Βασικές Έννοιες Στατιστικής & Μέθοδοι Πρόβλεψης

ΜΕΡΟΣ Βασικές Έννοιες Στατιστικής & Μέθοδοι Πρόβλεψης Εισαγωγή Περιγραφή μεθόδων πρόβλεψης Οι μέθοδοι προβλέψεων χωρίζονται σε 3 μεγάλες κατηγορίες Α. Με βάση τον ορίζοντα προγραμματισμού. βραχυπρόθεσμες. μεσοπρόθεσμες 3. μακροπρόθεσμες Β. Με βάση το οικονομικό επίπεδο. Προβλέψεις μικροοικονομικού επιπέδου Π.χ απαιτούμενο προσωπικό. Προβλέψεις μακροοικονομικού επιπέδου Π.χ επίπεδο απασχόλησης του εργατικού δυναμικού της χώρας. Γ. Ποιοτικές- Ποσοτικές. Ποιοτικές: βασίζονται στη πείρα και στις υποκειμενικές εκτιμήσεις των στελεχών μιας επιχείρησης.. Ποσοτικές: βασίζονται στην ποσοτική ανάλυση αριθμητικών δεδομένων Διαδικασία διαμόρφωσης προβλέψεων Ποσοτικές μέθοδοι: σκοπός είναι η διερεύνηση του τρόπου δημιουργίας των τιμών της υπο εξέταση οικονομικής μεταβλητής. Οι προβλέψεις πραγματοποιούνται από την εφαρμογή της μεθόδου εκείνης που ερμηνεύει με τον καλύτερο τρόπο τη συμπεριφορά των τιμών της μεταβλητής. Η συμπεριφορά των τιμών μιας οικονομικής μεταβλητής προσδιορίζεται από δυο μέρη συστηματικό (sysemaic) τυχαίο (radom) Γενικά η διαδικασία πρόβλεψης αποτελείται από 3 στάδια Στάδιο ΣΥΛΛΟΓΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ: συλλογή των δεδομένων-τιμών και παρατηρήσεων Στάδιο ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ: εφαρμογή της μεθόδου πρόβλεψης

Στάδιο 3 ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ: διαμόρφωση των προβλεπόμενων τιμών της υπό εξέτασης μεταβλητής Είδη & πηγές δεδομένων Τα δεδομένα που χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία προβλέψεων διακρίνονται σε:. Διαστρωματικά (Cross Secio): αφορούν τη συμπεριφορά μιας συγκεκριμένης μεταβλητής σε δεδομένη χρονική περίοδο ή στιγμή, π.χ. έτος, μήνα, βδομάδα. Π.χ. οι πωλήσεις ενός ή περισσοτέρων προϊόντων μιας επιχείρησης σε διάφορες γεωγραφικές περιοχές τον μήνα Δεκέμβριο.. Χρονοσειρές (Time Series): εκφράζουν την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής κατά την διάρκεια ίσων διαδοχικών χρονικών περιόδων. Συμβολισμοί: Παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χi για i=,, όπου το μέγεθος το δείγματος των παρατηρήσεων. Χρονοσειρές: Χ για =,, Τα δεδομένα χωρίζονται επίσης σε:. Πρωτογενή: συλλέγονται για πρώτη φορά αποκλειστικά για το σκοπό της έρευνας. Δευτερογενή: στοιχεία που έχουν συλλεχθεί για άλλο σκοπό και υπάρχουν αποθηκευμένα. Οι μέθοδοι προβλέψεων χωρίζονται στις ακόλουθες κατηγορίες Α, Ανάλυση παλυνδρόμησης (regressio aalysis): Αναφέρεται στην διερεύνηση συμπεριφοράς ενός οικονομικού φαινομένου στο οποίο εμπλέκονται περισσότερες από μία μεταβλητές. Στόχος της είναι η αναγνώριση της ποσοτικής σχέσης που υπάρχει μεταξύ των τιμών μιας μεταβλητής και των τιμών μιας άλλης ή περισσοτέρων άλλων μεταβλητών. Β. Ανάλυση χρονοσειρών: Ασχολείται αποκλειστικά με την διερεύνηση της διαχρονικής συμπεριφοράς των τιμών μιας μεταβλητής οι παρατηρήσεις της οποίας προέρχονται από μια χρονοσειρά. Μέθοδοι εξομάλυνσης Διάσπαση χρονοσειρών Ανάλυση ARMA Γ. Μέθοδοι εξομάλυνσης: η πρόβλεψη προέρχεται από την εξομάλυνση της διαχρονικής εξέλιξης των τιμών της μεταβλητής. Δ. Διάσπαση χρονοσειρών: στηρίζεται στην υπόθεση ότι οι τιμές μιας χρονοσειράς σχηματίζονται από τα στοιχεία που την συνθέτουν και που είναι: η τάση, η κυκλικότητα, η εποχικότητα και η μη-κανονικότητα. Ε. Ανάλυση ARMA: Συνθετική- στατιστική μέθοδος Γραφική διερεύνηση στοιχείων χρονοσειράς Ο πιο απλός τρόπος για μια πρώτη ανάλυση των στοιχείων που έχουμε στην διάθεση μας είναι να τα παρουσιάσουμε κ να τα αναλύσουμε με την βοήθεια κάποιας γραφικής παράστασης.

