ενδιαφέρεται για τον προσδιορισµό τους, αλλά µόνο για την παρουσία τους στη λύση). Πράγµατι η λύση της διαφορικής εξίσωσης () και συνεπώς η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι x=c +C µε 0 Εποµένως, Η γενική µορφή της εξίσωσης κίνησης υλικού σηµείου που για 0 R εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση είναι Στην παραπάνω γενική εξίσωση κίνησης x=c +C µε 0 () εν απαιτείται καµιά δικιά µας εκ των υστέρων τροποποίηση στο χρόνο, να γίνει δηλαδή - 0 ή κάτι άλλο, παρά µόνο ο προσδιορισµός των σταθερών C και C συναρτήσει των συνθηκών που θα µας δώσουν

Οι σταθερές C και C, γενικά, όχι µόνο δεν είναι η αρχική ταχύτητα υ 0 και η αρχική θέση x 0 του υλικού σηµείου, αλλά ούτε και συνδυασµοί τους. Είναι εκφράσεις, αποκλειστικά των συγκεκριµένων συνθηκών που θα µας δώσουν και επιβάλλεται να µας δώσουν. Οι συνθήκες αυτές δεν είναι κατ ανάγκη οι αρχικές συνθήκες, η αρχική θέση x 0 και η αρχική ταχύτητα υ 0 δηλαδή. Για να γίνει αυτό κατανοητό, ας δούµε κάποια παραδείγµατα: ο παράδειγµα: Για κάποιον αδρανειακό παρατηρητή, η συνισταµένη των δυνάµεων που δρουν σε υλικό ση- µείο µάζας m είναι µηδέν. Τη χρονική στιγµή 0 που αρχίζει να µελετά την κίνηση το υλικό ση- µείο βρίσκεται στη θέση x 0 (αρχική θέση) και έχει ταχύτητα υ 0 (αρχική ταχύτητα). Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου. ( ίνονται δύο συγκεκριµένες συνθήκες. Οι αρχικές) Λύση Το σηµείο για 0 R εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Η γενική µορφή της εξίσωσης κίνησής του είναι η σχέση () Εποµένως η εξίσωση της ταχύτητας είναι Για = 0 οι () και (3) γίνονται x=c +C µε 0 () dx υ = = C µε 0 (3) d x 0 = C 0 +C και υ 0 =C από όπου προκύπτει C =υ 0 και = x υ C 0 0 0 Συµπέρασµα: Η εξίσωση της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης ενός υλικού σηµείου, που αρχίζουµε να το παρατηρούµε τη χρονική στιγµή 0 R όταν αυτό βρισκόταν στη θέση x 0 R και είχε ταχύτητα υ 0 R, είναι x= υ µε 0 (4) 0+ x0 υ 00 3

ο παράδειγµα: Υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Τη χρονική στιγµή 0 αρχίζουµε να µελετάµε την κίνησή του. Το υλικό σηµείο τη χρονική στιγµή 0 βρίσκεται στη θέση x, ενώ τη χρονική στιγµή 0 έχει ταχύτητα υ. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησής του. ( ίνονται δύο συγκεκριµένες συνθήκες. Οι x και υ ) Λύση Το υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση και εποµένως η γενική µορφή της εξίσωσής του είναι Η εξίσωση της ταχύτητας είναι Βάσει των δεδοµένων οι σχέσεις (5) και (6) δίνουν x=c +C µε 0 (5) dx υ = = C µε 0 (6) d x =C +C από όπου τελικά υ =C C = υ C = x -υ (Εσκεµµένα δεν έγινε αναφορά στο γεγονός ότι η ταχύτητα είναι σταθερή (βλέπε σχέση 6) προκειµένου να δοθεί έµφαση στο τρόπο χειρισµού των «πραγµάτων». Της µεθοδολογίας δηλαδή που θα χρησιµοποιήσουµε σε πιο δύσκολες περιπτώσεις. Σαφώς και αποδεικνύεται ότι στην ευθ. οµαλή κίνηση το C πάντα