PROGRAMA LABURRA gutiengoa Batilergo Zientiiko-Teknikoa MATEMATIKA I Ignacio Zuloaga BHI Eibar
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Ekuaio esponentialak Ariketa ebatiak: a 7 adieraiko dugu oinarriko berretura moduan: 7 7 ± 7 b enbakia oinarriko berretura moduan adieraiko dugu: ± Soluioak: d Aldagai aldaketa hau egingo dugu: a Horrela,. a iango da. Bera, a a a a - - 7 - - - 7 soluioa: a a a a a 9 ± a ± 8 a 9 eta a 9
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Ebati ondoko ekuaioak: a b 7. c 8 d 9 e, g. 9 i 7 j 9. 8 Logaritmoak.- Aurkitu -ren balioak ondoko ekuaioetan: log 8 log log 8.- Kalkulagailua erabili barik, lor itau ondoko balioak: a log blog, clog.- Aurkitu hurrengo logaritmoen balioak kalkulagailuaren lagunta. a log a log.- Egia ala geurra al dira ondoko erlaioak? Arraoitu. a log log log b log log. c log log log d log log7 log e log 8 7 7.- Har itau logaritmo hamartarrak ondoko kasuetan: a A, b B 8..- Logaritmoen deiniioa erabili, kalkulatu: log blog a, 8 clog Soluioak: a b / c / d 7/ e d log e ln e
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Ekuaio logaritmikoak. Ariketa ebatiak: log log Kontuan ian log A log B log A.B dela eta log dela. Bera, log log log log Kontuan iango dugu a a log b logb dela. Bera, log log log log 8 log log 8-8 - - 8 - - ± 9 9 - soluioak e du balio Soluioa: 9 Ariketa. Ebati ondoko ekuaio logaritmikoak: a log log log b log log c log log / log log d log log e log log log log log Soluioak: e
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Ekuaio sistemak Hiru "butaka" eta sei "palko" sarrerengatik euro ordaindu dira. Atertu honako hauek ordaindu diren kasuak ere : a Bi butaka eta bi palko sarrerengatik 7 euro b Butaka sarrera bat eta bi palkogatik euro ordaindu dira c Bi butaka eta lau palko sarrerengatik euro. Bilatu jarleku bakoitaren preioa, posible den kasuetan. a 7 b - c? Sailkatu eta ebati, posible bada, honako sistema hajek. Erabili Gauss-en metodoa 8 9 8 Baterag. det: -,, Bateraeina Baterag indet: λ λ Soluio bakarra. Sistema bateragarri determinatua Ininitu soluio. Sistema bateragarri indeterminatua E du soluiorik. Sistema bateraeina
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila 9 Baterag. det: -,, 8 Tarteak - Adierai tarte moduan eta uen errealean ondorengo enbaki multoak: a baino enbaki handiagoak b { R / < } d { R / 7 } - Idati tarte hauetako enbakiak egiataten dituen desberdintak: a [-, 7] b [, c -, - Adierai uen errealean honako enbaki multo hauek: a -, - b [, c { R / < } d [-,, 7] e -,, -,, - Idati tarte bide deberdinta hauek egiataten dituten enbakiak: a < edo b > eta < - Aurkitu -ren ein baliok beteko duten hau: a 7 b c < d < Segiden iteak Kalkulatu hurrengo iteak: n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n, 9n n n n n n n n n n n n n n n n n n n. n n
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Trigonometria Ariketak.- Adierai radianetan: a 9º b º c7º d º e,º º.- Adierai sistema hirurogeitarrean: π π a rad b rad c, rad Formula trigonometrikoak: sin α cos α sinα tg α cosα cosα cot g α sinα tg α tg α sec α cot g α cos ec α cos α sin α Ariketak.- Kalkulatu α angeluaren arraoi trigonometrikoak, sin α, dela eta α angelua lehenengo koadrantekoa dela jakinik..- Lor itau tg β balioari dagokion arraoi trigonometrikoak, β angelua hirugarren koadrantekoa dela jakinik..- Froga itau ondoko berdintak: a cot gα.secα cos ecα b secα cosα tgα. sinα.- Kalkulatu sin α eta tg α, baldin cos α bada eta α angelua laugarren koadrantekoa dela jakinik. 7.- cos ec α bada, eta α angelua hirugarren koadrantekoa dela jakinik, kalkula itau cos α eta cot g α
