ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους Συνοχή (c) Γωνία τριβής (φ ο ) 2. Γεωστατικές τάσεις Ολικές τάσεις Ενεργές τάσεις Πιέσεις πόρων Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας Καθηγητής Β. Μαρίνος, Λέκτορας Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας και Υδρογεωλογίας ΑΠΘ
Γιατί μελετάμε τις τάσεις; Ανάλογα με το πώς κατανέμονται οι τάσεις στο έδαφος ή στο βράχο, όπου κατασκευάζονται τα τεχνικά έργα, εξαρτώνται οι παραμορφώσεις και οι αστοχίες που μπορεί να προκληθούν στα γεωυλικά. Υπολογίζονται είτε αναλυτικά είτε με αριθμητικές μεθόδους (π.χ. πεπερασμένα στοιχεία).
Γιατί μελετάμε τις τάσεις; 1. Κατά την κατασκευή τεχνικών έργων οι τάσεις μεταβάλλονται δραματικά. Ο βράχος ή έδαφος ο οποίος εκσκάπτεται, περιείχε πριν τάσεις και αυτές οι τάσεις πρέπει να παραληφθούν αλλού. 1. Τα περισσότερα κριτήρια αστοχίας σχετίζονται με τη παραμορφωσιμότητα και την αντοχή του γεωυλικού και η ανάλυση αυτών περιλαμβάνει τις τάσεις.
Τύποι τάσεων Υδροστατική τάση: Οι τάσεις είναι ίδιες σε όλες τις διευθύνσεις Θλιπτική (συμπιεστική) τάση Εφελκυστική τάση Διατμητική τάση
Διατμητικές τάσεις Διατμητική τάση (τ): Η τάση που ασκείται εφαπτομενικά σε ένα επίπεδο Ορθή τάση (σ n ): Η τάση που ασκείται κάθετα σε ένα επίπεδο
Από Δημόπουλος Γ., Σημειώσεις Τεχνικής Γεωλογίας από το διαδίκτυο Διατμητικές τάσεις
Παράδειγμα διατμητικής αστοχίας και παραμόρφωσης γεωυλικού σε πρανές Διατμητικές τάσεις τ xy στην οριακή κατάσταση αστοχίας
Παράδειγμα διατμητικής αστοχίας και παραμόρφωσης γεωυλικού Σημεία αστοχίας γεωυλικού στην οριακή κατάσταση αστοχίας Σημεία διατμητικής αστοχίας Σημεία αστοχίας σε εφελκυσμό
Ασκήσεις 2 ο Μάθημα 1 η Ενότητα Κύκλος Mohr Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους Συνοχή (c) Γωνία τριβής (φ ο )
Κύκλος Mohr
Ποιο είναι το πρόβλημα??? Μπορούμε να υπολογίσουμε σε ένα εδαφικό στοιχείο τα φορτία που δέχεται (μέγεθος και φορά). Θέλουμε να ξέρουμε εάν αστοχεί. Δεν γνωρίζουμε, όμως, ποιο είναι το κρίσιμο επίπεδο. Γιατί η εντατική κατάσταση είναι διαφορετική σε κάθε επίπεδο. Επομένως, χρειάζεται να ξέρουμε, ΜΕ ΚΑΠΟΙΟ ΤΡΟΠΟ, τους συνδυασμούς των τάσεων που ασκούνται σε κάθε επίπεδο
z x σ zz τ zx τ σ θ τ τ xz σ xx σ
