2. GAIA Higidura erlatiboa

Transcript

1 2. GAIA Higidura erlatiboa 2.1 IRUDIA Foucault-en pendulua Pariseko Panteoian 1851n eta 2003an. 53

2 54 2 Higidura erlatiboa Bi erreferentzia-sistema inertzialen arteko erlazio zinematikoa ataleko Galileo-ren transformazioak emandakoa da eta badakigu laborategiko sistema eta masa-zentroarenaren artekoa (1.154) (1.158) dela. Gai honetan erreferentzia-sistema orokorren arteko erlazioa aztertuko da, mekanika newtondarraren testuinguruan. Gero, erlatibitate berezia 3. gaian ikustean, beste ikuspuntu orokorrago batetik aztertuko dugu sistema inertzialen arteko erlazioa. Gai osoan S eta S erreferentzia-sistemak kontsideratuko ditugu. Lehenengoari 2.2 irudiko OXY Z triedroa dagokio eta S sistemari O X Y Z delakoa. Denbora aurrera doan heinean bi sistemen arteko posizio erlatiboa, orientazio erlatiboa edo biak aldatu egingo dira. Gehienetan, baina ez nahitaez, lehenengoa inertziala izango da eta bigarrena ez. 2.2 IRUDIA Bi erreferentzia-sistema eta partikula bat. 2.1 Translazioa Hasteko, eman dezagun bi sistemen arteko orientazio erlatiboa konstantea dela: translazio erlatibo hutsa dugu, beraz. Mekanika newtondarrean denbora absolutua denez, bi sistemetako behatzaileek modu berean neurtzen dutela suposatuko dugu. Beraz, erlojuak sinkronizatuz gero, balio bera neurtuko da bietan. Bestalde, partikularen masa sistema guztietan era berean neurtzen den bere ezaugarria dela onartuko dugu, baita posizioaren transformazioa irudiak eta kalkulu bektorialak iradokitzen dutena dela ere. Beraz, bi sistemen arteko erlazioa hurrengo ekuazioek emandakoa dela postulatuko dugu: t = t, (2.1) r = r + R, (2.2) ṙ = ṙ + Ṙ, (2.3) r = r + R, (2.4) m = m. (2.5) Beti bezala, postulatu honen baliagarritasuna esperimentuetan konprobatu beharko da. Izan ere, aipaturiko transformazioa egokia da abiadurak argiarena baino askoz txikiagoak direnean soilik. S sistema inertziala bada, Newton-en bigarren legea F = m r da. S sisteman ez-inertziala izan arren partikulak pairatutako indar osoa F = m r dela suposatzen badugu, S sistemako indarra eta (2.4) (2.5) transformazioak ordezkatuz, hauxe lortzen da: m r = F = F m R. (2.6) Jakina, bi sistemen arteko higidura uniformea bada, R = 0, bigarren sistema ere inertziala da eta indar osoa bera da: F = F; bi sistemak baliokideak dira eta bien arteko transformazioa Galileo-rena.

3 2.1 Translazioa 55 Bi sistemen arteko azelerazioa nulua ez bada, berriz, bigarren sistema ez da inertziala eta han Newton-en bigarren legea gordetzeko, sistema inertzialetan neurtutako F indar osoaz gain, m R atoi-indarra ere kontuan hartu beharko da S sistemako indar osoa kalkulatzean. Horrelako indar bati inertzia-indarra deritzo eta ez da sistema inertzialetan agertzen. Horrexegatik, batzuetan horrelako indarrak itxurazkoak direla esaten da, erreferentzia-sistema ez-inertziala aukeratzearen ondorio hutsa baitira. Hala ere, horrelako adjektiboak kontuz erabili behar dira: egia da erreferentzia-sistema ongi aukeratuz desagertzen direla, baina behatzaile ez-inertzialak haien ondorioak pairatzen ditu (gogoratu zer gertatzen den gidariak autobusa gogorregi balaztatzen badu). Adibidez, baliokidetasunaren printzipioaren arabera masa inertziala eta grabitatorioa berdinak direnez, eremu grabitatorio batean bestelako indarrik jasan gabe erortzen ari den partikularen sisteman honen azelerazioa nulua da, noski, eta pairatzen duen indar osoa nulua: F = F m R = mg mg = 0. Honetaz baliatu zen Einstein erlatibitate orokorrean behatzaile inertziala erorketa askean ari dena dela esateko (baina, oro har, dagokion sistema inertziala bere ingurune batean dago definiturik, ez espazio osoan). Ikuspuntu honetatik, guk pairatzen dugun pisua inertzia-indarra da, zoruaren eraginez behatzaile inertzialekiko azeleraturik gaudelako sortzen dena! Partikula-sistemak Adibide moduan, kontsidera dezagun 1.5 ataleko moduko partikula-sistema bat. Partikula bakoitzaren eboluzio-ekuazioa S sisteman hauxe dugu: m i r i = F i m i R. (2.7) 2.1 ARIKETA Froga ezazu S sisteman eboluzio-ekuazio kolektiboak honako hauek direla: Ṗ = F (k) M R, (2.8) L = N (k) G R. (2.9) (Jakina, hemen L momentu angeluarra eta N (k) kanpo-indarren momentua S sistemako jatorriarekiko kalkulaturikoak dira.) Masa-zentroaren sistema Orain, eman dezagun S erreferentzia-sistema masa-zentroaren S sistema dela. Kasu horretan, G = G = 0 eta P = P = 0 direnez, goiko emaitzak sinplifikatu egiten dira. Translazio- -higidurari dagokionez, atoi-indar osoa bestelako indarren baturaren kontrakoa denez, indar osoa nulua da eta momentu lineala konstantea (eta nulua) da eta (2.8) ekuazioa (1.153) delakoaren baliokidea da: Ṗ = F (k) M R = 0. (2.10) Bigarren emaitza interesgarriagoa da: atoi-indarren momentu osoa nulua da eta, ondorioz, masa-zentroaren inguruko momentu angeluarraren eboluzio-ekuazioan (hau da, momentu angeluar intrintsekoarenean) ez da inertzia-indarren momenturik agertzen (ezta barne-indarrenak ere, ohi bezala Newton-en hirugarren legea betetzen dela suposatzen badugu behintzat): L = N (k). (2.11) Solido zurruna aztertzean erabiliko dugu masa-zentroaren sistemaren beste propietate garrantzitsu hau. Berriro ikusten dugu aipaturiko sistema, inertziala ez denean ere, oso erabilgarria dela.

4 56 2 Higidura erlatiboa 2.2 Orientazioa eta biraketak 2.3 IRUDIA Jatorri bereko S eta S triedroak. Eman dezagun S eta S erreferentzia-sistemetako triedroak O = O jatorri berekoak direla. Haien arteko desberdintasun bakarra, beraz, orientazioa izan daiteke eta batetik bestera biraketa egoki baten bidez joaten da. Atal honetan bi triedroen arteko erlazioa hau da, aipaturiko orientazio erlatiboa aztertuko dugu. Kontsidera ditzagun lehen triedroko ê 1 = i, ê 2 = j eta ê 3 = k bektore unitarioak eta bigarrenekoak: ê 1 = i, ê 2 = j eta ê 3 = k. Bi oinarri ortonormal hauetaz baliaturik, honela adierazten da beste edozein bektore, batukarien notazio laburra erabiliz: 3 3 u = u i ê i = u i ê i. (2.12) i=1 i=1 Bektorearen osagaien arteko erlazioa zuzenean kalkulatzen dira proiekzioak direla gogoratuz: u i = ê i u = ê i u j ê j = (ê i ê j)u j = R ij u j, (2.13) j=1 j=1 j=1 3 3 u i = ê i u = ê i u j ê j = ) 3 (êi ê j u j = Rij u j, (2.14) j=1 j=1 j=1 non oinarri desberdinetako bektore unitarioen arteko angeluen hurrengo kosinuak erabili ditugun: R ij = ê i ê j, (2.15) R ij = ê i ê j = R ji. (2.16) 2.2 ARIKETA Zergatik aldatu dugu batura-indizea aurreko kalkulua egiteko? 2.3 ARIKETA Frogatu bi sistemetako bektore-oinarri ortonormalen arteko erlazioa honako hau dela: ê i = ê i = 3 R ij ê j, (2.17) j=1 3 Rij ê j. (2.18) j=1

