DINAMIKA. c Ugutz Garitaonaindia Antsoategi Ingeniaritza Mekanikoa Saila Gasteizko I.I.T. eta T.I.T.U.E. Euskal Herriko Unibertsitatea

Transcript

1 DINAMIKA c Ugutz Gartaonanda Antsoateg Ingenartza Mekankoa Sala Gastezko I.I.T. eta T.I.T.U.E. Euskal Herrko Unbertstatea 2000/2001 kasturtea Índce 1. SARRERA 3 2. INDARRAK 3 3. ERREFERENTZIA SISTEMA DINAMIKAN. ERREFERENTZIA ZINEMATIKOAREKIKO DESBERDINTASUNA 4 4. DINAMIKAREN OINARRIZKO LEGEAK 4 5. DINAMIKAREN ARIKETA OROKORRA 6 6. IBILBIDE BATI LOTUTA DAGOEN PARTIKULAREN DINAMIKA 7 7. DINAMIKAREN OINARRIZKO TEOREMAK, PARTIKULA EDO MASA PUN- TUALEI APLIKATUTA MOMENTU LINEALA EDO HIGIDURA KANTITATEAREN TEOREMA MOMENTU ANGELUAR EDO ZINETIKOAREN TEOREMA INDAR ZENTRALEN ERAGINPEAN DAUDEN PARTIKULEN DINAMIKA. AZALEREN LEGEA ENERGIA ZINETIKOAREN TEOREMA ENERGIAREN KONTSERBAZIOA PUNTUAREN HIGIDURA ERLATIBOAREN DINAMIKA SISTEMAREN DINAMIKA SISTEMA MEKANIKOAREN KONTZEPTUA. BARNE ETA KANPO IN- DARRAK SISTEMA BATEN HIGIDURAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAK MASEN ZENTROAREN HIGIDURAREN TEOREMA

2 ÍNDICE MASEN ZENTROAREN HIGIDURAREN KONTSERBAZIO LEG- EA SISTEMA BATEN MOMENTU LINEALA EDO HIGIDURA KANTITATEA SISTEMA BATEN HIGIDURA KANTITATEAREN ALDAKUNTZAREN TEOREMA HIGIDURA KANTITATEAREN KONTSERBAZIO LEGEA SISTEMA (SOLIDO ZURRUNA) BATEN MOMENTU ANGELUAR EDO ZINETIKOA SOLIDO ZURRUN BATEN MOMENTU ANGELUAR EDO ZINETIKOA INERTZI TENTSOREAREN FUNTZIOAN ESPRESATUTA SISTEMA ZURRUN BATEN MOMENTU ZINETIKOAREN AL- DAKUNTZAREN TEOREMA, HIGIDURAN DAGOEN EDOZEIN PUNTUREKIKO MOMENTU ZINETIKOAREN KONTSERBAZIO LEGEA SISTEMA (SOLIDO ZURRUNA) BATEN ENERGIA ZINETIKOA SISTEMA (SOLIDO ZURRUNA) BATEN ENERGIA ZINETIKOAREN ALDAKUNTZAREN TEOREMA SISTEMAREN HIGIDURAREN ZAZPI EKUAZIO UNIBERTSALAK ARDATZ FINKO BATEN INGURUAN BIRATZEN ARI DEN SOLIDOAREN DINAMIKA. BERMAPUNTUETAKO ERREAKZIOAK. OREKA ESTATIKO ETA DINAMIKOA EULERREN HIGIDURA EKUAZIOAK 42

3 2 INDARRAK 3 1. SARRERA Jakna den bezala, znematkak, espazoa-denbora erlazoan onarrtuta, gorputzek duten hgdura aztertzen du, hgdura hau eragten duten ndarrak kontuan zan gabe. Dnamkak, aldz, hgdura eta hau sortzen duten ndarren artean dagoen erlazoa aztertzen du. Dnamkako arketetan, ndarrak kalkulatu beharko dra, eta ndar hauek puntu materal bat edo puntu materal baten konjuntu bat (sstema) eragten doten hgdura aztertuko da. 2. INDARRAK Gorputz materal batek zango duen pausagune edo hgdura egoera, beste gorputz mekankoekn zan dezaken nterakzo mekankoen menpe dago. Honela, gorputz materalen artean dagoen nterakzo mekankoa neurtzeko magntude kuanttatboa ndarra da. Indarra magntude bektoral bat da, eta hau ezagutzeko beharrezkoa zango da hurrengo parametroak ezagutzea: Modulua. Norabdea. Norantza. Aplkazo puntua. Partkula batean aplkatu datezkeen ndarrak, honela salkatu dtzakegu: 1. Indar aktboak eta lotura ndarrak. Indar aktboak hgdura sortzeko joera dute. Bestalde, lotura ndarrak ez dute partkulak mugtzeko joera, bazk eta, hauek kokapen zehatz batzuk hartzear edo hgdura jakn bat aurre egteko joera dute. Estatka aztertu genuenean, lotura mota desberdnen azterketa sakon bat burutu genuen. 2. Barne eta kanpo ndarrak. Sstema materal baten barnean dagoen partkula materal batek, bere sstema berdnean dauden partkulengandk jasotzen badu nterakzo mekankoa, ndar hauek barne ndarrak zango dra. Bestalde, partkula honek, bere sstemakoa ez den sstema batengatk jasotzen badtu nterakzo mekankoak, kanpo ndarrak jasaten arko da.

4 4 DINAMIKAREN OINARRIZKO LEGEAK 4 3. Eremu ndarrak. Eremu baten exstentzagatk sortzen dren ndarrak dra. Adbdez: grabtate-eremua, eremu-elektrkoa, eta abar. Indar hauek, ezaugarr jakn bat (magntude aktboa), duten partkuletan ematen dra. Honela, partkula hau, kontsderatutako eremua aplkatuta dagoen tok geometrkoan dagoenean jasango dtu eremu ndarrak. 4. Marruskadura ndarrak. B sstemen arteko kontaktuko puntuetan sortzen dra, eta hauen arteko hgdura erlatboar aurre egteko joera dute. 5. Inertz ndarrak. Partkula batek nertza ndarrak jasango dtu, honen kokapena azelerazoa duen erreferentza sstema batekko edo erreferentza sstema ez nertzal batekko, ematen dugunean. 3. ERREFERENTZIA SISTEMA DINAMIKAN. ERREF- ERENTZIA ZINEMATIKOAREKIKO DESBERDINTA- SUNA Znematkan zendatu genuen erreferentza sstema fnkoak ez zuen bete behar nongo baldntza berezrk, guk honela nah ez bagenuen behntzat. Dnamkan aldz, fnkoa edo hobeto esanda nertzala zendatuko dugun erreferentza sstemak Newtonen lege bat bete behar du. Lege hau nertz legea bezala ezagutzen da. Erreferentza sstema nertzal batean kokatua dagoen puntu materal bat, sstema honekko pausagunean egoten bada, eta puntu honetan ez bada ndarrk aplkatzen, puntu hau ez da mugtuko apatutako erreferentza sstemarekko. Erreferentza sstema bat nertzala zango da, beste erreferentza sstema nertzal batekko pausagunean dagoenean edo abadura zuzen eta unformearekn mugtzen denean. 4. DINAMIKAREN OINARRIZKO LEGEAK Lege hauek Newtonek enuntzatu ztuen XVII. mendearen amaeran. 1. Inertz legea: Gorputz guztak pausagunean edo hgdura zuzen eta unformean mantentzen dra, egoera hau aplkatutako ndar batengatk aldatzen ez bada.

