ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΝ ΕΠΙΣΤΗΜΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΝ Πρόγραμμα μεταπτυχιακών σπουδών στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Διπλωματική Εργασία ΕΙΣΑΓΓΗ ΣΤΗ ΘΕΡΙΑ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΑΣΤΑΝΗ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ Δεκέμβριος 212 1

2 Αφιερωμένη, στον αδερφό μου Μιχάλη.

Ευχαριστίες Με την ολοκλήρωση της διπλωματικής εργασίας ϑα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ.ι.στρατή, μέλος ΔΕΠ του τμήματος μαθηματικών του Ε.Κ.Π.Α. για τη άριστη συνεργασία μας,την εμπιστοσύνη που μου έδειξε και τις πολύτιμες συμβουλές και παρατηρήσεις του, καθόλη τη διάρκεια της μελέτης και συγγραφής της εργασίας. Επίσης τα μέλη ΔΕΠ του τμήματος μαθηματικών του Ε.Κ.Π.Α. κυρίους Χ.Αθανασιάδη και Γ.Μπαρμπάτη για την τιμή που μου έκαναν, με τη συμμετοχή τους στην τριμελή επιτροπή μου. Τον κύριο Γ.Κουνάδη για την πολύτιμη βοήθεια του. Τέλος όλους τους καθηγητές μου στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα για τις γνώσεις που μου μετέδωσαν καθώς και τους συμφοιτητές μου για τη συνεργασία τους. 3

Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Η μέθοδος των πολλαπλών κλιμάκων. 12 2.1 Το ασυμπτωτικό ανάπτυγμα.............................. 12 3 Μέθοδος του T artar των ταλαντευόμενων συναρτήσεων δοκιμής. 18 3.1 Σύγκλιση της ενέργειας................................. 19 3.2 Διορθωτές......................................... 2 3.2.1 Μερικά συγκριτικά αποτελέσματα...................... 21 4 Ομογενοποιήση της εξίσωσης της ϑερμότητας 23 4.1 Το αποτέλεσμα της ομογενοποιήσης......................... 31 4.2 Σύγκλιση της ενέργειας................................. 35 4.3 Διορθωτές......................................... 37 5 Μέθοδος σύγκλισης 2 κλιμάκων 42 5.1 Διορθωτές......................................... 44 6 Ορισμοί και ϑεωρήματα 45 6..1 Χώροι S obolev.................................. 49 4

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Ο στόχος αυτής της εργασίας είναι να παρουσιάσει μια εισαγωγή στη μαθηματική ϑεωρία της ομογενοποιήσης. Αυτή η ϑεωρία έχει εισαχθεί προκειμένου να περιγράψει τη συμπεριφορά των σύνθετων υλικών. Τα σύνθετα υλικά χαρακτηρίζονται απο το γεγονός οτι περιέχουν 2 ή περισσότερα μικτά συστατικά. Αυτα χρησιμοποιούνται ευρέως στις μέρες μας στη βιομηχανία λόγω των χαρακτηριστικών τους ιδιοτήτων. Πράγματι σε γενικές γραμμές έχουν μια καλύτερη συμπεριφορά απο το μέσο όρο συμπεριφορών των ατομικών τους συστατικών. Γνωστά παραδείγματα είναι αυτά των υπεραγώγιμων πολυνηματικών σύνθετων τα οποία χρησιμοποιούνται στην κατασκευή οπτικών ινών. Σε γενικές γραμμές, σε ένα σύνθετο υλικό οι ετερογένειες είναι μικρές σε σύγκριση με την ολική διασταση του. Ετσι αυτο το υλικό χαρακτηρίζεται απο 2 κλίμακες, τη μικροσκοπικη που περιγράφει τις ετερογένειες και την μακροσκοπική που περιγράφει την ολική συμπεριφορά του σύνθετου υλικού. Απο τη μακροσκοπική άποψη, το σύνθετο μοιάζει σαν ομογενές υλικό. Ο στόχος της ομογενοποιήσης είναι ακριβώς να δώσει μακροσκοπικές ιδιότητες του σύνθετου υλικού λαμβανοντας υπόψη τις ιδιότητες απο την μικροσκοπικη δομή του. Χαρακτηριστική περίπτωση που αξίζει την προσοχή μας είναι το πρόβλημα της σταθερής ϑερμικής αγωγιμότητας σε ενα ισότροπο σύνθετο υλικό. Εξετάζουμε πρώτα ένα ομογενές σώμα που καταλάμβανει το με ϑερμική αγωγιμότητα γ. Για απλότητα υποθέτουμε οτι το υλικο είναι ισότροπο, το οποίο σημαίνει οτι το γ είναι βαθμωτό. Ας υποθέσουμε οτι το f αντιπροσωπεύει την πηγή της ϑερμότητας και το g αντιπροσωπεύει την ϑερμοκρασία στην επιφάνεια του σώματος, την οποία μπορούμε να υποθέσουμε οτι είναι ίση με μηδέν. Τότε η ϑερμοκρασία u = u(x) στο σημείο xɛ ικανοποιεί το παρακάτω ομογενές πρόβλημα του Dirichlet : div(γ u(x)) = f (x) στο (1.1) u = στο 5

όπου u υποδηλώνει την κλίση (gradient) του u που ορίζεται ως u = gradu = ( u x 1,..., u x N ). Δεδομένου οτι το γ είναι σταθερά το παραπάνω μπορεί να ξαναγραφεί στην μορφή: γ u = f στο (1.2) u = στο όπου u = div(gradu). Η ροή της ϑερμοκρασίας ορίζεται απο q = γgradu. Αυτό είναι ενα κλασσικό ελλειπτικό πρόβλημα συνοριακών τιμών. Γι αυτό το πρόβλημα είναι γνωστό οτι αν η f είναι αρκετά λεία τότε δέχεται μια μοναδική λύση u η οποία είναι 2 φορές διαφορίσιμη οπότε και το προηγούμενο σύστημα έχει λύση για κάθε xɛ. Εαν τώρα ϑεωρήσουμε το ετερογενές υλικό που καταλαμβάνεται μέσα στο τότε η ϑερμική αγωγιμότητα παίρνει διαφορετικές τιμές σε κάθε συστατικό του σύνθετου υλικού. ς εκ τουτου το γ τώρα είναι μια συνάρτηση,η οποία είναι ασυνεχής στο,δεδομένου οτι κάνει άλματα πάνω στις επιφάνειες που διαχωρίζουν τα συστατικά. Για απλοποιήση ας υποθέσουμε οτι έχουμε ένα μείγμα το οποίο καταλαμβάνει το (υπο)πεδίο ορισμού 1 και ενα δεύτερο το (υπο)πεδίο ορισμού 2 όπου 1 2 = και = 1 2 ( 1 2 ). Ας υποθέσουμε επίσης οτι η ϑερμική αγωγιμότητα του σώματος που καταλαμβάνει το 1 είναι γ 1 και οτι του σώματος που καταλαμβάνει το 2 είναι γ 2,δηλαδή: γ 1, xɛ 1 γ(x) = (1.3) γ 2, xɛ 2 Στη συνέχεια η ϑερμοκρασία και η ροή της ϑερμοκρασίας σε ενα σημείο xɛ του σύνθετου υλικού λαμβάνουν τιμές: u 1 (x), xɛ 1 q 1 = γ 1 gradu 1, 1 u(x) = και q = (1.4) u 2 (x), xɛ 2 q 2 = γ 2 gradu 2, 2 Οι συνήθεις φυσικές υποθέσεις είναι η συνέχεια της ϑερμοκρασίας u και της ροής q στο σημείο διεπαφής των 2 υλικών δηλαδή: u 1 = u 2 στο 1 2 (1.5) q 1 n 1 = q 2 n 2 στο 1 2 όπου n i είναι το εξωτερικό μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στο i, i = 1, 2 και n 1 = n 2 στο 1 2. Συνεπώς η ϑερμοκρασία u είναι η λύση του στατικού ϑερμικού προβλήματος. Τότε το αντίστοιχο σύστημα (1.1) δίνει: div(γ(x)gradu(x)) = f (x), 1 2 u = στο (1.6) u 1 = u 2 στο 1 2 q 1 n 1 = q 2 n 2 στο 1 2 6

Τυπικά μπορούμε να γράψουμε αυτό το σύστημα στη μορφή : div(γ(x) u(x)) = f (x) στο u = στο (1.7) Απο την (1.5) συνεπάγεται οτι η κλίση του u είναι ασυνεχής. Επιπλέον γενικώς η ροή δεν είναι διαφορίσιμη. Λαμβάνοντας υπόψη αυτές τις ασυνέχειες οι ερωτήσεις που προκύπτουν είναι, ποιά είναι η κατάλληλη μαθηματική διατύπωση αυτού του προβλήματος και σε ποιούς συναρτησιακούς χώρους μπορεί να εχει λύση. Οι απαντήσεις σε αυτές τις ερωτήσεις μπορεί να δοθούν εισάγοντας την έννοια της α- σθενούς λύσης. Είναι δομημένη πάνω στην έννοια της ασθενούς παραγώγου, η λεγόμενη παράγωγος με την έννοια των κατανομών. Αυτό ϑα το ορίσουμε στην παράγραφο θεωρήματα και ορισμοί όπου επίσης ϑα εισάγουμε και τους χώρους S obolev που αποτελούν το φυσικό συναρτησιακό πλαίσιο για την ασθενή λύση. Στον ορισμό της ασθενούς λύσης, το πρόβλημα (1.7) αντικαθίσταται απο τη μεταβολική διατύπωση του δηλαδή,βρίσκω uɛh όπου : N i=1 i=1 γ(x) u υ dx = f υdx υɛh. (1.8) x i x i όπου Η είναι ο κατάλληλος χώρος S obolev λαμβάνοντας υπόψη τις συνοριακές συνθήκες για την u. Στην (1.8) οι παράγωγοι λαμβάνονται με την έννοια των κατανομών. Φυσικά αν η u είναι επαρκώς λεία τότε οι (1.7),(1.8) ϑα ήταν ισοδύναμες. Οπως φαίνεται παραπάνω,αυτό δεν ισχύει για ενα σύνθετο υλικό,ετσι το νόημα που πρέπει να αποδωθεί στην (1.7) είναι μόνο οτι η u λύνει το (1.8). Ας επισημάνουμε οτι η εξίσωση (1.8) επαλη- ϑευέται για κάθε υ που ανήκει στον χώρο Η. Αυτός είναι ο λόγος που η υ ονομάζεται συνήθως συνάρτηση δοκιμής. Η ύπαρξη και η μοναδικότητα της ασθενούς λύσης του (1.8) ϑα αναφερθεί παρακάτω. Ας γυρίσουμε πίσω στο ζήτημα της μακροσκοπικής συμπεριφοράς του σύνθετου υλικού που καταλαμβάνει το. Ας υποθέσουμε οτι οι ετερογένειες είναι πολύ μικρές σε σχέση με το μέγεθος του συνόλου και οτι είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες. Αυτη είναι μια ρεαλιστική υπόθεση για μια μεγάλη κατηγορία εφαρμογών. Απο μαθηματικής αποψη,μπορεί κανείς να μοντελοποιήσει αυτην την κατανομή υποθέτοντας οτι είναι περιοδική. Αυτη η περιοδικότητα μπορεί ν αναπαρασταθεί απο μια παράμετρο ε. Ετσι ο συντελεστής γ στην (1.8) εξαρτάται απο το ε και η (1.8) γίνεται: Ευρεση u ε ɛh όπου : N γε (x) uε υ x i x i dx = f υdx υɛh (1.9) Ενας φυσικός τρόπος να εισάγουμε την περιοδικότητα του γ ε στην (1.9) είναι να υποθέσουμε οτι έχει την μορφή: γ ε (x) = γ ( x) (1.1) ε 7