ισούται µε την σταθερή έτσι κι αλλιώς ταχύτητα του υλικού σηµείου. Το αποφεύγω όµως να το τονίσω, µόνο και µόνο για να κάνω ανάγλυφο τον τρόπο αντιµετώπισης πιο δύσκολων περιπτώσεων ) Συµπέρασµα: Η εξίσωση της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης ενός υλικού σηµείου, που αρχίζουµε να το παρατηρούµε τη χρονική στιγµή 0 R και που τη χρονική στιγµή 0 βρίσκεται στη θέση x, ενώ τη χρονική στιγµή 0 έχει ταχύτητα υ είναι x= υ + x -υ µε 0 (7) 3 ο παράδειγµα: Υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Τη χρονική στιγµή 0 αρχίζουµε να µελετάµε την κίνησή του. Το υλικό σηµείο τη χρονική στιγµή 0 βρίσκεται στη θέση x, ενώ τη χρονική στιγµή 0 βρίσκεται στη θέση x. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου. ( ίνονται δύο συγκεκριµένες συνθήκες. Οι x και x ) 4

Λύση Το υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση και συνεπώς η γενική µορφή της εξίσωσής του είναι Βάσει των δεδοµένων η σχέση (8) δίνει x=c +C µε 0 (8) x =C +C από όπου προκύπτει x =C +C C x = και x C = x x Συµπέρασµα: Η εξίσωση της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης ενός υλικού σηµείου, που αρχίζουµε να το παρατηρούµε τη χρονική στιγµή 0 R και που τη χρονική στιγµή 0 βρίσκεται στη θέση x, ενώ τη χρονική στιγµή 0 στη θέση x είναι x x = + (9) x x x (Ας δούµε και µερικά αριθµητικά παραδείγµατα, ξεκινώντας από τη λύση της παρακάτω άσκησης, που δανείστηκα από το ιονύση και την τροποποίησα για τους σκοπούς του κειµένου) 4 ο παράδειγµα: «Αρχίζουµε να παρατηρούµε υλικό σηµείο που τη χρονική στιγµή 0 =3 sec βρίσκεται στη θέση x 0 =40 m και κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου υ=4 m/sec. α) Ποια είναι η εξίσωση της κίνησής του β) Ποια είναι η θέση του κινητού τη χρονική στιγµή = sec γ) Ποια είναι τη χρονική στιγµή =4 sec;» Λύση Η εξίσωση της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης είναι Η εξίσωση της ταχύτητάς του είναι x=c +C (SI) µε 3 sec (0) dx υ = = C (SI) µε 3 sec () d Με βάσει τις δεδοµένες συνθήκες για = 0 =3sec οι παραπάνω σχέσεις γίνονται -40=C 3+C (SI) 4=C (SI) 5

από όπου C =4 και C =-5 Άρα: α) Η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι x=45 3 sec (SI) () β) Η χρονική στιγµή = sec δεν ανήκει στο πεδίο ορισµού της εξίσωσης κίνησης () και συνεπώς δεν µπορούµε να πούµε που βρισκόταν το κινητό αυτή τη χρονική στιγµή. γ) Τη χρονική στιγµή =4 sec το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση x =4 45=36m 5 ο παράδειγµα: «Υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση µε εξίσωση κίνησης x=45 3 sec (SI) Να βρεθεί: α) Η αρχική του θέση β) Η θέση του τη χρονική στιγµή = sec γ) Η θέση του τη χρονική στιγµή =4 sec δ) Η ταχύτητά του» Λύση α) Η αρχική θέση του κινητού, είναι η θέση του, όταν αρχίζουµε να παρατηρούµε την κίνησή του. ηλαδή η θέση του τη χρονική στιγµή 0 =3 sec x 0 =4 35=40m β) Η θέση του υλικού σηµείου τη χρονική