5 4 DINAMIKAREN OINARRIZKO LEGEAK 5 Ikus dugun bezala, erreferentza sstema nertzalak lege hau betetzen du. 2. Dnamkaren onarrzko legea: Hgdura eta aplkatutako ndarraren artean dagoen erlazoa, erlazo proportzonal bat da, eta hau, ndarraren aplkazo lerroan ematen da. F = m a Ekuazo honetan eragten duen m parametroar masa nertea detzen zao eta hau, proportzonaltasun konstatea da. Lege hau, dnamkaren onarrzko legea da, honek, hgdura legea, azelerazoa, eta eragna, ndarra, erlazonatzen dtuelako. 3. Akzo eta erreakzo prntzpoa: Erreakzoa bet akzoaren berdna zango da, bana aurkako zenuarekn. B gorpuntzen arteko akzoak berdnak dra eta aurkako norantza dute (1. ruda). 2 F 21 1 F 12 Fgura 1: Akzo eta erreakzo prntzpoa F 12 : 1 gorputzean 2 gorputzak eragten duen akzoa. F 21 : 2 gorputzean 1 gorputzak eragten duen akzoa. Honela, F 12 = F 21 da, beste modu batean aderazta; F 12 + F 21 = 0 da. Onarr dnamkoa guztz zehazteko, laugarren lege bat gehtzen da, nahz eta hau Newtonek ez enuntzatu. 4. Indarren ndependentza legea: Indar batek sortzen duen eragna ez dago beste ndar batzuen exstentzaren arabera, eta ezta ere gorputzaren hgdura egoeraren arabera. Honela, m masa nertea duen partkula batean F 1 ndarra aplkatzen bada, partkula honek aplkatutako F 1 ndarraren ondoroz, a 1 azelerazoa hartuko du. Bestalde, F1 ndarra aplkatzear utz eta beste ndar bat F 2 aplkatzen bazao, partkulak a 2 azelerazoa hartuko du. Lege honek zehazten du, partkulak F = F 1 + F 2 ndarra jasaten badu, ndar honek eragngo don azelerazoa a = a 1 + a 2 zango dela (2. ruda).

6 5 DINAMIKAREN ARIKETA OROKORRA 6 F 2 F a 2 a m a 1 F 1 Fgura 2: Indarren ndependentza legea 5. DINAMIKAREN ARIKETA OROKORRA Dnamkaren onarrzko ekuazoa honela datz dateke: F = m a = m d v = m d2 r 2 Ekuazo bektoral hau espazo trdmentsonaleko hru norabdeetan deskonposatu dateke, honela, hurrengo hru ekuazo eskalar dferentzalak sortuz: F x = m dv x F y = m dv y edo; F x = m d2 x 2 F y = m d2 y 2 F z = m dv z F z = m d2 z 2 Partkula batean eragten duen F = F x +F y j +F z k ndar bat, orokorrean, partkularen kokapena, honen abadura eta denboraren funtzoan egongo da: F = F ( r, v, t) Puntu aske edo loturark ez duen puntuaren dnamkaren arketa orokorra, hurrengo b modutan aurkeztu dateke: 1. Puntuak duen hgdura legea ezagutuz r = r(t), hgdura hau sortzen duten ndarrak zentzuk dren kalkulatzea. Arketa hau zuzena da eta derbatuz ebazten da. 2. Puntuan eragten duten ndarrak ezagututa, hgdura legea kalkulatzea. Arketa hau, ekuazo dferentzalak ntegratuz ebazten da. Orokorrean, bgarren malako hru ekuazo dferentzal zango dtugu. Eta ondoroz, 6 ntegrazo konstante sortuko dra, eta hauek, arketaren ngurune baldntzak aplkatuz kalkulatuko dtugu. Aztertzen ar garen puntu materala ez bada askea, hau da, lotura batzun eragnpean

7 6 IBILBIDE BATI LOTUTA DAGOEN PARTIKULAREN DINAMIKA 7 egoten bada, dnamkaren ekuazo orokorra honela datz ahal zango genuke: F + N = m a, ekuazo honetan: F : Partkulan eragten duten ndarren erresultantea da. N : Partkulan eragten duten lotura ndarren erresultantea da. Ondoroz, loturarenbat duen puntu baten hgdura aztertzerakoan, puntu hau askea dela suposatu dezakegu, loturak kendu eta loturen eragnez jasaten dtuen erreakzoak aplkatzen badogu. Loturak dtuen puntu baten dnamka aztertzerakoan sortu datezken arketa motak hurrengoak dra: 1. Puntuan eragten duten ndarrak eta puntuaren hgdura legea ezagutuz, loturetan sortzen dren erreakzoak kalkulatzea. Arketa hau ebaztea erraza da. Honetarako F + N = m a ekuazoa aplkatuko dugu, eta kalkulu znematkoak erablz erreakzoak kalkulatuko dtugu. 2. Puntuan eragten duten ndarrak ezagutuz, honen hgdura legea eta loturako erreakzoak kalkulatzea. Kasu hau, loturak dtuen puntuaren dnamkaren onarrzko arketa da. Honen ebazpena, orokorrean, beste kasuetan bano konplexuagoa delark. 6. IBILBIDE BATI LOTUTA DAGOEN PARTIKULAREN DINAMIKA Bed, blbde jakn bat jarratzera behartuta dagoen m masadun partkula materala. Partkula honetan zenbat ndar eragle aplkatuta daude, hauen erresultantea F delark. Ondoroz, masa puntual honek lotura ndarrak ere jasango dtu eta hauen erresultantea N da. Lotura ndarren erresultante honek, blbdearekko norabde normala zango du, partkula eta blbdearen arteko kontaktua marruskadura gabekoa zaten bada. Kasu hontako planteamendu dnamkoa: F + N = m a Ekuazo bektoral hau, puntuar lotuta dagoen osaga ntrntsekoetan proektatzen badugu (3. ruda), hru ekuazo eskalar lortuko dtugu, hau da, norabde tangentean, normal nagusan eta bnormalean.

8 6 IBILBIDE BATI LOTUTA DAGOEN PARTIKULAREN DINAMIKA 8 F b τ m N η Fgura 3: Ekuazo bektoralaren proekzoa norabde ntrntskoetan F τ + N τ = m a τ F η + N η = m a η F b + N b = m a b Esan dugun bezala, partkula eta blbdearen artean marruskadura gabeko kontaktua ematen bada, N erreakzoa blbdearekko normala zango da. Hau da, plano normal nagusan kokatua dagoen bektorea da, ondoroz, norabde tangentzaleko osagaa zero da, N τ = 0. Znematka aztertzerakoan kus genuenez, azelerazo bektorea koordenatu ntrntsekoetan aderazz gero, honek solk osaga normal nagusa eta tangentzala ztuen. Hots, azelerazoa bektorea une guztetan plano oskulatzalean kokatua dagoen bektorea da, ondoroz osaga bnormala zero da, a b = 0. Beraz, hru ekuazo eskalarrak honela geratzen dra: F τ = m a τ = m dv = m d2 r 2 (1) F η + N η = m a η = m v2 ρ (2) F b + N b = 0 (3) Hru ekuazo hauek erablz, marruskadurark gabeko lotura duen puntuaren arketa dnamkoa ebatz dezakegu, sortu datezken b arketa motatan. Zehazk, lehenengo kasuan, hau da, puntuan eragten duten ndarrak eta puntuaren hgdura ezagutuz, loturetan sortzen dren erreakzoak kalkulatu behar drenean, (1) ekuazoa erablz, hgdura legea kalkulatu dezakegu ntegrazo bdez. Jarraan, (2) eta (3) ekuazoak erablz lotura erreakzoak kalkulatuko dtugu.

9 7 DINAMIKAREN OINARRIZKO TEOREMAK, PARTIKULA EDO MASA PUNTUALEI APLIKATUTA 9 Hau da: N η = m v2 ρ F η N b = F b Honela, erreakzo normal nagusan dagoen (m v2 ) osagaar ndar zentrpetua detzen ρ zao. Akzo eta erreakzo prntzpoan onarrtuta, N ndarrarekko aurkakoa den R erreakzoa sortuko da. Erreakzo hau partkula materalak blbdear aplkatzen don ndarra da R = N. R η = F η m v2 ρ R b = N b Honela, erreakzo normal nagusko (m v2 ) batugaa ndar zentrfugoa da, ndar zentrpetuarekko modulu berdna bana aurkako norantza ρ duena. 7. DINAMIKAREN OINARRIZKO TEOREMAK, PAR- TIKULA EDO MASA PUNTUALEI APLIKATUTA Teorema hauek dnamkaren onarrzko legeetatk zuzenean ondoroztatzen dra. Honela, arketa desberdnak ebazteko, kasu zehatzak aztertu ahal zango dra, planteamendu orokorra eragotzz. Hau da, planteamendu orokorrak exjtzen dtuen ntegrazo prozedura jarratu gabe. Onarrzko teorema hauetan, ntegrazo buruketak jadank aplkatuta daude. Jarraan defntuko dren lehenengo b onarrzko teoremak bektoralak dra eta hrugarrena, aldz, teorema eskalarra da MOMENTU LINEALA EDO HIGIDURA KANTITATEAREN TEO- REMA Bed, m masa eta v abadura duen partkula lneala. Honela, partkula honek duen momentu lneala edo hgdura kanttatea p, hurrengo ekuazoarekn defntuko dugu: p = m v