3 Υπάρχουν τέσσερις διαφορετικές πιθανές «μορφές συμπεριφοράς» που συνηθίζουμε να τις ονομάζουμε «συνιστώσες».. ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ: θα συναντήσουμε στις περιπτώσεις που οι τιμές της χρονοσειράς κινούνται διαχρονικά γύρω από κάποια σταθερή μέση- τιμή.. ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ ΤΑΣΗΣ: θα την συναντήσουμε σε περιπτώσεις μακροχρόνιας και συστηματικής διαχρονικής αύξησης ή μείωσης των τιμών της χρονοσειράς. 3. ΕΠΟΧΙΚΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ: οι τιμές της χρονοσειράς επηρεάζονται έντονα από εποχικούς παράγοντες. 4. ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ: οι περιοδικές μεταβολές (μέγιστα και ελάχιστα) εμφανίζονται μεν συστηματικά όχι όμως με σταθερό χρονικό βήμα, όπως συμβαίνει στην περίπτωση της εποχικής συνιστώσας... Βασικές Έννοιες Στατιστικής Δείγμα: ο αριθμός των τιμών/ παρατηρήσεις με βάση τις οποίες προσπαθούμε να ερμηνεύσουμε την συμπεριφορά ενός συγκεκριμένου φαινομένου/ μεταβλητής. Πληθυσμός: το σύνολο των παρατηρήσεων/ τιμών το δείγμα είναι ένα υποσύνολο (γνήσιο) του πληθυσμού. το δείγμα είναι αναγκαίο να επιλέγεται σωστά έτσι ώστε να αντιπροσωπεύει ικανοποιητικά τα «ποιοτικά» και «ποσοτικά», χαρακτηριστικά του πληθυσμού, από τον οποίο προέρχεται. Αν ισχύει αυτό το αποτέλεσμα των προβλέψεων θα εκφράζουν σε ικανοποιητικό βαθμό τη συμπεριφορά του φαινομένου. Ένα τέτοιο δείγμα ονομάζεται τυχαίο δείγμα Κεντρική τάση Για την μελέτη του τρόπου συμπεριφοράς μιας οικονομικής μεταβλητής θα πρέπει αρχικά να προσδιορίσουμε ένα δείκτη κεντρικής τάσης. Οι δείκτες κεντρικής τάσης εκφράζουν τον βαθμό συγκέντρωσης μιας μεταβλητής. Δείκτες κεντρικής τάσης: μέσος όρος, διάμεσος, επικρατούσα τιμή. Μέση τιμή: x i i Διάμεσος: είναι η τιμή εκείνη από την οποία οι μισές τιμές της μεταβλητής είναι μεγαλύτερες και οι μισές μικρότερες από αυτήν. Παράδειγμα. Παρατήρηση (i) Μηνιαίος μισθός (xi).00 880 3 90 4.00 860 6.00 7 930 8 90 9.080 0 970 Πίνακας.: Τα δεδομένα του παραδείγματος.

