5 Ταλαντώσεις Ταλάντωση ορισμός Σύστημα μάζας ελατηρίου Αλό εκκρεμές Φυσικό εκκρεμές Βηματισμός Μαρία Κατσικίνη aii@auh.gr uer.auh.gr/aii Ταλαντώσεις - κυμάνσεις Ταλάντωση είναι μια εριοδική κίνηση, δηλαδή εαναλαμβάνεται σε κανονικά χρονικά διαστήματα, γύρω αό μια θέση. Οι ταλαντώσεις είναι ηγές κυμάτων Τα κύματα είναι εριοδικά φαινόμενα. φως ήχος Όραση Ακοή Γεύση Αφή Όσφρηση Αντίληψη του εριβάλλοντος Κύμα Διαταραχή ου μεταφέρει ενέργεια αό το ένα σημείο του μέσου σε ένα άλλο χωρίς να μεταφέρει μάζα
Ταλαντώσεις Αλή αρμονική ταλάντωση Ταλάντωση εριοδική κίνηση άνω στην ίδια τροχιά, γύρω αό κάοιο σημείο Αρμονική ταλάντωση ταλάντωση κατά την οοία η αομάκρυνση του ταλαντούμενου σώματος αό συγκεκριμένη θέση εριγράφεται αό ημιτονοειδείς συναρτήσεις του χρόνου y Ain( b) Ταλαντώσεις Αλή αρμονική ταλάντωση in co Κίνηση σημείου σε εριφέρεια κύκλου με σταθερή γωνιακή ταχύτητα Η ροβολή του σημείου στον άξονα των ημιτόνων εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση
Ταλαντώσεις Αλή αρμονική ταλάντωση Ομαλή κυκλική κίνηση Γωνιακή ταχύτητα ϑ ω ϑ ω υ d rad Γραμμική ταχύτητα r υ r ω r Μέτρο της ταχύτητας: r ω r θ υ ω r r υ Ταλαντώσεις Θ.Ι. F r 0 Σύστημα μάζας - ελατηρίου Το σώμα ισορροεί και το ελατήριο δεν δέχεται καμία δύναμη F ελ Το σώμα αομακρύνεται κατά και το ελατήριο ειμηκύνεται Το σώμα κινείται ρος την αντίθετη κατεύθυνση υό την είδραση της δύναμης εαναφοράς του ελατηρίου F- F ελ Το σώμα σταματά στιγμιαία αφού έχει μετακινηθεί κατά ρος την αντίθετη κατεύθυνση και κινείται ρος τη θέση ισορροίας. 4
Ταλαντώσεις Σύστημα μάζας - ελατηρίου Το σώμα εκτελεί αλή αρμονική κίνηση F Κίνηση ου γίνεται υό την είδραση δύναμης (εαναφοράς) ου είναι ανάλογη της μετατόισης F a Β νόμος Newon Κίνηση στον άξονα a d d + 0 Ταλαντώσεις Σύστημα μάζας - ελατηρίου d + 0 Δοκιμάζω λύσεις της μορφής: Aco( ω +ϕ) d d ( ω ϕ) Aω in + Aω co( ω + ϕ) d + 0 Aω co ω ω ( ω + ϕ) + A co( ω + ϕ) 0
Ταλαντώσεις Σύστημα μάζας - ελατηρίου Aco ω+φ : φάση ( ω +ϕ) Α : λάτος ταλάντωσης (μέγιστητιμήτουco(ω+φ) μέγιστη τιμή A) φ : αρχική φάση (φάση για 0) ω θω+φ φ 0 Α Ταλαντώσεις Σύστημα μάζας - ελατηρίου Aco ( ω) ω 4 Aco ω + 4 ω