5 2.2 Orientazioa eta biraketak 57 R ij balioak 9 direnez, 3 3 matrize karratu bat osatzeko erabil daitezke: R = (R ij ) = R 11 R 12 R 13 R 21 R 22 R 23 R 31 R 32 R 33 = i i i j i k j i j j j k k i k j k k. (2.19) S sistematik S -era joateko erabili behar den biraketa-matrizea da R. Matrize-notazio honetan argi dago zergatik erabili dugun lehenago Rij ikurra: balio hauekin osaturiko matrizea aurrekoaren iraulia da: R = ( Rij) = (Rji ) = (R ij ). (2.20) Triedro bakoitzean, u bektorearen osagaiekin zutabe-matrize bat osa daiteke (oinarri ortonormala aukeratuz gero, bektoreak eta zutabe-matrizeaz baliokideak dira: lehenengoen osagaiak bigarrenen elementuak dira): U = u 1 u 2 u 3, U = u 1 u 2 u 3. (2.21) Horrela, (2.13) eta (2.14) erlazioak era laburrean adierazten dira matrize-notazioaren bidez: Orain goiko ekuazio batean bestea ordezkatuz, U = R U, (2.22) U = R U. (2.23) U = R R U, U = R R U, (2.24) geratzen da eta u bektorea eta, ondorioz, bere osagaiak edonolakoak direla kontuan hartuz, R eta R matrizeak ortogonalak direla ikusten dugu: non 1 identitate matrizea den. Adierazpen honen elementuak R R = R R = 1, (2.25) 3 3 R ik R jk = R ki R kj = δ ij (2.26) k=1 k=1 moduan idazten dira identitate matrizearen elementuak adierazten dituen Kronecker-en deltaren bidez: { 1, baldin i = j, δ ij (2.27) 0, baldin i j. Espero bezala, sistema batetik bestera eta atzera joateko matrizeak elkarren alderantzizkoak dira: R 1 = R. (2.28) 2.4 ARIKETA Froga ezazu R matrizea ortogonala bada, det R = ±1 dela.

6 58 2 Higidura erlatiboa 2.4 IRUDIA OZ ardatz bereko bi erreferentzia-sistema. 2.5 ARIKETA Adibide moduan, eman dezagun bi sistemek OZ = OZ ardatz bera dutela eta S sistema S delakoari OZ ardatzaren inguruko ϕ balioko biraketa aplikatuz lortzen dela, 2.4 irudian erakusten den moduan. Kalkulatu bi sistemetako bektore unitarioen arteko angeluak: i = cosϕi + sin ϕj, (2.29) j = sinϕi + cosϕj, (2.30) k = k. (2.31) Ondorioztatu biraketa-matrizea R = cosϕ sin ϕ 0 sinϕ cosϕ (2.32) dela eta, beraz, honela transformatzen direla u bektorearen osagaiak: u x = cosϕu x + sin ϕu y, (2.33) u y = sinϕu x + cosϕu y, (2.34) u z = u z. (2.35) (Testuetan erabiltzen diren notazio guztiak irakurleak ezagut ditzan, u x erabili dugu hemen u 1 -en ordez.) 2.3 Euler-en angeluak Jatorri bereko bi triedroren arteko orientazio erlatiboa emateko biraketa-matrize bat erabili dugu aurreko atalean. Horrelako matrize-batek 3 3 = 9 elementu ditu, baina denak ez dira elkarren independenteak: matrizea ortogonala denez, (2.26) baldintzak bete behar dira. Azken adibidean angelu bakar batez baliatu gara biraketa-matrizearen elementu guztiak idazteko. Orain frogatuko dugu 2.3 irudiko kasu orokorrean gehienez hiru angelu behar direla. Mekanikan, eta, batez ere solido zurruna aztertzean, Euler-en angeluak erabiltzen dira horretarako. Hiru pausotan pasatuko gara S triedrotik S -era, bakoitzean Euler-en angelu bat definitzen dugularik ϕ angelua Lehen pausoan OZ ardatzaren inguruan ϕ balioko biraketa eginez, S triedrotik S 1 -era joaten da, OZ ardatza OX 1 Z 1 planoan egoteko moduan. 2.5 ariketan ikusi genuenez, horretarako

7 2.3 Euler-en angeluak 59 hurrengo biraketa-matrizea erabili behar da: R 1 = cosϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ (2.36) 2.5 IRUDIA S eta S 1 erreferentzia-sistemak θ angelua Bigarren pausoan OY 1 ardatzaren inguruan θ balioko biraketa eginez, S 1 triedrotik S 2 -era joaten da, OZ ardatza OZ 2 -ren berdina izateko moduan. 2.1 probleman ikusiko dugunez, horretarako hurrengo biraketa-matrizea erabili behar da: R 2 = cosθ 0 sin θ sin θ 0 cosθ. (2.37) 2.6 IRUDIA S 1 eta S 2 erreferentzia-sistemak. Lehenengo bi urratsetan OZ ardatzaren norabidea kokatu dugu θ eta ϕ angelu polarren bidez. Geratzen zaigun askatasun-gradu bakarra, beraz, ardatz horren inguruko biraketei dagokiena da.

8 60 2 Higidura erlatiboa ψ angelua OZ ardatza aldatu gabe, beste biak lortzeko, hirugarren pausoan OZ 2 = OZ ardatzaren inguruan ψ balioko biraketa eginez, S 2 triedrotik S -era joaten da. 2.5 ariketan ikusi genuenez, horretarako hurrengo biraketa-matrizea erabili behar da: R 3 = cos ψ sin ψ 0 sin ψ cosψ (2.38) 2.7 IRUDIA S 2 eta S erreferentzia-sistemak. Beraz, jatorrizko S-tik S sistemara joateko erabili behar den biraketa-matrizea honako hau da: R = R 3 R 2 R 1, (2.39) sin ϕ sinψ + cosϕcosθ cos ψ cosϕsin ψ + sin ϕ cosθ cosψ sin θ cos ψ R = sin ϕ cosψ cosϕcosθ sin ψ cosϕcosψ sin ϕ cosθ sin ψ sin θ sin ψ. cosϕsin θ sin ϕ sin θ cosθ (2.40) 2.8 IRUDIA Euler-en angeluak. 2.6 ARIKETA Zergatik (2.39) eta ez R = R 1 R 2 R 3?

9 2.4 Abiadura angeluarra 61 Testu batzuetan aurreko biraketak ordena desberdinean egiten dira eta, beraz, Euler-en angeluen definizioa ez da guztiz berdina, funtsean erabiltzen diren ideiak baliokideak badira ere. Ikus dezakegunez, hiru parametro nahiko dira bi triedroen arteko orientazioa adierazteko. Jakina, bi sistemen jatorriak puntu berean ez badaude, posizio erlatiboa adierazten duen OO bektorearen hiru osagaiak ere beharko dira sistemen arteko erlazioa zehazteko. 2.9 IRUDIA Bi triedro orokorren arteko erlazioa. 2.4 Abiadura angeluarra Bi erreferentzia-sistemaren arteko orientazioaren aldaketa neurtzeko abiadura angeluarra definituko dugu. Argi dago, sistema baten ikuspuntutik, bere oinarriko bektoreak konstanteak direla. Horrela, adibidez, ( ) dê i = 0 (2.41) dt S idatziko dugu ê i bektorearen deribatua S sisteman kalkulatzean bektore nulua lortzen dela adierazteko. Baina S sisteman, 3 ê i = R ik ê k (2.42) k=1 bektorea ez da konstantea, orientazio erlatiboa eta dagokion R matrizea aldakorrak badira. Beraz, (2.17) eta (2.18) erabiliz, hauxe dugu S sisteman: ( ) dê i = Ṙ ik ê k = Ṙ ik Rkj ê j = Ṙ ik R jk ê j = Ω ij ê dt j, (2.43) S k=1 non hurrengo definizioa egin dugun: k,j=1 j,k=1 3 3 Ω ij Ṙ ik R jk = Ṙ jk R ik = Ω ji. (2.44) jk=1 jk=1 (Hemen, (2.26) propietatearen deribatua erabili dugu deribatzen den biderkagaia aldatzeko.) Azken propietate honek frogatzen duenez, Ω ij balioekin 3 3 matrize antisimetriko bat eraiki daiteke: Ω = ( Ω ij) = Ṙ R = Ω. (2.45) j=1