10 7 DINAMIKAREN OINARRIZKO TEOREMAK, PARTIKULA EDO MASA PUNTUALEI APLIKATUTA 10 Partkula materal batek duen momentu lneala, magntude bektoral bat da, eta honen norabdea eta norantza, partkulak aldune horretan duen abaduraren berdna da. Newtonen dnamkaren bgarren legea gogoratzen badugu: F = m a = m d v = d (m v) = d p = d p = F Ekuazo hau ntegratuz, eta ngurune baldntzak bezala t 1 unean, partkula materalak duen momentu lneala p 1 dela, eta t 2 unean duen momentu lneala p 2 dela suposatuz: p2 p 1 d p = t2 t 1 F = p2 p 1 = t2 t 1 F Honela, partkula materal batek t 1 eta t 2 alduneen artean hartzen duen bultzada defntuko dugu: Bultzada = t2 t 1 F Momentu lnealaren teorema honela enuntzatu dezakegu: partkula materal batek jasaten duen hgdura kanttatearen aldaketa, honek hartzen duen bultzadaren berdna da. Ondoroztatu dugun aderazpen bektorala, erreferentza sstema cartesarreko norabde nagusetan proektatu dateke: p 2x p 1x = t2 t 1 F x p 2y p 1y = p 2z p 1z = t2 t 1 t2 t 1 F y F z Teorema honen aplkazoa erraza zango da, partkula materalean eragten duten ndarrak konstanteak drenean edo denboraren funtzoan daudenean MOMENTU ANGELUAR EDO ZINETIKOAREN TEOREMA 0 puntu fnko batekko, partkula materal batek duen momentu angeluar edo znetkoa defntuko dugu L 0, erreferentza puntu fnkoarekko partkularen hgdura kanttateak duen momentua bezala. L 0 = r p = r m v Ekuazo honetako r bektorea, puntu mugkorrak, 0 puntu fnkoarekko duen kokapen

11 7 DINAMIKAREN OINARRIZKO TEOREMAK, PARTIKULA EDO MASA PUNTUALEI APLIKATUTA 11 bektorea da. Momentu angeluarraren espresoa denborarekko derbatuz: d L 0 = r p + r p Berdnketaren eskumatan dagoen lehenengo batugaa zero da; r = v eta p = m v b bektore lerrokde drelako. Bgarren batugaa garatzen badugu: r p = r d(m v) = r m d v = r m a = r F = M 0 Ondoroz: dl 0 = M 0 (4) Ematza hau honela enuntzatu dateke: partkula batek puntu fnko batekko duen momentu angeluarraren derbatua denborarekko, eta puntu materal horretan aplkatuta dagoen ndarrak puntu fnkoarekko egten duen momentua, berdnak dra. Teorema hau modu ntegralean espresatu dezakegu ngurune baldntzak aplkatuz, hau da, t 1 unean partkula materalak duen momentu angeluarra L 01 zaten bada, eta t 2 unean L 02 : L02 L 01 d L 0 = t2 t 1 M0 = L02 L 01 = t2 t 1 M0 Momentu axalaren kontzeptua kontuan zanda, (4) ekuazoa 0 puntutk pasatzen den edozen ardatzetan proektatu dezakegu. Honela, e ardatz batekko momentu angeluarra erdetsko dugu: dl e = M e Momentu angeluarraren teoremak garrantz handa du ndar zentralak jasaten dtuen partkula materalen kasuan, hau da, bet puntu fko batera zuzenduta dauden ndarrak jasaten dtuenean. Honen adbdea, planetak eta Eguzkaren arteko erakarpen ndarra da INDAR ZENTRALEN ERAGINPEAN DAUDEN PARTIKULEN DINAMIKA. AZALEREN LEGEA Partkula materal bat, une guztetan 0 puntu fnko batera zuzenduta dagoen ndar baten eragnpean badago, ndar honek puntu fnkoarekko egten duen momentua zero da: M 0 = 0 = d L 0 = 0 = L0 =Ktea. Ematza honetan onarrtuta b ondoro atera genezake:

12 7 DINAMIKAREN OINARRIZKO TEOREMAK, PARTIKULA EDO MASA PUNTUALEI APLIKATUTA 12 Lehenengoa, L 0 bektorea konstantea zaten bada, puntu materalak egten duen blbdea laua zan behar da, hau da, L 0 bektorea konstantea denez norabdea nbarante mantenduko da. Bgarrena, partkula materalak duen abadurak hurrengo ezaugarra betetzen du: 0 puntu fnkoan onarrtuta partkula materalaren kokapena defntzen duen r kokapen bektoreak, denbora tarte berdnetan ekortzen duen azalerak berdnak zan behar dute, hau da, abadura aerolarra konstantea zango da. Hau frogatzeko, r kokapen bektoreak denbora dferentzalean ekortzen duen azelera errepresentatzen duen 4. rudan onarrtuko gara. r + d r d s d r 0 r Fgura 4: r kokapen bektoreak ekortutako azalera Kokapen bektoreak denbora dferentzalean ekortutako azalera: 1 ds = d s = ( r d r) 2 = 1 2 ( r d r) Eta abadura aeoralarraren modulua: ds = ( d s = 1 2 r d r ) = 1 2 ( r d v) Kasu honetan partkula materalak jasaten duen ndarra zentrala dela suposatu dugunez, L 0 konstantea da, ondoroz: L 0 = r m v = Ktea. = ( r v) konstantea da, ondoroz ( r d v) ere ba. Honek esan nah du abadura aerosolarraren modulua konstantea dela. Ezaugarr hau Kepler edo azaleren legea bezala ezagutzen da. Indar zentralen kasuan, kokapen bektoreak ekortutako azalerak denbora tarte berdnean berdnak dra. Honek, puntu mugkorra, 0 puntu fnkoaren nguruan pasatzen denean, puntu fnko honetatk urrut pasatzen denean bano azkarrago pasatu behar dela erakusten dgu (5. ruda).

13 7 DINAMIKAREN OINARRIZKO TEOREMAK, PARTIKULA EDO MASA PUNTUALEI APLIKATUTA 13 D C B a a 0 A Fgura 5: Kepler edo azaleren legea 7.3. ENERGIA ZINETIKOAREN TEOREMA Partkula materal baten ndar bza defntuko dugu, honen masa eta abadurak duen modulu karratuaren arteko bderketa bezala: Indar bza = m v 2 Energa znetkoa, ndar bzaren erda bezala defntzen da: T = 1 2 m v2 Defntu dtugun b kontzeptuak, magntude eskalarrak zateaz gan postboak dra. Indar bza defntzeko beste modu bat, partkula materal batek duen hgdura kanttatea eta abaduraren arteko bderketa eskalarra da: Indar bza = (m v) v = m ( v v) = m v 2 = m v 2 Indar bzaren espresoa dferentzatuz: d(m v 2 ) = d(m v 2 ) = m 2 v d v = 2 m d v v = 2 m a d r = 2 F d r Espreso hau ntegratzeko, t = 0 unean partkula materalak duen abadura v 0 dela, eta t unean bere abadura v dela suposatuko dugu: v v 0 d(m v 2 ) = 2 t t=0 F d r = m v 2 m v 2 0 = 2 t t=0 F d r 1 2 m v2 1 2 m v2 0 = t t=0 F d r eta ondoroz: T = W Ematza honek energa znetkoaren teorema defntzen du. Honen arabera, partkula materal batek jasaten duen energa znetkoaren aldakuntza, eta partkula honetan aplkatuta dauden ndarrek garatutako lana, berdnak dra. Energa eta lanaren zaera kontuan zanda, teorema hau eskalarra dela esaten da.