4 Για τα δεδομένα του παραπάνω πίνακα: Μέση τιμή: ή x 0 0 *9800 ή (00+880+90+00+860+00+930+90+080+970) 9800 0 ή Διάμεσος: Αρχικά βάζουμε τις παρατηρήσεις του δείγματος σε αύξουσα σειρά. 980 860,880,930,90,90,970,00,00,080,00 Επειδή ο αριθμός των διαθέσιμων παρατηρήσεων είναι άρτιος, η τιμή της διαμέσου ισούται με το μέσο όρο του κεντρικού ζευγαριού τιμών δηλαδή 90,970 90 970 Διάμεσος= 960!!! Στις περιπτώσεις που υπάρχει έντονη ασυμμετρία στις παρατηρήσεις ή στην περίπτωση που υπάρχουν ακραίες τιμές στο δείγμα η τιμή του μέσου όρου αδυνατεί να εκφράσει την κεντρική τάση του δείγματος. Άσκηση.: Δίνεται το ακόλουθο δείγμα παρατηρήσεων μιας μεταβλητής x:,,3,4,,6,7,8,9. Να προσδιοριστούν οι τιμές του μέσου όρου και της διαμέσου (Απ: μ=, Διάμεσος=). Το ίδιο να γίνει και για το ακόλουθο δείγμα της xi,,3,4,,6,7,8,9,00 (Απ: μ=4, Διάμεσος=,). Τι παρατηρείτε; Ποίος από τους δυο δείκτες μπορεί να εκφράσει καλύτερα την κεντρική τάση της μεταβλητής x (Απ: Διάμεσος) Επικρατούσα τιμή: είναι η τιμή εκείνη της μεταβλητής που εμφανίζεται με τη μεγαλύτερη συχνότητα. Διασπορά: Εκφράζει τον τρόπο με τον οποίο κατανέμονται οι τιμές/παρατηρήσεις μιας μεταβλητής γύρω από το μέσο όρο. Δείκτες Διασποράς: οι βασικοί δείκτες της διασποράς είναι η διακύμανση ή μεταβλητότητα (variace) και η τυπική απόκλιση. Variace: s i ( x i x) Όσο πιο μικρή είναι η τιμή της διακύμανσης τόσο πιο κοντά στην τιμή του μέσου όρου βρίσκονται οι τιμές της μεταβλητής, τόσο καλύτερα η τιμή του μέσου όρου ερμηνεύει (και περιγράφει) τη συμπεριφορά της μεταβλητής. Η τιμή της διακύμανσης μαζί με τη τιμή του μέσου όρου χρησιμοποιούνται για την συνολική ερμηνεία της συμπεριφοράς μιας μεταβλητής. s s Τυπική απόκλιση (sadard deviaio): Το πρόβλημα με τη διακύμανση είναι ότι δεν εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με την μεταβλητή. Αν για παράδειγμα η μεταβλητή εκφράζεται σε η διακύμανση εκφράζεται σε. Το πρόβλημα αυτό επιλύεται με τη χρήση της τυπικής απόκλισης της οποίας οι μονάδες είναι ίδιες μ αυτές της μεταβλητής. Παράδειγμα. Να υπολογιστούν η διακύμανση και η τυπική απόκλιση για τα δεδομένα του επόμενου πίνακα:

i x i ( x i x) ( x i x).00 70 4.900 880-00 0.000 3 90-30 900 4.00 30 6.900 860-0 4.400 6.00 40.600 7 930-0.00 8 90-30 900 9.080 00 0.000 0 970-0 00 άθροισμα 9.800 0 6.00 Πίνακας.: Δεδομένα του παραδείγματος. x i 9800 980 0 x x 980 i 0 s ( xi x) ( xi x) 6.00 s 6.9, 0 9 i i s s s 83, 3 Ασκηση. Από τα καταστήματα μιας μεγάλης αλυσίδας καταστημάτων ελήφθη ένα τυχαίο δείγμα επτά καταστημάτων τα οποία κατά τον τελευταίο μήνα πούλησαν τις ακόλουθες μονάδες κινητών τηλεφώνων. 0 8 374 4 7 0 09 Ζητούνται τα ακόλουθα: α) Η διάμεσος του δείγματος β) Η επικρατούσα τιμή των πωλήσεων του δείγματος γ) Ο μέσος όρος των πωλήσεων δ) Η τυπική απόκλιση. Μέθοδοι Εξομάλυνσης.. Κριτήρια αξιολόγησης μιας μεθόδου πρόβλεψης Σφάλμα πρόβλεψης(error): e Y: πραγματική τιμή Y : προβλεπόμενη τιμή Μέσο απόλυτο σφάλμα(mea Absolue Error): MAE e MAE Y Η μονάδα μέτρησης του ΜΑΕ είναι ίδια με αυτή των τιμών της χρονοσειράς. Στον υπολογισμό του ΜΑΕ λαμβάνονται υπόψη μόνο οι απόλυτες τιμές και όχι οι πραγματικές τους τιμές. Αυτό σημαίνει ότι το ΜΑΕ από θετικές ή αρνητικές τιμές του σφάλματος, είναι