Ψάχνω τις ακραίες σ Ασκούνται σε επίπεδα, όπου τ = 0 Ονομάζονται κύριες τάσεις και τα αντίστοιχα επίπεδα κύρια επίπεδα σ 3 = Ελάχιστη κύρια τάση σ 1 = Μέγιστη κύρια τάση τ σ 3 σ 1 σ
Ψάχνω τις ακραίες τ Ασκούνται σε επίπεδα, όπου σ = (σ 1 + σ 3 )/2 τ min = - (σ 1 - σ 3 )/2 τ max = (σ 1 - σ 3 )/2 τ Άρα για τα άπειρα επίπεδα τ max σ 3 σ 1 σ τ min
z Α x σ zz Έστω ότι τα επίπεδα Α και Β είναι τα κύρια επίπεδα τ zx σ θ τ τ xz B σ xx
Άρα σ 1 θ σ n τ σ 3
Επομένως... Κύκλος Mohr τ τ max σ 3 σ 1 σ τ min
Συνεχίζοντας... Γνωρίζοντας τις τάσεις που ασκούνται σε δύο επίπεδα μπορούμε να σχεδιάσουμε τον κύκλο του Mohr Αρκεί, όμως, αυτό???? ΟΧΙ...Γιατί ξέρουμε τους συνδυασμούς των τάσεων, αλλά δεν ξέρουμε σε ποιο επίπεδο εφαρμόζεται ο καθένας Επομένως, εκτός από τις τάσεις σε δύο επίπεδα χρειαζόμαστε και τη διεύθυνση ενός εξ αυτών για να βρούμε Τον πόλο των επιπέδων
Άρα σ 1 τ θ σ n τ σ 3 τ Π σ 3 σ 1 σ n σ Π
Άρα σ 1 τ Περιβάλλουσα θραύσης φ σ n θ τ σ 3 τ c r Ακτίνα: (σ 1 - σ 3 ) / 2 σ n σ 3 σ 1 σ τ = c + σ n tanφ Κέντρο κύκλου: (σ 1 + σ 3 ) / 2
Άρα σ 1 τ Περιβάλλουσα θραύσης φ σ n τ θ ω σ 3 τ c θ σ 3 ω σ n σ 1 σ (σ 1 + σ 3 ) / 2
Υπολογισμός παραμέτρων διατμητικής αντοχής (Συνοχή c και γωνία τριβής φ)
Παράδειγμα άσκησης* Κατά τη στιγμή της θραύσης σε τριαξονική δοκιμή αδιατάρακτου αργιλικού δείγματος μετρήθηκαν σ n =64Kg/cm 2, τ f =22Kg/cm 2 και γωνία της επιφάνειας θραύσης με τον άξονα σ 1, θ=35 ο. Να βρεθούν σ 1 και σ 3 γωνία τριβής φ και συνοχή c του δείγματος. * Άσκηση από «Προβλήματα Τεχνικής Γεωλογίας», Γ. Δημόπουλος & Θ. Μακεδών, 2008
Παράδειγμα άσκησης* Δεδομένα: σ n =64Kg/cm 2 και τ=22kg/cm 2 Η επιφάνεια θραύσης σχηματίζει γωνία θ 35 ο με την κύρια τάση σ 1
Άσκηση Α1 Κατά τη στιγμή της θραύσης σε τριαξονική δοκιμή 2 αδιατάρακτων αργιλικών δειγμάτων μετρήθηκαν: 1 ο δείγμα: σ n =52Kg/cm 2, τ f =22Kg/cm 2 2 ο δείγμα: σ n =100Kg/cm 2, τ f =32Kg/cm 2 1. Υπολογίστε τη συνοχή c και τη γωνία τριβής φ της αργίλου. 2. Να υπολογιστούν οι κύριες τάσεις σ 1 και σ 3 για το κάθε δείγμα. 3. Να υπολογιστεί η γωνία που σχηματίζει η επιφάνεια θραύσης με την κύρια τάση σ 1
Ασκήσεις 2 η Ενότητα Άμεση Διάτμηση
Δοκιμή άμεση διάτμησης τ σ Συνοχή c=0 τ = c + σ tan n tanφ
Πειραματικός υπολογισμός διατμητικής αντοχής ασυνεχειών
Διάγραμμα διατμητική τάσης (τ) μετατόπισης (Δl) Σχεδιασμός διαγράμματος τ Δl. Υπολογισμός μέγιστης διατμητικής τάσης η οποία αντιστοιχεί στη διατμητική αντοχή (τ f ) Υπολογισμός παραμένουσας διατμητικής αντοχής (τ r ) τ f τ r τ f τ r σ n