στον R N,όπου γ είναι μια δοσμένη περιοδική συνάρτηση της περιόδου Υ. Αυτό σημαίνει οτι μας δίνεται μια περίοδος αναφοράς Υ(στην οποία δίνονται οι ετερογένειες αναφοράς). Απο τον ορισμό (1.1) οι ετερογένειες στο είναι περιοδικές με περίοδο ευ και το μέγεθος τους είναι της τάξης του ε. ΣΧΗΜΑ 1 Το πρόβλημα (1.9) μπορεί να γραφεί: Ευρεση u ε ɛh όπου : N γ( x) uε υ ε x i x i dx = f υdx υɛh (1.11) i=1 Παρατηρούμε οτι οι 2 κλίμακες χαρακτηρίζουν το πρόβλημα (1.11),η μακροσκοπική κλίμακα x και η μικροσκοπική κλίμακα x που περιγράφει τις μικρές ταλαντώσεις. ε Οι ασυνέχειες αυτού του προβλήματος κάνουν αυτό το μοντέλο πολύ δύσκολο στη μεταχείριση,ιδίως απο αριθμητική άποψη. Επίσης η σημειακή γνώση των χαρακτηριστικών του υλικού δεν παρέχει με απλό τρόπο όλες τις πληροφορίες σχετικά με την ολική συμπεριφορά. Παρατηρούμε επίσης οτι κάνοντας τις ετερογένειες ολο και πιο μικρές αυτό σημαίνει οτι ομογενοποιούμε το μείγμα και απο μαθηματικής άποψης αυτό σημαίνει οτι το ε. Παίρνοντας το ε είναι η μαθηματική ομογενοποιήση του προβήματος (1.11). Φυσικά υπάρχουν πολλά ερωτήματα που προκύπτουν όπως: 1) η ϑερμοκρασία u ε συγκλίνει σε ορισμένο όριο-συνάρτηση u ; 2) εαν αυτο ισχύει,το u επιλύει κάποιο πρόβλημα συνοριακών τιμών; 3) είναι οι συντελεστές του οριακού προβλήματος σταθεροί; 4) τελικά το u αποτελεί μια καλή προσέγγιση του u ε ; 8

ΣΧΗΜΑ 2 Η απάντηση σε αυτές τις ερωτήσεις είναι ο στόχος της μαθηματικής ϑεωρίας της ομογενοποιήσης. Αυτές οι ερωτήσεις είναι πολύ σημαντικές στις εφαρμογές, εαν σε κάποια απο τις παραπάνω μπορεί να δοθεί ϑετική απάντηση. Τότε το όριο των συντελεστών που είναι επίσης γνωστό απο μηχανικούς και φυσικούς, αποτελούν καλές προσεγγίσεις των γενικών χαρακτηριστικών του σύνθετου υλικού εαν ϑεωρηθεί σαν ομογενές. Επιπλέον, αντικαθιστώντας το πρόβλημα απο το όριο μας επιτρέπει να κάνουμε εύκολα αριθμητικούς υπολογισμούς. Η πρώτη παρατήρηση είναι οτι η συνάρτηση γ ε συγκλίνει με ασθενή τρόπο στη μέση τιμή του γ δηλαδή γ ε (x)υ(x)dx M y (γ)υ(x)dx (1.12) για οποιαδήποτε ολοκληρώσιμη συνάρτηση υ,εδώ η μέση τιμή ορίζεται ως M y (γ) = 1 Y γ(y)dy. Y Αυτό το αποτέλεσμα της σύγκλισης της περιοδικής συνάρτησης καθώς και η έννοια της ασθενούς σύγκλισης και των συναφών ιδιοτήτων ϑα παρουσιαστούν παρακάτω στην εργασία. Επίσης μπορούμε να αποδείξουμε οτι η u ε συγκλίνει σε κάποια συνάρτηση u και οτι u ε συγκλίνει ασθενώς στο u. Η ερώτηση είναι πότε αυτές οι συγκλίσεις και η σύγκλιση (1.12) είναι επαρκείς για την ομογενοποιήση του προβλήματος (1.11). Για να γίνει αυτό,πρέπει κανείς να περάσει το όριο στο γινόμενο γ ε u ε. Αυτή μάλιστα είναι η κύρια δυσκολία στην ϑεωρία της ομογενοποιήσης. Στην πραγματικότητα,σε γενικές γραμμές το γινόμενο δυο ασθενώς συγκλινουσών ακολουθιών δεν συγκλίνει στο γινόμενο των ασθενών ορίων. Παρακάτω ϑα δείξουμε οτι υπάρχει διανυσματική συνάρτηση ξ, ασθενές όριο του γινομένου γ ε u ε και ικανοποιεί την εξίσωση divξ = f (1.13) αλλά ξ M y (γ) u,δεν μπορεί εύκολα κανείς να συναγάγει μια εξίσωση που να ικανοποιείται απο το u. Αυτό ήδη συμβαίνει στη μονοδιάστατη περίπτωση όπου είναι κάποιο 9

διάστημα [d 1, d 2 ].Εχω ξ = 1 du M y (γ) dx. Επιπλέον,u είναι η μοναδική λύση του ομογενούς προβλήματος: d dx ( 1 du M y ( γ 1 ) dx u (d 1 ) = u (d 2 ) = ) = f στο [d1, d 2 ] (1.14) Σαφώς ξ M y (γ) u 1,δεδομένου οτι M M y ( y(γ). Ακόμα και για τη μονοδιάστατη περίπτωση αυτό το αποτέλεσμα ομογενοποιήσης δεν είναι τετριμμένο. Αυτή η κατάσταση είναι γ 1 ) φυσικά πιο περίπλοκη στην γενική Ν-διάστατη περίπτωση. Το μονοδιάστατο αποτέλεσμα ϑα μπορούσε να προτείνει οτι στην Ν-διάστατη περίπτωση το οριακό πρόβλημα μπορεί να περιγραφεί απο την άποψη της μέσης τιμής του γ. Αυτό δεν είναι αλήθεια στην περίπτωση όπου έχουμε στρώματα υλικών όπου το γ εξαρτάται μονο απο μια μεταβλητη την x 1. Σε αυτη τη περίπτωση το ομογενοποιημενο προβλημα του (1.11) είναι: div(a u ) = f στο (1.15) u = στο όπου ο ομογενοποιημένος πίνακας A είναι σταθερός,διαγώνιος και δίνεται απο: T = 1 M y (γ ) M y (γ) M y (γ) Επισημαίνουμε εδώ οτι το ομογενοποιήμενο υλικό δεν είναι πλεόν ισοτροπικό απο τη στιγμή όπου το A δεν είναι στη μορφή α I. Παρατηρούμε επίσης οτι σε αυτά τα ιδιαίτερα παραδείγματα της μονοδιάστατης περίπτωσης και των υλικών σε στρώσεις, οι ομογενοποιημένοι συντελεστές είναι αλγεβρικοί τύποι που αφορούν το γ. Για τη γενική Ν-διάστατη περίπτωση το ομογενές πρόβλημα είναι ακόμη στην μορφή (1.15). Οι συντελεστές του A ορίζονται με τη βοήθεια κάποιων περιοδικών συναρτήσεων που είναι οι λύσεις μερικών προβλημάτων συνοριακών τιμών του ίδιου τύπου με αυτού του (1.11) που διατυπώνονταν στο Υ κελί αναφοράς. Οι συντελεστές a i j του πίνακα A ορίζονται απο: a i j = 1 Y Y γδ i j dy 1 Y Y γ χ j y i dy i, j = 1,, N. (1.16) όπου δ i j είναι το σύμβολο του Kronecker. Η συνάρτηση χ j για j = 1,, N είναι η λύση του προβλήματος: div(γ(y) χ j ) = γ y j στο Y χ j περιοδική (1.17) M y (χ j ) = Αυτό το αποτέλεσμα ϑ αποδειχθεί στην εργασία με διάφορους τρόπους. Θα χρησιμοποι- ήσουμε την μέθοδο των πολλαπλών κλιμάκων,η οποία συνίσταται στην αναζήτηση του u ε 1