10 62 2 Higidura erlatiboa Aipaturiko matrizearen diagonaleko elementuak nuluak dira, noski, eta ω x Ω 23, (2.46) ω y Ω 31, (2.47) ω z Ω 12 (2.48) balioak definitzen baditugu, honela idazten da S sisteman neurtzen den S delakoaren abiadura angeluarra matrize-notazioan: Ω = Abiadura angeluarraren elementuekin 0 ω z ω y ω z 0 ω x ω y ω x 0. (2.49) ω ω x i + ω y j + ω z k (2.50) bektorea eraiki dezakegu. Hauxe dugu abiadura angeluarra bektore-notazioan 1 eta (2.43) emaitza hurrengo era laburrean idazteko erabil daiteke: ( ) dê i = ω ê dt i. (2.51) S 2.7 ARIKETA Garatu (2.51) adierazpena eta, (2.46) (2.48) definizioez baliatuz, egiaztatu (2.43) berreskuratzen dela. 2.8 ARIKETA Egiaztatu 2.5 adibideko abiadura angeluarra ω = ω k dela. Kontsidera dezagun orain 3 3 u = u i ê i = u i ê i (2.52) i=1 i=1 bektore orokorra. Goiko lehen garapena erabiltzen badugu, S sisteman deribatzean ê i bektoreak konstanteak direla kontuan hartu behar da; gehienez, u i osagaiak alda daitezke: ( ) du = dt S 3 u i ê i. (2.53) i=1 Antzeko gauza bat gertatzen S sisteman deribatua eta garapena bertan kalkulatzen badira: ( ) du = dt S 3 u i ê i. (2.54) i=1 Baina gauzak aldatzen dira sistema batean deribatua kalkulatzeko beste sistemako osagaiak erabiltzen badira. Adibidez, (2.52) emaitzaren bigarren garapena S sistema deribatzean, u i osagaiak eta ê i bektoreak deribatu behar dira. Horixe egiten badugu, (2.51) erabiliz honako hau lortzen da: ( ) du = dt S 3 3 u i ê i + u i i=1 i=1 ( dê i dt ) 3 3 = u i ê i + u i ω ê i. (2.55) S i=1 i=1 1 Egia esan, ω delakoa Ω -ren duala da eta definizioan triedro zuzena erabili beharrean alderantzizko batez baliatzen bagara, kontrako zeinua lortzen da: ω sasibektorea da.

11 2.4 Abiadura angeluarra 63 Orain, (2.54) gogoratuz, Coriolis-en teorema dugu: ( ) ( ) du du = + ω u, (2.56) dt dt S S hau da, bektore baten deribatua erreferentzia-sistema batean kalkulatzeko, beste sisteman kalkulatutako deribatuari bigarren sistemaren abiadura angeluarraren eta bektorearen arteko biderkadura bektoriala batu behar zaio. Hemendik aurrera, notazioa arintzeko, ikurra duen magnitudea S sisteman kalkulatu (eta, ikurra badu, deribatu) dela suposatuko dugu. Bestela, dena kalkulatzen da S sisteman. Beraz, hauxe idatziko dugu: u = u, (2.57) u = u + ω u. (2.58) Lehen ekuazioan bi sistemetan u bektore bakarra dugula (nahiz eta osagai desberdinak eduki bi sistemetan) adierazten da eta bigarrena Coriolis-en (2.56) teorema da. 2.9 ARIKETA Egiaztatu hurrengo emaitza eta azaldu gai bakoitzaren esanahia: ü = ü + ω u + 2 ω u + ω (ω u ). (2.59) Aplikazio moduan, kontsidera dezagun S erreferentzia-sisteman konstantea den edozein u bektorea; S sisteman bere modulua konstantea izango da, baina orientazioa aldakorra: ω abiadura angeluarraz biratzen egongo da eta bere deribatua Coriolis-en (2.58) teoremaren bidez kalkulatuko dugu: u = 0 = u = ω u. (2.60) Azken adierazpenak S sistemarekin batera biratzen ari diren bektore guztien abiadura angeluarra ω dela diosku. Modulu konstanteko bektoreak deribatzean beti gertatzen den bezala, deribatua u bektorearen perpendikularra dela ikusten da (2.51) adierazpenean IRUDIA Modulu konstanteko bektorearen biraketa infinitesimala ARIKETA Egiaztatu dt denbora-tarte infinitesimalean ω abiadura angeluarraz biratzen ari den u bektorearen du = ω u dt aldaketa infinitesimala 2.10 irudikoa dela. Ondorioztatu ω-ren norabidea biraketa-ardatzarena dela, biraketa-angelu infinitesimala dϕ = ω dt (hau da, abiadura angeluarraren ω = dϕ/dt modulua denbora-unitatean biratutako angelua dela), eta biraketa-noranzkoa ω bektorearena dela.

12 64 2 Higidura erlatiboa Euler-en angeluak eta (2.40) emaitza erabiliz, S sisteman S delakoak duen abiadura angeluarra Ω = Ṙ R da S -en oinarrian, ω = ( θ sin ψ ϕsin θ cos ψ ) i + ( θ cosψ + ϕ sin θ sin ψ ) j + ( ψ + ϕcosθ ) k, (2.61) eta bektore berbera, baina S sisteman neurturik, Ω = R Ω R = R Ṙ izango da (ikus atala): ω = ( θ sin ϕ + ψ cosϕsin θ ) i + ( θ cosϕ + ψ sin ϕ sin θ ) j + ( ϕ + ψ cosθ ) k (2.62) 2.11 ARIKETA Egiaztatu azken emaitzak. 2.5 Erreferentzia-sistema ez-inertzialak Eman dezagun orain S sistema inertzialean S delakoaren higidura orokorra dela: bere jatorria azeleraturik egon daiteke eta, gainera, ardatzen orientazioa aldakorra da. Higidura orokorraren bi osagaiak aiseago aztertzeko tarteko S erreferentzia-sistema bat sartuko dugu, S sistemarekin batera higitzen dena baina S-rekiko orientazioa aldatu gabe IRUDIA Tarteko erreferentzia-sistema. Lehen pausoan, translazio-higidura aztertuko dugu, hau da, nola higitzen den S sistema (edo, gauza bera dena, O = O jatorria) S-rekiko. Nahikoa da (2.1) (2.5) transformazioa hemengo kasura moldatzea: t = t, (2.63) r = r + R, (2.64) ṙ = ṙ + Ṙ, (2.65) r = r + R, (2.66) m = m. (2.67) Biraketa-higidura aztertzeko, S sisteman kontsideratuko dugu S delakoaren higidura. Denbora eta masa sistema bietan modu berean neurtzen direla onartuz, (2.57) (2.59) ekuazioetan u = r eta u = r eginez, hauxe dugu: t = t, (2.68) r = r, (2.69) ṙ = ṙ + ω r, (2.70) r = r + ω r + 2 ω ṙ + ω (ω r ), (2.71) m = m, (2.72)

13 2.5 Erreferentzia-sistema ez-inertzialak 65 eta tarteko S sistema ezabatzeko, bi emaitza multzoak konbinatuz, hauxe da S eta S sistemen arteko transformazio orokorra (mekanika newtondarrean, hau da, abiadurak argiarena baino askoz txikiagoak direnean): t = t, (2.73) r = r + R, (2.74) ṙ = ṙ + Ṙ + ω r, (2.75) r = r + R + ω r + 2 ω ṙ + ω (ω r ), (2.76) m = m. (2.77) (2.76) eta (2.77) ekuazioak biderkatuz eta S eta S sistemetan neurturiko indarra osoa F = m r eta F = m r direla kontuan hartuz, honela agertzen zaigu Newton-en bigarren legea S sistema ez-inertzialean: m r = F = F m R m ω r 2m ω ṙ m ω (ω r ). (2.78) Ikusten dugunez, sistema inertzialetan neurturiko F indarraz gain, hurrengo lau inertzia-indarrak kontuan hartu behar ditu behatzaile ez-inertzial orokorrak: atoi-indarra = m R, (2.79) azimut-indarra = m ω r, (2.80) Coriolis-en indarra = 2m ω ṙ, (2.81) indar zentrifugoa = m ω (ω r ). (2.82) 2.12 IRUDIA Higidura zirkularra. Adibide moduan, kontsidera dezagun partikula baten higidura zirkular uniformea (adibidez, zaldiko-maldiko batean dagoen behatzailearena). Ibilbidearen erradioa R da eta, lehen azterketa egiteko, S inertzia-sistema bat aukeratuko dugu ibilbidearen zentroa O jatorrian egoteko moduan, OXY plano cartesiarra ibilbidearena izateko moduan. Partikularen ω ϕ abiadura angeluarra konstantea da, (1.33) abiadura angeluar bektoriala ω ϕ k, eta (1.36) azelerazioa zentripeto hutsa da kasu honetan: r = Rω 2ˆr = ω 2 r. (2.83) Beraz, sistema horretan, partikulak norabide horizontalean pairatzen duen indar osoa (zoruak eragindakoa edo) zentripetoa da: F = m r = mω 2 r. (2.84) Aukera dezagun orain OZ ardatzaren inguruan ω abiadura angeluarraz biratzen ari den O jatorriko S sistema (hau da, zaldiko-maldiko zentroan finkatua). 2.8 ariketan aztertu genuen sistema ez-inertzial horretan partikula pausagunean dago r = Ri puntuan eta bere azelerazioa,