ανεξάρτητο δηλαδή από το αν οι τιμές των προβλέψεων είναι μικρότερες (υποεκτίμηση) ή μεγαλύτερες (υπερεκτίμηση) των πραγματικών τιμών. Μέσο τετράγωνο σφάλματος (mea square error): MSE e Μέσο τετραγωνικό σφάλμα (roo mea square error): RMSE Y e Ποσοστιαίο σφάλμα (perceage error): PE 00 00 Y Y Y Μέσο ποσοστιαίο σφάλμα: MPE PE 00 Y MSE Μέσο απόλυτο ποσοστιαίο σφάλμα (mea absolue perceage error): Άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων: SSE e e MAPE Παράδειγμα.3 Στον παρακάτω πίνακα δίδονται οι πωλούμενες μονάδες ενός νέου προϊόντος για τους πρώτους έξι μήνες κυκλοφορίας του. Επίσης δίδονται οι προβλέψεις του επόμενου μήνα, οι οποίες ορίστηκαν ίσες με τις πωλήσεις του επόμενου μήνα. Να βρεθούν τα MAE, MSE, RMSE, MPE, MAPE. Μήνας Πωλήσεις Πρόβλεψη Σφάλμα Y e e e e /Y E/Y 0 0 - - - - - - 00 0-0 0 00 0,0-0,0 0 00 0 0 400 0,7 0,7 3 0 0-0 0 00 0,09-0,09 4 0 0 0 0 00 0,08 0,08 40 0 0 0 400 0,4 0,4 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 30 70 00 0,8 0,0 Πίνακας.3: Δεδομένα του παραδείγματος.3 MAE MSE RMSE MAPE e e 70 4 00 MSE 4,83 Y Y 0 Y e MPE Y Y SSE e e Y 0,0 0,04 0,8 0,6 PE 6

7.. Απλός Μέσος Σύμφωνα με τη μέθοδο του απλού μέσου η πρόβλεψη δίνεται από την ακόλουθη σχέση: Y i i : η πρόβλεψη που γίνεται στο τέλος της χρονικής περιόδου και αφορά τη χρονική περίοδο + ενώ Y, Y,... Y είναι οι παρατηρήσεις / τιμές της τυχαίας μεταβλητής. Δηλαδή η πρόβλεψη τη χρονική στιγμή + είναι ο μέσος όρος όλων των προηγούμενων διαθέσιμων τιμών. Y, Y,... Y..3 Απλός Κινητός Μέσος Κ- Περιόδων Με τη μέθοδο του απλού μέσου, όλες οι τιμές της χρονοσειράς από τις πιο παλιές μέχρι και τις πιο πρόσφατες συμμετέχουν με την ίδια βαρύτητα στη διαμόρφωση της πρόβλεψης. Για να το αποφύγουμε αυτό χρησιμοποιούμε τον κινητό μέσο k περιόδων: Y i k ik ( Y Y... Y k) k ( Y Y... Y k) k Σύμφωνα με τη μέθοδο του κινητού μέσου k περιόδων, η πρόβλεψη για τη χρονική στιγμή + υπολογίζεται ως ο μέσος όρων των k προηγούμενων χρονικών περιόδων. Παράδειγμα.4 Στο πίνακα που ακολουθεί δίδονται οι εβδομαδιαίες πωλήσεις δίσκων, cd, ενός καταστήματος για τις τελευταίες δέκα εβδομάδες. Υπολογίζονται οι προβλέψεις χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του κινητού μέσου για k=3 και k= αντίστοιχα. Εβδομάδα Πωλήσεις k=3 k= Y e e e e 30 - - - - - - 40 - - - - - - 3 0 - - - - - - 4 4 40 - - - 6 4 0 400 - - - 6 0 3,33-3,33, 46 4 6 7 3,33,07,78 0 8 0 6,7-6,07 44,4 3-3 9 9 60,67 8,33 69,44 3 7 49 0 70 6 4 96 60 7 Πίνακας.4: Παράδειγμα εφαρμογής του απλού κινητού μέσου 0 e 4 SSE 777,78 (k=3)

8 0 e 6 SSE 7 (k=) Για τη περίπτωση του κινητού μέσου 3 εβδομάδων k=3 η πρόβλεψη την τέταρτη εβδομάδα υπολογίζεται ως εξής: 4 ( Y3 Y Y ) 40 3 Για τη η εβδομάδα ( Y 3 Y Y 0 9 8 ) 60 0 4 Για την περίπτωση του κινητού μέσου 3 περιόδων MSE e ( SSE), 7 7 0 6 9 Για την περίπτωση του κινητού μέσου περιόδων (k=) MSE e 9 Σχήμα.: Εξομάλυνση με τη μέθοδο του απλού κινητού μέσου 3-περιόδων για τα δεδομένα του παραπάνω πίνακα Επειδή η τιμή του MSE για k= είναι μικρότερη από την τιμή για k=3 Η μέθοδος του κινητού μέσου περιόδων είναι καλύτερη από αυτή των 3 περιόδων και την συγκεκριμένη χρονοσειρά. Αν θέλουμε να προβλέψουμε τις πωλήσεις για την η εβδομάδα? Το πρόβλημα είναι ότι μας λείπουν τα δεδομένα για την 0 η εβδομάδα. Έστω k=3 ( Y 3 Y0 Y9 ) Y οπότε Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ( Y Y0 Y9 ) 63,33 3