με την μορφή: ( u ε x) ( x) ( x) (x) = u x, + εu1 x, + ε 2 u 2 x, + (1.18) ε ε ε όπου u j = u j (x, y) είναι Y-περιοδική ως προς τη δεύτερη μεταβλητή y. Η μέθοδος πολλαπλών κλιμάκων είναι μια κλασσική μέθοδος όπου χρησιμοποιείται ευρέως απο μηχανικούς και φυσικούς για προβλήματα που περιέχουν πολλές μικρές παραμέτρους περιγράφοντας διαφορετικές κλίμακες. Το ενδιαφέρον της μεθόδου είναι οτι σε γενικές γραμμές μας επιτρέπει να έχουμε το ομογενοποιήμενο πρόβλημα. Μια άλλη μέθοδος ειναι η μέθοδος των ταλαντευόμενων δοκιμαστικών συναρτήσεων που έχει εισαχθεί απο τον L.T artar. Οπως έχουμε δει παραπάνω στο πρόβλημα (1.11) η συνάρτηση u ε είναι συνεχής στην επιφάνεια 1 2, αλλά η κλίση της συμπεριφέρεται κατα τέτοιο τρόπο ώστε η ροή γ u ε να παραμένει ιδια. Η ιδέα της μεθόδου του Tartar είναι να κατασκευάσουμε δοκιμαστικές συναρτήσεις υ = ω ε jϕ για την (1.11) έχοντας το ίδιο είδος ασυνέχειας του u ε και έχοντας ενα γνωστό όριο. Για το παράδειγμα μας έχουμε: ω ε j (x) = χ x j( ε) + x j j = 1,, N. και φ είναι μια λεία συνάρτηση στο. Χρησιμοποιώντας αυτές τις συναρτήσεις δοκιμής στη μεταβολική διατύπωση (1.11) μπορούμε να πάρουμε το όριο και να ταυτίσουμε το ξ με τους όρους u. Στην πραγματικότητα βρίσκουμε ενα ξ με την μορφη: ξ = A u. Αυτή μαζί με την (1.14) δίνει το ομογενοποιημένο πρόβλημα. Θα δούμε επίσης σε αυτήν την εργασία ενα καλύτερο αποτέλεσμα που αφορα το προβλημα (1.11) γι αυτο ϑα εισάγουμε τον πίνακα διόρθωσης C ε = C ε i j i, j = 1,, N που ορίζονται απο: C ε i j (x) = ω j ( x y i ε) όπου ω j έχει οριστεί πιο πριν. Τότε u ε C ε u σε μια συνηθισμένη ισχυρή σύγκλιση. Επιπλέον παρατηρούμε οτι οταν εφαρμόζουμε την μέθοδο πολλαπλών κλιμάκων έχουμε: u 1 (x, y) = N j=1 χ j (y) u x j Συνεπώς u ε (x) = u (x) N ( x ) u y χ k (x) ε ε x k k=1 = C ε (x) u (x) ε N ( x ) χˆ k ( u ) (x) + ε x k k=1 N ( x ) χ k ( u ) (x) + ε x k k=1 ς εκ τουτου C ε (x) u (x) είναι ο πρώτος όρος του ασυμπτωτικού αναπτύγματος (1.18) του u ε. Ενας 3ος τροπος είναι η μέθοδος της διπλής κλίμακας η οποία λαμβάνει υπόψη τη two scale convergence. Αυτή η σύγκλιση είναι δοκιμασμένη σε συναρτήσεις της μορφής ψ(x, x ). Ενα απο τα πιο ενδιαφέροντα στοιχεία αυτής της μεθόδου είναι οτι δικαιολογεί ε μαθηματικώς το ασυμπτωτικο ανάπτυγμα. 11

Κεφάλαιο 2 Η μέθοδος των πολλαπλών κλιμάκων. Εστω u ε η λύση του προβλήματος : A ε u ε = f στο u ε = στο όπου A ε ορίζεται απο A ε = div(a ε ) = N i, j=1 ( x i α ε i j ) x j με α ε i j (x) = α i j( x ) στον RN i, j = 1,, N, και ε α i j Y περιοδική i, j = 1,, N, A = (α i j ) 1 i, j N ɛm(α, β, Y), (2.1) (2.2) (2.3) α, βɛr,τέτοιο ώστε < α < β και M(α, β, Y) όπως έχει οριστεί στα ϑεωρήματα. Το Υ ορίζει το κελί αναφοράς που δίνεται ως Y = [, l 1 ] [, l N ], όπου l 1,, l N είναι δοσμένοι ϑετικοί αριθμοί. 2.1 Το ασυμπτωτικό ανάπτυγμα Οπως προαναφέρθηκε στην εισαγωγή, 2 κλίμακες περιγράφουν το πρόβλημα:η μεταβλητη x απο την μακροσκοπική πλευρά και η x που περιγράφει την μικροσκοπική πλευρά. ε Πράγματι εαν xɛ, απο τον ορισμό του Υ,υπάρχει μια σταθερά kɛz N τέτοια ώστε x = (k ε l +y) με yɛy και όπου k l = (k 1 l 1,, k N l N ). Ετσι το x δίνει τη ϑέση του σημείου στο πεδίο ορισμού ένω το y δίνει τη ϑέση του στο κελί αναφοράς Υ. ( u ε (x) = u x, x ) ( + εu 1 x, x ) ( + ε 2 u 2 x, x ) + (2.4) ε ε ε 12

με u j (x, y) για j = 1, 2, τέτοια ώστε: u j (x, y) ορίζεται για xɛ και yɛy u j (, y) είναι U περιοδική (2.5) Εστω Ψ = Ψ(x, y) μια συνάρτηση εξαρτώμενη απο τις δυο μεταβλητές στον R N και ορίζεται απο την Ψ ε ακόλουθη σχέση: Ψ ε (x) = Ψ ( x, x ε) η οποία εξαρτάται απο μια μόνο μεταβλητή. Σημειώνουμε οτι: Ψ ε (x) = 1 Ψ (x, x ) x i ε y i ε Ετσι μπορούμε να γράψουμε το A ε Ψ ε ως εξής: + Ψ (x, x ). x i ε A ε Ψ ε (x) = [(ε 2 A + ε A 1 + A 2 )Ψ] ( x, x ε), (2.6) όπου A = N i, j=1 ( ) y i a i j (y) y j A 1 = N i, j=1 ( ) x i a i j (y) y j N i, j=1 ( ) y i a i j (y) x j (2.7) A 2 = N i, j=1 ( ) x i a i j (y) x j Αντικαθιστώντας τις σχέσεις αυτές στο αρχικό πρόβλημα προκύπτει το παρακάτω σύστημα εξισώσεων: A u = στο Y (2.8) u Y-περιοδική στο y, A u 1 = A 1 u στο Y (2.9) u 1 Y-περιοδική στο y, A u 2 = f A 1 u 1 A 2 u στο Y (2.1) u 2 Y-περιοδική στο y, και για s 1. A u s+2 = A 1 u s+1 A 2 u s στο Y u s+2 Y-περιοδική στο y, (2.11) Σημείωση 1 Ας παρατηρήσουμε την κατασκευή αυτού του συστήματος. Οι άγνωστοι u j μπορούν να προσδιοριστούν επιτυχώς. Πράγματι η πρώτη εξίσωση περιλαμβάνει μονο τον άγνωστο u. Αν το u είναι γνωστό τότε η δεύτερη εξίσωση μας επιτρέπει να υπολογίσουμε το u 1. Όμοια απο την τρίτη εξίσωση μπορούμε να προσδιορίσουμε το u 2 απο τους όρους u και u 1. 13

Σημείωση 2 Σημειώνουμε επίσης οτι ο τελεστής A ο οποίος εμφανίζεται σε κάθε εξίσωση έχει την ίδια μορφή του A ε με το x να αντικατασταθεί απο το y. Είναι δεύτερης τάξης ε τελέστης ως προς το y και σε κάθε εξίσωση το x παίζει το ρόλο της παραμέτρου. Ξεκινάμε με το σύστημα 2.8 του οποίου η μεταβολική διατύπωση είναι: Ευρεση u ɛw per (Y) τέτοιου ώστε α Y ( u, υ) = υɛw per (Y). (2.12) όπου α Y ( u, υ) = A u υdy, uɛ u, υɛ υ, u, υɛw per (Y) (2.13) Y και W per (Y) = H 1 per(y)/r. Υπενθυμίζουμε οτι W per (Y) είναι ο χώρος των κλάσεων ισοδύναμίας ως προς τη σχέση: u υ u υ είναι σταθερό u, υɛh 1 per(y), απο το ϑεώρημα 1 του 6ου κεφαλαίου συμπεραίνουμε οτι u = στο W per (Y) ως τη μοναδική λύση. Υπενθυμίζουμε οτι απο τον ορισμό u (x, y) = u (x) (2.14) για κάθε u ɛu. Σημείωση 3 Στο ασυμπτωτικό ανάπτυγμα το πρώτο στοιχείο u είναι μια εκ των προτέρων ταλαντευόμενη συνάρτηση που εξαρτάται απο το x ε. Απο την σχέση 2.13 έχουμε οτι το u στην πραγματικότητα εξαρτάται μόνο απο το x και οχι απο το ε και έτσι δεν ταλαντευέται με x ε. Αυτό συμβαίνει γιατι αναμένεται το u να είναι η ομογενής λύση. Παραμένει να βρούμε εαν υπάρχει μια εξίσωση στο που ικανοποιείται απο το u, στην περίπτωση αυτή ϑα έχουμε βρεί και την ομογενοποιημένη εξίσωση επίσης. Επιστρέφουμε τώρα στην εξίσωση 2.9,χρησιμοποιώντας τις 2.7 και 2.14 μπορούμε να την γράψουμε ως εξής: A u 1 = N στοy i, j=1 a i j y i u x j u 1 Ψ-περιοδική στο y. Η μεταβολική διατύπωση είναι: Ευρεση u 1 ɛw per (Y) τέτοιου ώστε α Y ( u 1, υ) =< F, υ > (Wper (Y)),W per (Y)) υɛw per (Y). όπου το α Y δίνεται απο την 2.13 και F ορίζεται απο : < F, ψ > (Wper (Y)),W per (Y))= N i, j=1 (2.15) (2.16) u α i j (y) ψ dy. ψɛ ψ, ψɛw per (Y). (2.17) x j Y y i 14

Παρατηρούμε οτι εαν ψ 1, ψ 2 ɛ ψ τότε ψ 1 y i = ψ 2 y i και ετσι < F, ψ 1 > (H 1 per (Y)),Hper(Y)=< F, ψ 1 2 > (H 1 per (Y)),H 1 per(y). Αυτό μαζι με την πρόταση 17 του 6ου κεφαλαίου ορίζει το F ως ένα στοιχείο του (W per (Y)) και έτσι η παραπάνω εξίσωση έχει νόημα.το ϑεώρημα 11 του 6ου κεφαλαίου δίνει μοναδική λύση u 1 ɛw per (Y) της 2.16. Η γραμμικότητα του 2.15 όπου το A περιλαμβάνει τη μεταβλητη y μόνο, μαζί με το αποτέλεσμα οτι το u x j είναι ανεξάρτητη του y, για να γίνει αυτό το u 1 το γράφουμε στην εξής μορφή: όπου το ˆx ικανοποιεί: u 1 (x, y) = N j=1 A ˆχ j = N ˆχ j ˆχ j (y) u (x) στο W per (Y) (2.18) x j i=1 α i j y i στοy Y περιοδική (2.19) για i, j = 1,, N. Είναι εύκολο να δούμε οτι το ϑεώρημα 11 του 6ου κεφαλαίου μαζί με την πρόταση 18 του 6ου κεφαλαίου δίνει μοναδική λύση ˆχ j ɛw per (Y) αυτού του προβλήματος. Επιπλέον μπορούμε να επιλέξουμε ενα αντιπροσωπευτικό στοιχείο του ˆχ j που ικανοποιεί την μεταβολική διατύπωση του ϑεωρήματος 11 του 6ου κεφαλαίου. Ετσι το ϑεώρημα 11 του 6ου κεφαλαίου δίνει την ύπαρξη και την μοναδικότητα του ˆχ j ɛ ˆχ j της λύσης του: Ευρεση ˆχ j ɛw per (Y) τέτοιο ώστε α Y ( ˆχ j, ψ) = N ψɛw per (Y). i=1 Y α i j(y) ψ y i dy (2.2) όπου W per (Y) = {υɛh 1 per(y); M Y (υ) = }. Απο την άλλη, απο την 2.17 μπορούμε να δούμε οτι κάθε λύση u 1 (x, y) του 2.9 έχει τη μορφή: u 1 (x, y) = N j=1 ˆχ j (y) u x j + ũ 1 (x) με u 1 ɛ u 1 (2.21) όπου ũ 1 είναι ανεξάρτητο του y δηλαδή ũ 1 (x)ɛ στο Wper (Y). Τώρα ϑα σχοληθούμε με την εξίσωση 2.1. Εαν κάνουμε τους υπολογισμούς απο τις 2.14, 2.21 έχουμε : f A 1 u 1 A 2 u = f + N i, j=1 ( α i j (y) u ) 1 + y i x j N i, j=1 Η μεταβολική διατύπωση του προβλήματος 2.1 είναι: Ευρεση u 2 ɛw per (Y) τέτοιου ώστε α Y ( u 2, υ) =< F 1, υ > (Wper (Y)),W per (Y)) υɛw per (Y). 15 ( α i j (y) ( u 1 + u )). (2.22) x i y j x j (2.23)