Διάγραμμα διατμητική τάσης (τ) μετατόπισης (Δl) Σχεδιασμός διαγράμματος τ Δl. Υπολογισμός μέγιστης διατμητικής τάσης η οποία αντιστοιχεί στη διατμητική αντοχή (τ f ) Υπολογισμός παραμένουσας διατμητικής αντοχής (τ r ) τ f τ r τ f τ r σ n
Σχεδιασμός δεκαδικού διαγράμματος σ n τ από ζεύγη τιμών (επανάληψη της δοκιμής για διαφορετικό σ n ) Σχεδιασμός της ευθείας περιβάλλουσας θραύσης (Γραμμική εξίσωση Mohr-Coulomb) Υπολογισμός φ (εκτός αν έχει συνοχή λόγω συγκόλλησης και c)
Παράδειγμα άσκησης* Σε δείγμα αμμώδους ιλύος χωρίς συνοχή εκτελέστηκε δοκιμή άμεσης διάτμησης. Η ορθή τάση ήταν σ n =65KPa και η διατμητική τάση που μετρήθηκε κατά την αστοχία τ=41kpa. Να σχεδιαστεί ο κύκλος του Mohr κατά την αστοχία και να προσδιοριστούν: Ζητούμενα: Οι κύριες τάσεις σ 1 και σ 3, η γωνία τριβής φ και η τ max Η κλίση του επιπέδου αστοχίας Η κλίση των κυρίων επιπέδων (επιπέδων πάνω στα οποία δρουν οι κύριες τάσεις σ 1 και σ 3 ) καθώς και του επιπέδου της μέγιστης διατμητικής τάσης τ max * Άσκηση από «Προβλήματα Τεχνικής Γεωλογίας», Γ. Δημόπουλος & Θ. Μακεδών, 2008
1. Από το σημείο τ-σ n (A) φέρνω κάθετη στη ευθεία - περιβάλλουσα θραύσης. Το σημείο Κ που τέμνει τον άξονα σ n είναι το κέντρο του Κύκλου Mohr. 2. Η απόσταση ΑΚ είναι και η ακτίνα του κύκλου 3. Πάνω στον άξονα των ορθών τάσεων σ n μετρώ ΑΚ προς τα αριστερά και βρίσκω την σ 3 και δεξιά και βρίσκω την σ 1 4. Από το Α φέρνω παράλληλη προς την επιφάνεια θραύσης και βρίσκω τον πόλο (Π) 5. Ενώνω το σ 3 με το Π και η γωνία ισούται με θ( ο ) 6. Ενώνω το σ 1 με το Π και η γωνία ισούται με 90-θ( ο ) 7. Ενώνω το σ 3 με το Α και η γωνία ισούται με 45 ο + φ/2 8. Ενώνω το σ 1 με το Α και η γωνία ισούται με 45 ο - φ/2 Α Π Κ θ σ σ Συνοχή c=0 3 1 ΑΚ ΑΚ
Παράδειγμα άσκησης
Άσκηση B1 Μία σειρά από δοκιμές άμεσης διάτμησης εκτελέστηκαν σε δοκίμια άμμου.τα αποτελέσματα κατά την αστοχία των δειγμάτων είναι: Ελάχιστη κύρια τάση (σ 3 ) (KN/m 2 ) Διαφορά κυρίων τάσεων (KN/m 2 ) 100 200 400 452 908 1810 1. Να υπολογιστούν η γωνία τριβής φ και συνοχή c του δείγματος. 2. Αν πρέπει να διαμορφώσετε πρανή σε αυτά τα αμμώδη υλικά, ποιά θα πρέπει να είναι η κλίση των πρανών ώστε να μην αστοχήσουν (εδώ κατολισθήσουν).