9..4. Απλή Εκθετική Εξομάλυνση Η βαρύτητα των προγενέστερων τιμών της υπο πρόβλεψη μεταβλητής στην διαμόρφωση της τιμής της πρόβλεψης μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο. Η μέθοδος της εκθετικής εξομάλυνσης χρησιμοποιείται στον βραχυπρόθεσμο προγραμματισμό και έλεγχο της παραγωγής. a( Y ) () α σταθερά εξομάλυνσης 0 α Από την () ay a ay ( a) Η τιμή της πρόβλεψης για την χρονική στιγμή (+) προκύπτει σταθμίζοντας την πιο πρόσφατη παρατηρηθείσα τιμή της μεταβλητής Y με βαρύτητα α και την πιο πρόσφατη πρόβλεψη με βαρύτητα (-α). Αν στην παραπάνω σχέση αντικαταστήσουμε τις προγενέστερες προβλέψεις έχουμε: ay a( a) Y a( a) Y... a( a) Y ( a ) Άρα η πρόβλεψη με τη μέθοδο της απλής εκθετικής εξομάλυνσης διαμορφώνεται στην πραγματικότητα από όλες τις προγενέστερες τιμές της υπό πρόβλεψης μεταβλητής, η βαρύτητα όμως των παλαιότερων τιμών μειώνεται εκθετικά. Παράδειγμα. Οι πωλήσεις υποδημάτων (σε χρηματικές μονάδες) των τελευταίων εβδομάδων της επιχείρησης «ΥΠΟΔΗΜΑ Α.Ε» δίνονται στον Πίνακα.. Στον πίνακα αυτό δίνονται επίσης προβλέψεις της χρονοσειράς με τη μέθοδο της απλής εκθετικής εξομάλυνσης, καθώς και αντίστοιχες τιμές των σφαλμάτων της πρόβλεψης για α=0, και α=0,7. Εβδομ άδα Πωλήσεις Y α=0, e e α=0,7 6,00 - - - - - - 7,0 6,00 9,0 368,64 6,00 9,0 368,64 3 84,0 9,84 4,66 608, 69,44,06 6,80 4 3,0 64,77 -,7 33,9 79,98-6,78 77,8 68,90 6,46 6,44 4,0 6,3 7,67 8,76 6 9,30 63,7-4,4 9,77 66,60-7,30 3,30 7 7,40 6,86 8,4 7,99 6,49 9,9 98, 8 67,40 64,7,83 8,03 68,43 -,03,0 9 60,0 6,3 -,03,3 67,7-7,6 7,88 0 4,80 64,3-9,33 86,97 6,38-7,8 7,49 73,0 6,6,4 6,3 7,07 6,43 69,79 74,0 64, 9,69 93,9 68,7,63 3,67 3 7,00 66,4 8, 73,6 7,,49 6,9 4 74,0 68,6,94 3,3 74, -0, 0,0 73,0 69,3 3,8 4,8 74, -0,9 0,90 6 70,.708,8 SSE 73,48 e e.947,9 8 =SSE Πίνακας.: Δεδομένα Παραδείγματος. και προβλέψεις με τη μέθοδο της απλής εκθετικής εξομάλυνσης για α=0, και α=0,7

Ενδεικτικά η πρόβλεψη 3 και υπολογίζεται ως ακολούθως: 0,Y ( 0, 3 ) ( 0,)(7,0) (0,8)(6,00) 9,84 των πωλήσεων της τρίτης εβδομάδας, για α=0,, είναι ίση με 9,84 Ενώ η αντίστοιχη τιμή του σφάλματος της πρόβλεψης είναι: e Y 84,0 9,84 3 3 3 4,66 Με τον ίδιο τρόπο προσδιορίζονται και οι υπόλοιπες τιμές του πίνακα. που αφορούν τις προβλέψεις και τα σφάλματα των άλλων εβδομάδων για α=0,. Η πρόβλεψη των αναμενόμενων πωλήσεων για τη δέκατη έκτη εβδομάδα που προκύπτει από τη μέθοδο αυτή, για α=0, είναι ίση με 70, δηλαδή: 0,Y ( 0, 6 ) ( 0,)(73,0) (0,8)(69,3) 70, Η τιμή αυτή μπορεί να βρεθεί και από τη σχέση (,) ως εξής: 0, e 6 69,3 (0,)(3,8) 70, Η μέθοδος της απλής εκθετική εξομάλυνσης εφαρμόζεται ανάλογα και για τον προσδιορισμό των προβλέψεων και των τιμών των σφαλμάτων της πρόβλεψης που αφορούν τα δεδομένα του παραδείγματος για α= 0,7, ενώ τα αποτελέσματα που προκύπτουν παρουσιάζονται και αυτά στον πίνακα.. Επιπρόσθετα, στα σχήματα. και.3 απεικονίζεται η εξομάλυνση της χρονοσειράς για α=0, και α=0,7 αντίστοιχα για τις εβδομάδες μέχρι, καθώς και η πρόβλεψη για τη δέκατη έκτη εβδομάδα. Το μέσο σφάλμα τετραγώνου της χρονοσειράς, για α=0,, είναι: 0 MSE 4 e.708,8,06 4 Ενώ για α=0,7 είναι: MSE 4 e.947,98 39,4 4 Επειδή η τιμή του MSE για α=0, είναι μικρότερη από την αντίστοιχη τιμή για α=0,7, η μέθοδος της απλής εκθετικής εξομάλυνσης αναμένεται να δώσει καλύτερες προβλέψεις για α=0,, με την προϋπόθεση ότι θα ισχύουν στο μέλλον οι ίδιες συνθήκες που ίσχυαν και στο παρελθόν. Σημειώνουμε ότι η «άριστη» τιμή της παραμέτρου α που ελαχιστοποιεί την τιμή του κριτηρίου MSE για τα δεδομένα της χρονοσειράς του παραδείγματος αυτού είναι ίση με 0,8