14 7 DINAMIKAREN OINARRIZKO TEOREMAK, PARTIKULA EDO MASA PUNTUALEI APLIKATUTA ENERGIAREN KONTSERBAZIOA Bed, ndar eremu baten eragnpean dagoen partkula puntuala. Honela, partkulak jasaten duen ndarra F dela suposatuko dugu, ndar hau, partkulak duen kokapenaren araberakoa zango delark. Partkula puntuala kokapen batetk bestera mugtzerakoan, F ndarrak garatutako lana ez dagoenean partkulak jarratutako blbdearen arabera, hau da, solk haserako eta amaerako kokapenaren araberakoa denean, F ndarra, edo hobeto esanda, ndar eremua kontserbatboa dela esango dugu. Indar eremua kontserbatboa bada, eta N, puntu materalak zan dezaken erreferentzako kokapen bat, espazoko P puntu batean, puntu materalak duen energa potentzala defntuko dugu, F eremu ndarrak P puntutk, erreferentzako N puntura mugtzeko garatzen duen lana bezala. Honela, puntu materalak, P kokapen geometrkoan duen enenga potentzalar V P detzen badogu: V P = N P F d r (edozen blbde jarratuta garatutako lana) Partkula materala ndar eremu kontserbatbo baten barnean, edozen blbde jarratuz, P 1 puntutk P 2 puntura desplazatzen denean: P2 P 1 F d r = N P 1 F d r = P2 N F d r = N P 1 F d r N P 2 F d r = VP1 V P2 Hau da, ndarren eremua kontserbatboa zaten bada, honek garatutako lana partkula puntuala P 1 puntutk P 2 puntura desplazatzen, partkulak kokapen geometrko hauetan duen energa potentzalaren dferentza da. Energa znetkoaren teorema kontuan zaten badugu, hau P 1 zen P 2 puntuetan zehaztuz: 1 2 m v2 P m P2 v2 P 1 = P 1 F d r = VP1 V P2 1 2 m v2 P 2 + V P2 = 1 2 m v2 P 1 + V P1 ondoroz, 1 2 m v2 + V = Ktea. Ematza hau honela enuntzatu dateke: partkula bat ndar eremu kontserbatbo batean mugtzen denean, edozen puntu geometrkotan duen energa znetko eta potentzalaren batura konstantea da. Kontuan zan behar dugu ndar guztak ez drela kontserbatboak. Adbdez, marruskadura ndarrak ez dra kontserbatboak, honek marruskaduraren eragna duen hgdura batean, ( 1 2 m v2 + V ) energa mekankoa ez dela konstantea esan nah du, kasu honetan, energa

15 8 PUNTUAREN HIGIDURA ERLATIBOAREN DINAMIKA 15 znetkoaren zat bat berotasunean transformatzen bat da. Beste modu batera esanda, marruskadura ndarra ez da kontserbatboa, puntu materalak egten duen blbdearen araberakoa delako, hau da, bltako dstantzaren araberakoa. Marruskaduraren eragna aztertu ahal zateko, askoz ere sakonagoa den lege batera jo behar da. Suposatzen badugu sortzen den bero kanttatea Q dela, bero energa hau, energa mekankoaren untateetan espresatzen badadugu, hurrengo berdnketa betetzen da: 1 2 m v2 0 + V 0 = 1 2 m v2 + V + Q 8. PUNTUAREN HIGIDURA ERLATIBOAREN DINAMI- KA Oran arte, puntuaren dnamkan aztertutako guzta, erreferentza sstema nertzal batean kokatuta eta dnamkaren funtsezko legeetan onarrtuta dago. Ikus dezagun jarraan, zen planteamendu zan behar dugun erreferentza sstema fnkoa ez denan. Bed, F1, F2,..., F,..., F n ndar multzoa jasaten duen, m masadun partkula materala. Jarraan, ndar hauek partkular eragten doten hgdura aztertuko dugu 0XY Z erreferentza ssteman onarrtuta. Ganera, erreferentza sstema hau, 0 1 X 1 Y 1 Z 1 erreferentza sstema fnkoarekko mugtu egten dela suposatuko dugu. Puntuaren znematkan ondoroztatu genuen bezala: a abs = a s + a erl + a cor non; a cor = 2 w v erl Berdnketaren b aldeak partkula materalak duen m masagatk bderkatuz: m a abs = m a s + m a erl + m a cor Hgdura absolutuarentzat, dnamkaren legeak zera zurtatzen dgu: m a abs = Ondoroz: F F = m a s + m a erl + m a cor

16 8 PUNTUAREN HIGIDURA ERLATIBOAREN DINAMIKA 16 Ekuazo honetan, gur puntu materalak 0XY Z erreferentza sstemarekko duen hgdura nteresatzen zagunez, a erl osagaa bakanduko dugu: m a erl = m a erl = Ematza honetan: F m a s m a cor F + F ner.arr. + F ner.cor. F = F batugaa, partkulan eragten duten ndar aktboen erresultantea da. F ner.arr. = m a s, arrastreko hgdurak eragndako nertz ndarra. F ner.cor. = m a cor, corolsen azelerazoak eragndako nertz ndarra. Lortu dugun ematza honek, dnamkaren onarrzko legea fnkatzen dgu hgdura erlatboarentzat. Ekuazo honetan kus dezakegu, partkulan eragten duten ndarre, b nertz ndar gehtu degula, hauek partkula materalak sstema mugkorrean duen hgdura erlatboaren eragna kontuan hartzen dutelark. Jarraan kasu berez batzuk aztertuko dtugu: 1. Corolsen nertz ndarra exsttzen ez den kasua. F ner.cor. = m a cor = 2 m w v erl Indar hau anulatzeko, hurrego baldntzetatk gutxenez bat bete behar da: a) w = 0 zatea. Honek, ardatz mugkorrek duten arrastreko hgdura translazoa dela esan nah du. b) v erl = 0 zatea. Hau da, aztertzen ar garen une horretan abadura erlatboa zero zatea. c) w eta v erl bektoreak lerrokdeak zatea. Apatutako edozen baldntza betetzen bada, dnamkaren legea honela geratuko da: F + F ner.arr. = m a erl

17 9 SISTEMAREN DINAMIKA Corols zen arrastreko nertz ndarra exsttzen ez dren kasua. Honela, Corolsen nertz ndarra ez emateko baldntzak betetzeaz gan, arrastreko nertz ndarra ez emateko, a s = 0 zan behar da. Honek esan nah du sstema mugkorraren hgdurak, translazo zuzen eta unformea zan behar duela. Kasu honetan dnamkaren ekuazoa hgdura eralatboarentzat: F = m a erl Ekuazo hau dnamkaren onarrzko legea da. Arrazo honengatk, translazo hgdura zuzen eta unformea duten sstema guztak nertzalak drela esango dugu. Hauetan, ndar osagarrak gehtu gabe, dnamkaren legeak betetzen dra. Ganera, erreferentza sstema nertzaletk kusta, ezn zango da sstema nertzalen hgdura bereztu. 9. SISTEMAREN DINAMIKA 9.1. SISTEMA MEKANIKOAREN KONTZEPTUA. BARNE ETA KAN- PO INDARRAK Sstema mekankoa, puntu materalekn osatutako konjuntua da, non puntu materal bakotzaren kokapen edo hgdurak, beste puntu guzten kokapen eta hgdura baldntzatzen duen. Honela, sstema mekankoa: Eguzk sstema, mekansmo bat edo soldo zurrun bat zan dateke. Sstemaren puntu bakotzean eragten duten ndarrak, kanpo edo barne ndarrak zan datezke. Beste salkapen posble bat, lotura ndar eta ndar aktboen arteko berezketa egnez lortu dateke. Sstema mekanko baten barne ndarrek, hurrengo b ezaugarrak betetzen dtuzte: 1. Barne ndar guzten erresultantea zero da. Hau da, dnamkaren hrugarren legearen arabera, sstema mekanko bateko b edozen puntu aukeratzen badtugu, puntu batek bestear F 12 b eragten do, besteak aurrekoar F 21 b eragten dolark. Indar hauek modulu bera bana aurkako zentzua dute, ondoroz

18 9 SISTEMAREN DINAMIKA 18 ben arteko batura zero da: F b 12 + F b 21 = 0 Sstema materalean aukeratu dtzakegun edozen b puntu paretan ezaugarr hau betetzen denez, batuketa hau sstema materalekoak dren puntu guzte aplkatzen badegu: F = 0 2. Barne ndar guztek ausazko 0 puntu batekko egten duten momentuen batura zero da. Sstema materalekoak dren edozen 1 eta 2 puntuak aukeratuta, hauen artean sortzen dren ndarrek ausazko 0 puntuarekko egten duten momentua kalkulatuko dugu (6. rudan onarrtuta. F F 12 d 0 Fgura 6: B puntutan aplakatutako ndarrek sortzen duten momentua 0 puntuarekko Honela, partkula puntualetan aplkatuta dauden ndarrek 0 puntuarekko sortzen duten momentua: M 0 ( F b 12 ) + M 0 ( F b 21 ) = F b 12 d F b 21 d = ( F b 12 F b 21 ) d = 0 Sstema materalean sortu datezkeen puntu pare guztek 0 puntuarekko sortzen duten momentua kalkulatzen badugu: M 0 ( F ) = 0 Haatk, b baldntza hauetan onarrtuz ezn dugu ondoroztatu sstemaren barne ndarrak orekatu egten drenk honen hgduran eragnk sortu gabe. Indar hauek puntu desberdnetan aplkatuta daude, eta ondoroz, puntu materalen arteko desplazamenduak eragn dtzakete. Barne ndarrak orekatu egngo dra sstema materalak ezaugarr berez bat betetzen duenean, hots, soldo zurruna denean.