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila 8.- Badakigu cot g α eta cosα direla.zein koadrantekoa da α angelua? Lor itau gainonteko arraoi trigonometrikoak. 9.- Sinpliika eau sin α.secα.cot gα.- Lehenengo koadranteko angelu bat erabili, kalkulatu º, º eta º-ko angeluen arraoi trigonometrikoak..- Bigarren koadranteko ein angeluren sinuak balio du,?.- Kalkulatu 9º-ko angeluaren arraoi trigonometrikoak.- Lehenengo koadranteko angelu bat erabili, kalkula itau ondoko angeluen arraoi trigonometrikoak: º, º, º, º, -º, º, 7º.. Aldatu orma ondoko angeluak : a α º ' '' b α º ' ' ' c α,º d α,º Em.: a,7º b,7º c º 9 d º 8.- Adiera itau radianetan. a º b º Em.: a, rad b, rad.- Adiera itau sistema hirurogeitarrean. 7π a rad b,7 rad Em.: a º b º 7.-Lortu α angelu orrotari dagokion gainerako arraoi trigonometrikoak, tg α, dela jakinik. Em.: sin α, 8 cos α, sec α, 8 cos ec α, cot g α, 7 8.-Adierai lehen koadranteko angelu baten arraoi baten untiopean: acos º btg º csin º dsin º ecos º 7
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Triangelu uenen ebapena. Ariketa ebatiak:.- Ebati triangelu uen bat, kateto bat cm-koa eta angelu bat º-koa direla kontuan hartuta. Datuak: b cm eta B ˆ º Ĉ 9º Bˆ 9º - º º sin º a, cm a sin º tg º c, cm c tg º.- Antena baten punturik altuenaren gorapen-angelua º-koa da, lurrean antenaren oinetik m-ra begiratu gero. Kalkulatu antenaren altuera. Irudiaren arabera, honako hau dugu: h tg º h. tg º. 8,87 m.- Mendi baten gailurreko puntuaren gorapen-angelua º-koa da puntubatetik begiratu gero. Mendirant m hurbildu gero, gorapen-angelua º-koa da. Zein da mendiaren altuera, puntu biak itsas mailan daudela kontuan hartuta? OAM triangeluan haue beteten da: h tg º BAM triangeluan haue beteten da: h tg º Bi ekuaioek osaturiko sistema ebati, mendiaren altuera lortuko dugu, baita gailurraren oinetik ein distantiatara gauden ere. h tg º h tg º h tg º h tg º,9 m h,9 m 8
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila.- Kalkula eau pentagono erregular baten aalera, aldeek cm-ko luera dutela kontuan ianik perimetroa. apotema a Pentagonoaren aalera: A Pentagonoa bost triangelu isoseletan atitu ahal da, eta triangelu horien altuerak poligonoaren apotema da. Kontsidera deagun lorturiko triangeluetako bat. M delakoa AB aldeko erdiko puntua da eta α angelua poligonoaren AOB angelu entralaren erdia da. º AOB 7º α OMB triangeluan 7º º tg º a, cm a Bera, pentagonoaren aalera honako hau da:.., A,9 cm Ariketak 9.- Ebat eau ABC triangelua honako kasu hauetan: a a b b b Ĉ º.- Kalkula eau eraikin baten altuera, bere oinetik m-ra dagoen puntu batetik begiratuta eraikinaren punturik altuenaren gorapen-angelua º-koa dela kontuan ianik..- m-ko distantiara dauden bi radarren bide, radarren plano bertikalean higiten ari den hegakin bat behaten ari dira, º eta º-ko angelue, hurrene hurren. Zein altueratan doa hegakina?.- Kalkula eau cm-ko aldeak dituen eagono erregular baten aalera. 9
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila.- Triangelu isosele baten alde desberdina 8 cm lue da, eta horren aurre aurreko angelua º-koa da. Lor itau triangeluaren perimetroa eta aalera. Em.: P,8 cm A 7,7 cm.- Kalkula eau trapeio isosele baten aalera, oinarriak cm eta 8 cm-koak direla eta barne-angeluetako bat º-koa dela jakinik. Em.:,7 cm.- Aldiune batean, elkarrengandik m-ra dauden bi behatailek arrano bat ikusten dute beren gaineko plano bertikalean º eta º-ko angelue. Zein altueratan ebilen arranoa? Em.:,8 m.- Kalkula eau irudiko eraikinaren altuera, α º, β º eta d m ianik. Em.:, m Formulak: sin α β sinα. cos β cosα. sin β sin α β sinα. cos β cosα. sin β cos α β cosα. cos β sinα. sin β cos α β cosα. cos β sinα. sin β sin α sin α. cosα cos α cos α sin α. adibidea sin º º sin º. cos º cos º. sin º... adibidea cosº º cos º. cos º sin º. sin º..
