ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΕΝΤΡΟΜΟΛΟΣ ΔΥΝΑΜΗ 1.Οι περισσότερες ασκήσεις είναι απλή εφαρμογή των τύπων Συνήθως από ένα μέγεθος όπως η συχνότητα f ή η γωνιακή ταχύτητα ω μπορούμε να υπολογίσουμε και τα υπόλοιπα μεγέθη της ομαλής κυκλικής κίνησης χρησιμοποιώντας τους παρακάτω τύπους ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΥΠΟΣ ΜΟΝΑΔΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Περίοδος Τ sec συχνότητα f= ή s -1 ή Ηz Αριθμός Ν περιστροφών Σχέση συχνότητας -περιόδου f= Mήκος κύκλου s=2πr m Γραμμική ταχύτητα υ= υ= 2 π.r.f υ= Γωνία στροφής θ rad Mετατροπή θ= rad γωνίας από μοίρες (μ) σε ακτίνια (rad) Γωνιακή ταχύτητα ή κυκλική συχνότητα ω= ω= 2π.f ω= Σχέση γωνιακής υ=ω.r γραμμικής ταχύτητας Κεντρομόλος α κ = επιτάχυνση Κεντρομόλος δύναμη F= m. α κ ή F= m. Σταθερή κατά μέτρο, μεταβλητή κατά διεύθυνση Διάνυσμα εφαπτόμενο του κύκλου Διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο του κύκλου με φορά σύμφωνα με τον κανόνα του δεξιού χεριού N Δεν είναι πραγματική δύναμη, προκύπτει από ανάλυση δυνάμεων και είναι η συνισταμένη των δυνάμεων που βρίσκονται στην διεύθυνση της ακτίνας με φορά προς το κέντρο του κύκλου 2. ΣΥΝΑΝΤΗΣΗ ΔΥΟ ΚΙΝΗΤΩΝ ΠΟΥ ΕΚΤΕΛΟΥΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Τα δυο κινητά κινούνται με αντίθετη φορά Όταν συναντηθούν θα ισχύει θ 1 + θ 2 = 2π ω 1 t + ω 2 t = 2π ( ω 1 + ω 2 )t=2π ή αντίστοιχα ( υ 1 + υ 2 )t=2πr Β ) Τα δυο κινητά κινούνται με την ίδια φορά
Όταν συναντηθούν για πρώτη φορά θα ισχύει θ 1 - θ 2 = 2π ω 1 t - ω 2 t = 2π( ω 1 - ω 2 )t=2π ή αντίστοιχα ( υ 1 - υ 2 )t=2πr 3. Η κεντρομόλος δύναμη Δεν είναι πραγματική δύναμη, προκύπτει από ανάλυση δυνάμεων και είναι η συνισταμένη των δυνάμεων που βρίσκονται στην διεύθυνση της ακτίνας με φορά προς το κέντρο του κύκλου π.χ Έστω ένα σώμα που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση δεμένο στην άκρη ενός νήματος μήκους R B Γ Δ W W Y Α W X W W Στην θέση Α ισχύει F k = m. Τ- w= m. Στην θέση B ισχύει F k = m. Τ+ w= m. Στην θέση Γ ισχύει F k = m. Τ= m. Στην θέση Δ ισχύει F k = m. Τ- w y = m. Τ- mgσυνθ= m. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Στο σχήμα φαίνονται δύο δίσκοι με ακτίνες R 1 = 0,2 m και R 2 = 0,4 m αντίστοιχα, οι οποίοι συνδέονται μεταξύ τους με μη ελαστικό λουρί. Οι δίσκοι περιστρέφονται γύρω από σταθερούς άξονες που διέρχονται από το κέντρο τους και είναι κάθετοι στο επίπεδο τους. Αν η περίοδος περιστροφής του δίσκου (2) είναι σταθερή και ίση με Τ 2 = 0,05π s, να υπολογίσετε : Δ 1. το μέτρο της ταχύτητας των σημείων Α και Β της περιφέρειας των δίσκων, Δ 2. το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου (1), Δ 3. το λόγο των μέτρων των κεντρομόλων επιταχύνσεων των σημείων Α και Β : Δ 4. τον αριθμό των περιστροφών που έχει εκτελέσει ο δίσκος (1), όταν ο