14 66 2 Higidura erlatiboa ondorioz, nulua da. Inertzia-indarrak erraz aztertzen dira kasu honetan. Atoi-indarra nulua da sistema ez-inertzialaren jatorria ez baitago azeleraturik. Abiadura angeluarra konstantea denez, azimut-indarra ere nulua da, eta gauza bera gertatzen da Coriolis-en indarrarekin partikula sistema horretan geldirik baitago ARIKETA Froga ezazu partikula pairatzen dituen (2.84) indarra eta zentrifugoa hauexek direla, hurrenez hurren: mω 2 r = mrω 2 i, (2.85) m ω (ω r ) = mrω 2 i. (2.86) Beraz, S sisteman, (2.84) higidura-ekuazioa (kasu honetan oreka-baldintza dena) modu honetan idazten da: 0 = mrω 2 i + mrω 2 i, (2.87) hau da, zoruak eragindako indarra eta zentrifugoa elkarren kontrakoak direnez, partikula azeleraziorik gabe higitzen da IRUDIA Partikularen sistema propioa. Aukera dezagun orain partikularekin batera higitzen eta biratzen den S sistema, hau da behatzailea dagoen puntuan kokatutako sistema (edo, kurba zirkular batean higitzen ari den autobusaren sistema). Sistema hau higitzen eta biratzen ari da, baina partikula bere jatorrian dago pausagunean: r = 0. Ondorioz, biraketarekin loturik dauden inertzia-indar guztiak (azimut-indarra, Coriolis-ena eta zentrifugoa) nuluak dira eta bakarrik geratzen dira sistema inertzialean neurtutako (2.84) indarra eta atoi-indarra. Azken hau erraz kalkulatzen da, S sistemaren azelerazioa partikulak S-rekiko duen azelerazio zentripetoa baita: Hortaz, S sistema higidura-ekuazioa honako hau da: R = r = ω 2 r = Rω 2 i, (2.88) m R = mrω 2 i. (2.89) 0 = mrω 2 i + mrω 2 i. (2.90) i = i direnez, (2.87) eta (2.90) baliokideak dira, noski; baina eskuinaldean agertzen den bigarren gaiaren interpretazioa desberdina da: han zentrifugoa bazen ere, hemen atoi-indarra da. Aitortu behar da, hala ere, askotan (fisikari buruzko liburuetan ere) autobusean pairatzen dugun indar hori, bere norabidea eta noranzkoa kontuan harturik edo, zentrifugoa deitzen dela.

15 2.6 Inertzia-indarrak Lurraren gainazalean Inertzia-indarrak Lurraren gainazalean Normalean, laborategiko sistema inertzialtzat hartzen dugu Lurraren gainazalaren inguruan gertatzen diren higidurak aztertzean. Baina aipaturiko higiduren iraupena oso handia bada (hala nola atmosferaren higiduran edo geroago aztertuko dugun Foucault-en penduluaren kasuan), ezin arbuia daiteke Lurraren biraketa-higidura eta inertziala ez den laborategiko sisteman agertzen diren inertzia-indarrak kontuan hartu beharko dira IRUDIA Lurra eta laborategiko sistema erraztua Laborategiko sistema erraztua Ondorengo azterketak errazteko, beti aukeratuko dugu laborategiko S sistema 2 era honetan: O jatorria laborategiaren zentroan, Lurraren gainazalean. Puntu horren posizioa emateko ϕ luzera (hau da, gure laborategitik pasatzen den meridianoaren eta Greenwich-ekoaren planoen arteko angelua) eta λ latitudea (ekuatoretik eta meridianoan zehar gure paraleloaren posizioa neurtzen duen angelua) erabiliko ditugu, ohi bezala. OX ardatza meridianoaren tangentea eta hegoalderantz. OY ardatza paraleloaren tangentea eta ekialderantz. OZ Lurraren norabide erradialean eta kanporantz. Lurraren translazio-higidura arbuiatzen dugunez, bere zentroan kokaturiko S 0 erreferentzia-sistema inertziala dela onartuko dugu, ardatzak ez badira izar trinkoekiko biratzen. Kontsidera dezagun laborategiko S sistema. Lurraren abiadura angeluarra konstantetzat hartuko dugu, guztiz egia ez bada ere; ez dago, beraz, azimut-indarrik. Atoi-indarra kalkulatzeko, laborategiaren azelerazioa kalkulatu behar da. S 0 sisteman O-ren R posizio-bektorea paraleloan zehar Lurraren 2 Notazioa errazteko, hemendik aurrera laborategiko sistema eta bertan neurturiko magnitudeak -rik gabe idatziko dira, nahiz eta sistema hori inertziala ez izan.

16 68 2 Higidura erlatiboa ω abiadura angeluarraz biratzen ari denez, bere abiadura (2.60) emaitzak emandakoa da (R bektorea konstantea da Lurrarekin batera higitzen eta biratzen den S sisteman): Ṙ = ω R. (2.91) 2.13 ARIKETA Egiaztatu abiadura hau laborategiko jatorriaren ibilbidea den paraleloaren tangentea dela, ekialderanzkoa, eta bere modulua paraleloaren erradioa bider abiadura angeluarra, espero bezala: Ṙ = (R cosλ)ω. (2.92) 2.15 IRUDIA Laborategiaren abiadura eta azelerazioa. Abiadura bera ere laborategiarekin batera paraleloan zehar ω abiadura angeluarraz biratzen ari denez, bere deribatua den azelerazioa kalkulatzeko (2.60) ekuazioaz balia gaitezke berriro ere: R = ω Ṙ = ω (ω R). (2.93) 2.14 ARIKETA Egiaztatu azelerazio hau higidura zirkularraren azelerazio zentripetoa dela: paraleloaren erradioaren norabidean dago, Lurraren ardatzerantz, hau da, ibilbidearen zentrorantz, eta bere modulua ibilbidearen erradioa bider abiadura angeluarraren karratua da: R = (R cosλ)ω 2. (2.94) Laborategiko sisteman honela idazten da partikula baten (2.78) higidura-ekuazioa: m r = F m ω (ω R) 2m ω ṙ m ω (ω r). (2.95) non F indarra sisteman inertzialetan neurtutako indar osoa den. Lurraren R = R erradioa balioa kontuan harturik, erraz ulertzen da gehienetan r R dela eta, beraz, m ω (ω r) zentrifugoa arbuiagarria m ω (ω R) atoi-indarraren parean. Hortaz, oso hurbilketa onean (2.95) higidura-ekuazioa honela idazten da: m r = F m ω (ω R) 2m ω ṙ. (2.96) Kasu honetan ere, testuliburu gehienetan m ω (ω R) inertzia-indarra zentrifugoa dela esaten da, nahiz eta berez laborategiaren azelerazioaren ondorioa izan. (Arrazoia, berriro ere, indar horren noranzkoa dateke.)

17 2.6 Inertzia-indarrak Lurraren gainazalean ARIKETA Egiaztatu laborategiko sisteman honela garatzen direla funtsezko magnitude batzuk: ω = ω ( cosλi + sin λk), (2.97) ω (ω R) = Rω 2 cosλ(sin λi + cosλk). (2.98) Azken adierazpenean parentesi artean agertzen den bektore unitarioa paraleloaren erradioaren norabidean dago eta indar zentrifugoaren norabidea eta noranzkoa adierazten du. Hau kontuan harturik, (2.94) modulua berreskuratzen da (2.98) emaitzatik. (2.96) higidura-ekuazioaren zenbait aplikazio ikusiko ditugu jarraian Grabitate-azelerazioa Eman dezagun partikula baten pisua neurtzeko irudiko dinamometroa erabiltzen dugula. Partikularen pisua bere gainean dinamometroak eragiten duen T indarraren kontrakoa dela esango genuke, m-ren oreka-ekuazioa T + P = 0 baita. Beraz pisuaren norabidea (igeltseroak plomuaren bidez definitzen duen bertikala) dinamometroarena da eta modulua, dinamometroaren masa arbuiagarria bada, malgukiaren deformazioak emandakoa IRUDIA Pisua neurtzeko dinamometroa. Baina azter dezagun arreta handiagoz oreka-ekuazioa. Han sartu behar dira hiru indar: dinamometroak eragindako T ukipen-indarra, Lurraren F g = mg erakarpen grabitatorioa eta F z = m ω (ω R) indar zentrifugoa. Lurra guztiz esferikoa eta simetrikoa balitz, F g erradiala izango litzateke; baina praktikan Lurraren benetako masa-banaketaren ondorioz apur bat desbideratuko da norabide horretatik. Hala ere, 2.17 irudiko ezkerraldean norabide erradialean marraztu dugu. Irudi berean agertzen den indar zentrifugoa ikusi ahal izateko, askoz handitu da, eskala errespetatu gabe ARIKETA Batez beste urtebetean egun daudela kontuan harturik, froga ezazu Lurraren abiadura angeluarra ω s 1 (2.99) dela. Ondorioztatu indar zentrifugoaren ekarpena beti dela pisuaren 3.5 baino txikiagoa. Dinamometroak definituriko pisua eta bertikala, beraz, ez dira izango erakarpen grabitatorio hutsari dagozkionak, P = F g + F z baizik: indar zentrifugoak sorturiko desbiderapen txiki bat egongo da. Azken honen noranzkoa ikusteko, marraz ditzagun ardatz cartesiarrak eta pisuaren osagaiak, ipar eta hego hemisferioen kasuetan, OX ardatza hego poloranzkoa dela kontuan