Άσκηση B2 Σε δείγμα αμμώδους ιλύος χωρίς συνοχή εκτελέστηκε δοκιμή άμεσης διάτμησης. Η ορθή τάση ήταν σ n =50KPa και η διατμητική τάση που μετρήθηκε κατά την αστοχία τ=31kpa. Να σχεδιαστεί ο κύκλος του Mohr κατά την αστοχία και να προσδιοριστούν: Ζητούμενα: Οι κύριες τάσεις σ 1 και σ 3, η γωνία τριβής φ και η τ max Η κλίση του επιπέδου αστοχίας Η κλίση των κυρίων επιπέδων (επιπέδων πάνω στα οποία δρουν οι κύριες τάσεις σ 1 και σ 3 ) καθώς και του επιπέδου της μέγιστης διατμητικής τάσης τ max
Γεωστατικές τάσεις
Γεωστατικές τάσεις Είναι οι τάσεις που αναπτύσσονται στο εσωτερικό του εδάφους λόγω του ιδίου βάρους του υπό στατικές συνθήκες Η διαδικασία που θα μάθουμε ισχύει μόνο για οριζόντια επιφάνεια εδάφους
Γεωστατικές τάσεις Έστω οριζόντια εδαφική επιφάνεια ρ = Πυκνότητα εδάφους g = Επιτάχυνση της βαρύτητας γ = Ειδικό βάρος εδάφους γ = ρg h
Γεωστατικές τάσεις 1. Η ολική τάση (σ): Η δύναμη η οποία ασκείται επί επιπέδου στην μάζα του εδάφους, αν θεωρήσουμε το έδαφος ένα εννιαίο στέρεο υλικό. 2. Η πίεση πόρων (u): Αποτελεί την πίεση του νερού που βρίσκεται μέσα στα κενά, ανάμεσα στα σωματίδια το εδάφους. 3. Η ενεργή τάση (σ ): Αποτελεί τη τάση που μεταδίδεται μόνο στον «σκελετό» - επιφάνεια επαφής των σωματιδίων.
Γεωστατικές τάσεις (Ενεργές τάσεις) s =s '+u s ' = SN' A s = P A Ισχύει: Όπου P η φόρτιση που ασκείται στην επιφάνεια Α, κατά μήκος επιπέδου Χ-Χ. Η δύναμη που ασκείται ανάμεσα στους κόκκους αναλύεται σε ορθή (Ν ) και διατμητική (Τ). P = SN'+uA P A = SN' A + u s =s '+u
Γεωστατικές Γεωστατικές τάσεις τάσεις (Ενεργές (Ενεργές τάσεις) τάσεις) s =s '+u s v =g sat z u=g w z s ' v =s v -u= (g sat -g w )z=g 'z Κο=σ h /σ v ή Κο=σ h /σ v
Γεωστατικές τάσεις h Άρα οι σ v, σ h είναι κύριες τάσεις και μάλιστα αφού συνήθως k o <1 σ v σ 1 σ h = k o σ v τ = 0 σ v =? τ =? σ v = γh τ = 0 σ h σ 3
Γεωστατικές τάσεις h k o = ν / (1-ν) Με βάση τη θεωρία της ελαστικότητας σ h = k o σ v τ = 0 σ v = γh τ = 0
Γεωστατικές τάσεις Τι γίνεται, όμως, όταν υπάρχει και νερό? Δηλαδή, υπάρχει και υπόγειος υδροφόρος ορίζοντας...
Γεωστατικές τάσεις Έστω οριζόντια επιφάνεια υπόγειου υδροφόρου ορίζοντα Το τμήμα του εδάφους που βρίσκεται εντός του Υ.Υ.Ο. δέχεται άνωση Για τη μελέτη του φαινομένου ορίζουμε το μέγεθος της ενεργού τάσης h h w
As Αtot = As +Aw Aw
As σ =ΣFs/Atot Αtot = As +Aw ΣFs Aw ΣFw
Γεωστατικές τάσεις h h w Σημείωση: Σε ένα επίπεδο ακόμη και αν η συνολική τ δεν είναι μηδέν ισχύει πάντα τ = τ Γιατι? Γιατί, όπως προκύπτει από τη Μηχανική των Ρευστών, τα ρευστά δεν παραλαμβάνουν διάτμηση. σ h = k o σ v σ h = σ h +u τ = τ = 0 u = γ w h w σ v = γh σ v = σ v +u τ = τ = 0
Γεωστατικές τάσεις Διαδικασία υπολογισμού τάσεων h h w σ v = γh u = γ w h w σ v = σ v -u σ h = σ h -u σ h = k o σ v
Παράδειγμα Παράδειγμα υπολογισμού ολικών (σ ν ) και ενεργών τάσεων (σ ν ) και πιέσεων πόρων (u) Για την άργιλο: γ κορ =19 kn/m 3 Για την άμμο: γ κορ =20kN/m 3 Για την άμμο: γ ξηρ =17 kn/m 3 (πάνω από τον υδροφόρο ορίζοντα Υ.Ο. Άμμος Άργιλος
Άσκηση Γ1 Σας δίνεται η στρωματογραφία σε θέση όπου σχεδιάζεται να γίνει η κατασκευή σταθμού μητροπολητικού σιδηροδρόμου (ΜΕΤΡΟ). Στην τομή σημειώνεται η πυκνότητα των εδαφών (ρ πάνω από τον υδροφόρο ορίζοντα και p κορ κάτω από τον υδροφόρο ορίζοντα), ο συντελεστής ωθήσεως γαιών Κ ο, η στάθμη του υδροφόρου ορίζοντα (Σ.Υ.Ο.) και τα σχετικά βάθη. Τομή εδάφους όπου σημειώνεται η πυκνότητα των εδαφών (ρ πάνω από τον υδροφόρο ορίζοντα και p κορ κάτω από τον υδροφόρο ορίζοντα), ο συντελεστής ωθήσεως γαιών Κ ο η στάθμη του υδροφόρου ορίζοντα (Σ.Υ.Ο.) και τα σχετικά βάθη.