δίσκος (2) έχει εκτελέσει 10 περιστροφές. Λύση Δ 1. H γωνιακή ταχύτητα του δίσκου 2 είναι: ω 2 = ω 2 = 2π / 0,05π ω 2 = 2π / (1 / 20) ω 2 = 40 rad / s. H γραμμική ταχύτητα του Β είναι: υ 2 = ω 2 R 2 υ 2 = 40 0,4 = 16 m / s. Mέσω του ελαστικού ιμάντα υ 2 = υ 1 = 16 m / s. Δ 2. H γραμμική ταχύτητα του Α: υ 1 = ω 1 = ω 1 = 16 / 0,2 ω 1 = 80 rad / s. Δ 3. Ο λόγος των κεντρομόλων επιταχύνσεων : = = = 0,4 / 0,2 = 2. Δ 4. H γωνία περιστροφής του δίσκου 2 : θ 2 = Ν 2 2π θ 2 = 10 2π = 20π rad. H γωνιακή ταχύτητα του δίσκου Β : ω 2 = t = t = 20π / 40 t = π / 2 s. Ισχύει ω 1 = θ 1 = ω 1 t θ 1 = 40 π rad. θ 1 = Ν 1 2π N 1 = θ 1 / 2π N 1 = 40π / 2π N 1 = 20 περιστροφές. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΑΣΚΗΣΗ ΣΥΝΑΝΤΗΣΗΣ)
Ένα πουλί και ένα έντομο διέρχονται ταυτόχρονα από το σημείο επαφής των δύο εφαπτόμενων κύκλων του σχήματος. Το πουλί διαγραφεί ομαλά την τροχιά του κύκλου σε χρονικό διάστημα 2 s. Το έντομο διαγράφει τον άλλο κύκλο ομαλά σε χρονικό διάστημα 3 s. Δ 1. Να υπολογίσετε τον λόγο της συχνότητας του πουλιού, προς τη συχνότητα του εντόμου. Δ 2. Να υπολογίσετε τον λόγο της γραμμικής ταχύτητας του πουλιού προς τη γραμμική ταχύτητα του εντόμου, αν ο λόγος των αντίστοιχων ακτίνων κίνησης πουλιού εντόμου είναι R πουλ / R εντ = 3 / 2. Δ 3. Υπολογίστε πόσους κύκλους θα έχει κάνει το πουλί και πόσους το έντομο μέχρι να ξανασυναντηθούν για πρώτη φόρα, μετά από τη στιγμή που διήλθαν ταυτόχρονα, από το σημείο επαφής. Δ 4. Σε πόσο χρόνο θα ξανασυναντηθούν για δεύτερη φορά; Λύση Δ 1. Μας δίνονται: η περίοδος περιφοράς του πουλιού και του εντόμου 2 και 3 s αντίστοιχα. Ο λόγος των ζητούμενων συχνοτήτων: = = = 3 / 2. Τίποτα το ιδιαίτερο αρκεί να γνωρίζουμε ότι η συχνότητα και η περίοδος είναι μεγέθη αντιστρόφως ανάλογα. Δ 2. Ο λόγος των γραμμικών ταχυτήτων του πουλιού και του εντόμου: (Η σχέση της γραμμικής ταχύτητας με την ακτίνα και την περίοδο της κυκλικής τροχιάς) = = =. = = 2,25. Δ 3. Αν t είναι ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών συναντήσεων του πουλιού και του εντόμου: Το πουλί θα διαγράψει N πουλ κύκλους άρα : S πουλ = N πουλ 2π R πουλ. Ισχύει ο ορισμός της γραμμικής ταχύτητας: υ πουλ = S πουλ = υ πουλ t N πουλ 2π R πουλ = υ πουλ t (Ι) Το έντομο θα διαγράψει N εντ κύκλους άρα : S εντ = N εντ 2π R εντ. Ισχύει ο ορισμός της γραμμικής ταχύτητας: υ εντ = S εντ = υ εντ t N εντ 2π R εντ = υ εντ t (ΙΙ) Διαιρούμε κατά μέλη τις (Ι) και (ΙΙ) και έχουμε:
= = = =. Και επειδή οι N πουλ και N εντ είναι ακέραιοι αριθμοί (και το πουλί και το έντομο έχουν διαγράψει πλήρεις κύκλους) θα είναι N πουλ = 3 και N εντ = 2. Δ 4. Είπαμε στο προηγούμενο ερώτημα ότι t είναι ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών συναντήσεων του πουλιού και του εντόμου : t = N πουλ Τ πουλ t = 3 2 = 6 sec ή t = N εντ T εντ = 2 3 = 6 sec..