18 70 2 Higidura erlatiboa 2.17 IRUDIA Erakarpen grabitatorioa eta indar zentrifugoa meridianoaren planoan. harturik irudiko eskuinaldean (berriro ere eskalak errespetatu gabe) ikusten den bezala, zentrifugoak eragindako desbiderapena hegoalderantz (iparralderantz) gertatzen da ipar (hego) hemisferioan Higidura bertikala Eman dezagun partikula bat laborategiko sisteman norabide (ia) bertikalean erortzen ari dela (pausagunetik askatu dugulako edo): ṙ v k. (2.100) Hau eta (2.97) kontuan hartuz, Coriolis-en indarra honelakoa da: 2mω ṙ 2mωv cosλj. (2.101) Beraz, cos λ 0 denez, partikula ekialderantz desbideratuko da (pittin bat) beti, edo, zentrifugoaren eragina kontuan hartzen badugu, hego-ekialderantz (ipar-ekialderantz) ipar (hego) hemisferioan ARIKETA Lortu emaitza bera Coriolis-en indarra grafikoki kalkulatuz. Hanburgoko Michaelis elizaren dorretik askatutako altzairuzko bolatxoek 76 m-ko garaieran 9.6 mm-ko ekialderako desbiderapena egiten zutela neurtu zuen Benzenberg-ek 1802an. Astronomian oinarritzen ez den Lurraren biraketaren lehen frogapena izan zen hau Higidura horizontala Indar egokien eraginaren ondorioz partikula plano horizontal batean (edo handik oso hurbil) higitzen bada, ṙ ẋi + ẏ j, (2.102)

19 2.6 Inertzia-indarrak Lurraren gainazalean 71 hauxe da Coriolis-en indarra (2.97) kontuan hartuz: F C = 2mω ṙ 2mω sin λk ṙ + 2mẏω cosλk. (2.103) Honen osagai perpendikularra, 2mẏω cos λ k, ez zaigu hemen interesatzen: agian beste indar bertikal batekin deuseztatuko da. Osagai horizontala, F Ch 2mω sin λk ṙ, (2.104) abiaduraren perpendikularra da eta k ṙ ezkerralderantz doala eta λ latitudearen zeinua kontuan hartuz, erraz ikusten da Coriolis-en indarrak sorturiko abiaduraren desbiderapen horizontala eskuineranzkoa (ezkerreranzkoa) dela ipar (hego) hemisferioan IRUDIA Coriolis-en indarra higidura horizontalean ARIKETA Lortu emaitza bera Coriolis-en indarra grafikoki kalkulatuz. Berriro ere azpimarratu behar da Coriolis-en indarra oso txikia dela eta bere eragina kontuan hartu behar izateko higiduraren iraupenak nahiko luzea izan behar duela. Hala gertatzen da, adibidez, atmosferan airearen higidurarekin eta, ezaguna denez, Coriolis-en indarra da, preseski, ipar hemisferioan zikloiak erlojuaren kontrakoak izateko arrazoia (ikus, adibidez, [7] edo [11]) IRUDIA Foucault-en penduluaren oszilazio-planoaren biraketa Foucault-en pendulua 1851n Foucault-ek jende arruntaren aurrean frogatu zuen zuzenean Lurra bere ardatzaren inguruan biratzen ari dela, Pariseko Panteoian 67 m inguruko pendulu bat erabiliz (ikus 53. orriko irudia). Izan ere, pendulu baten kasuan, masak Coriolis-en indarraren osagai horizontal txiki

20 72 2 Higidura erlatiboa bat pairatuko du eta periodoerdi bakoitzean apur bat desbideratuko da eskuinerantz (ipar hemisferioan). Ondorioz, oszilazio-planoa erlojuaren noranzkoan desbideratuko da apurka-apurka, 2.19 irudian eskala errespetatu gabe erakusten den moduan. Nola desbideratu den kalkulatzeko, ikus dezagun, hasteko, zer gertatzen den pendulua ipar poloan badago. Behatzaile inertzialaren ikuspuntutik oszilazio-planoa konstantea da, baina Lurrak azpitik bira bat egiten du 24 ordutan. Ondorioz, Lurraren ikuspuntutik oszilazio-planoaren orientazioaren aldaketa ordubetean 15 baliokoa da ARIKETA Zenbateko denbora eman behar da ipar poloan oszilazio-planoa hasierako posiziora itzultzeko? Beste latitude guztietan gertatzen dena ikusteko, Coriolis-en indarraren (2.104) osagai horizontala sin λ-ren proportzionala dela gogoratuko dugu: kasu orokorrean oszilazio-planoak ordubetean egindako biraketa 15 sin λ baliokoa izatea espero dugu, eta hala gertatzen dela frogatzen du kalkulu egokiak (ikus, adibidez, [2] edo [13]). Jakina, hego hemisferioan penduluaren oszilazio-planoa erlojuaren orratzen kontra biratuko da, eta alferrikakoa da zientzia-museo askotan ikusten diren Foucault-en penduluetako bat ekuatorean eraikitzea Grabitatearen eraginpeko higidura Lurraren azalaren inguruan eta erakarpen grabitatorioaren eraginpean higitzen ari den partikula baten ibilbidea aztertzeko, laborategiko sistemaren OZ ardatza hasierako posiziotik pasatzeko moduan aukeratzen badugu, honela adierazten dira hastapen-baldintzak: r 0 = hk, ṙ 0 = u x i + u y j + u z k. (2.105) (Honek esan nahi du t = 0 aldiunean partikula u x i + u y j + u z k abiadurarekin jaurtitzen dugula OZ ardatzetik eta h altueratik.) Partikularen gainean eragiten duen indar ez-inertzial bakarra pisua bada (eta, beraz, airearen marruskadura arbuiagarria bada), (2.96) higidura-ekuazioa honako hau da: m r = mg mω (ω R) 2mω ṙ. (2.106) h altuera txikia dela kontuan harturik, grabitate-azelerazioa higiduran zehar konstantea dela eman dezakegu. Bestaldetik, Lurraren abiadura angeluarra (2.99) denez, ω 2, ω 3 eta ordena altuagoko berreturak dauzkan gaiak sistematikotik arbuiatuko ditugu kalkuluan, higiduraren T iraupen osoa ωt 1 izateko bezain txikia dela suposatzen dugulako. Indar zentrifugoa ω 2 -ren proportzionala denez, ez dugu kontuan hartuko (edo, nahiago badugu, pisuan sartuko dugu) eta (2.106) higidura-ekuazioa honela idatziko da: r = g 2ω ṙ. (2.107) ω konstantea denez, adierazpen hau zuzenean integratzen da eta, (2.105) baldintzak erabiliz, abiadura lortzen dugu: ṙ = ṙ 0 + tg 2ω (r r 0 ). (2.108) Emaizta hau (2.107) azelerazioan ordezkatuz, r = g 2ω (ṙ 0 + tg) + 4ω [ω (r r 0 )] (2.109)