στιγµή = sec δεν είναι δυνατό να βρεθεί γιατί η τιµή = sec είναι εκτός πεδίου ορισµού. γ) Η θέση του σηµείου τη χρονική στιγµή =4 sec είναι δ) Η ταχύτητά του είναι υ=4m/sec x =4 45=-36m Με όλα τα παραπάνω θέλουµε να τονίσουµε το γεγονός ότι στη µεθοδολογία µε την οποία αντιµετωπίζεται η εξίσωση κίνησης (), γενικά δεν είναι αυτονόητο και δεν πρέπει να είναι αυτονόητο ότι η αρχική ταχύτητα είναι C και ότι η αρχική θέση είναι C. 6

Τα C και C δεν είναι τίποτε άλλο παρά πραγµατικοί αριθµοί, που θα προσδιοριστούν από τις δύο συνθήκες που πρέπει απαραίτητα να µας δίνει πρόβληµα και που δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές Παρατηρήσεις: α) Συγκρίνοντας τη σχέση (4) µε τη σχέση () καταλαβαίνουµε, ότι η γραφή ή αλλιώς η x= υ µε 0 0+ x0 υ 00 x =υ + µε 0 0 ( 0 ) x0 είναι ειδική µορφή της εξίσωσης της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης, µιας και το x δίνεται συναρτήσει των αρχικών συνθηκών x 0 και υ 0, δηλαδή συναρτήσει συγκεκριµένων συνθηκών. Προφανώς η εξίσωση κίνησης x =υ + µε 0 sec 0 x 0 είναι ακόµη πιο ειδική µορφή και αναφέρεται όχι µόνο σε τελείως συγκεκριµένες «συνθήκες» (στις αρχικές), αλλά και στο γεγονός ότι η παρατήρησή µας άρχισε τη χρονική στιγµή 0 =0 sec β) Η εξίσωση κίνησης της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης συναρτήσει των αρχικών συνθηκών x 0 και υ 0 είναι η (4), δηλαδή η Η εξίσωση αυτή µπορεί να γραφεί x= υ µε 0 (4) 0+ x0 υ00 x = υ + x µε 0 0 ( 0 ) 0 ή αλλιώς x = υ + µε 0 sec (3) 0 x 0 Η εξίσωση (3) όμως, πρέπει να αποφεύγεται για τους παρακάτω λόγους: Οι εξισώσεις κίνησης αποτελούν λύσεις διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες συνηθίζεται να µην περιέχουν χρονικές διαφορές, αλλά αυτή καθ εαυτή τη µεταβλητή και το πεδίο ορισµού της. Ο λόγος είναι προφανής γρήγορα το θα καταλήξει σε d, γεγονός το οποίο θα δηµιουργήσει έντονες παρανοήσεις, µιας και η λύση της διαφορικής εξίσωσης (η ε- ξίσωση κίνησης δηλαδή) θα εµφανίζεται να περιέχει διαφορικά όπως και η διαφορική. Τότε θα χρειαστεί πολύ µεγάλη προσοχή από αυτόν που χειρίζεται τα «πράµατα» και ο οποίος βέβαια είναι απίθανο να είναι µαθητής. 7

Η εξίσωση (3) είναι πιο «σκοτεινή» από την (4), αφού µας καθιστά µεν ικανούς να απαντήσουµε στο ερώτηµα «πού βρίσκεται το υλικό σηµείο µετά από χρόνο Δ αφότου αρχίσαµε να µελετάµε την κίνησή του», αλλά µας καθιστά τελείως ανίκανους να απαντήσουµε στο ερώτηµα «πού βρίσκεται το κινητό την τυχαία χρονική στιγµή», µιας και δε ξέρουµε την χρονική στιγµή που αρχίσαµε να µελετάµε την κίνηση. γ) Συμφωνώ απόλυτα με το Διονύση ότι η χρονική στιγµή 0 R, που έχει ληφθεί ως αρχή των χρόνων, έχει αξία στην ψηλάφηση της εξίσωσης της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης τόσο για την εννοιολογική όσο και για τη µαθηµατική ανάδειξη του φαινοµένου. Τι σηµαίνει αυτό;;; Σηµαίνει ότι είναι τελείως ελλιπές το να µας δοθεί µια εξίσωση