(MSE=9,64) και δίνει πρόβλεψη πωλήσεων για τη δέκατη έκτη εβδομάδα ίση με 7,6 χρηματικές μονάδες. Σχήμα.: Εξομάλυνση με τη μέθοδο της απλής εκθετικής εξομάλυνση για α=0, για τα δεδομένα του παραδείγματος.. Σχήμα.3: Εξομάλυνση με τη μέθοδο της απλής εκθετικής εξομάλυνση για α=0,7 για τα δεδομένα του παραδείγματος... Διπλός Κινητός Μέσος Η μέθοδος του διπλού κινητού μέσου (double movig average) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την πρόβλεψη των τιμών μιας χρονοσειράς οι παρατηρήσεις της οποίας παρουσιάζουν ανοδική ή πτωτική πορεία που εκφράζεται από γραμμική τάση. Μεθοδολογία α) Υπολογίζεται ο απλός κινητός μέσος m-περιόδων M ως εξής:

M m Y j m j β) Υπολογίζεται ο διπλός κινητός μέσος m-περιόδων Μ M ' m M j m j γ) Υπολογίζεται η διαφορά α ως εξής: a M M ' δ) Υπολογίζεται ο παράγοντας προσαρμογή της τάσης b b ( M M ' ) m ε) Υπολογίζεται η πρόβλεψη +h για την h μελλοντική περίοδο ως: h a hb Η μέθοδος αυτή για h> μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την διενέργεια προβλέψεων για περισσότερες από μια μελλοντικές περιόδους, ενώ για h= δίνει την πρόβλεψη για την επόμενη περίοδο. Παράδειγμα.6 Στον πίνακα.6 παρουσιάζονται οι προβλέψεις των δεδομένων της χρονοσειράς του παραδείγματος.4 που προκύπτουν από την εφαρμογή της μεθόδου του διπλού κινητού μέσου 3- περιόδων. Y M M 30 - - - - - - 40 - - - - - - 3 0 - - - - - - 4 4 40,00 - - - - - 6 4,00 - - - - - 6 0 3,33 - - - - - 7 3,33 46, 60,6 7, - - 8 0 6,67 0,6 6,78 6, 67,78-7,78 9 60,67 4,44 48,89 -,78 68,89-8,89 0 70,00 3,89 6,, 46, 3,89 Πίνακας.6: Προβλέψεις με τη μέθοδο του διπλού κινητού μέσου 3-περιόδων a b 7, 8,33 Ενδεικτικά, ο απλός κινητός μέσος 3-περιόδων της περιόδου 0 υπολογίζεται ως εξής: M0 ( Y9 Y8 Y7 ) 3 60 0 3 Ενώ ο διπλός κινητός μέσος της ίδιας περιόδου είναι: e

3 M0 ( M 9 M 8 M 7 ) 3,67 6,67 3,33 3,89 3 Έτσι η διαφορά a 0 ισούται με: a 0 M0 M0 ()() 3,89 6, Και η τάση b 0 με: b0 ( M0 M0 ) m ( 3,89), 3 Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε και τις υπόλοιπες τιμές του πίνακα.6. Η πρόβλεψη για την ενδέκατη εβδομάδα, δηλαδή για h=, υπολογίζεται ως ακολούθως: a hb 6, ()(,) 0 0 7, Ενώ για δωδέκατη εβδομάδα, δηλαδή για h=, ως: a hb 6, ()(,) 0 0 8,33 κ.ο.κ Σημειώνουμε ότι οι δυο παραπάνω προβλέψεις διαμορφώνονται στο τέλος της δέκατης εβδομάδας με βάση τις τιμές των και. Όταν στο τέλος της ενδέκατης εβδομάδας γίνει a 0 b 0 γνωστή η νέα τιμή της χρονοσειράς, δηλαδή η Y, τότε μπορούμε να αναθεωρήσουμε την πρόβλεψη της δωδέκατης εβδομάδας, λαμβάνοντας υπ όψιν τις τιμές των a και προκύπτουν. b που