όπου α Y έχει οριστεί πιο πάνω και το F 1 ορίζεται απο < F 1, υ > (Wper (Y)),W per (Y))= Y f ψdψ N i, j=1 Y α i j (y) u 1 x j ψ y i dy+ N i, j=1 Y ( α i j (y) ( u 1 + u )) ψdy x i y j x j ψɛ ψ, ψɛw per (Y). Αυτο το πρόβλημα είναι καλά τοποθετημένο εαν το F 1 είναι στοιχείο του (W per (Y)) δηλαδή εαν < F 1, 1 > (H 1 per (Y)),H 1 per(y))=, το οποίο είναι N i, j=1 Y ( α i j (y) ( u 1 + u )) dy = x i y j x j Y f dy. Αυτή η σχέση είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να συμπεράνουμε την ύπαρξη και την μοναδικότητα του u 2 της λύσης του 2.23 που δίνεται απο το ϑεώρημα 11 του 6ου κεφαλαίου. Αντικαθιστώντας το u 1 απο τον τύπο 2.18 και απο την f = f (x) συμπεραίνουμε οτι το u ικανοποιεί: N i, j=1 Y ( α i j (y) ( χˆ k u + u )) dy = Y f x i y j x k x j ή ισοδύναμα απο την 2.14 και την α i j = M Y(α i j ) M Y ( N i, j = 1,, N. έχουμε: Τελικά έχουμε: N j=1 Y k=1 χˆ α j ) ik y k = 1 α Y Y i jdy 1 Y ( χˆ k ) αik α i j dy = Y α ik i, k = 1,, N. y j N i,k x i ( α ik=1 u ) = f στο. x k N α Y ik ˆχ i. y k dy Αυτή η εξισωση είναι ακριβώς το ομογενοποιημένο πρόβλημα του ϑεωρήματος 1 που ϑα δουμε και ϑα αποδείξουμε στην παρακάτω παράγραφο. Η ύπαρξη και η μοναδικότητα του u ɛh 1() προκύπτει απο το ϑεώρημα του Lax Milgram δηλάδη u = u με το u να δίνεται απο το ϑεώρημα 1. Σημείωση: Παρατηρούμε επίσης οτι με αυτή τη μέθοδο το πρόβλημα αποκτά τον ομογενοποιημένο πίνακα A της μορφής A λ = M Y ( t A ωˆ λ ) λɛr N ή ισοδύναμα της μορφής α i j = M Y(α i j ) M Y ( N k=1 χˆ α j ) ik y k = 1 Y Y α i jdy 1 Y N k=1 Y α ik ˆχ i y k dy, k=1 i, j = 1,, N. που δηλώνει τον πίνακα Α 16

και τα προβλήματα και div(a(y) χˆ λ ) = div(a(y)λ) στο Y χˆ λ Ψ-περιοδικός M y ( χˆ λ ) = div(a(y) ωˆ λ ) = στο Y ωˆ λ λy Υ-περιοδικός M U ( ωˆ λ λy) = Αυτή είναι και η ουσία αυτής της μεθόδου. 17

Κεφάλαιο 3 Μέθοδος του Tartar των ταλαντευόμενων συναρτήσεων δοκιμής. Ας ϑυμηθούμε το πρόβλημα: div(a ε u ε ) = f u ε = στο, στο (3.1) όπου f δίνεται στο H () και ο πίνακας A ε είναι Υ-περιοδικός που ορίζεται απο: a ε i j (x) = a x i j( ε) στον R N, i, j = 1,, N. και A ε (x) = A ( x ε) = (ai j (x)) 1 i, j N στον R N όπου a i j είναι Υ-περιοδικός i, j = 1,, N (3.2) A = (a i j ) 1 i, j N ɛm(α, β, Y) όπου α,βɛr τέτοια ώστε < α < β και M(α, β, Y) έχει οριστεί στο κεφάλαιο ορισμοι και ϑεωρήματα. Αυτη η μέθοδος βασίζεται στην κατασκευή μιας κατηγορίας ταλαντευόμενων δοκιμαστικών συναρτησεων που λαμβάνονται απο περιοδοποιήση τη λύση του προβλήματος στο κελι αναφοράς. Βασικό σημείο αυτής της μεθόδου αποτελεί ο συζυγής τελεστής div( t A(ψ) ). Πράγματι όταν προσπαθούμε να προσδιορίσουμε το όριο αυτό, το σημαντικό αποτέλεσμα είναι οτι μας επιτρέπει να εξαλείψουμε όλους τους όρους που περιέχουν το γινόμενο δύο ασθενώς συγκλινουσών ακολουθιών. Με αυτή τη μέθοδο ϑα λάβουμε τον ομογενοποιημένο πίνακα A υπο τη μορφή t A λ = M y (t A ω λ ) λɛr N η οποία περιλαμβάνει τον πίνακα t A και τα προβλήματα: Ευρεση x i ɛw per (Y) τέτοιου ώστε α Y (x i, υ) = t Ae Y i υdy (3.3) υɛw per (Y) 18

και Ευρεση ω i τέτοιου ώστε ω i y i ɛw per (Y) και α Y (ω i, υ) = υɛw per (Y) Αυτό είναι ενα απο τα βασικά χαρακτηριστικά της μεθόδου του T artar. (3.4) Θεώρημα 1 Εστω f ɛh () και u ε μια λύση του παραπάνω προβλήματος,τότε: i)u ε u ασθενώς στο H 1() ii)a ε u ε A u ασθενώς στο (L 2 ()) N (3.5) όπου u η μοναδική λύση στο H 1 () του ομογενοποιημένου προβλήματος: N ( ) x i a u i j x j στο i, j=1 u = στο. ο πίνακας A = (a i j ) 1 i, j N είναι σταθερός, ελλειπτικός και δίνεται απο : A λ = M Y (A ωˆ λ ) λɛr N ή ισοδύναμα απο t A λ = M Y ( t A ωˆ λ ) όπου ωˆ λ και ω λ ορίζονται απο: Ευρεση ωˆ λ τέτοιου ώστε ωˆ λ λ ψɛw per (Y) και (3.7) α Y ( ωˆ λ, υ) = υɛw per (Y) (3.6) div( t A(y) ω λ ) = στο Υ ω λ λ y Υ-περιοδική M y (ω λ λy) = (3.8) 3.1 Σύγκλιση της ενέργειας Η ενέργεια ορίζεται απο τον εξής τύπο: E ε (u ε ) = Aε u ε u ε dx Πρόταση 1 Εστω u ε η λύση του προβλήματος, τότε:e ε (u ε ) E (u ) = A u u dx όπου u και A δίνονται απο το παραπάνω ϑεώρημα. (η απόδειξη είναι στο βιβλιο 4 σελ 142) Πρόταση 2 Εστω u ε η λύση του προβλήματος τοτε ισχύει η παρακάτω σύγκλιση: A ε u ε u ε A u u στο D () όπου u και A έχουν οριστεί πιο πάνω. (η απόδειξη είναι στο βιβλιο 4 σελ 143) Πρόταση 3 Εχουμε οτι A ɛm(α, β2 α, ). (η απόδειξη είναι στο βιβλιο 4 σελ 144) 19

3.2 Διορθωτές Εστω u ε η λύση του προβλήματος (19) και u η λύση του αντίστοιχου ομογενους. Απο το ϑεώρημα 1 προκύπτει η παρακάτω σύγκλιση: u ε u ασθενώς στον (L 2 ()) N. (3.9) Σημείωση 4 Γενικά η παραπάνω σύγκλιση δεν μπορεί να βελτιωθεί. Πράγματι εαν η παραπάνω ( ) σύγκλιση ήταν ισχυρή τοτε ϑα είχαμε: lim α ε duε = ( limα ε)( ) du lim ε ε dx ε ε dx, το οποίο δεν ισχύει. Αυτή η παρατήρηση δείχνει οτι αυτή η σύγκλιση δεν είναι γενικά ισχυρή. Παρολ αυτά ϑα αποδείξουμε οτι τροποποιώντας τον όρο u τότε ϑα έχουμε την ισχυρή σύγκλιση. Για να γίνει αυτό ϑα εισάγουμε τον πίνακα διορθωτή C ε = (C ε i j ) 1 i, j N που ορίζεται απο: C ε i j (x) = C ) x i j( στο ε C i j (y) = δ i j χˆ j y i (y) = ωˆ (3.1) j y i (y) στο Y. Πρόταση 4 Εστω C ε που ορίζεται απο την παραπάνω εξίσωση,τότε: i)c ε I ασθενώς στο (L 2 ()) N N ii)a ε C ε A ασθενώς στο (L 2 ()) N (3.11) όπου Ι είναι ο μοναδιαίος πίνακας N N. Το αποτέλεσμα απο την παραπάνω πρόταση και απο την σύγκλιση (3.9) είναι: u ε C ε u ασθενώς στο (L 2 ()) N. (3.12) Πράγματι,C ε u ɛl 1 () και για κάθε φɛl () απο την πρόταση την προήγουμενη έχουμε: Cε u φdx u φdx. Το ενδιαφέρον για τον πίνακα διορθωτή C ε είναι οτι η σύγκλιση (3.12) στην πραγματικότητα είναι ισχυρή. Στην πραγματικότητα αυτό το αποτέλεσμα ισχύει και για την μη περιοδική περίπτωση που αποδείχθηκε απο τους Murat, T artar. Θεώρημα 2 Εστω u ε η λύση του προβλήματος μας και u, A τα οποία δίνονται απο το ϑεώρημα 1, τότε: u ε C ε u ισχυρά στον L 1 (()) N. (3.13) Επιπλέον εάν Cɛ(L r (Y)) N N για κάποιο r τέτοιο ώστε 2 r,τότε u ɛ(l s ()) N για κάποιο s τέτοιο ώστε 2 s < τότε u ε C ε u ισχυρά στον (L t ()) N,όπου t = min{2, rs }. r+s 2