ευθύγραµµης οµαλής κίνησης χωρίς το πεδίο ορισµού της µεταβλητής. Για παράδειγµα, αν µας δοθεί ως εξίσωση κίνησης «σκέτα» η x=3+4 (SI) (4) δε µπορούµε να ανακαλύψουµε λεπτοµέρειες της κίνησης. Ή για να είµαστε πιο αυστηροί, η γραφή αυτή δε µας λέει απολύτως τίποτε, µιας και είναι αδύνατο να προβλέψουµε είτε πού βρίσκεται το κινητό την τυχαία χρονική στιγµή, είτε πού βρισκόταν όταν αρχίσαµε να το παρατηρούµε. Και τούτο, γιατί δεν ξέρουµε ποιες τιµές του χρόνου είναι δεκτές και ποιες όχι. Από την (6) δηλαδή λείπει το πεδίο ορισµού της. Προφανώς στη σχέση (6) η αρχική θέση δεν είναι η 4m, µιας και κάτι τέτοιο θα υπονοούσε ότι η παρατήρησή µας ξεκίνησε τη χρονική στιγµή 0 =0 sec κάτι το οποίο δε δίνεται. Με λίγα λόγια, στις εξισώσεις κίνησης, όπως και σε κάθε συνάρτηση τόσο της Φυσικής όσο και των Μαθηματικών, πρέπει απαραιτήτως να δοθεί το πεδίο ορισμού. Αλλιώς κινδυνεύουµε να εµπλακούµε στις α-νοησίες του θέµατος που αφορούσε τα κύµατα στις πανελλαδικές εξετάσεις του 009. Εκεί δε ξέραµε ούτε που ξεκινάει, ούτε που καταλήγει το «κύµα», ούτε πότε άρχισε, ούτε., ούτε Όλα τα υπονοούσαµε και τα εννοούσαµε µεταξύ µας σα να µασταν φυλή φυσικών που µιλά δικιά της διάλεκτο. Τελικά συµπεράσµατα ) Η εξίσωση κίνησης της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης είναι x=c +C µε 0 Οι σταθερές C και C, γενικά δεν είναι ούτε η αρχική θέση, ούτε η αρχική ταχύτητα. Οι σταθερές C και C θα προσδιοριστούν από τις δύο οποιεσδήποτε συνθήκες που θα µας δώσουν. Επιβάλλεται να µας τις δώσουν και να είναι δύο. 8

) Αν µας δώσουν την εξίσωση κίνησης µε νούµερα µια αντικατάσταση, εφόσον είναι µέσα στο πεδίο ορισµού της, αρκεί για να µας δώσει ό,τι ζητάµε. 3) Στη γραφή της εξίσωσης κίνησης βάζουµε υποχρεωτικά το πεδίο ορισµού και δε χρειάζεται να επεµβαίνουµε από «µηχανής» και να χαλάµε τη µεταβλητή αντικαθιστώντας την µε άλλες παραστάσεις όπως - 0 κ.λ.π. Αν το κάνουµε θα πρέπει να το συνοδεύσουµε µε κανόνες κάτι που θα δηµιουργήσει φοβίες. Μπορούµε τώρα να κάνουµε µια πρώτη επαφή µε τη διαδροµή ή όχι των ορισµών µέσα από τις διαφορικές εξισώσεις και από τις εξισώσεις κίνησης. Ξέρω ότι είναι κουραστικό που το επαναλαµβάνω, αλλά αξίζει να προσέξουμε τούτο: Στην εξίσωσης κίνησης υλικού σηµείου που για 0 R εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση, δηλαδή στην x=c +C µε 0 τα C και C είναι απαίτηση της διαφορικής εξίσωσης και συνδέονται µε τις δύο «συνθήκες» που πρέπει οπωσδήποτε να µας δώσουν, αλλά δεν είναι γενικά οι δύο αυτές συνθήκες. Οι δύο συνθήκες που συνήθως µας δίνουν είναι οι αρχικές x 0 και υ 0. Αυτό ό- µως όπως είδαµε δεν είναι απαραίτητο. Για να αρχίσει να διαφαίνεται ο βαθύτερος λόγος για τον οποίο γράφτηκαν όλα τα παραπάνω, ας φέρουµε στο προσκήνιο κάποιους ορισµούς και ας δούµε τη σύνδεσή τους ή όχι µε τη διαφορική και την εξίσωση κίνησης. Αρχική θέση: Η θέση του υλικού σηµείου τη χρονική στιγµή 