4 ΜΕΡΟΣ Βασικές Συναρτήσεις Στατιστικής Συνάρτηση AVEDEV Επιστρέφει τον μέσο όρο των απόλυτων αποκλίσεων των σημείων δεδομένων από τον μέσο τους. Η συνάρτηση AVEDEV αποτελεί μέτρηση της μεταβλητότητας σε ένα σύνολο δεδομένων. Σύνταξη AVEDEV (αριθμός; αριθμός;...) H σύνταξη της συνάρτησης AVEDEV περιλαμβάνει τα παρακάτω ορίσματα: Αριθμός; αριθμός;. έως ορίσματα για τα οποία θέλετε τον μέσο των απόλυτων αποκλίσεων. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε πίνακα ή αναφορά σε έναν πίνακα αντί για ορίσματα διαχωρισμένα με ελληνικά ερωτηματικά. Παρατηρήσεις Η συνάρτηση AVEDEV εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης των εισαγόμενων δεδομένων. Τα ορίσματα πρέπει να είναι αριθμοί, ονόματα, πίνακες ή αναφορές που περιέχουν αριθμούς. Εάν κάποιο όρισμα πίνακα ή αναφοράς περιέχει κείμενο, λογικές τιμές ή κενά κελιά, οι τιμές αυτές παραβλέπονται. Ωστόσο, περιλαμβάνονται τα κελιά με τιμή μηδέν. Η εξίσωση για τη μέση απόκλιση είναι: x x Παράδειγμα

Συνάρτηση ORECAST Υπολογίζει ή προβλέπει μια μελλοντική τιμή χρησιμοποιώντας υπάρχουσες τιμές. Η προβλεπόμενη τιμή είναι η τιμή του y για μια δεδομένη τιμή του x. Οι γνωστές τιμές είναι υπάρχουσες τιμές x και y. Η νέα τιμή υπολογίζεται χρησιμοποιώντας γραμμική παλινδρόμηση. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση αυτή για να προβλέψετε μελλοντικές πωλήσεις, απαιτήσεις αποθεμάτων ή τάσεις των καταναλωτών. Σύνταξη ORECAST(x; γνωστά_y; γνωστά_x) Η σύνταξη της συνάρτησης ORECAST περιλαμβάνει τα παρακάτω ορίσματα: X: Υποχρεωτικό. Το σημείο δεδομένων του οποίου την τιμή θέλετε να προβλέψετε. Γνωστά_y: Υποχρεωτικό. Ο εξαρτημένος πίνακας ή η περιοχή δεδομένων. Γνωστά_x: Υποχρεωτικό. Ο ανεξάρτητος πίνακας ή η περιοχή δεδομένων Παρατηρήσεις Εάν το όρισμα x δεν είναι αριθμός, η συνάρτηση ORECAST επιστρέφει #ΤΙΜΗ! ως τιμή σφάλματος. Εάν τα ορίσματα γνωστά_y και γνωστά_x είναι κενά ή περιέχουν διαφορετικό αριθμό σημείων δεδομένων, η συνάρτηση ORECAST επιστρέφει την τιμή σφάλματος #Δ/Υ. Εάν η διακύμανση του ορίσματος γνωστά_x ισούται με μηδέν, τότε η συνάρτηση ORECAST επιστρέφει #ΔΙΑΙΡ./0! ως τιμή σφάλματος. Η εξίσωση για τη συνάρτηση ORECAST είναι y = ax + b, όπου: a = y bx και: b = (x x )(y y ) (x x ) Παράδειγμα Συνάρτηση CORREL Περιγραφή