Πρόταση 5 Εστω u ε να είναι η λύση του προβλήματος 1 και u, A να δίνονται απο το ϑεώρημα 1. Τότε υπάρχει μια ϑετική σταθερά σταθερά c ανεξάρτητη του ε τέτοια ώστε για κάθε Φɛ(D()) N έχουμε: lim sup u ε C ε Φ L2 () c u Φ L2 (). ε (η απόδειξη είναι στο βιβλιο 4 σελ 149) Σημείωση 5 Απο τα αποτελέσματα του Meyers έχουμε οτι υπάρχει μια σταθερά r > 2 που εξαρτάται απο τα α,β,ν τέτοιο ώστε Cɛ(L r (Y)) N N. Επιπλέον αν το είναι επαρκώς ομαλό αυτό συνεπάγεται ιδίως οτι u ɛ(l s ()) N για κάποιο s > 2. Ετσι, το αποτέλεσμα του ϑεωρήματος 2 ισχύει και για αυτα τα r, s. Σημείωση 6 Απο τον ορισμό του πίνακα διορθωτή και το ασυμπτωτικό ανάπτυγμα μπορούμε να γράψουμε τον όρο u στην μορφή: u ε (x) = u (x) (βλ.θεώρημα 3.6 στο βιβλιο 4) N k=1 = C ε (x) u (x) ε ( x ) u y χˆ k (x) ε ε x k N ( x χˆ k ε ( u ) (x) + x k k=1 N ( x ) ( u ) χˆ k (x) +. ε x k k=1 3.2.1 Μερικά συγκριτικά αποτελέσματα Ο στόχος αυτής της παραγράφου είναι να δείξει πως μια σύγκριση ιδιοτήτων δυο πινάκων στο M(α, β, Y) διατηρείται έπειτα απο την διαδικασία της ομογενοποιήσης. Πρώτος απέδειξε ο T artar οτι υπο τις κατάλληλες προυποθέσεις, εαν 2 πίνακες έχουν δοθεί με συγκεκριμενη διάταξη,τότε αυτή η διάταξη περνόντας στο όριο διατηρείται. Ας επισημάνουμε οτι ολα τα αποτέλεσματα που παρουσιάζονται εδώ ισχύουν γενικά και για την μη περιοδική περίπτωση. Ορισμός 1 Εστω Β και D, 2 N N πίνακες. Λέμε οτι ο Β είναι μικρότερος απο ή ίσος με τον D με την έννοια των πινάκων αν και μονο αν : (Bλ, λ) (Dλ, λ) για κάθε λɛr N. Θεώρημα 3 Εστω Β και D δυο περιοδικοί πίνακες N N στον M(α, β, Y) τέτοιοι ώστε:b D. Επίπλεον υποθέτουμε οτι ο Β είναι συμμετρικός, τότε: B D,όπου B και D είναι οι αντίστοιχοι ομογενοποιημένοι πίνακες που δίνονται απο το ϑεώρημα 1. (η απόδειξη είναι στο βιβλιο 4 σελ 153) Πόρισμα 1 Υποθέτουμε οτι ο πίνακας Α είναι συμμετρικός και έστω ο πίνακας A δίνεται απο το ϑεώρημα 1.Τότε A ɛm(α, β, ). να 21

(η απόδειξη είναι στο βιβλιο 4 σελ 155) Θεώρημα 4 Εστω Β και D δυο περιοδικοί πίνακες N N στον M(α, β, Y) και B και D οι αντίστοιχοι ομογενοποιημένοι πίνακες που δίνονται απο το ϑεώρημα 1. Τότε υπάρχει μια σταθερά c και μια qɛr + που εξαρτώνται απο τα α,β,ν και Υ τέτοια ώστε: b i j d i j c( a i j b i j dy) 1 q. (η απόδειξη είναι στο βιβλιο 4 σελ 156) 22

Κεφάλαιο 4 Ομογενοποιήση της εξίσωσης της ϑερμότητας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούμε με την ασυμπτωτική συμπεριφόρα οταν το ε της λύσης του εξής προβλήματος: u ε div(a ε u ε ) = f ε στο [, T] u ε = στο [, T] (4.1) u ε (x, ) = u ε(x) στο όπου div και λαμβάνονται σε σχέση με τις χωρικές μεταβλήτες με το x να ανήκει στο και δηλώνει την παράγωγο σε σχέση με την μεταβλητή του χρόνου t όπου tɛ[, T] με T >. Υποθετουμε ότι μας δίνεται ο όρος πηγή f ε και η αρχική κατάσταση u ε. Εδώ ο πίνακας A ε είναι Υ-περιοδικός και ορίζεται ως: όπου a ε i j (x) = a ( x i j στον i, j = 1,, n. (4.2) ε) και A ε (x) = A ( x) = (a ε i j ε (x)) 1 i, j N R N. (4.3) a i j είναι Υ-περιοδικός (4.4) A = (a i j ), 1 i, j N ɛm(a, b, Υ) με α,βɛr όπου < a < β και Μ(α,β,Υ) που ορίζεται στο κεφαλαιο με τα προαπαιτουμενα. Το παραπάνω πρόβλημα είναι γνωστό ως η εξίσωση της ϑερμότητας επείδη μοντελοποιεί τη μεταφορά ϑερμότητας σε σύνθετα υλικά όταν η ϑερμοκρασία u ε είναι χρονοεξαρτώμενη. Αν οι u ɛ και ο όρος πηγής f ε είναι ανεξάρτητες του χρόνου τότε το παραπάνω πρόβλημα συνάγεται σε πρόβλημα του Dirichlet που μοντελοποιεί τη στάσιμη διάχυση της ϑερμότητας. 23

Το πρόβλημα είναι μια ειδική περίπτωση μιας μεγάλης κατηγορίας μερικών διαφορικών ε- ξισώσεων που καλούνται παραβολικές. Παρακάτω ϑα αποδείξουμε την ύπαρξη και την μοναδικότητα της λύσης με του προβλήματος σε μεταβολικό πλαίσιο όπου f ε είναι στο L 2 ( [, T]) και u ε στονl2 (). Εστω ένα φραγμένο σύνολο στονr n και ϑεωρούμε το παρακάτω πρόβλημα: u div(b u) = f στο [, T] u = στο [, T] (4.5) u(x, ) = u (x) στο κάτω απο τις ακόλουθες παραδοχές: i)bɛm(a, β, ) ii) f ɛ L 2 ( [, T]) iii)u ɛl 2 () (4.6) Ορίζουμε W = {υ/υɛl 2 (, T; H 1 ()), ύɛl2 (, T; H ()} (4.7) το οποίο είναι χώρος Banach σε σχέση με τη νόρμα του γραφήματος δηλαδη: υ W = υ L2 (,T;H 1 ()) + υ L2 (,T;H ()). Ετσι η μεταβολική διατύπωση του προβλήματος πολλλαπλασιάζοντας με υ και ολοκληρώνοντας είναι: < u (t), υ > H,H 1 () + B(x) u(x, t) υ(x)dx στο D (, T) υɛh 1() (4.8) u(x, ) = u (x) Σημείωση 7 Η αρχική συνθήκη πρέπει να ϑεωρηθεί στον L 2 () λόγω του ϑεωρήματος 1 το uɛc([, T]; L 2 ). Αυτό συνεπάγεται ότι: lim t u(x, t) L2 () = u L2 () Για να χρησιμοποιήσουμε την ύπαρξη και την μοναδικότητα λύσεων του προβλήματος ϑα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο Faedo Galerkin. Αυτή η μέθοδος βασίζεται στο γεγονός ότι ο χώρος Hilbert H 1 μπορεί να προσεγγιστεί απο μία ακολουθία πεπερασμένων διαστάσεων υπόχωρων V m καθώς το m. Η απόδειξη αποτελείται απο αρκετά βήματα. 1ο βήμα: Κατασκευή των υπόχωρων V m. 2ο βήμα: mɛn διαπιστώνουμε μια προσέγγιση του 4.8 3ο βήμα: δίνουμε την εκ των προτέρων εκτίμηση του u m ανεξάρτητα του m. 24

4ο βήμα: Παίρνουμε το όριο όταν το m και δείχνουμε οτι το u m συγκλίνει στο υ όπου υ η λύση του προβλήματος 4.8 με uɛw 5ο βήμα: βρίσκουμε την εκ των προτέρων εκτίμηση του u. 6ο βήμα: αποδεικνύουμε την μοναδικότητα της λύσης. Θεώρημα 5 Υπο τις προυποθέσεις (4.6) το προβλημα (4.8) έχει μοναδική λύση uɛw. Επιπλέον υπάρχει μια σταθερά c εξαρτώμενη απο α,β, και Τ τέτοια ώστε: u w + u L c( f L2 ( [,T]) + u L2 ()) (4.9) (,T;L 2 ()) Απόδειξη 1ο βήμα/ Για να κατασκευάσουμε τους υπόχωρους V m ϑα χρησιμοποιήσουμε την πρόταση 16 του 6ου κεφαλαίου. Εστω w l μια ορθοκανόνικη βάση στον L 2 () που δίνεται απο το (iii) της πρότασης 16 του 6ου κεφαλαίου και της σημείωσης 3 του 6ου κεφαλαίου για την επιλογή B = I του προβλήματος 1. Αυτό σημαίνει ότι ο τελεστής Β είναι ο. Επιπλέον απο τον ορισμό του συνόλου (W l ) έχουμε οτι είναι ορθογώνιο στο H () 1 Συμβολίζουμε με V m τον m διάστασης υπόχωρο του H () 1 που παράγεται απο τα ω 1,, ω m. Θα εισάγουμε επίσης τον τελεστή προβολής P m απο τον L 2 στον V m που ορίζεται ως: P m υ = m (υ, w i ) L2 ()w i υɛl 2 () (4.1) i=1 Απο τα κλασσικα αποτελέσματα σχετικά με τους χώρους Hilbert ισχύει ότι: στον L 2 () υɛl 2 () και επιπλέον P m υ υ P m υ υ P m 1, δηλαδη P m L2 (),(L 2 ()) 1. Επιπλέον ο περιορισμός του P m στο H 1 () δηλαδή P m υ υ (4.11) P m υ = m (υ, w i ), i=1 υɛh 1 () είναι στον L(H (), 1 H 1 ()) και ικανοποιεί την σχέση Πράγματι: P m L(H 1 (),H 1 ()) 1 (4.12) m P m υ 2 = (υ, w H 1 () i ) L2 ()w i 2 = H 1 () i=1 25