0 που αρχίζουµε την παρατήρηση της κίνησής του. Αρχική ταχύτητα: Η ταχύτητα του υλικού σηµείου τη χρονική στιγµή 0 που αρχίζουµε την παρατήρηση της κίνησής του. Οι ορισµοί των εννοιών «αρχική θέση x 0» και «αρχική ταχύτητα υ 0» µπορεί να είναι εύκολοι έως αυτονόητοι, όµως το σηµαντικότερο είναι ότι, όχι απλά προϋπάρχουν της διαφορικής και της εξίσωσης κίνησης, αλλά ότι µπορούν να καθορίσουν την ειδική µορφή της λύσης της διαφορικής, δηλαδή την ειδική µορφή που θα πάρει η εξίσωση κίνησης. Εκτός των άλλων, µε αυτό θέλω να πω και το εξής: Οι παραπάνω ορισµοί των εννοιών «αρχική θέση» και «αρχική ταχύτητα» προϋπάρχουν των σταθερών C και C που χρειάζεται η λύση της διαφορικής. Εποµένως δεν εξαρτώνται από τη διαφορική και από τη λύση της ή από τη µορφή λύσης που θα επιλέξουµε. 9

Το κυριότερο όµως είναι ότι τα x 0 και υ 0 µπορούν να προσδιορίσουν τις C και C αν είναι οι δεδοµένες συνθήκες του προβλήµατος και συνεπώς να προσδιορίσουν την τελική µορφή της εξίσωσης κίνησης. Το αντίθετο ακριβώς, όπως θα δούµε, συµβαίνει µε τη φάση και την αρχική φάση. Οι έννοιες αυτές ορίζονται και άρα υπάρχουν σε απόλυτη εξάρτηση από τη διαφορική και από τη µορφή της συνάρτησης που θα επιλέξουµε ως λύση της διαφορικής, µιας και εξαρτώνται απόλυτα από τις σταθερές C και C που θα χρησιµοποιήσουµε και από τη µορφή της λύσης που θα επιλέξουµε. Με τα παραπάνω θέλω να πω το εξής: Όπως υπάρχουν ορισµοί που προσδιορίζουν τις σταθερές της εξίσωσης κίνησης, υπάρχουν και ορισµοί που προκύπτουν από τη µορφή της εξίσωσης κίνησης που θα επιλέξουµε, γεγονός που καθιστά όχι µόνο την ύπαρξη τους, αλλά και τη συµπεριφορά και τους µαθηµατικούς περιορισµούς τους, απόλυτα συνδεδεµένους µε την εξίσωση που επιλέξαµε και όχι µε το φαινόµενο. Η διαφορετικότητα αυτή των ορισµών πρέπει να αντανακλάται οπωσδήποτε και στην αντι- µετώπιση που θα τύχουν από µας. Εποµένως, ο παραλληλισµός αρχικής θέσης και αρχικής φάσης, καθώς και η αποσύνδεση του ορισµού της φάσης και της αρχικής φάσης από την εξίσωση κίνησης, νοµίζω ότι είναι επισφαλής και γρήγορα, αν δεν υπάρξει η κατάλληλη εµπειρία και η ξεχωριστή ικανότητα, θα οδηγήσει τον φυσικό και όχι µόνο, σε παρανοήσεις τόσο του φαινοµένου, όσο και του εννοιολογικού του εξοπλισµού και της µαθηµατικής του επεξεργασίας. Τα μεγέθη πολλές φορές έχουν, όχι απλά άλλη ποιότητα, αλλά ακολουθούν τελείως διαφορετικές εννοιολογικές και φορμαλιστικές διαδρομές, με αποτέλεσμα οι ορισμοί τους να συνδέονται άμεσα με αυτές τις διαδρομές και ο χειρισμός τους να αντανακλά αυτές τις διαδρομές. Θα δούµε όµως καλύτερα όλα αυτά σε επόµενη ανάρτηση, όπου θα επιχειρήσουµε να εντοπίσουµε τους ορισµούς φάση και αρχική φάση µέσα από τη διαφορετικότητα της ποιότητάς τους και την ξεχωριστή διαδροµή που ακολουθούν. (συνεχίζεται) Τρίτη, 5 Οκτωβρίου 00 Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας Άγιος Βλάσιος Πηλίου s7-kmgh@oene.gr 0