6 Επιστρέφει το συντελεστή συσχέτισης των περιοχών κελιών Πίνακας και Πίνακας. Χρησιμοποιήστε το συντελεστή συσχέτισης, για να προσδιορίσετε τη σχέση ανάμεσα σε δύο ιδιότητες. Για παράδειγμα, μπορείτε να εξετάσετε τη σχέση ανάμεσα στις μέσες θερμοκρασίες μιας τοποθεσίας και στη χρήση συσκευών κλιματισμού. Σύνταξη CORREL(πίνακας;πίνακας) Η σύνταξη της συνάρτησης CORREL περιλαμβάνει τα παρακάτω ορίσματα: Πίνακας: Απαιτείται. Μια περιοχή κελιών με τιμές. Πίνακας: Απαιτείται. Μια δεύτερη περιοχή κελιών με τιμές. Παρατηρήσεις Εάν κάποιο όρισμα πίνακα ή αναφοράς περιέχει κείμενο, λογικές τιμές ή κενά κελιά, οι τιμές αυτές παραβλέπονται. Ωστόσο, περιλαμβάνονται τα κελιά με τιμή μηδέν. Εάν τα ορίσματα πίνακας και πίνακας έχουν διαφορετικό πλήθος σημείων δεδομένων, η συνάρτηση CORREL επιστρέφει την τιμή σφάλματος #Δ/Υ. Εάν ένα από τα ορίσματα πίνακας ή πίνακας είναι κενό ή η τυπική απόκλιση (s) των τιμών τους ισούται με μηδέν, η συνάρτηση CORREL επιστρέφει #ΔΙΑΙΡ./0! ως τιμή σφάλματος. Η εξίσωση για το συντελεστή συσχέτισης είναι: (x x )(y y ) Correl(x, y) = (x x ) (y y ) Παράδειγμα Συνάρτηση STDEV Υπολογίζει την τυπική απόκλιση με βάση ένα δείγμα. Η τυπική απόκλιση αποτελεί ένα μέτρο της διασποράς των τιμών του δείγματος σε σχέση με την τιμή του μέσου όρου (αριθμητικού μέσου). Σύνταξη STDEV(αριθμός;[αριθμός];...) Η σύνταξη της συνάρτησης STDEV περιλαμβάνει τα παρακάτω ορίσματα:

7 Αριθμός: Υποχρεωτικό. Το πρώτο αριθμητικό όρισμα που αντιστοιχεί σε δείγμα του πληθυσμού. Αριθμός: Προαιρετικό. έως αριθμητικά ορίσματα που αντιστοιχούν σε δείγμα του πληθυσμού. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε έναν πίνακα ή αναφορά σε έναν πίνακα αντί για ορίσματα διαχωρισμένα με ερωτηματικά. Παρατηρήσεις Στη συνάρτηση STDEV, τα ορίσματα εκλαμβάνονται ως δείγμα του πληθυσμού. Εάν τα δεδομένα σας αποτελούν ολόκληρο τον πληθυσμό, πρέπει να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση STDEVP. Η τυπική απόκλιση υπολογίζεται με χρήση της μεθόδου "ν-". Τα ορίσματα μπορεί να είναι αριθμοί, ονόματα, πίνακες ή αναφορές που περιέχουν αριθμούς. Οι λογικές τιμές και οι παραστάσεις αριθμών με κείμενο που πληκτρολογείτε άμεσα σε μια λίστα ορισμάτων καταμετρώνται. Εάν ένα όρισμα είναι πίνακας ή αναφορά, υπολογίζονται μόνο οι αριθμοί σε αυτόν τον πίνακα ή την αναφορά. Κενά κελιά, λογικές τιμές, κείμενο ή τιμές σφάλματος που περιέχονται στον πίνακα ή την αναφορά παραβλέπονται. Τα ορίσματα που είναι τιμές σφάλματος ή κείμενο που δεν μετατρέπεται σε αριθμούς προκαλούν σφάλμα. Εάν θέλετε να συμπεριλάβετε λογικές τιμές και παραστάσεις αριθμών με κείμενο σε μια αναφορά ως μέρος του υπολογισμού, χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση STDEVA. Η συνάρτηση STDEV χρησιμοποιεί τον παρακάτω τύπο: s = (x x ) ( ) όπου η το μέγεθος του δείγματος Παράδειγμα

8 VAR.S (Συνάρτηση VAR.S) Εκτιμά τη διακύμανση με βάση ένα δείγμα (παραβλέπει τις λογικές τιμές και το κείμενο στο δείγμα). Σύνταξη VAR.S(αριθμός;[αριθμός];...) Η σύνταξη της συνάρτησης VAR.S περιλαμβάνει τα παρακάτω ορίσματα: Αριθμός:Υποχρεωτικό. Το πρώτο αριθμητικό όρισμα που αντιστοιχεί σε δείγμα του πληθυσμού. Αριθμός: Προαιρετικό. έως 4 αριθμητικά ορίσματα που αντιστοιχούν σε δείγμα του πληθυσμού. Η συνάρτηση VAR.S χρησιμοποιεί τον παρακάτω τύπο s = (x x ), όπου η το μέγεθος του δειγματος ( ) Παράδειγμα

9