Ταλαντώσεις Σύστημα μάζας - ελατηρίου : ερίοδος της ταλάντωσης (χρονικό διάστημα εανάληψης της μορφής της συνάρτησης) ω ( + ) Aco ( ω +ϕ) + ϕ ω + ϕ + ω ω Η μορφή της συνάρτησης εαναλαμβάνεται κάθε φορά ου στη φάση ροστίθεται. f ω Συχνότητα (Hz): αριθμός ταλαντώσεων στη μονάδα του χρόνου Ταλαντώσεις Σύστημα μάζας - ελατηρίου Θ.Ι. Θ.Ι. Θ.Ι. Aco ( ω +ϕ) A υ d υ Aω in + ( ω ϕ) Aω α d a Aω co + ( ω ϕ) Aω
Ταλαντώσεις Κυκλική συχνότητα: Περίοδος: Συχνότητα: Εξίσωση κίνησης Για σύστημα ελατήριο - μάζα ω f κίνησης: Aco( ω +ϕ) Μέγιστη ταχύτητα: υa Aω Μέγιστη ειτάχυνση: a a Aω a ω έχει ααλειφθεί ο χρόνος Ταλαντώσεις Ενέργεια Κινητική ενέργεια: ενέργεια λόγω κίνησης K υ Σύστημα μάζας - ελατηρίου Δυναμική ενέργεια: ενέργεια λόγω αραμόρφωσης του ελατηρίου Ολική ενέργεια E K + U A E A in A ω in U ελ αραμόρφωση του ελατηρίου ( ω + ϕ) + A co ( ω + ϕ) ( ω + ϕ) + A co ( ω + ϕ)
Μέγιστη κινητική ενέργεια K Ταλαντώσεις a A υ a K a A ω A Σε θέσεις μέγιστης ταχύτητας Θ.Ι. (0) Σύστημα μάζας - ελατηρίου Θ.Ι. E U Κ Μέγιστηδυναμικήενέργεια U a a Ua A Σε θέσεις μέγιστης αραμόρφωσης a - a U a Ταλαντώσεις Σύστημα μάζας - ελατηρίου E K + U A υ A υ + υ ± υ ± ω ( A ) ( A )
Ταλαντώσεις Ενέργεια E K + U A Σύστημα μάζας - ελατηρίου ( ) υ Aω in ω K υ A ω K K a in in ω ω A U ίσες Aco A co U U a co ( ω) ω ω Τ/ Τ Άσκηση Ένα ελατήριο με σταθερά 00Ν/ είναι στερεωμένο σε σώμα μάζας 0.50g. Δίνουμε στο σώμα αρχική μετατόιση 0.050 και αρχική ταχύτητα.0/. α) Να βρείτε το λάτος της ταλάντωσης, την ολική ενέργεια και την αρχική φάση του συστήματος. β) Να γράψετε τις εξισώσεις ου δίνουν τη θέση, την ταχύτητα και την ειτάχυνση ως συναρτήσεις του χρόνου. ( A ) ± A υ ± ω Για αρχική μετατόιση 0 το σώμα έχει ταχύτητα υυ 0 υ ± ω 0 A Θ.Ι. 0.05 ( A ) υ ω 0 v + 0 υ0 ω ω 0 A + 0.05 00 0 rad 0.5 ec 0 υ ω 0.58 + 0 A λάτος
Άσκηση Ολική ενέργεια της κίνησης: ( ω +ϕ) in( ω ϕ) 0 E A 000.58. 5J ενέργεια Aco 0 Acoϕ 0 υ0 υ Aω + υ0 Aω inϕ Ainϕ ω υ0 anϕ anϕ ϕ 7. 6 ω 00.05 0 Εξισώσεις κίνησης ϕ 7.6 7.6 0. 4 80 rad ( 0 0. ) 0.58co 4 ( 0 0.4).6in( 0 0. ) υ 0.580in 4 αρχική φάση a ( 0 0.4) 6. co( 0 0. ) 0.580 co 4 Άσκηση Το σώμα Ρ εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση συχνότητας f.50hz καθώς ολισθαίνει άνω σε λεία ειφάνεια. Το σώμα Β κινείται μαζί με το P. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ των δύο ειφανειών (των Ρ και Β) είναι μ 0.6. Ποιό είναι το μέγιστο δυνατό λάτος της ταλάντωσης ώστε το σώμα Β να μην ολισθαίνει άνω στο Ρ; (g9.8/ ) Θ.Ι. Β Ρ Σώμα Β: F f N ος N. Newon: W B F Ba Ff Ba μn B a Μέγιστη ειτάχυνση για να μην ολισθαίνει το σώμα Β: a μ N μbg a μg 0.69.8 5.89 B B H ειτάχυνση του συστήματος σωμάτων Ρ και Β γίνεται μέγιστη σε σημεία μέγιστης αομάκρυνσης: a a a a a 5.89 a Aω A 0.066 6. 6c ω ( f ) (.4.5)
Ταλαντώσεις Κατακόρυφο ελατήριο Το σώμα ροσδένεται στο ελατήριο και αφήνεται να ηρεμήσει W F g Δl ελ Θ.Ι. Δl W F ελ Το σώμα αομακρύνεται κατά αό τη θέση ισορροίας και το ελατήριο ειμηκύνεται Η δύναμη εαναφοράς του ελατηρίου ισούται με: ( Δ ) F l + ελ Το σώμα δέχεται συνολική δύναμη ( + ) F Δl + g Δl + g F δύναμη ανάλογη της αομάκρυνσης Αλό εκκρεμές Σώμα ου μορεί να θεωρηθεί σημειακό ροσδεδεμένο σε αβαρές νήμα. θ W inθ W W coθ y
Αλό εκκρεμές δύναμη εαναφοράς θ W inθ W W coθ y W inθ Για μικρές τιμές της γωνίας θ inθ F W... άρα δύναμη εαναφοράς F g : μήκος τόξου το οοίο για μικρές γωνίες θ μορεί να θεωρηθεί ως αομάκρυνση αό τη θέση ισορροίας (κατακόρυφος) g F F g ω g g θ in θ an θ 0.6 0.5 0.4 θ0 ο an(θ) θ[rad] in(θ) 0. 0. 0. θ[ ο ]θ[rad]*80/.4 0.0 0.0 0. 0. 0. 0.4 0.5 0.6 θ (rad)
Το φυσικό εκκρεμές Σώμα εερασμένου μεγέθους ου εριστρέφεται χωρίς τριβές γύρω αό άξονακάθετοσεένασημείοτουουδενερνάαότοκέντρομάζαςτου. Ο Ο Ροή του βάρους: M O W in θ Κ.M. θ W τείνει να εαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροίας ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ I g Ροή αδράνειας του στερεού σώματος Το φυσικό εκκρεμές (αόδειξη) Ο Ροή του βάρους: M O W in θ θ W θ Το σώμα εριστρέφεται γύρω αό το σημείο Ο υό την είδραση της ροής του βάρους του. dω d θ Αοκτά γωνιακή ειτάχυνση : α Η σχέση ου συνδέει τη ροή με τη γωνιακή ειτάχυνση είναι: M Iα όου Ι είναι η ροή αδράνειας d θ Άρα: Win θ I d W και για μικρές γωνίες: W d θ θ θ θ I I το μείον υοδηλώνει ότι το βάρος τείνει να εαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροίας. Για λύσεις της μορφής: θ θ co( ω + ϕ) dθ ωθ0 in( ω + ϕ) d θ και ω θ co( ω + ϕ) 0 οότεμεαντικατάστασηστην() ροκύτει: ω Συνεώς: I g 0, όου θ 0 είναι η μέγιστη γωνία, ροκύτει: g I ()