= m ( m (υ, w i ) 2 L 2 () w i 2 (υ, w H 1 () i ) 2 L 2 () w i 2 L 2 () = (υ, w i ) 2 L 2 () w ) 1 i 2 2 x i i=1 i=1 i=1 ( m = υ ) 1 2 2 = υ 2 L x 2 () =Θ.2 = υ 2 H 1 i () i=1 i=1 Επιπλέον όπως πριν P m υ υ ισχυρά στο H 1 () υɛh1 () (4.13) Παρατηρούμε τώρα οτι το P m μπορεί να επεκταθεί στο H () ϑέτοντας P m υ = m υ, w i > (H (),H 1 ()) w i, υɛh (). Ας δείξουμε οτι εξακολουθεί να ισχύει οτι i=1 < P m L(H (),H ()) 1 (4.14) Πράγματι zɛh 1 () απο την σημείωση 4 του 6ου κεφαλαίου έχουμε: = < < P m υ, z > H (),H 1 () = m < υ, w i > H (),H 1 () w i, z > H ()H 1 () = i=1 = m < υ, w i > H (),H 1 () i=1 = < υ, w i zdx m (z, w i ) L2 ()w i > H (),H 1 () = i=1 = < υ, P m z > H (),H 1 () υ H () P m z H 1 () = υ H () z H 1 () 2ο βήμα/ Απο την παραδοχή (4.6) έχω οτι u ɛl 2 (), εάν ϑέσουμε u m = P m u και απο την (1) έχουμε u m u (4.15) ισχυρά στον L 2 (). Για κάθε mɛn, εισάγουμε το πεπερασμένης διάστασης προσεγγιστικό πρόβλημα Ευρεση u m = m g m j (t)w j V m τέτοιων ώστε j=1 u m(x, t)w k dx + B u m(x, t)w k dx = f (x, t)w kdx, D (, T) k = 1,, m. (4.16) u m (x, ) = u m(x) στο. 26

Απο την (4.1) η αρχική συνθήκη αυτού του προβλήματος γίνεται: u m (x, ) = m g m j ()w j = u m = j=1 m (u, w j ) L2 ()w j j=1 το οποίο συνεπάγεται οτι g m j () = (u, w j ) L2 () όπου w 1,, w n είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Συνεπώς το πρόβλημα (4.16) είναι ένα σύστημα m γραμμκών συνήθων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης με αγνώστους g m,, 1 gm m το οποίο είναι: dg m k + m g m dt j (t) B w j w k dx = f (x, t)w kdx j=1 g m k () = (u, w k ) για κάθε k = 1,, m. Το παραπάνω πρόβλημα αποτελεί μια προσέγγιση του (4.8). 3ο βήμα/ Εδω ϑα αποδείξουμε οτι το u m ικανοποιεί μερικές εκ των προτέρων εκτιμήσεις. Για να γίνει αυτό ας πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση (4.16) με g m k και να αθροίσουμε για k = 1,, m. Εχουμε: u m(x, t)u m (x, t)dx + B u m (x, t) u m (x, t)dx = f (x, t)u m (x, t)dx Υπενθυμίζοντας την υπόθεση ελλειπτικότητας του πίνακα Β και εφαρμόζοντας την ανισοτητα Cauchy S chwarz και την ανισότητα Poincare στην δεξιά πλευρά έχουμε: f (x, t)u m(x, t)dx f L2 () u m L2 () οπότε 1 d 2 dt u m 2 L + a u 2 m 2 f H 1 () L () u 2 m L2 () f L 2C u m L2 () ( C f L 2 a = f L2 ()C u m H 1 () = ) ( a u m H 1 () ) C2 2a f 2 L 2 + a 2 u m 2 H 1 () όπου C είναι η σταθερά Poincare η οποία είναι προφανώς ανεξάρτητη του m. Ολοκληρώνοντας στο [,Τ] με tɛ [,Τ] έχουμε: u m (t) 2 L 2 () + a t u m (τ) 2 H 1 ()dτ C2 a τ f (τ) 2 L 2 () + u m 2 L 2 (). Το παραπάνω σημαίνει μαζί με την (4.15) οτι: u m ɛl (, T; L 2 ()) L 2 (, T; H 1 ()) με u m L (,T;L 2 () + u m L2 (,T;H 1 () C ( u m L2 () + f L 2) C 1 (4.17) όπου C, C 1 ανεξάρτητες του m. Τώρα ϑα δώσουμε μια εκ των προτέρων εκτίμηση του u m.,παρατηρούμε πρώτα οτι η εξίσωση (4.16) συνεπάγεται οτι: Προκειμένου να γίνει αυτό 27

(u m(t), υ) L2 () = ( div(b )u m (t) + f, υ) L2 () υɛv m. Αυτο σημαίνει οτι u m(t) = [P m ( div(b )u m + f )](t) όπου F = div(b ) και όπου u m(t) = [P m (F(u m ) + f ](t) (4.18) P m υ = m (υ, w i ) L2 ()w i. i=1 Δεδομένου οτι το Β επαληθεύει την (4.6)(i) δηλαδή BɛM(a, β, ),εύκολα φαίνεται οτι FɛL(H 1 (); H ()). Επομένως για κάθε u m ɛv m έχουμε: F(u m )(t) H () β u m (t) H 1 () ς εκ τουτου F(u m )ɛl 2 (, T; H ()) και απο την (4.17) έχουμε: F(u m ) L2 (,T;H ()) β u m (t) L2 (,T;H 1 ()) C 2 ( u m L2 () + f L2 ( (,T))) όπου C 2 σταθερά ανεξάρτητη του m. Επειτα χρησιμοποιώντας την (4.14) συμπεραίνουμε απο την (4.18) την ακόλουθη εκ των προτέρων εκτίμηση : u m L2 (,T;H ()) = P m (F(u m ) + f )(t) L2 (,T;H ()) P m L 2( F(u m ) L 2 + f L 2) C 2 ( u m L 2 + f L 2 + f L 2) C 3 ( u m L2 () + f L2 ( (,T))) C 4 όπου C 3, C 4 ανεξάρτητες του m. 4ο βήμα/ Χρησιμοποιώντας την εκ των προτέρων εκτίμηση στο 3ο βήμα, παίρνουμε το όριο στην (4.16) όταν το m. Χάρη στις εκτιμήσεις (4.17) και την παραπάνω ανίσωση, μπορούμε να εξάγουμε μια υπακολουθία τέτοια ώστε u m u ασθενώς στο L (, T; L 2 ()) u m u ασθενώς στο L 2 (, T; H 1 ()) (4.19) u m u ασθενώς στο L 2 (, T; H ()). Οντως,η πρώτη σύγκλιση προκύπτει απο το ϑεώρημα 4 του 6ου κεφαλαίου και απο την προταση 14 του 6ου κεφαλαίου έχουμε [L 1 (, T; L 2 ())] = L (, T; L 2 ()) και απο την πρόταση 13 του 6ου κεφαλαίου ξέρουμε οτι ο χώρος L 1 (, T; L 2 ()) είναι διαχωρίσιμος. 28

Οι άλλες συγκλίσεις προκύπτουν απο την προταση 13 του 6ου κεφαλαίου και απο το ϑεώρημα 2 του 6ου κεφαλαίου υπενθυμίζοντας οτι οι χώροι H 1() και H () είναι αυτοπαθείς. Εστω ψ δοθέν στο D(, T) και υɛh 1 (). Θα πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση (4.16) με (υ, w k ) L2 ()ψ και αθροίζουμε για k = 1,, m. u m(x, t)ψ(t)(υ, w k )w k dx + B u m (x, t)w k (υ, w k )ψ(t)dx = B f (x, t)w k (υ, w k )ψ(t)dx Αθροίζουμε και έχουμε : u m(x, t)ψ(t) m (υ, w k )w k dx+ B(x) u m (x, t)ψ(t) k=1 B m (υ, w k )w k dx = k=1 f (x, t)ψ(t) m (υ, w k )w k dx. k=1 Ομως P m υ = m k=1(υ, w k )w k οπότε ολοκληρώνοντας παίρνουμε: T T u m(x, t)ψ(t)p m υdxdt + B(x) u m (x, t)ψ(t)p m υdxdt = Τώρα παίρνουμε το m. B T f (x, t)ψ(t)p m υ(x)dxdt (4.2) T T T lim u m(x, t)ψ(t)p m υdxdt+ lim B(x) u m (x, t)ψ(t)p m υdxdt = lim f (x, t)ψ(t)p m υ(x)dxdt m m B m T T Ομως u m u ασθενώς στον L 2 και P m υ υ ασθενώς στον L 2 οπότε έχουμε: u (x, t)ψ(t)υdxdt + T B B(x) u(x, t)ψ(t) υ(x)dxdt = T T < u (x, t), ψ(t)υ > H (),H 1 () dt+ B(x) u(x, t)ψ(t) υ(x)dxdt = f (x, t)ψ(t)υ(x)dxdt T f (x, t)ψ(t)υ(x)dxdt (4.21) το παραπάνω αποτελεί ακριβώς την μεταβολική διατύπωση του προβλήματος (4.8) δεδομένου οτι ψ και υ είναι αυθαίρετα αντίστοιχα στο D(, T) καιh 1 (). Μένει να δείξουμε οτι το u ικανοποιεί την αρχική συνθήκη u(x, ) = u (x). Για να γίνει αυτό παρατηρούμε οτι απο το u m ɛw η εξίσωση (4.2) εξακολουθεί να ισχύει εάν yɛc ([, T]). Επιλέγουμε ένα ψ τέτοιο ώστε y() = 1 και y(t) =. Επειτα,ολοκληρώνοντας κατά μέλη στην (4.2) έχουμε: T [u m (x, t)ψ(t)(p m υ)(x)] T dx T f (x, t)ψ(t)(p m υ)(x)dx T u m (x, t)ψ (t)(p m υ)(x)dxdt+ B(x) u m (x, t)ψ(t) (P m υ)(x)dxdt = u m (x, τ)ψ(τ)(p m υ)(x)dx u m (x, )ψ()p m υ(x)dx 29