. adibidea sin º º. adibidea cosº º sin º. cos º cos º. cos º cos º. sin º sin º. sin º IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila..... adibidea. Kalkulatu sin º eta cos º arraoien balioak, sin º, eta cos º,9 direla jakinik. sin º sin. º sinº. cosº.,.,9, cos º cos. º cos º - sin º,9,,77 Ariketak 7.- Kalkula eau cos º arraoiaren balio ehata. Kontuan ian ººº dela. 8.- Kalkula itau ondoko arraoien balio ehata. Horretarako, adiera eau angeluek eagunak dituun bi angeluren batura modura. a sin 7º b cos º dsin º 9.-Kalkulatu sin º eta cos º arraoien balioak, sin º, eta cos º,9 direla jakinik..- sin º, dela jakinik, lor eau 8º angeluaren arraoi trigonometrikoak..- cosα, eta α angelua bigarren koadrantekoa ianik, kalkula itau angelu bikoitaren sinua eta kosinua. sin α,9 cos α, Em.: 8.- Kalkula eau cos º, jakinik sin º,9 dela. Em.:,98
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Zenbaki konpleuak Ariketak..- Kalkulatu bigarren mailako ekuaio hauen soluioak: a b.- Kalkula itau a i i b i 7i c i. i d i. i.- Kalkula itau a i i b i i c i i d i i.- Kalkula eau -i enbaki konpleuaren alderantikoa..- Kalkula itau i 7, i 7,i, -i.i.i
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Planoko geometria Ø c Ø a.- Adierai alboko irudiko bektoreen osagaiak, u r eta v r bektoreek eraturiko oinarrian. Ø b Ø v Ø u Ø d e Ø.- Adiera itau irudiko r, s r eta t r bektoreen osagaiak r r B { i, j } oinarrian. Ø s Ø j Ø i Ø r Ø t.- Oinarri jakin batean ur eta vr bektoreen osagaiak u r,- eta vr -, dira. Kalkulatu: a u uur v uur, b u uur eta c u uur v uur.- A 7, eta B -, puntuak emanda: uuur Kalkulatu AB bektorearen koordenatuak Lor itau M, N eta P puntuen koordenatuak, hiru puntu horiek AB segmentua lau parte berdinetan atiten dutela jakinik..- Froga eau A,, B-, eta C, puntuak alineaturik dauden ala e.
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila.- Idat eau, - puntutik pasatu eta v, bektore uentailea duen uenaren ekuaioaren ormak. 7.- ekuaioko uena emanda, ein da bektore uentailea? Eta malda? Eman ueneko puntu bat. Ondoren, adierai uena era parametrikoan. 8.- Aurkitu P, puntutik pasatu eta malda duen uenaren ekuaioa. 9.- Zein dira bi ardat cartesiarren OX eta OY ekuaioak?.- A eta B puntuak emanda, lor eau A, eta B, - puntuetatik pasaten den uenaren ekuaioa..- Esan ein diren r eta s uenen arteko posiio erlatiboak. a r: s: - b r: s: - c r: - s: 7.- Idati r: uenarekiko paraleloa ian eta -, puntutik pasaten den uenaren ekuaioa..- Idat eau, puntutik pasatu eta ondoko uenen paraleloak diren uenak: a r: - b c - -.- Oinarri ortonormal batean u, - eta v, bektoreak emanda, kalkulatu: a u. v b u. v c u v. v
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila.- Aurkitu k-ren balioa, ondoko bektoreak ortogonalak perpendikularrak ian daiteen: r r a, b k,.- Oinarri ortonormal batean u, eta v, bektoreak emanik, kalkula itau: u. v u v cos u, v 7.- Kalkula eau ein den A -, eta B, puntuen arteko distantia 8.- Kalkula eau ein den P -, eta Q, - puntuen arteko distantia 9.- Lor eau, kasu bakoitean, A, puntutik pasatu eta r-ren perpendikularra den uena: r: r: r :.- Lor eau, kasu bakoitean, A, - puntutik pasatu eta s-ren perpendikularra den uena: t a s: b - c t.- P, puntua eta r: uena emanda, aurkitu ondoko hauek: a P-tik pasatu eta r-ren paraleloa den uenaren ekuaioa. b P-tik pasatu eta r-ren perpendikularra den uenaren ekuaioa..- Kalkulatu P-, puntutik uenera dagoen distantia.