19 9 SISTEMAREN DINAMIKA SISTEMA BATEN HIGIDURAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAK Bed n partkula materalekn osatutako sstema mekankoa. Partkula bakotzak, hurrenez hurren, m 1, m 2,..., m,..., m n masa du. Partkula materal bakotzean F k kanpo ndarrak eta F b barne ndarrak eragngo dute. Honela, puntu bakotzean dnamkaren onarrzko legea aplkatu ahal zango dugu: m 1 a 1 = F k 1 + F b 1 m 2 a 2 = F 2 k + F 2 b... m a = F k + F b... m n a n = F n k + F n b Sstemakoa den puntu bakotzaren hgdura legea zehazten duten ekuazo haue, sstemaren hgduraren ekuazo dferentzalak detzen zae. Dferentzalak dra, a = d2 r 2 delako. Jarraan, ekuazo hauek ardatz koordenatuekn osatutako erreferentza sstema batean proektatzen badtugu, ekuazo bektoralen eskalarzazoa lortuko dugu. Beraz, sstemaren arketa dnamkoa ebatzta dagoela pentsa dezakegu, bana hau praktkok ez da ega hurrengo b arrazoengatk: 1. Ekuazo dferentzalen sstema ebazterakoan, gandtu eznak dren zaltasun matematkoak aurktzeagatk. 2. Kasu bakotzean ematen dren magntudeak ebaluatzeko dagoen zaltasunagatk. Honela, ekuazo hauen erablpen garrantztsuena, jarraan aztertuko dugun sstemaren dnamkaren teoremak lortzeko, onarrzko ekuazoak zatea da MASEN ZENTROAREN HIGIDURAREN TEOREMA Masen geometra kaptuluan kas genuena gogoratuz, sstema materal baten masen zentroaren kokapena hurrengo ekuazoarekn kalkulatu dezakegu: r G = m r m = m r M

20 9 SISTEMAREN DINAMIKA 20 Non M, sstema materalaren masa osoa den. Ekuazo hau garatuz: m r = M r G Azken aderazpen honetako berdnketaren b aldeen bgarren derbatuak kalkulatuko dtugu. Honetarako, batuketa baten derbatua, derbatuen batura dela gogoratuz: m d2 r 2 = M d2 r G 2 = m a = M a G Non a G, sstemaren masen zentroak duen azelerazoa den. Ondoroztatu berr dugun ekuazoan, berdnketaren ezkerretan dagoen batukara, partkula bakotzean eragten duten ndarrak gehtuz kalkulatu dezakegu: m a = =n F k + F b Honela, barne ndarrak betetzen duten ezaugarra gogoratuz, hau da: F b = 0 =n Beraz, aurreko ekuazoa; m a = Eta lehen lortutako ematza aplkatuz: M a G = F k F k Ekuazo honek masen zentroaren hgdura teorema aderazten du, eta hau honela enuntzatu dezakegu: Sstema materalaren masa osoa, eta honen masen zentroak duen azelerazoaren arteko bderketa, sstema materalean eragten duten kanpo ndar guzten baturaren berdna da. Ikusten dugun bezala, ondoroztatu dugun ekuazo hau, eta puntuaren dnamkaren bgarren legea berdnak dra. Honen arabera, beste enuntzatu hau ere egn dezakegu: Sstema materal baten masen zentroa puntu materal bat bezala mugtzen da, kontuan zanda puntu honek duen masa, sstema materalaren masa osoa dela, eta puntuak sstema materalean eragten duten kanpo ndar guztak jasaten dtuela. Ekuazoa ardatz koordenatu batzuetan proektatzen badugu:

21 9 SISTEMAREN DINAMIKA 21 M d2 =n x G = 2 M d2 =n y G = 2 F k x F k y M d2 =n z G = 2 F k z Azken ekuazo hauek, sstema baten masen zentroak duen hgdura ekuazo dferentzalak dra, modu eskalarrean aderazta. Aldez aurretk, sstema materalak duen hgdura translazokoa dela ezagutzen badugu, teorema honen btartez arketa ebatz ahal zango genuke. Edozen kasutan, teorema hau erablz sstema materalaren masen zentroak duen hgdura kalkulatu dezakegu. Honetarako ez dugu kontuan zan barne ndarrak, hauek ezezagunak zango drelark. Honela, teorema honen aplkazo garrantztsuena, masen zentroak duen hgdura kalkulatzea da, barne ndarrak kalkulatu gabe MASEN ZENTROAREN HIGIDURAREN KONTSERBAZIO LEGEA Aurreko atalean lortutako teoreman onarrtuta, zera ondoroztatu dezakegu: 1. Sstema materalean eragten duten kanpo ndarren batura zero dela suposatzen badugu: F k = 0 = M a G = 0 = a G = 0 = v G = Ktea. Sstema materal batean eragten duten kanpo ndarren batura zero zaten bada, sstemaren masen zentroa abadura konstantearekn mugtuko da, hots, hgdura zuzen eta unformearekn. Honela, haseran masen zentroa pausagune egoeran egoten bada, honek pausagunean jarratuko du. Ikusten dugun bezala, solk barne ndarren eragnak ezn du sstemaren masen zentroaren hgdura aldatu. 2. Kasu honetan, ez dugu suposatuko sstema materalean eragten duten kanpo ndarrak zero drenk, bana ba kanpo ndar hauen proekzoen erresultantea norabde batean zero dela, adbdez, X norabdean. Honela: F k x = 0 = M d2 x G = 0 = dx G 2 = v Gx = Ktea. Ondoroz, sstema materalaren masen zentroak duen abaduraren proekzoa X ardatzean konstantea da. Ematza hau, sstema materalak haseran duen hgduran v Gx =

22 9 SISTEMAREN DINAMIKA 22 0 kasura zehazten badugu, ondorengo une guztetan ere v Gx zero zango da. Hots, masen zentroa ez da desplazatuko X ardatzean zehar SISTEMA BATEN MOMENTU LINEALA EDO HIGIDURA KAN- TITATEA Sstema baten momentu lneala edo hgdura kanttatea defntuko dugu, sstema osatzen duten partkula materal guzten momentu lnealen batura bezala. =n P = m v Sstema materal baten masen zentroaren kokapena kalkulatzeko erabl dugun espresoa gogoratuz: m r = M r G Jarraan espreso hau denborarekko derbatzen badugu: m d r = M d r G = m v = M v G = P = M v G Ematza hau honela enuntzatu dezakegu: sstema materal baten momentu lneal edo hgdura kanttatea, sstemaren masa osoa eta honen masen zentroak duen abaduraren arteko bderkaduraren berdna da. Hemendk zera ondoroztatzen da; sstema materal bat mugtu egten bada honen masen zentroa fnko mantenduz, sstemaren momentu lneala zero da. Ondoroz, sstema materalaren P momentu lnealak, bere masen zentroaren hgdura aderazten du, bana ez sstema materalak masen zentroarekko zan dezaken braketa posblea SISTEMA BATEN HIGIDURA KANTITATEAREN ALDAKUNTZAREN TEO- REMA Bed n partkula materalekn osatutako sstema materala. Hgduraren ekuazo dferentzalak n partkule aplkatu eta gehtu egten badtugu: m a = =n F k + F b Sstema materal bat osatzen duten puntu guztetan aplkatutako barne ndarren batura zero denez, aurreko espreso honela geratzen zagu:

23 9 SISTEMAREN DINAMIKA 23 m a = F k Sstema osatzen duten partkula materal guztak masa konstantea dutela suposatzen badugu: m a = d ( ) m v = d P ; ondoroz: F k = d P Ematza hau honela enuntzatu dateke: sstema materal batek duen hgdura kanttatearen derbatua denborarekko, sstema honetan eragten duten kanpo ndar guzten batura da. Lortutako ematza ardatz koordenatuetan proektatzen badugu: F k x = dp x F k y = dp y F k z = dp z Teorema honen aderazpen ntegrala honela kalkulatuko da: P2 F k P 1 d P = = d P t2 t 1 F k = P 2 P 1 = t2 t 1 F k = S k Denbora tarte batean sstema materal baten hgdura kanttatearen aldakuntza, eta denbora tarte berean sstema horretan aplkatuta dauden ndarrek eragten duten bultzaden batura, berdnak dra. Aderazpen bektoral hau ardatz koordenatuetan proektatzen badugu:

24 9 SISTEMAREN DINAMIKA 24 =n S k x P 2x P 1x = =n S k y P 2y P 1y = =n S k z P 2z P 1z = Sstema baten hgdura kanttatearen aldakuntzaren teorema eta masen zentroaren hgduraren teorema a berdnak dra. Teorema hauen ematzak gogoratuz: Hgdura kanttatearen aldakuntzaren teorema: d P =n = Masen zentroaren hgduraren teorema: M a G = Honela, ( P = M v G ) sstema baten momentu lneal edo hgdura kanttatearen defnzoa lehenengo ekuazoan aplkatzen badugu, bgarren ekuazoa lortu dezakegu. F k F k HIGIDURA KANTITATEAREN KONTSERBAZIO LEGEA Aurreko atalean erdetstako teoreman onarrtuz ondoro hauek enuntzatu dtzakegu: 1. Ssteman eragten duten kanpo ndarren batura zero zaten bada, sstemaren hgdura kanttatea konstante mantentzen da. Frogapena: F k = 0 = d P = 0 = P = Ktea. 2. Ssteman eragten duten kanpo ndarren batura zero ez dela suposatuko dugu, bana ba kanpo ndar hauen proekzoen batura edozen norabdetan, adbdez, X ardatzaren norabdean. Kasu honetan, hgdura kanttatearen proekzoa norabde horretan konstante mantenduko da. Frogapena: F k x = 0 = dp x = 0 = P x = Ktea. Hgdura kanttatearen kontserbazo lege hauetan onarrtuz, sstema batean solk barne ndarren eragnagatk, honek duen hgdura kanttatea aldatzea ez dela posble ondoroztatzen dugu.

25 9 SISTEMAREN DINAMIKA SISTEMA (SOLIDO ZURRUNA) BATEN MOMENTU ANGELU- AR EDO ZINETIKOA Bed M masa osoa eta G masen zentroa duen soldo zurruna. Sstema materal hau, erreferentza sstema nertzal batetk aztertuko dugu. Honela, sstema materalekoa den m masadun partkularen momentu znetkoa ausazko P puntuarekko (7. ruda): L P = r m v Z w r ' G m r G r P Y X Fgura 7: m masa duen partkulak, P puntuarekko duen momentu znetkoa Bestalde, znematkan kas duguna aplkatuz, m masa duen partkularen abadura, P puntuaren abdurarekn erlazonatu dezakegu, b puntuak sstema berekoak drelako: v = v P + w r Ekuazo hau, momentu znetkoaren espresoan ordezkatzen badugu, m masa duen partkula materalaren momentu angeluar edo znetkoa lortuko dugu: L P = r m ( v P + w r ) = ( r m ) v P + r ( w r ) m Jarraan, ekuazo hau, orokorrean n partkulakn osatuta dagoela suposatuko dugun sstema materalean aplkatzen badugu: L P = ( ) [ ] r m vp + r ( w r ) m Aztertzen ar garen sstema materala, soldo zurruna zateaz gan jarraa zaten bada, aurreko ekuazoko batukarak ntegral blakatzen dra, eta puntu materal bakotzak orokorrean

26 9 SISTEMAREN DINAMIKA 26 zuen m masa puntuala, dm masa dferentzalagatk ordezkatu behar dugu: L P = ( =n ) r dm vp + =n [ r ( w r ) dm ] Ekuazo hau erablterrazagoa egteko, kontuan zanda sstema osoaren momentu znetkoa kalkulatzen ar garela, eta ekuazoan eragten duten ntegralak, sstema osoa osatzen duen partkule aplkatu behar zaela, honela aderaz dezakegu aurreko ekuazoa modu snpleago batean. Snplfkazo honetan, masa dferentzal bakotzak balo bera duela ere suposatuko dugu: L P = ( r dm ) v P + r ( w r ) dm Ematza hau onarrtzat hartuta, aztertu dtzagun hurrengo kasu berezak: 1. Suposatu dezagun P puntua puntu fnko bat dela. Ezaugarr hau betetzen duen puntua 0 hzkarekn zendatzen badugu: Kasu honetan: v P = v 0 = 0 Ondoroz, L 0 = r ( w r ) dm Ekuazo honetan dagoen r kokapen bektorea, sstema materala osatzen duten dm masa dferentzal guzten kokapen bektorea da. Bektore honen onarra 0 puntuan dago. 2. Suposatu dezagu P puntua sstema materalaren G masen zentroa dela. Onarrtzat hartu dugun ekuazotk abatuta, berdnketaren eskubtan dagoen lehenengo batugaa zero dela kusten dugu, ntegralean dagoen r kokapen bektoreak onarra G puntuan duelako. Hau da, r dm = 0: L G = r ( w r ) dm Kasu honetan, r kokapen bektore guztak G puntuan dute onarra. 3. Azkenk, P puntua sstema materalekoa den edozen puntu zaten bada: Kasu honetan, 7. rudan onarrtuz r kokapen bektorea honela espresatu dezakegu: r = r G + r Ematza hau momentu znetkoaren ekuazo orokorrean ordezkatzen badugu:

27 9 SISTEMAREN DINAMIKA 27 L P = ( r G + r ) dm v P + ( r G + r ) ( w ( r G + r ) ) dm Espreso hau garatuz: L P = ( r dm ) v P + ( v G v P ) dm + r ( w r ) dm + + ( r dm ) ( w r G ) + r G ( w r dm ) + r G ( w r G ) dm Ematza honetan, berdnketaren eskubtan dauden; lehenengo, laugarren eta bostgarren batugaak zero dra, hauetan r dm osagaak eragten duelako. Integral honen barnean dagoen r kokapen bektoreak onarra sstema materalaren masen zentroan duenez, r dm = 0 da. Berdnketaren eskumatan dagoen hrugarren batugaa: r ( w r ) dm = L G da. Ondoroz: L P = ( v G v P ) M + L G + r G ( w r G ) M = r G ( v P + w r G ) M + L G Azkenk, v G = v P + w r G dela jaknda: L P = ( r G v G ) M + L G Soldo zurrunentzat, edozen P punturekko duen momentu angeluar edo znetkoaren espresoa kalkulatu dugu: L P = r G M v G + L G Lortu berr dugun espreso hau, momentu znetkoar aplkatutako Koenng-en teorema da eta honela enuntzatu dezakegu: Sstema baten (soldo zurruna) momentu znetkoa, sstemakoa den ausazko P puntu batekko, b batugaekn osatzen da: lehenengoa, sstema materalaren masa osoa honen masen zentroan kokatuta dagoela suposatuz, puntu honek duen momentu znetkoa da, eta bgarren batugaa, sstema materalak bere masen zentroarekko duen momentu znetkoa da SOLIDO ZURRUN BATEN MOMENTU ANGELUAR EDO ZINETIKOA IN- ERTZI TENTSOREAREN FUNTZIOAN ESPRESATUTA Aurreko atalean kus dugu, sstema baten momentu znetkoa 0 puntu fnko batekko edo G masen zentroarekko aderazten badugu, hurrengo txura hartzen duela:

28 9 SISTEMAREN DINAMIKA 28 L = r ( w r) dm Esan beharra dago, espreso honetan L bektorea fnkoa dela, hau da, sstema materalaren erreferentzazko puntu bat lotuta dagoela, kasu honetan ganera, puntu hau fnkoa edo sstemaren masen zentroa zango da. Bestalde, ntegrala sstema osatzen duten partkula dferentzal guztetan aplkatzen da, horretaz gan, r kokapen bektorea partkula dferentzal bakotzaren kokapena da erreferentza puntuarekko. Espreso honetan dagoen bderkaketa bektoral bkotza garatuz: r ( w r) = ( r r) w r ( r w) = r 2 w ( r r) w = [ r 2 δ ( r r) ] w Hemen lortutako ematza honela defntuko dtugu: r kokapen bektoreak duen moduluaren karratua: r 2 = r r Eragle dadkoa: ( r r) Kronecker-en δ eraglea: δ Beraz, momentu angeluar edo znetkoaren espresoa parametro berr hauen funtzoan: [r L = 2 δ ( r r) ] dm w = {I} w Non, {I} erreferentzatzat hartutako punturar eta honen nguran konkatutako erreferentza sstemaren norabdetan orentatuta dagoen nertz tentsorea den. Atal honen haseran erabl dugun espresoak betetzen ztuen baldntzak gogoratuz, momentu znetkoa 0 puntu fnko bat edo sstema materalaren G masen zentroar lotuta egon behar zen, ondoroz, nertz tentsorea hau, momentu znetkoa lotuta dagoen puntu berar lotuta egongo da. Momentu znetkoarentzat, nertz tentsorearen funtzoan lortutako espresoa modu matrzalean espresatzen badugu: L x L y L z = I xx I xy I xz I yx I yy I yz I zx I zy I zz w x w y w z Espreso hau kusz, orokorrean L eta w lerrokdeak ez drela zango ondoroztatu dezakegu. Masen geometra kas genuenean frogatu genuena gogoratuz, sstema materalean aukeratu dugun erreferentzazko puntuan, erreferentza sstemak norabde nagusen orentazoa duen kasuan, puntu hon lotuta eta norabde nagusen orentazoa duen nertz tentsorearen matrzea dagonala da:

29 9 SISTEMAREN DINAMIKA 29 I ε I η I ρ Eta sstemaren braketa abadura norabde nagus batean ematen bada, adbdez u ε norabdean, honela espresatu ahal zango genuke: w = w ε u ε. Ondoroz, espreso matrzal osoa: L ε L η L ρ = I ε I η I ρ w ε 0 0 = I ε w ε 0 0 Eta hemendk momentu znetkoak norabde nagusetan dtuen osagaak kalkulatu dtzakegu: L ε = I ε w ε ; L η = 0 ; L ρ = 0 Kasu honetan, L eta w bektoreak lerrokdeak drenez, espreso matrzala hurrengo forma bektoralean aderaz dezakegu: L = I ε w Non, I ε sstemaren nertz momentu nagusa den. Hau da, sstema materalak ε norabde nagusarekko duen nertz momentua, ondoroz, baloa hau eskalarra da SISTEMA ZURRUN BATEN MOMENTU ZINETIKOAREN ALDAKUNTZAREN TEOREMA, HIGIDURAN DAGOEN EDOZEIN PUNTUREKIKO Bed, n partkula materalekn osatutako sstema materala. Partkula bakotzak zango duen masa m hzkekn zendatuko dugu. Honela, sstema materalak, sstemarekko kanpokoa den edozen P puntu batekko duen momentu znetkoa kalkulatuko dugu. Puntu hau, orokorrean hgduran dagoela suposatuko dugu, bere abadura v P zango delark (8. ruda): v m r v P Fgura 8: m masa duen partkulak, P puntuarekko duen momentu znetkoa P

30 9 SISTEMAREN DINAMIKA 30 Honela, sstemaren momentu znetkoa: =n L P = r m v Espreso hau denborarekko derbatuz: d L P =n = ( d r m v + r d(m ) v ) Eta orokorrean, m masa duen partkula eta P puntuak duten abadurak erlazonatzen dtuen ekuazoa hau denez: v = v P + d r = d r = v v P Eta beste alde batetk, m masa duen partkular hgdura kanttatearen aldakuntza teorema aplkatzen badogu: d(m v ) = F k + F b Beraz, momentu znetkoaren derbatua: d L P [ ] = ( v v P ) m v + Ekuazo honetan: [ r ( F k v m v = 0 da, b bektore lerrokde drelako. + F b )] ( r F b ) = 0 da, barne ndarrek duten ezaugarrengatk. d L P ( ( = v P m v ) + r F ) k dl P = M P ( F k ) + P v P (5) Sstema baten momentu znetkoaren aldakuntza hgduran dagoen P puntu batekko hurrengo b batugaekn kalkulatu dateke: lehenengoa, ssteman eragten duten kanpo ndarrek P puntuarekko sortzen duten momentua da, eta bgarrena, sstema materalaren momentu lneala eta P puntuak duen abaduraren arteko bderketa bektorala da. Teorema hau, momentu znetkoaren aldakuntzaren teorema orkorra da, eta berau edozen puntutan aplkatu dateke. Honela, hurrengo kasu berezak apatu dtzakegu:

31 9 SISTEMAREN DINAMIKA Erreferentzatzat hartutako 0 puntua ez bada mugtzen, hau da, puntu fnkoa zaten bada, momentu znetkoaren aldakuntza aderazten dgun (5). ekuazoan, berdnketaren eskubtan dagoen bgarren batugaa anulatu egten da, v 0 = 0 delako. Ondoroz, momentu znetkoaren aldakuntzaren aderazpena P puntu fnko batean onarrtuta: dl 0 = M 0 ( F k ) 2. Kasu honetan, sstema materalaren G masen zentroan onarrtzen bagara, (5). ekuazoan, berdnketaren eskubtan dagoen bgarren batuga zero zango da, oran, ( P = M v G ) eta v G bektoreak lerrokdeak drenez, hauen arteko bderketa bektorala zero delako. Kasu honetan momentu znetkoaren aderazpena G sstemaren masen zentroarekko: d L G = M G ( F k ) MOMENTU ZINETIKOAREN KONTSERBAZIO LEGEA Momentu znetkoa konstante mantenduko da hurrengo b kasuetan: 1. Sstema materalean aplkatuta dauden kanpo ndar guztek 0 puntu fnko batekko egten duten momentuen erresultantea zero zaten bada: M 0 ( F k ) = 0 = d L 0 = 0 = L0 = Ktea. 2. Sstema materalean aplkatuta dauden kanpo ndarrek, ε ardatz batekko egten duten momentuen erresultantea zero zaten bada: M ε ( F k ) = 0 = dl ε = 0 = L 0 = Ktea SISTEMA (SOLIDO ZURRUNA) BATEN ENERGIA ZINETIKOA Bed, M masa osoa eta G masen zentroa duen soldo zurruna. Honela, stema hau n partkula materalekn osatuta dagoela suposatuko dugu. Orokorrean, sstema hau osatzen duen m masadun partkula materalak duen energa znetkoa: T = 1 2 m v 2 = 1 2 m ( v v ) Honela, soldo zurrunekoa den P puntu batek duen abadura ezagutzen badugu, hurrengo ekuazoa planteatu dezakegu (9. ruda): v = v P + w r

32 9 SISTEMAREN DINAMIKA 32 Z G w m r P Y X Fgura 9: m masa duen partkulak, P puntuarekko duen abadura Ematza hau, m masa duen partkula puntualaren energa znetkoa kalkulatzeko erabl dugun ekuazoan ordezkatzen badugu: T = 1 2 m v 2 = 1 2 m ( v P + w r ) ( v P + w r ) Eta hemendk: T = 1 2 m ( v P v P ) + v P ( w r ) m ( w r ) ( w r ) m Honela, sstema osoak duen energa znetkoa, partkula guzte dagoken energa znetkoaren batura zango da: T = 1 2 ( v P v P ) m + v P ( w ) 1 r m + 2 [ ( w r ) ( w r ) m ] Aztertzen ar garen sstema materala jarraa zaten bada, batukarak ntegral eta masa puntualak masa dferentzal bhurtzen dra: T = 1 2 M( v P v P ) + v P ( w r dm ) [( w r ) ( w r ) dm ] Espreso honetako azkenengo batugaa transformatu egten badugu: ( w r ) ( w r ) = ( w r w r ) }{{} bderketa mstoa Ondoroz: = ( r w r w) = ( r ( w r ) ) w T = 1 2 M( v P v P ) + v P ( w r dm ) w r ( w r )dm