21 2.7 Problema ebatziak 73 geratzen da, baina azken gaia arbuiagarria da ω 2 -ren proportzionala baita: r = g 2ω (ṙ 0 + tg). (2.110) Eskuineko gaian r agertzen ez denez, zuzenean integratzen da hau, eta hasierako baldintzak erabiliz, ṙ = ṙ 0 + tg 2tω ṙ 0 t 2 ω g (2.111) abiadura eta r = r 0 + tṙ t2 g t 2 ω ṙ t3 ω g (2.112) posizioa lortzen dira. Koordenatuak nahiago badira: x = u x t + ωu y t 2 sin λ, (2.113) y = u y t ωt 2 (u x sin λ + u z cosλ) ωgt3 cos λ, (2.114) z = h + u z t 1 2 gt2 + ωu y t 2 cosλ. (2.115) Jakina, ω guztiak arbuiatzen baditugu (hau da, Coriolis-en indarra kontuan hartzen ez bada) tiro parabolikoaren emaitza ezagunak berreskuratzen dira ARIKETA Erabili hemengo adierazpenak ataleko emaitza nagusiak berreskuratzeko, pausagunetik askatzen den partikula baten kasuan ARIKETA Hanburgoko latitudea dela kontuan hartuz, zenbatekoa da Benzenberg-en esperimentuan teoriak aurresandako desbiderapena? 2.7 Problema ebatziak Alderanzketak Zein da R = cosϕ sin ϕ 0 sin ϕ cosϕ Matrizea honela idazten da: R = matrize ortogonalaren esangura? cosϕ sin ϕ 0 sin ϕ cosϕ Bigarren matrizea OZ inguruko biraketa deskribatzen duen (2.32) biraketa-matrizea da. Lehen matrizeak (x, y, z) (x, y, z) alderanzketa deskribatzen du. Antzeko deskonposizio bat egin daiteke detr = 1 baldintza 3 betetzen duen edozein matrize ortogonalen kasuan, biraketa baten eta alderanzketa baten konposizioa dela frogatzeko ARIKETA Bakarra al da deskonposizio hori? 3 Matrize ortogonal baten determinantea 1 edo 1 da beti, 2.4 ariketan frogatuko dugunez. Matrize ortogonalaren determinantea det R = 1 denean, benetako biraketa-matrizea da eta det R = 1 kasuan alderanzketa-matrize baten eta biraketa-matrize baten biderkadura..

22 74 2 Higidura erlatiboa Biraketa-ardatza eta biraketa-angelua Biraketa-matrize bat ezagutuz gero, nola jakin daiteke zeintzuk diren biraketa-ardatza eta biraketa-angelua? Biraketa-ardatzean dauden U bektore guztiak ez dira aldatzen: R U = U. 1 balio propioari dagokion bektore propioen paraleloa da, beraz, biraketa-ardatza. (Beste bi balio propioak e ±iϕ dira.) Bestalde, aztarna antzekotasun-transformazioekiko aldaezina denez (ikus 5.9 problema), OZ ardatz cartesiarra biraketa-ardatzaren paraleloa aukeratzen bada, erraz kalkulatzen da aztarna, kasu horretan biraketa-matrizea (2.32) adierazpenera laburtzen baita: tr R = 2 cos ϕ + 1. Ondorioz, hauxe dugu biraketa-angelua (edozein erreferentzia-sistematan): ϕ = ± arccos trr Hiru gorputzen problema murriztu zirkularra Aztertuko dugun sistema astronomiko bitar batean bi gorputz nagusiak, primarioak alegia, orbita zirkularretan higitzen dira elkarren inguruan. (Eguzkia eta Lurra, Lurra eta Ilargia edo Jupiter eta Io izan daitezke, adibidez.) Hirugarren gorputzaren masa arbuiagarria dela (hau da, primarioen higiduran ez duela inolako eraginik) suposatzen dugu. Planetoide honen higidura aztertzeko, erreferentzia-sistemaren jatorritzat masa-zentroa aukeratzen dugu eta ardatz koordenatuak primarioekin batera biratzen dira, primarioak X ardatzean pausagune erlatiboan egoteko moduan. Aurki itzazu planetoidearen higidura-ekuazioak. Masa-zentroaren kokapena irudiko O puntua bada, hauxe betetzen da: m 1 l 1 = m 2 l 2. Nagusien higidura erlatiboaren ekuazioa, bi gorputzen problemarena da (gogoratu atala). Kasu honetan, partikulen arteko indarra Newton-en grabitazio unibertsalaren legeak emandakoa denez, honela idazten da: m 1 m 2 (l 1 + l 2 )ω 2 = G m 1m 2 m 1 + m 2 (l 1 + l 2 ) 2 ω 2 = G m 1 + m 2 (l 1 + l 2 ) 3. Planetoidearen higidura-ekuazioaren osagaiak hauexek ditugu: m r = F 1 + F 2 2m ω ṙ mω (ω r) ẍ = Gm 1 x + l 1 [ ((x + l1 ) 2 + y 2 + z 2 ] 3/2 Gm 2 x l 2 [ ((x l2 ) 2 + y 2 + z 2 ] 3/2 + 2ωẏ + ω 2 x, y y ÿ = Gm 1 [ ((x + l1 ) 2 ] 3/2 Gm 2 [ + y 2 + z 2 ((x l2 ) 2 ] 3/2 2ωẋ + ω 2 y, + y 2 + z 2 z z z = Gm 1 [ ((x + l1 ) 2 ] 3/2 Gm 2 [ + y 2 + z 2 ((x l2 ) 2 ] 3/2. + y 2 + z 2

23 2.7 Problema ebatziak Lagrange-ren L 4 eta L 5 puntuak Froga ezazu aurreko ariketaren planetoidea pausagune erlatiboan egon daitekeela bera eta primarioak triangelu aldekide baten erpinetan kokaturik badaude. Ba al dago oreka erlatiboaren beste punturik? Egia esan, probleman frogatu genuen, testuinguru orokorrago batean, partikula baten eragina arbuiatu gabe ere, horrelako soluzio triangeluarrak gerta daitezkeela; baina hemen beste modu batera planteatuko dugu problema, bide batez bestelako oreka-punturik dagoen aztertzeko. Defini dezagun α parametroa honako hau betetzeko moduan: α l 1 l 1 + l 2 = m 2 m 1 + m 2 1 α = l 2 l 1 + l 2 = m 1 m 1 + m 2 Luzera-unitatetzat l 1 + l 2 aukeratuz, nagusien posizioak ( α, 0, 0) eta (1 α, 0, 0) izango dira. Bestalde, denbora-unitatetzat (l 1 + l 2 ) 3 G (m 1 + m 2 ) aukeratzen badugu, ω = 1 izango da. Hortaz, honela idazten dira higidura-ekuazioak primarioen sisteman dimentsio gabeko aldagai hauetaz baliatuz: x + α x 1 + α ẍ = (1 α) [ ((x + α) 2 ] 3/2 α[ + y 2 + z 2 ((x 1 + α) 2 ] 3/2 + 2ẏ + x, + y 2 + z 2 y y ÿ = (1 α) [ ((x + α) 2 ] 3/2 α[ + y 2 + z 2 ((x 1 + α) 2 ] 3/2 2ẋ + y, + y 2 + z 2 z z z = (1 α) [ ((x + α) 2 ] 3/2 α[ + y 2 + z 2 ((x 1 + α) 2 ] 3/2. + y 2 + z 2 Oreka erlatiboaren posizioak ẋ = ẍ = ẏ = ÿ = ż = z = 0 eginez lortzen dira. (a) Soluzio linealak. Nagusiak lotzen dituen zuzenean 3 posizio ezegonkor daude, y = z = 0 eginez geratzen den x = (1 α) x + α x + α 3 + α x 1 + α x 1 + α 3 ekuazio kubikoak hiru soluzio erreal baititu: Lagrange-ren L 1, L 2 eta L 3 puntuak. (b) Soluzio triangeluarrak. Higidura-ekuazioen izendatzaileak berdinak izateko, (x + α) = (x 1 + α) x = 1 2 α x + α = (x 1 + α) = 1 2 aukeratu behar da eta, z = 0 eginez, beste bi ekuazioak hurrengoaren baliokideak dira: 1 α 2 ( 1 + ) 3/2 + 4 y2 α 2 ( 1 + ) 3/2 + 4 y2 1 2 α = 0. Argi dago, izendatzaileetan y2 = 1 denean ekuazioa bete egiten dela. Lagrange-ren L 4 eta L 5 puntuak dira hauek: ( 1 α, ± 3, 2 2 0). Froga daiteke egonkorrak direla (Coriolis-en indarrari esker) α < denean (ikus [15]): Lurraren eta Ilargiaren sisteman α da eta Eguzkiaren eta Jupiteren kasuan α (Ikus 4.6 atala.)