Ροή αδράνειας Εκφράζει: Αντιστοιχεί:... την αντίσταση ενός σώματος ου τείνει να εριστραφεί... στη μάζα ενός σώματος ου εκφράζει την αντίσταση ενός σώματος ου τείνει να κινηθεί Μαθηματικός ορισμός για ΣΗΜΕΙΑΚΟ ΣΩΜΑ: Ροή αδράνειας σημειακής μάζας ου εριστρέφεται γύρω αό ορισμένο άξονα αό τον οοίο αέχει αόσταση r I r Μαθηματικός ορισμός για ΜΗ - ΣΗΜΕΙΑΚΟ ΣΩΜΑ: I i Δ i r i Δ r Μονάδα μέτρησης g Ροή αδράνειας Η ροή αδράνειας εξαρτάται αό το σχήμα του σώματος και αό τον άξονα ως ρος τον οοίο γίνεται η εριστροφή R MR I MR I + 4 M M I M I R R I M ( R + R ) I MR 5 R
Άσκηση Μια μάλα Χριστουγεννιάτικου δέντρου ακτίνας 5c και μάζας 5gr είναι κρεμασμένη σε ένα κλαδί του δέντρου και εκτρέεται κατά μικρή γωνία αό τη θέση ισορροίας της. Να υολογιστεί η ερίοδος ταλάντωσης (g9.8/, ροή αδράνειας (7/5)ΜR R I Mg 7MR 5 MgR 7R 5g 70.05 59.8 0.5ec Ο φυσικός βηματισμός
Ο φυσικός βηματισμός Μελέτη με ισοδύναμο μαθηματικού εκκρεμούς Ρυθμός βηματισμού 0 βήματα /in βημ / ec Διασκελισμός 90 c Περίοδος λήρης κίνηση μρος ίσω του οδιού βήματα Σε μία ερίοδο γίνονται δύο βήματα Τec Α Ο φυσικός βηματισμός Μελέτη με ισοδύναμο μαθηματικού εκκρεμούς Μέση ταχύτητα διασκελισμού υ Μήκος διασκελισμού 0.9.8 0.5 Χρόνος ου αντιστοιχεί σε ένα βήμα Μέγιστη ειτάχυνση Μέγιστη ταχύτητα υ A 0.9 0.9 ω. 8 a 0.9 aa Aω 7.7 ~. 8g
Ο φυσικός βηματισμός Μελέτη ως φυσικό εκκρεμές Το όδι μορεί να θεωρηθεί ως μία ράβδος η οοία κινείται γύρω αό άξονα ου βρίσκεται στο ισχίο Μήκος οδιού: ~0.9 I gl Ροή αδράνειας I Αόσταση του κέντρου μάζας αό τον άξονα εριστροφής Θέση κ.μ. οδιού: / Περίοδος: g g.55ec Ο ρυθμός βηματισμού εξαρτάται αό το μήκος του οδιού και είναι διαφορετικός για κάθε άνθρωο Ο φυσικός βηματισμός Μελέτη ως φυσικό εκκρεμές Ταχύτητα βαδίσματος μήκος διασκελισμού συχνότητα υ d d υ Η ταχύτητα του βαδίσματος εξαρτάται αό το μήκος του οδιού και είναι διαφορετική για κάθε άνθρωο
Φθίνουσα ταλάντωση με μικρή αόσβεση ΑότουγρόασκειταιδύναμηF τ (-)βv όου vταχύτητα και β ένας συντελεστής αόσβεσης Δl F ελ Θ.Ι. 0 e β co λάτος της ταλάντωσης ( q + ϕ) Για μικρή αόσβεση (0<β<β κ ) n 0 e β β κ W F τ q q β Φθίνουσα ταλάντωση με μικρή αόσβεση κνήμη εκτελέσει ταλάντωση μορεί να εκτιμηθεί οσοτικά η τριβή στο γόνατο γωνία έναρξης φυσιολογική άρθρωση γωνία ηρεμίας ελαφρά ροσβεβλημένη άρθρωση hp://www.bioedcenral.co/conen/pdf/47-474-7-89.pdf σοβαρά ροσβεβλημένη άρθρωση