33 9 SISTEMAREN DINAMIKA 33 Egn dezagun espreso honen hurrengo salkapena, P puntuaren arabera: 1. Suposatu dezagun P puntua sstema materalekoa dela, eta ganera fnkoa, hau da 0 puntua dela. v P = v 0 = 0 T = 1 2 w r ( w r )dm = 1 2 w L 0 L 0 nertz momentua, nertz tentsorearen funtzoan aderazten badugu: T = 1 2 ( w x w y w z ) I xx I xy I xz I yx I yy I yz I zx I zy I zz w x w y w z Espreso matrzal hau garatuz: T = 1 2 I xx w 2 x I yy w 2 y I zz w 2 z + I xy w x w y + I xz w x w z + I yz w y w z Aukeratu dugun erreferentza sstemak, norabde nagusak zango baltu: T = 1 2 I ε w 2 ε I η w 2 η I ρ w 2 ρ 2. Suposatu dezagun oran, P puntua sstema materalaren masen zentroa dela, hots, G puntu dela. v P = v G Bestalde, energa znetkoarentzat lortu dugun ekuazoan, berdnketaren eskunetan dagoen bgarren batugaan r dm dago bderkatzen. Kasu honetan, r kokapen bektore guztak sstema materalaren G masen zentrotk hartuta daudenez, r dm = 0 da, ondoroz: T = 1 2 M v2 G w L G Lortu dugun ekuazoak, Koeng-ek energa znetkoarentzat enuntzatu zuen teorema errepresentatzen du, honen arabera: hgduran dagoen sstema baten energa znetkoa b batugaekn osatuta dago: lehenegoa, sstema materalaren masa guzta honen masen zentroan kontzentratua dagoela suposatuz, puntu hau translazoan zateagatk duen energa znetkoa da, eta bgarrena, sstema materalak bere masen zentroaren nguruan

34 9 SISTEMAREN DINAMIKA 34 bratzeagatk duen braketa energa. Puntu fnkoarentzat aplkatu dugun prozedura analogoa jarratuz, energa znetkoa masen zentroar lotuta dagoen nertz tentsorearen funtzoan espresatu dezakegu forma matrzalean: T = 1 2 M v2 G ( wx w y w z ) I xx I xy I xz I yx I yy I yz I zx I zy I zz w x w y w z Espreso hau garatuz: T = 1 2 M v2 G I xx w 2 x I yy w 2 y I zz w 2 z + I xy w x w y + I xz w x w z + I yz w y w z Bestalde, nertz tentsorea G puntuar lotuta egoteaz gan, norabde nagusen orentazoa zaten badu, energa znetkoaren ekuazoa: T = 1 2 M v2 G I ε w 2 ε I η w 2 η I ρ w 2 ρ SISTEMA (SOLIDO ZURRUNA) BATEN ENERGIA ZINETIKOAREN AL- DAKUNTZAREN TEOREMA Sstema materala osatzen duten n partkula materaletatk, orokorrean m masa duen partkular energa znetkoaren aldakuntzaren teorema aplkatuko dogu modu dferentzalean: d(m v 2 ) 2 = F d r = dw Kontuan zanda partkula bakotzean eragten duten ndarrak sstemarekko kanpo eta barne ndarrak drela: d(m v 2 ) 2 = dw k + dw b Ekuazo hau, sstema osatzen duten partkula guzte aplkatzen badugu: d ( ) m v 2 2 = d W k + d W b = dt Ekuazo honek, sstema materalaren energa znetkoaren aldakuntzaren teorema espresatzen du modu dferentzalean. Honen ntegrazoa egten badugu:

35 9 SISTEMAREN DINAMIKA 35 =n T 2 T 1 = =n W k + =n W b = T = =n W k + Ematza hau honela enuntzatu dezakegu: sstema batek, denbora tarte batean, bere desplazamenduan jasaten duen energa znetkoaren aldakuntza, eta sstema horretan, denbora tarte berean kanpo eta barne ndarrek sortzen duten lanen batura, berdnak dra. Aurretk kus dtugun teorematan ez bezala, teorema honetan sstema materalean aplkatuta dauden barne ndarrak kontuan zan behar dtugu. Halaber, kasu berez batzuetan barne ndarrek egten duten lana zero da. Ikus dtzagun adbde batzuk: 1. Soldo zurruna. Bed 1 eta 2 sstema soldo zurrun bateko b puntu. Puntu hauetan F b 12 eta F b 21 barne ndarrak aplkatuta daude hurrenez hurren. Akzo eta erreakzo prntzpoarengatk, ndar hauek modulu berdna bana aurkako norantza dutela dakgu, hau da: F b 12 = F b 21 (10. ruda): W b v 1 1 d r 1 F 12 F 21 2 d r 2 v 2 Fgura 10: Sstema materal bateko b puntutan aplkatutako barne ndarrak Sstema materalak zan dezaken hgdura orokorrean, 1 eta 2 puntuek zango duten abadurak v 1 eta v 2 dra. Honela, aztertzen ar garen sstema deformaezna denez, abdura hauen proekzoak 1 eta 2 puntuak lotzen dtuen lerro zuzenean berdnak zan behar dute. Honela, denbora tarte batean, 1 eta 2 puntuak d r 1 = v 1 eta d r 2 = v 2 desplazamandu elementalak egngo dtuzte, hauek hurrenez hurren, v 1 eta v 2 bektoreekn lerrokdeak zango drelark. Kasu honetan ere, d r 1 eta d r 2 bektoreen proekzoak 1 eta 2 puntuak lotzen dtuen lerro zuzenean berdnak dra, ondoroz:

36 9 SISTEMAREN DINAMIKA 36 W 12 ( F b ) = F b 12 d r 1 + F b 21 d r 2 = F b 12 P roek 12 d r 1 + F b 21 P roek 21 d r 2 = 0 Barne ndarrek egten duten lana, sstema osatzen duten puntu pare guzte aplkatzen badegu eta ondoren lan osoaren batura kalkulatu, sstema deformaezn batean aplkatuta dauden barne ndarrak egten duten lana zero dela frogatu dezakegu, hau da: =n T = 2. Lotura dealekn osatutako sstema materala. Kasu honetan, soldo zurrunekn osatutako sstema edo multzo mekankoak dtugula suposatuko dugu, bana bereztasun batekn: lotura guztak dealak drela, hau da, loturetan ez drela marruskadura ndarrak sortzen. Kasu honetan, une guztetan lotura ndarrek sortzen duten lana zero zango da. W k Hau da, loturetan ez badra marruskadura ndarrak sortzen, lotura ndarrak kontaktuarekko normalak zango dra eta loturetan sortu datezken hgdurak, erreakzo normalekko elkarzutak zango dra. Ondoroz, sortu dezaketen lana zero da. Arrazo honengatk, lotura dealak zan eta soldo deformaeznekn osatuta dauden sstematan ere, hurrengo ekuazoa aplkatu dezakegu: =n T = 9.7. SISTEMAREN HIGIDURAREN ZAZPI EKUAZIO UNIBERT- SALAK Sstemaren dnamkarentzat onarrzko teoremen btartez egndako azterketaren laburpen bezala, zera ondoroztatu dezakegu: Hgdura kanttatearen teorema, edo kus dugun bezala, bere balokdea den masen zentroaren teoremaren aplkazotk, ekuazo bektoral bat, eta ondoroz hru ekuzo eskalar lortu dtzakegu: W k d P = d ( ) m v = F k = dp x dp y = F k x = F k y dp z = F k z

37 9 SISTEMAREN DINAMIKA 37 Momentu znetkoaren teoremaren aplkazoarekn ere, ekuazo bektoral bat, eta ondoroz hru ekuzo eskalar lortu dtzakegu: d L = d ( ) r m v = M( F k ) = dl x dl y = M x (F k ) = M y (F k ) dl z = M z (F k ) Azkenk, energa znetkoaren teoremaren aplkazoarekn ekuazo eskalar bat lortu dezakegu: dt = d ( ) m v 2 2 = d W k + d W b Zazp ekuazo eskalar hauekn osatutako multzoak, sstemaren hgduraren ekuazo unbertsalak zendapena hartzen du. Apatzekoa da, lehenengo se ekuazoetan solk sstemarekko kanpo ndarrak eragten dutela, eta azkenengo ekuazoan, orokorean, kanpo ndarrez gan, barne ndarrak ere eragten dutela. Nahz eta jakn, sstema materala soldo deformaezna zanten bada, edo soldo deformaeznekn osatutako multzoa den kasuan, lotura dealak dtuenean, barne ndarrek ez dutela eragnk energa znetkoaren teoreman.