Άσκηση Γ1 Για τη γεω στατική εντατική κατάσταση της εδαφικής τομής του σχήματος να συμπληρωθεί ο ακόλουθος πίνακας: Σημείωση: Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=9.81m/sec 2. Για ευκολία στις πράξεις θεωρούμε g=10m/sec 2.
Άσκηση Γ2 Σας δίνεται η στρωματογραφία σε θέση όπου σχεδιάζεται να γίνει η κατασκευή σταθμού μητροπολητικού σιδηροδρόμου (ΜΕΤΡΟ). Ένα στρώμα αργίλου πάχους 4m απαντάται ανάμεσα σε δύο στρώματα άμμου πάχους 4m, όπου το ανώτερο στρώμα βρίσκεται στην επιφάνεια του εδάφους. Η στάθμη του υδροφόρου ορίζοντα είναι 2m υπό την επιφάνεια του εδάφους ενώ το κάτω στρώμα άμμου (κάτω από την άργιλο) βρίσκεται υπό αρτεσιανή πίεση όπου η πιεζομετρική επιφάνεια είναι 4m πάνω από την επιφάνεια του εδάφους. Η πυκνότητα της άμμου πάνω από τον υδροφόρο ορίζοντα ρ είναι 16,5ΚΝ/m 3. Η πυκνότητα της άμμου κάτω από τον υδροφόρο ορίζοντα p κορ είναι 19ΚΝ/m 3 και της αργίλου 20ΚΝ/m 3.
Άσκηση Γ2 ΖΗΤΟΥΝΤΑΙ: Αφού σχεδιάσετε τη στρωματογραφία του προβλήματος, ζητούνται: 1.Υπολογίστε τις ενεργές τάσεις στην οροφή και στο δάπεδο του αργιλικού στρώματος. 2.Ποια τα προβλήματα στη κατασκευή του σταθμού από την ύπαρξη αρτεσιανισμού; 3.Προτείνετε τρόπους να αντιμετωπίσετε τις ανωστικές πιέσεις από τις πιέσεις πόρων που θα αναπτυχθούν στο δάπεδο του σταθμού (π.χ. και από επιπλέον πιθανές περιπτώσεις αρτεσιανισμού από ορίζοντες άμμου μέσα σε αργιλικό περιβάλλον).
Άσκηση Γ2
Βιβλιογραφία 1. Craig R.F. (2003). Craig s Soil Mechanics. Spon Press. 2. Δημόπουλος Γ. (2008). Τεχνική Γεωλογία. Εκδόσεις Αφοί Κυριακίδη. 3. Δημόπουλος Γ & Μακεδών Θ., (2008). Προβλήματα Τεχνικής Γεωλογίας. Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη. 4. Καββαδάς Μ. Σημειώσεις μαθήματος Εδαφομηχανική Ι, Σχολή Πολ. Μηχ/κων, Ε.Μ.Π. 5. Φορτσάκης Π. Παρουσιάσεις ασκήσεων Εδαφομηχανική Ι, Σχολή Πολ. Μηχ/κων, Ε.Μ.Π. 6. Χρηστάρας Β., Χατζηαγγέλου Μ. (2011). Απλά βήματα στην εδαφομηχανική. University Studio Press.