24 76 2 Higidura erlatiboa Coriolis-en efektua ekuatorean Batzuetan irakurtzen da bainuontzietako hustubideetatik irtetean uraren norabidea alderantzikatu egiten dela ontzietan ekuatorea zeharkatu bezain laster. Zer uste duzu zuk honetaz? Egia izan daiteke? Ekuatorearen inguruan efektua oso txikia denez (gogoratu sin λ-ren proportzionala dela), ez dirudi beste eraginak (hala nola bainuontziaren tankera) baino handiagoa izan daitekeenik, inondik ere. Ekuatoretik urrun egonda ere, efektua neurtzeko sistemak guztiz simetrikoa izan behar du eta ura behar bezain geldi geratzeko orduak behar dira. Badirudi horrelako esperimentuetako lehena A. Shapiro-k 1962an egin zuena dela.

25 2.8 Problemak Problemak 2.1 Zeintzuk dira OX eta OY ardatzen inguruko biraketei dagozkien matrizeak? 2.2 Biraketa-matrizeen biderketa ez da trukakorra. Aurki ezazu aurreko adierazpenaren adibide erraz bat. 2.3 Froga ezazu hurrengo matrizea biraketa-matrizea dela: R = 1/ 3 1/ 3 1/ 3 2/ 6 1/ 6 1/ 6 0 1/ 2 1/ 2 Zeintzuk dira ê i bektoreen osagaiak { ê j} oinarrian? 2.4 Abiadura angeluarra. S, S eta S erreferentzia-sistema cartesiarrek jatorri berbera dute. S sisteman S delakoak duen abiadura angeluarra ω 1 da eta S sistemaren ikuspuntutik S delakoa ω 2 abiadura angeluarraz ari da higitzen. Zein da S sistemaren abiadura angeluarra S sisteman? Zein da S sisteman neurtzen den S sistemaren abiadura angeluarra?. 2.5 Irudiko partikula pausagunean dago OXY inertzia- -sisteman. Biratzen ari den OX Y sistemaren ikuspuntutik, beraz, partikularen higidura zirkularra da. Zein da azken sistema honetan higidura azeleratua sortzen duen indarra? Aztertu ϕ = 0 eta ϕ 0 kasuak. 2.6 Irudiko zirkunferentzia ω abiadura angeluar konstantez ari da biratzen bere zentrotik pasatzen den ardatz bertikalaren inguruan. Zirkuluaren normalaren eta bertikalaren arteko angelua α da. Demagun partikula puntual bat zirkunferentzian zehar higi daitekeela marruskadurarik gabe. Zein puntutan kokatu behar da partikula zirkunferentziarekiko pausagune erlatiboan iraun dezan? Noiz da egonkorra oreka erlatibo hori? 2.7 Newton-en ontzia.(a) Erreferentzia-sistema inertzial batean ontzi bat azelerazio horizontal konstantez higitzen ari bada, zein da barruan dagoen uraren gainazalaren ekuazioa? (b) Zer gertatzen da simetria-ardatzaren inguruko abiadura angeluar konstanteko biraketa bada ontziaren higidura? 2.8 Irudiko hagatxoa abiadura angeluar konstantez biratzen ari da, α = π/4 izanik. m masako partikula puntuala marruskadurarik gabe higi daiteke hagatxoan zehar. Aurki itzazu partikularen higidura-ekuazioak.

26 78 2 Higidura erlatiboa 2.9 Hodi horizontal bat bere mutur batetik pasatzen den ardatz bertikalaren inguruan ari da biratzen abiadura angeluar konstantez. Bere barruan marruskadurarik gabe higi daitekeen m masa dago. Hasierako aldiunean irudian agertzen den puntuan pausagune erlatiboan badago, zein izango da masaren abiadura beste muturrean? Kalkula ezazu hodiak masaren gainean eragiten duen indarra Hasieran pausagunean dagoen partikula bat askatu egiten da. Hasierako h altuera Lurraren erradio baino askoz txikiagoa bada, zein puntutan joko du zorua? 2.20 IRUDIA Tiro parabolikoa plataforma birakor batean (ikus 2.11 problema) Zientzia-museoko plataforma birakor batean ura isurtzen da plataformaren biraketa-ardatzerantz eta zentroa jotzen du plataforma geldi dagoenean. Biratzen ari denean 2.20 irudian ikusten dena gertatzen da. Norantz birarazi genuen plataforma argazkiak egiteko? 2.12 Iparralderantz jaurtitzen da partikula bat, hasierako v 0 abiadura eta horizontalaren arteko angelua α delarik. Froga ezazu hasierako plano bertikalean ibilbideak duen proiekzioa parabolikoa dela, baina plano horren eta partikularen arteko distantzia honako hau dela: v 0ω sin(λ α) t gω cosλt3.

27 2.8 Problemak Kalkula itzazu irudiko tresnaren A muturraren abiadura eta azelerazioa Leire zaldiko-maldikoan biraka ari den bitartean, berandu datorren Mirentxu zuzenean doa zaldiko-maldikoraino eta han gelditzen da Leire jaitsi arte. (a) «Nireganantz zentozenean nire erreferentzia-sisteman zure ibilbidea espirala zen; baina ez dakit zein zen ibilbidea makurtzen zuen indarra...» diotso Leirek Mirentxuri. «Agian, indar zentrifugoa» ausartzen da Mirentxu. «Ezinezkoa da, erradiala da eta» erantzuten dio Leirek. Zer uste duzu zuk? (b) «Edozein modutan, zaldiko-maldikoaren ondoan geldirik nengoenean, zure inguruan biraka ikusten ninduzun?» galdetzen du Mirentxuk. «Bai, noski.» «Eta orduan ez al zen indar zentrifugoa zure ikuspuntutik nire ibilbidea zirkularra izatearen zergatia?» Zer erantzun behar du Leirek? 2.15 Bloke bat plano aldapatsu leun baten goiko puntatik askatzen bada, zein da abiadura zorura heltzean? Beste erreferentzia-sistema inertzial batean planoa V abiadura horizontal konstantez higitzen bada, zein da hor blokearen amaierako abiadura? Kontserbatzen da energia mekanikoa erreferentzia-sistema honetan? Iruzkina egin emaitzari Jacobi-ren integrala. Froga ezazu hurrengo magnitudea higidura-konstantea dela ariketako hiru gorputzen problema murriztu zirkularrean: ǫ = 1 2 (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2) Zein da gai bakoitzaren esanahi fisikoa? Gm 1 ((x + l 1 ) 2 + y 2 + z 2 Gm 2 1 ((x l 2 ) 2 + y 2 + z 2 2 ( x 2 + y 2) Froga ezazu 2.1 atalean aztertu den translazio hutsaren kasuan, partikula baten energia zinetikoa eta momentu lineala hurrengo transformazioen arabera aldatzen direla: T = T + p Ṙ mṙ2, p = p + mṙ Kontsidera dezagun partikula-sistema bat S eta S erreferentzia-sistema inertzialetan, partikulen masa-zentroaren S sisteman eta ardatzak biratu gabe azeleraturik higitzen den S sistema ez-inertzialean. (a) Momentu lineal osoa kontserbatzen bada S sisteman, kontserbatzen al da beste sistemetan? (b) Energia zinetiko osoa kontserbatzen bada S sisteman, kontserbatzen al da beste sistemetan? (c) Talka bat elastikoa bada S sisteman, elastikoa izango da besteetan? Oharra: Azaldu zure erantzunak sistema desberdinen kasuetan Ur geldietara harritxo bat botatzean uhin zirkularrak sortzen dira. Nolakoak izango dira ur-korronte batean?