T T T u m (x, t)ψ (t)(p m υ)dxdt+ B(x) u m (x, t)ψ(t) (P m υ)(x)dxdt = f (x, t)ψ(t)(p m υ)(x)dx T T u m (x, t)ψ (t)(p m υ)(x)dxdt + B(x) u m (x, t)ψ(t) (P m υ)(x)dxdt = (αφου u m (x, ) = u m(x)) T f (x, t)ψ(t)(p m υ)(x)dxdt + u m(p m υ)(x)dx. Περνάμε τώρα στο όριο με το ίδιο επιχείρημα όπως παραπάνω χρησιμοποιώντας την ι- σχυρή σύγκλιση: u m u στον L 2 (ισχυρά) ( T T lim u m (x, t)ψ (t)(p m υ)(x)dxdt + m T = lim m ) B(x) u m (x, t)ψ(t) (P m υ)dxdt f (x, t)ψ(t)(p m υ)(x)dxdt + lim u m m(p m υ)(x)dx Ομως P m υ υ ισχυρά στονh 1 () οπότε: T T u(x, t)ψ (t)υ(x)dxdt + B(x) u(x, t)ψ(t) υdxdt = T = f (x, t)ψ (t)υ(x)dxdt + u υ(x)dx Σημειώνουμε για το 1ο μέλος σε αυτήν την ταυτότητα, απο το ϑεώρημα1(iii) έχουμε: u(x, t)ψ (t)υ(x)dx =< u(t), ψ (t)υ > H (),H 1 () = < u (t), ψ(t)υ > H (),H 1 () + d dt Αφού uɛc([, T]; L 2 ()) έχουμε: < u (t), ψ(t)υ > H ()H 1 () dx + = T u(x, )υdx + T f (x, t)ψ(t)υ(x)dxdt + B(x) u(x, t)ψ(t) υ(x)dxdt = u (x)υ(x)dx u(x, t)ψ(t)u(x)dx Παρατηρώντας την (4.21) η οποία εξακολουθεί να ισχύει για ψɛc ([, T]) συμπεραίνουμε οτι: T + T B(x) u(x, t)ψ(t) υ(x)dxdt+ T B(x) u(x, t)ψ(t) υ(x)dxdt = f (x, t)ψ(t)υ(x)dxdt+ T 3 u(x, )υ(x)dx+ f (x, t)ψ(t)υ(x)dxtd + ω u (x)υ(x)dx u(x, )υ(x)dx

Οπότε u (x)υ(x)dx = u(x, )υ(x)dx όπου απο το ϑεώρημα 6 του 6ου κεφαλαίου συμπεραίνουμε την ζητούμενη ισότητα u (x) = u(x, ). 5ο βήμα/ Τώρα ϑα αποδείξουμε την εκτίμηση (4.9).Αυτό ϑα πραγματοποιηθεί για τη λύση u που λαμβάνεται στα προηγούμενα βήματα. Η εκτίμηση (4.9) για την λύση που δίνεται απο την (4.19) είναι μια απλή συνέπεια των εκτιμήσεων (4.17) και την εκτίμηση του τρίτου βήματος. Χρησιμοποιώντας ξανά τις συγκλίσεις (4.15) και (4.19) και την κάτω ημισυνέχεια της νόρμας απο τις προτάσεις (2.ii) του 6ου κεφαλαιου και (5.ii) έχουμε απο την (4.17): u L (,T;L 2 ()) + u L2 (,T;H 1 ()) lim inf m u m L (,T;L 2 ()) + lim inf m u m L2 (,T;H 1 ()) lim inf m ( u m L (,T;L 2 ())) + u m L2 (,T;H 1 ()) C lim m ( u m L2 () + f L2 ( [,T])) Ομοίως απο την εκτίμηση του τρίτου βήματος έχουμε: u L2 (,T;H ()) C 3 ( u L2 ()+ f L2 ( (,T))) Αυτές οι εκτιμήσεις συνεπάγονται την απαιτούμενη σχέση u w + u L (,T;L 2 ()) C ( ) f L2 ( [,T]) + u L2 () 6ο βήμα/ Εστω u 1 και u 2 να είναι οι 2 λύσεις που αντιστοιχούν στο ίδιο πρόβλημα. Τότε η διαφορα τους ικανοποιεί την (7) με f u =, < u 1 u, υ > 2 H (),H 1 () + B(x) (u 1 u 2 )(x, t) υ(x)dx = στο D (, T) (u 1 u 2 )(x, ) = στο. Θέτουμε υ = u 1 u 2 και χρησιμοποιούμε το ϑεώρημα 1. Απο την ελλειπτικότητα του πίνακα Β και την ανισότητα Cauchy S chwarz(πρόταση 8) έχουμε: 1 d u 2 dt 1 u 2 2 + α u L 2 () 1 u 2 2. H 1 () Ολοκληρώνοντας στο[, T] με tɛ[, T] είναι: (u 1 u 2 )(t) 2 + α T u L 2 1 u 2 2 H 1 ()dτ. Οποτε αναγκαστικά u 1 u 2 = u 1 = u 2. Αρα έχω μοναδικότητα της λύσης. Σημείωση: Ας αναφέρουμε οτι μπορεί να λάβει κανείς f ɛl 2 (, T; H ()) στο πρόβλημα (4.5). Το ϑεώρημα 1 μπορεί να προσαρμοστεί σε αυτήν την περόπτωση. Για λόγους απλότητας, έχουμε περιοριστεί σε αυτήν την περίπτωση. 4.1 Το αποτέλεσμα της ομογενοποιήσης Ας γυρίσουμε πίσω στο πρόβλημα (4.1) με f ε ɛl 2 () [, T]) και u εɛl 2 (). Η μεταβολική διατύπωση είναι: 31

Ευρεση u ε ɛw τέτοιου ώστε : < u ε(t), υ > (H (),H 1 ()) + Aε (x) u ε (x, t) υ(x)dx = f ε(x, t)υ(x)dx στο D (, T) υɛh 1 () u ε (x, ) = u ε(x) στο (4.22) Η ύπαρξη και η μοναδικότητα του u ε δίνεται απο το ϑεώρημα 1. Θα μελετήσουμε τώρα τι συμβαίνει όταν το ε. Σημαντικό είναι οτι οι ταλαντώσεις στην (4.22) οφείλονται μόνο στη μεταβλητη x. Οπως βλέπουμε παρακάτω, στην διαδικασία της ομογενοποιήσης, η μεταβλητη t παίζει το ρόλο της παραμέτρου και κατα συνέπεια, ο ομογενοποιήμενος πίνακας είναι οτι και στην ελλειπτική περίπτωση. Στην πραγματικότητα έχουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα: Θεώρημα 6 Εστω f ε ɛl 2 ( [, T]),u εɛl 2 () και έστω u ε η λύση του (1) με A ε να ορίζεται απο τις (4.2)-(4.4). Υποθέτουμε ότι i)u ε u ασθενώς στο L 2 () (4.23) ii) f ε f ασθενώς στο L 2 ( [, T]) Τότε η u ε ικανοποιεί: (i)u ε u ασθενώς στο W (ii)a ε u ε A u ασθενώς στο L 2 ( [, T]) όπου u είναι η λύση του παρακάτω οριακού προβλήματος : u div(a u) = f στο [, T] u = στο [, T] u(x, ) = u (x) στο (4.24) (4.25) Όπου,A είναι ο ομογενοποιημένος πίνακας που δίνεται απο το ϑεώρημα 1 και απο την σχέση A λ = M Y (A ωˆ λ ) Απόδειξη: Για την απόδειξη ϑα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο του T artar για ταλαντευόμενες συναρτήσεις δοκιμής. Θα χρησιμοποιήσουμε τα βήματα της απόδειξης της παραγραφου του τρίτου κεφαλαιου για την ελλειπτική περίπτωση. Παρατηρούμε πρώτα οτι απο τον A ε ɛm(α, β, ) χρησιμοποιώντας την υπόθεση (4.24),την πρόταση 1 και την 4.9 η οποία είναι: u ε w + u ε L (,T;L 2 ()) C ( f ε L2 ( [,T]) + u ε L 2 ()) C1 (4.26) όπου C και C 1 σταθερές ανεξάρτητες του ε. Επιπλέον αν εισάγουμε το διάνυσμα ξ ε που ορίζεται απο ξ ε (x, t) = (ξ ε 1 (x, t), ξε 2 (x, t),, ξε N (x, t)) = A ε(t) u ε (x, t) (4.27) 32

απο την (4.26) και απο την υπόθεση του A ε έχουμε : ξ ε L2 ( [,T]) N βc 1. Κατά συνέπεια υπάρχει μια υπακολουθία που εξακολουθούμε να συμβολίζουμε με ε τέτοια ώστε: i)u ε u ασθενως στο L (, T; L 2 ()) ii)u ε u ασθενώς στο L 2 (, T; H 1()) iii)u ε u ισχυρά στο L 2 ( [, T]) iv)u ε u ασθενώς στο L 2 (, T; H ()) v)ξ ε ξ ασθενώς στο L 2 ( [, T]) N (4.28) όπου έχουμε χρησιμοποιήσει τη συμπαγή εμφύτευση:w L 2 (, T; L 2 ()) = L 2 ( [, T]). Επειτα η σύγκλιση (4.24)(i) ισχύει και για την υπακολουθία. Απο τον ορισμό (4.27) και το πρόβλημα (4.22) είναι εύκολο να δούμε οτι το ξ ε ικανοποιεί: < u ε(t), υ > H (),H 1 () + ξε (x, t) υ(x)dx = f ε(x, t)υ(x)dx. Ολοκληρώνω στο [,Τ] και έχω: T < u ε(t), υ > ϕ(t)dt + T ξε (x, t) υ(x)ϕ(t)dxdt = T f ε(x, t)υ(x)ϕ(t)dxdt T T ξ ε (x, t) υ(x)ϕ(t)dxdt = f ε (x, t) υ(x)ϕ(t)dxdt < u ε, υ ϕ > L2 (a,b,h ()),L 2 (a,b,h 1 ()) (4.29) Οπου μπορούμε να περάσουμε στο όριο λόγω των συγκλίσεων που δίνονται απο την (4.28). Συμπεραίνουμε τότε οτι το ξ ικανοποιεί: < u (t), υ > H (),H 1 () + ξ (x, t) υ(x)dx = f (x, t)υ(x)dx στο D (, T) υɛh 1 () (4.3) Σε αυτό το σημείο, όπως στην ελλειπτική περίπτωση,έχουμε μόνο να αποδείξουμε οτι: ξ = A u. (4.31) Θα κάνουμε χρήση οπως πριν των ταλαντευόμενων συναρτήσεων δοκιμης ω ε λ απο την: ω ε λ (x) = εω ( x λ( ε) = λx x εxλ ε) όπου ωλ ορίζεται ως: Ευρεση ω λ ɛw per (Y) τέτοιο ώστε α Y (ω i, υ) = t Ae Y i υdy υɛw per (Y) Ας ϑυμηθούμε τις ακόλουθες συγκλίσεις: i)ω ε λ λx ασθενώς στο H1() ii)ω ε λ λx ισχυρα στον L2 (). που ορίζονται (4.32) (4.33) 33