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila.- A-, eta B9, puntuen arteko segmentua kontsideraturik, lor itau segmentu hori hiru parte berdinetan atiten duten M eta N puntuen koordenatuak. Oharra : Kontuan ian AM AB eta AN AB direla. Em. : M,, N, ur ur.- a, eta b k, bektoreen biderkadura eskalarra 7 bada, aurkitu k-ren balioa. A M N B.- Kalkula eau a-ren balioa, r: a eta s: uenak elkar paraleloak ian daiteen. Em.: a /.- Kalkula itau r eta s uenen ebaki puntuaren koordenatuak ondoko kasuetan: a r: - s: -- Em.: a E du k 9 b r : s : b, k 7 7 7.- Erpinak A,, B-, eta C-,- puntuetan dituen triangelua emanik, kalkula itau ondoko uenen ekuaioak: a A puntutik pasatu eta BC aldearen paraleloa den uena. Em.: a 79 b B puntutik irteten den erdibidekoa. Em.: b c C puntutik irteten den altuera. Em.: c -- 8.- Aurkitu A-, eta B, segmentuaren uen erdibitailearen ekuaioa. Em.: 9.-Kalkula eau P, - puntuaren eta ekuaioko uenaren arteko distantia.
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila 7 Funtioen iteak Aurki itau ondoko untioen eistentia-eremua: -.- Demagun > < 8 untioa. Kalkulatu eta.- Demagun ondoko graikoa. Kalkula itau:.- Zenbat da eta? Ariketa ebatiak:. 9 9
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila 8. 9 Ariketak.- Kalkulatu eta 9.- Kalkulatu: 7.- Kalkula itau: 9 7 7 7 7 7 7 j i h g e d c b a 8.- > < untioa emanda, kalkula itau eta
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila 9 9.- Demagun untioaren graikoa. Kalkulatu:.- Demagun g untioaren graikoa. Kalkula itau:.- Kalkulatu: m k j h g e d c b a 7 g g g g g g g g g
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila.- Atertu ondoko untioen jarraitutasuna: < > < < < >.- Demagun untioa. Kalkulatu: - Bate besteko aldaketa-tasa [, ] tartean. - eta abisa puntuetatik pasaten den uen ebakitailearen malda..- Demagun untioa. Kalkulatu: - Aldiuneko aldaketa-tasa balioko abisa puntuan. - abisa puntutik pasaten den uen ukitailearen malda..- Lortu untioaren graikoak abisako puntuan duen uen ukitailearen ekuaioa..- Eman deagun untioa. a Lortu bate besteko aldaketa-tasaren balioa [,] tartean. Zein da bere esangura geometrikoa? b Lortu aldiuneko aldaketa-tasa puntuan. Zein da bere esangura geometrikoa? c Lortu eta abisa-puntuetatik pasaten den uen ebakitailearen malda d Lortu puntutik pasaten den uen ukitailearen malda. Idat eau uen horren ekuaioa. 7.- Zein da ekuaioko kurbak - abisako puntuan duen uen ukitailearen malda? Idat eau uen horren ekuaioa
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila 8.- Kalkula eau ondoko untioen graikoei aipaturiko puntuetan uen ukitaileen ekuaioak. a, abisako puntuan b, - abisako puntuan 9.- Kalkula eau untioaren graikoaren uen ukitailea abisako puntuan..- Konparatu eta g untioen batebesteko aldaketa-tasak [,] tartean eta esan bietatik ein haten den gehiago tarte horretan. Egiu graikoak..- Lor eau ekuaioko kurbaren uen ukitailearen ekuaioa - abisako puntuan..-kalkulatu ondoko untioen deribatuak: a b e 7 a. ln b. ln c d c e g ln 7 d h..ln ln.7 ln. ln 7
IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Estatistika. Ondoko koadroan amilien seme-alaba kopurua adieraten da: Bildu datuak taula batean Adierai maitasun absolutuak eta metatuak. Egin adierapen graikoa. lagunen pisuak honako hauek dira: 7 8 7 8 8 8 9 78 7 7 9 8 7 7 8 Bildu datuak taula batean Adierai maitasun absolutuak eta metatuak. Egin adierapen graikoa. Batilergoko lehen mailan matrikulatutako ikasleek lau aukera hautatu ditute: Aukerak Ikasle kopurua A B C D 7 Egiu bi graiko hauek: a Barra-diagrama b Sektore-diagrama. Institutu batean matrikulatutako lehen mailako ikasleei galderen test bat banandu aie, eta hona hemen ateratako puntuaioak: Puntuaioak [, [, [, [, [, 7 [7, 8 [8, 9 [9, Ikasle kopurua 8 8 8 8 a Egiu maitasun taula b Adierai graikoki banaketa