28 80 2 Higidura erlatiboa

29 3. GAIA Erlatibitate berezia 3.1 IRUDIA Argiaren abiadura neurtzeko Foucault-ek erabili zuen tresna. 81

30 82 3 Erlatibitate berezia Erlatibitate bereziaren oinarrizko kontzeptuak eta emaitzak aztertuko ditugu gai honetan. Teoria klasikoa (hau da, ez kuantikoa) bada ere, fisika moderno osoaren oinarrian dago erlatibitate berezia eta egunero egiaztatzen dira bere aurresanak laborategietan (adibidez, partikula-azeleragailuetan). Emaitza batzuk nahiko harrigarriak badira ere, gogoratu behar da gure inguruan bakarrik agertzen direla abiadurak argiarenaren parekoak direnean, eta hori bakarrik gertatzen dela fenomenoen eskala oso txikia (mundu mikroskopikoan) denean. Gure esperientzia zuzenean abiadurak oso txikiak dira beti eta mekanika ez-erlatibista guztiz erabilgarria da. 3.1 Mekanika «galilearra» Maxwell-en teoriari eta Hertz-en esperimentuei esker, XIX. mendearen amaieran argia erradiazio elektromagnetikoa dela ezagutzen zen. Maxwell-en elektrodinamikan argiaren abiadura konstante elektromagnetiko unibertsalen bidez idazten da: c = 1/ ǫ 0 µ 0 (ikus 9.12 atala). Baina Galileo-ren (1.39) transformazioaren arabera adierazpen hori ezin bete daiteke erreferentzia-sistema inertzial guztietan. Denbora hartan, aipaturiko erlazioa eterraren sistema deituriko erreferentzia-sistema berezi batean betetzen zela uste zen. Orduko pentsamolde mekanizistan, uhin elektromagnetikoak eterraren perturbazioen hedapena ziren eta, beraz, oso naturala zen hedapen- -abiadura eterrarekiko definitzea, soinuaren abiadura airearekiko definitzen den bezala. Eterraren sistema Newton-en espazio absolutuaren kontzeptuarekin bat zetorren, baina eterrak oso propietate arraroak izan behar zituen, nabaritzen ez den ingurune material horretan argiaren abiadura hain handia izateko. Michelson eta Morley fisikari amerikarrek 1887an egindako esperimentuan Lurrak eterraren sisteman duen abiadura aurkitu nahi zen. Esperimentuaren emaitza negatiboa izan zen: Lurraren sisteman argiaren abiadura konstantea zen, ez zen urtean zehar aldatzen. Bazirudien hau ulertzeko modu bakarra Lurrak nolabait eterra arrastaka eramaten zuela pentsatzea zela. Baina Einstein-ek 1 azalpen errazago eta zuzenago bat eman zuen (erlatibitate berezia sortu zuten artikuluetan Michelson eta Morley-ren esperimentua aipatu gabe): argiaren abiadura (hutsean) konstante unibertsala da eta erreferentzia-sistema guztietan balio berbera du. Jakina, hipotesi hau elektrodinamika aldatu gabe egin daiteke, nahikoa baita Maxwell-en ekuazioak erreferentzia-sistema guztietan berdinak direla onartzea. Baina, elektrodinamika horrela gordetzeko, denbora hartako mekanika gai honetan mekanika «galilearra» deituko duguna aldatu behar izan zuen Erreferentzia-sistema inertzialak Gai honetan 3.2 irudiko S eta S sistema inertzialak kontsideratuko ditugu beti. Bata bestearekiko abiadura konstantez higitzen da eta OX eta O X ardatzak lerro berean eta higidura erlatiboaren norabidean aukeratzen dira. Erlojuak sinkronizatzen dira t = t = 0 balioarekin bi jatorriak puntu berean daudenean. S sistema v i abiaduraz higitzen da S delakoarekiko eta, ondorioz, azken honen abiadura lehenengoarekiko v i da. Irudiak egiterakoan v > 0 suposatuko dugu, baina lortuko ditugun adierazpen guztiak v negatiboekin erabil daitezke ezer aldatu gabe. 1 Erlatibitate bereziaren sortzailetzat Albert Einstein dute gehienek, baina ez da ahaztu behar lehenago Lorentz- -ek, Fitzgerald-ek eta, bereziki, Poincaré-k egindakoa.

31 3.1 Mekanika «galilearra» Gertaerak 3.2 IRUDIA Bi erreferentzia-sistema inertzialak v > 0 denean. Gai honetan aztergai nagusia t aldiune ezagun batean eta (x, y, z) puntu ezagun batean jazotzen den G gertaera da. S sisteman G gertaeraren denbora- eta espazio-osagaiak G (t, x, y, z) moduan adieraziko dira. Era berean, S sisteman G (t, x, y, z ) idatziko dugu. Mekanika galilearrean gertaera batek bi sistemetan dituen osagaien arteko erlazioa Galileo-ren (1.38) (1.38) transformazioek emandakoa da: edo t = t, (3.1) x = x + vt, (3.2) y = y, (3.3) z = z (3.4) t = t, (3.5) x = x vt, (3.6) y = y, (3.7) z = z. (3.8) y eta z aldagaiak transformatzen ez direnez, G (t, x) (t, x ) notazio laburtuaz ere baliatuko gara hala komeni denean. Azpimarratu behar da ikurra (eta ez =) erabili dugula, gehienetan x x (eta erlatibitate berezian t t ) izango delako. Bi gertaerek definituriko tarteak ere kontsideratuko ditugu. Horrela, G 1 (t 1, x 1, y 1, z 1 ) (t 1, x 1, y 1, z 1 ) eta G 2 (t 2, x 2, y 2, z 2 ) (t 2, x 2, y 2, z 2 ) gertaeren arteko denbora-tartea S eta S sistemetan da eta haien arteko espazio-tartea edo, y eta z interesatzen ez zaizkigunean, t t 2 t 1, (3.9) t t 2 t 1 (3.10) r r 2 r 1, (3.11) r r 2 r 1 (3.12) x x 2 x 1, (3.13) x x 2 x 1. (3.14)

32 84 3 Erlatibitate berezia Galileo-ren transformazioen ondorio moduan, denbora-tarteak absolutuak direla ikusten dugu, sistema inertzial guztietan modu berean neurtzen baitira: t 2 t 1 = t 2 t 1. (3.15) Bereziki, aldiberekotasuna absolutua da mekanika galilearrean: bi gertaera aldiberekoak badira sistema batean (t 1 = t 2, adibidez), horrelakoak dira sistema guztietan (t 1 = t 2 ). Espazio-tarteak, berriz, ez dira absolutuak, gertaerak aldiberekoak ez badira, behintzat: x 2 x 1 = x 2 x 1 + v (t 2 t 1 ). (3.16) Adibidez, bi gertaera puntu berean baina aldiune desberdinetan gertatzen badira S sisteman (x 2 x 1 = 0), ez dira puntu berean gertatuko S sisteman (x 2 x 1 = v (t 2 t 1 )). Leku berean gertatzeko propietatea, aldiune berean gertatzea ez bezala, propietate erlatiboa da: hegazkin baten punta beti dago puntu berean hegazkinaren sisteman, baina ez da gauza bera gertatzen aireportuaren ikuspuntutik. Ageri denez, mekanika galilearrean asimetria nabaria dago espazio- eta denbora-tarteen artean. Laster ikusiko dugunez, erlatibitate berezian biak dira erlatiboak; baina absolutua den beste tarte mota bat definituko dugu. 3.2 Einstein-en postulatuak Erlatibitate bereziaren oinarrian hurrengo bi postulatuak jarri zituen Einstein-ek: Erlatibitatearen printzipioa: Erreferentzia-sistema inertzial guztietan fisikaren oinarrizko legeak modu berean azaltzen dira. Argiaren abiaduraren aldaezintasunaren printzipioa: Argiaren abiadura hutsean berbera da erreferentzia-sistema inertzial guztietan: ez da behatzailearen eta iturriaren abiaduren menpekoa. Ikusten dugunez, erlatibitatearen printzipioa atalean ikusi genuenaren parekoa da, han Galileo-ren izenarekin lotzen bagenuen ere. Printzipioa zehazki adieraztea, fisika osora hedatzea eta handik ondorioak ateratzea dira Einstein-en ekarpenak. Fisika egiteko sistema inertzial guztiak baliokideak direla adierazten digu nolabait. Bigarren printzipioa ordea, guztiz berria zen eta, ikusiko dugunez, garrantzi handiko ondorioak ekarri zituen. Maxwell-en elektrodinamika zuzentzat jotzen badugu (eta horrelakoa da efektu kuantikoak arbuiagarriak direnean), erlatibitatearen printzipioaren hedapen naturala dela pentsa dezakegu: Maxwell-en ekuazioak sistema inertzial guztietan betetzen badira, gauza bera gertatuko da haietatik lorturiko c = 1/ ǫ 0 µ 0 adierazpenarekin. Ikuspuntu honetatik ǫ 0, µ 0 eta c hutsaren ezaugarri unibertsalak dira eta ez erreferentzia-sistema berezi batean soilik betetzen diren propietateak. Hipotesi polit ausart hau behin eta berriro egiaztatu da esperimentuetan (gehienetan bere ondorioa den erlatibitate bereziaren emaitzen bidez) eta fisika moderno osoaren oinarrien artean dugu. Izan ere, horretan finkatzen da 1. orrian gogoratu dugun metroaren definizioa Sistema Internazionalean. Sistema guztietan c abiadurarekin higitzen denez, argia ez dago geldi ezein sistematan: ez dago argiaren erreferentzia-sistemarik eta, hortaz, sistemen arteko abiadura erlatiboa ezin izan daiteke c.