Άσκηση Ένα αλό εκκρεμές έχει ερίοδο.ec στη Γη (g9.8/ ). Πόση είναι η ερίοδος του στην ειφάνεια της Σελήνης όου g.6/. Γ g Γ Σ g Σ Γ Σ gγ gσ.6 0.406 Σ gγ 9.8 g Σ.0 0.406.95ec Άσκηση Να βρεθεί το μήκος ενός αλού εκκρεμούς ου ολοκληρώνει 00 λήρεις ταλαντώσεις σε 75 ec σε μία εριοχή όου g9.80 /. Υολογισμός συχνότητας (ταλαντώσεις / ec) 00.Hz 75 Υολογισμός εριόδου f 75 00 0.75ec 0.75 g 9.8 0. 40 g 6.8
Άσκηση Ένα αιδάκι κάνει κούνια με μέγιστη αομάκρυνση αότηθέσηισορροίας. Αν η μέγιστη ειτάχυνση είναι 0.5/ να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης a a A 0.5 a a ω A ω 0.5ec ω 4 ec 0.5 Άσκηση Ένα οριζόντιο ελατήριο έχει σταθερά 0Ν/. Στην άκρη του ελατηρίου δένεται σώμα βάρους 8Ν, συμιέζεται κατά 4c αό τη θέση ισορροίας και αφήνεται να εκτελέσει αρμονική ταλάντωση χωρίς τριβές. α) Ποια είναι η ερίοδος και το λάτος της ταλάντωσης; β) Ποιά είναι η μέγιστη ταχύτητα και η μέγιστη ειτάχυνση; γ) Να βρεθεί η ολική ενέργεια του συστήματος και η εξίσωση της κίνησης. (g0/ ) α) β) ω 0 5 rad 0.8 ec υa Aω 0.045 0. a a Aω 0.045 E A 00.04 0.06J 6 γ) J ω 6.8.6ec 5 Εξίσωση κίνησης ( ) 0.04co 5
Άσκηση Τα αμορτισέρ ενός αλιού αυτοκινήτου μάζας 000g είναι εντελώς φθαρμένα. Όταν άτομο με βάρος 980Ν μαίνει αργά στο αυτοκίνητο (στοκέντροβάρους του) το αυτοκίνητο χαμηλώνει κατά.8c. Όταν το αυτοκίνητο ερνά αό ένα «σαμαράκι» αρχίζει να ταλαντώνεται άνω κάτω εκτελώντας αλή αρμονική ταλάντωση. Θεωρήστε ότι το αυτοκίνητο και ο άνθρωος αοτελούν ενιαίο σώμα στερεωμένο σε ένα μόνο ελατήριο και βρείτε τη συχνότητα και την ερίοδο της ταλάντωσης. (* ελατήρια αράλληλα +, g9.8/ ) w Δl 980 0.08 Μάζα ου ταλαντώνεται:.5 0 w + M g 4 N 980 + 000 00g 9.8 ω.5 0 00 4 rad 5.64 ec ω 6.8.ec 5.64 f 0. Hz. 9 Άσκηση Μίαμάζαταλαντώνεταισύμφωναμετηνεξίσωση: Να βρεθούν, για ec: α) η φάση, η συχνότητα και η ερίοδος της ταλάντωσης β) η αομάκρυνση, η ταχύτητα και η ειτάχυνση 6 + 60 ω rad ec Φάση: ω ec [ c] 6co + f Hz
Μίαμάζαταλαντώνεταισύμφωναμετηνεξίσωση: Να βρεθούν, για ec: α) η φάση, η συχνότητα και η ερίοδος της ταλάντωσης β) η αομάκρυνση, η ταχύτητα και η ειτάχυνση + co 6 ] [ c c 0.5 6 co 6 6 co 6 co 6 + + c A ω υ 9 8 in 8 6 in 6 in + + ( ) 7 54 co 54 6 co 6 co c A a ω + + Άσκηση