Εισάγουμε επίσης την διανυσματική συνάρτηση: η ε λ =t A ε ω ε λ η οποία ικανοποιεί την σύγκλιση: η ε λ M Υ( t A ε ω λ ) = t A λ ασθενώς στον (L 2 ()) N. (4.34) και την εξίσωση: ηε λ υdx =, υɛh1 (). Παίρνω ψɛd() και ϕɛd(, T). Επιλέγοντας υ = ψu ε ϕ και ολοκληρώνοντας στο [,Τ] έχουμε: T η ε λ u ε(x, t)ψ(x)ϕ(t)dxdt + T Επιλέγουμε τώρα υ = ψω ε λ στην (4.29) και είναι: T ξε (x, t) ψ(x)ω ε λ ϕ(t)dxdt = T η ε λ ψ(x)u ε(x, t)ϕ(t)dxdt = (4.35) f ε(x, t)ψ(x)ω ε λ (x)ϕ(t)dxdt < u ε, ψ(x)ω ε λ (x)ϕ > L 2 (α,b;h ()),L 2 (α,b;h 1 ()) Αφαιρώντας απο την παραπάνω σχέση συμπεραίνουμε οτι : T ξε (x, t) ψ(x)ω ε λ ϕ(t)dxdt T ηε λ ψ(x)u ε(x, t)ϕ(t)dxdt = = T f ε(x, t)ψ(x)ω ε λ ϕ(t)dxdt < u ε, ψ(x)ω ε λ (x)ϕ > L 2 (α,b;h ()),L 2 (α,b;h 1 ()) T = T Παίρνουμε το όριο και απο τις συγκλίσεις (4.23),(4.28),(4.31) και (4.33) έχουμε: ξ (x, t) ψ(x)(λx)ϕ(t)dxdt T t A λ ψ(x)u(x, t)ϕ(t)dxdt = f (x, t)υ(x)(λx)ϕ(t)dxdt < u, ψ(x)(λx)ϕ > L2 (α,b;h ()),L 2 (α,b;h 1 ()) Απο την εξίσωση (4.3) με τους ίδιους υπολογισμούς ϑα συμπεράνουμε την (4.31). Για να τελειώσει η απόδειξη,πρέπει να αποδείξουμε οτι το u ικανοποιεί την αρχική συν- ϑήκη (4.25) δηλαδή u(x, ) = u (x). Για να γίνει αυτό επιλέγουμε ϕɛc ([, T]) τέτοια ώστε ϕ() = 1 και ϕ(t) = και υɛd() τη (4.29). Επειτα απο το ϑεώρημα 18 έχουμε: T ξε (x, t) υ(x)ϕ(x)dxdt = T f ε(x, t)υ(x)ϕ(t)dxdt + T u ευdx. < u ε (t), υ > H (),H 1 () ϕ (t)dt + Παίρνουμε το ε και απο τις συγκλίσεις (4.23) και (4.28) έχουμε: T ξ (x, t) υ(x)ϕ(t)dxdt = T f (x, t)υ(x)ϕ(t)dxdt + T < u(t), υ > H (),H 1 () ϕ (t)dt + u (x)υdx. Απο την (4.3) έχουμε: ξ (x, t) υ(x)ϕ(t)(dxdt) = T f (x, t)υ(x)ϕ(t)dxdt T T και αντικαθιστώντας στην πιο πάνω σχέση παίρνουμε: < u (t), υ > ϕ(t)dt T f (x, t)υ(x)ϕ(t)dxdt T < u (t), υ > ϕ(t)dt = T f (x, t)υ(x)ϕ(t)dxdt + T < u(t), υ > 34

ϕ (t)dt + u (x)υdx. T Οπότε < u (t), ϕ(t)υ > H (),H 1 () dt = T < u(t), υ > H (),H 1 () ϕ (t)dt + u (x)υdx, ό- μως απο το ϑεώρημα 1(iii): < u (t), ϕ(t)υ > H (),H 1 () + < u(t), ϕ (t)υ >= d u(x, t)ϕ(t)υ(x)dx. dt Ετσι αντικαθιστώντας στην πιο πάνω σχέση έχουμε: [u(x, t]ϕ(t)υ(x)]t = u (x)υ(x)dx [u(x, T)ϕ(T)υ(x)dx u(x, )ϕ()υ(x)]dx = u (x)υ(x)dx u(x, )υ(x)dx = u (x)υ(x)dx. ΑΡΑ u(x, ) = u (x). Για να ολοκληρώσουμε την απόδειξη παρατηρούμε οτι ο πίνακας A είναι ελλείπτικος. Το ϑεώρημα 5 υποδηλώνει την μοναδικότητα της λύσης του προβλήματος. Συμπερασματικά όλες οι ακολουθίες της σχέσης (4.28) συγκλίνουν. 4.2 Σύγκλιση της ενέργειας Εστω u ε η λύση του προβλήματος (1),του οποίου η μεταβολική διατύπωση είναι η (4.22): Ευρεση u ε ɛw τέτοιου ώστε: < u ε(t), υ > H (),H 1 + Aε (x)u ε (x, t) υ(x)dx = f ε(x, t)υ(x)dx u ε (x, ) = u ε(x) στο. στο D (, T) υɛh 1() (4.36) Εστω u η λύση του ομογενοποιημένου προβλήματος (4.25) του οποίου η μεταβολική διατύπωση είναι: Ευρεση u ε ɛw τέτοιου ώστε: < u (t), υ > H (),H 1 + A (x)u(x, t) υ(x)dx = f (x, t)υ(x)dx u(x, ) = u (x) στο. στο D (, T) υɛh 1() (4.37) Εισάγουμε τώρα τις ενέργειες που σχετίζονται με αυτά τα προβλήματα: i)e ε (u ε )(t) = 1 u 2 ε(t) 2 + t L 2 Aε (x) u ε (x, τ) u ε (x, τ)dxdτ ii)e(u)(t) = 1 2 u(t) 2 + t A(x) u(x, τ) u(x, τ)dxdτ L 2 Επιλέγοντας υ = u ε στην (4.22) και υ = u στην (4.37) έχουμε: < u ε(t), u ε (t) > + Aε (x) u ε (x, t) u ε (x, t)dx = f ε(x, t)u ε (x, t)dx και 35

d dt d dt και < u (t), u(t) > + A (x) u(x, t) u(x, t)dx = f (x, t)u(x)dx Ομως απο το ϑεώρημα 1(iii) έχουμε: u(x, t)u(x, t)dx =< u (t), u(t) > H ()H 1 () + < u (t), u(t) > H (),H 1 () και u ε(x, t)u ε (x, t)dx =< u ε(t), u ε (t) > H ()H 1 () + < u ε(t), u ε (t) > H (),H 1 () οπότε: d dt u2 ε(x, t) = 2 < u ε(t), u ε (t) > H (),H 1 () d dt u2 (x, t) = 2 < u (t), u(t) > H (),H 1 (). Τελικά αφού E ε (u ε ) = Aε u ε u ε dx είναι: i)eε (u ε )(t) = 1 2 uε 2 + t f L2 () ε(x, τ)u ε (x, τ)dxdτ ii)e(u)(t) = 1 2 u 2 + t f (x, τ)u L 2 () ε(x, τ)dxdτ (4.38) Πρόταση 6 Εστω f ε ɛl 2 ( [, T]),u εɛl 2 () και έστω u ε η λύση του (1) με A ε να ορίζεται απο τις (4.2)-(4.4). Υποθέτουμε οτι: i)u ε u, ισχυρά στον L 2 () (4.39) ii) f ε f, ασθενώς στον L 2 ( [, T]) ΤΟΤΕ E ε (u ε ) E(u) στο C[, T] Απόδειξη: Πρώτα ϑα αποδείξουμε οτι το E ε (u ε ) ανήκει στο συμπαγές σύνολο C([, T]). Απο το ϑεώρημα Ascoli Arzela είναι απαραίτητο ν αποδείξουμε τις 2 παρακάτω προυποθέσεις: i) E ε (u ε )(t) C tɛ[, T] ii) E ε (u ε )(t + h) E ε (4.4) (u ε )(t) θ(h) ομοιόμορφα σε σχέση με το ε tɛ[, T h], h > όπου το θ τείνει στο καθώς το η πάει στο. Εφαρμόζοντας την ανισότητα του Holder στην (4.38) και χρησιμοποιώντας την εκτίμηση (4.26) και τις παραδοχές (4.4) και (4.39) συμπεραίνουμε την (i). Για τον 2ο ισχυρισμό παρατηρούμε οτι η (4.38)(i) με την ανισότητα του Holder την εκτίμηση (4.38) και την παραδοχή (4.39)(ii) έχουμε: E ε (u ε )(t+h) E ε (u ε )(t) = 1 2 u ε 2 + t+h L f ε(x, τ)u 2 ε (x, τ)dxdτ 1 2 u ε 2 t L fε (x, τ)u 2 ε (x, τ)dxdτ = 36

t+h f ε(x, τ)u ε (x, τ)dxdτ t f ε(x, τ)u ε (x, τ)dxdτ = = ( t+h f ε(x, τ)u ε (x, τ)u ε (x, τ)dxdτ + t = t f ε(x, τ)u ε (x, τ)dxdτ = t+h t+h t f ε(x, τ)dxdτ f t+h t ε(x, τ)u ε (x, τ)dxdτ f ε(x, τ)u ε (x, τ)dxdτ t+h f ε (x, τ) L2 ( [,T]) u ε L (,T;L ()dτ = 2 = h 1 2 uε L (,T;L 2 ()) f ε L2 ( [,T]) C 1 h 1 2 t Οπότε υπάρχει μια υπακολουθία και κάποιο ζɛc([, T]) τέτοιο ώστε E ε (u ε ) ζ στο C([, T]). (4.41) Τώρα ϑα δείξουμε οτι ζ = E(u). Απο τις παραδοχες (4.39) της πρότασης (6) και τις συγκλίσεις (4.28)(iii) μπορούμε να περάσουμε το όριο στην (4.27)(i) οπότε έχουμε: lime ε (u ε )(t) = E(u)(t), tɛ[, T]. Αυτό αποδεικνύει την σχέση (4.41) και με αυτό τελειώνει ε η απόδειξη. 4.3 Διορθωτές Θα αποδείξουμε εδώ ενα διορθωτή του αποτελέσματος. Οπως στην ελλειπτική περίπτωση,η σύγκλιση της ενέργειας κατέχει σημαντικό ρόλο. Ο πίνακας διορθωτής είναι ίδιος όπως και στην ελλειπτική περίπτωση, συμβολίζεται C ε = (c ε i j ) 1, j N που ορίζεται απο: C ε i j (x) = c i j( x) ε στο c i j (ψ) = δ i j ˆχ j ψ i (ψ) = ˆω j ψ i (ψ) στον Y, όπου ˆx j και ˆω j ορίζονται απο τις σχέσεις: Ευρεση ˆx i ɛw per (Y) τέτοιο ώστε α Y ( ˆx i, υ) = Y Ae i υdy υɛw per (Y). και Ευρεση ˆω i τέτοιο ώστε ˆω i y i ɛw per (Y) και α Y ( ω i ˆ, υ = υɛw per (Y). (4.42) (4.43) Θεώρημα 7 Εστω u ε η λύση του προβλήματος (1) και έστω u και A τα οποία δίνονται απο το ϑεώρημα 4. Υπο τις υποθέσεις (4.39) είναι: i)u ε u ισχυρά στο C([, T]; L 2 ()) ii) u ε C ε u ισχυρά στο (L 2 (, T; L 1 ()) N (4.44) 37