ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1 α) Στο διπλανό ορκογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ θ γωνία Β είναι ορκι, AΔ 7cm, ΔΒ 3cm, BΓ 8cm, και Ε το μζςο του ΓΔ. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγϊνου ΑΓΕ. β) Αν a, είναι οι διαςτάςεισ ενόσ ορκογωνίου που ζχει περίμετρο 68cm και, οι διαςτάςεισ ενόσ άλλου ορκογωνίου που ζχει περίμετρο 5cm, να υπολογίςετε τθν τιμι τθσ παράςταςθσ A 8 5( ) 3( - ) ( 6 - ) Πρόβλημα Τα 5 των χρθμάτων του Ανδρζα ιςοφνται με τα χριματα του Βαςίλθ και τα 7 9 των χρθμάτων του Βαςίλθ ιςοφνται με τα χριματα του Γιάννθ. Αν όλοι μαηί ζχουν 1540 ευρϊ, να βρείτε πόςα χριματα ζχει ο κακζνασ Πρόβλημα 3 Εκατόν άτομα προςκλθκικαν να γευτοφν τουλάχιςτον ζνα από τα τρία διαφορετικά είδθ κραςιοφ Α, Β και Γ. Αν ξζρουμε ότι όποιοσ γεφτθκε το κραςί Β γεφτθκε και το κραςί Α, ότι 8 άτομα γεφτθκαν τα κραςιά Α και Γ, ότι 34 άτομα γεφτθκαν το κραςί Β επίςθσ ότι 45 άτομα γεφτθκαν το κραςί Γ και τζλοσ ότι 0 άτομα γεφτθκαν και τα τρία κραςιά να βρείτε πόςα άτομα γεφτθκαν μόνο ζνα από τα τρία κραςιά. Πρόβλημα 4 Nα βρείτε όλουσ τουσ τριψιφιουσ αρικμοφσ ( a,, ψθφία του τριψιφιου αρικμοφ με a 0 ) ζτςι ϊςτε το a να είναι διαιρζτθσ του 6.
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Β ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1 Εκατόν άτομα προςκλθκικαν να γευτοφν τουλάχιςτον ζνα από τα τρία διαφορετικά είδθ κραςιοφ Α, Β και Γ. Αν ξζρουμε ότι όποιοσ γεφτθκε το κραςί Β γεφτθκε και το κραςί Α, ότι 8 άτομα γεφτθκαν τα κραςιά Α και Γ, ότι 34 άτομα γεφτθκαν το κραςί Β, ότι 45 άτομα γεφτθκαν το κραςί Γ και τζλοσ ότι 0 άτομα γεφτθκαν και τα τρία κραςιά να βρείτε πόςα άτομα γεφτθκαν μόνο ζνα από τα τρία κραςιά. Πρόβλημα Να βρείτε όλουσ τουσ τριψιφιουσ αρικμοφσ ( a,, ψθφία του τριψιφιου αρικμοφ με a 0 ) ζτςι ϊςτε το a να είναι διαιρζτθσ του 6. Πρόβλημα 3 Ο Πζτροσ μπογιατίηει ζνα δωμάτιο ςε 15 ϊρεσ, ο Γιάννθσ μπορεί να μπογιατίηει 50% πιο γριγορα από τον Πζτρο και ο Κϊςτασ μπορεί να μπογιατίηει δυο φορζσ πιο γριγορα από τον Πζτρο. Ο Πζτροσ ξεκινά να μπογιατίηει το δωμάτιο και για μια ϊρα και 30 λεπτά δουλεφει μόνοσ του. Μετά ζρχεται ο Γιάννθσ και μαηί με το Πζτρο δουλεφουν μαηί μζχρι που μπογιατίηουν το μιςό δωμάτιο. Στθν ςυνζχεια ζρχεται ο Κϊςτασ και ςυνεχίηουν όλοι μαηί να δουλεφουν μζχρι να μπογιατίςουν το δωμάτιο. Να βρείτε από τθν ϊρα που ξεκίνθςε ο Πζτροσ, πόςα ςυνολικά λεπτά χρειάςτθκαν και οι τρεισ να τελειϊςουν το βάψιμο του δωματίου. Πρόβλημα 4 Στο διπλανό ςχιμα φαίνεται θ τετράγωνθ αυλι πλευράσ μικουσ 1m. Στο εςωτερικό τθσ αυλισ κα καταςκευαςτεί μια μικρι παιδικι πιςίνα επίςθσ τετράγωνου ςχιματοσ πλευράσ μικουσ 8m. Στο χϊρο τθσ αυλισ, γφρω από τθν πιςίνα (ςκιαςμζνο εμβαδόν), κα τοποκετθκοφν πλακάκια. Να υπολογίςετε το ποςοςτό με το οποίο κα πρζπει να αυξθκεί το μικοσ τθσ πλευράσ τθσ πιςίνασ ζτςι ϊςτε το εμβαδόν τθσ επιφάνειασ όπου κα τοποκετθκοφν πλακάκια να ελαττωκεί κατά 45%.
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Γ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. Πρόβλημα 1 (α) Να δείξετε ότι ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ (β) Να βρείτε τθν τιμι του ακζραιου αρικμοφ για τον οποίο ιςχφει θ ςχζςθ Πρόβλημα Ο Πζτροσ μπογιατίηει ζνα δωμάτιο ςε 15 ϊρεσ, ο Γιάννθσ μπορεί να μπογιατίηει 50% πιο γριγορα από τον Πζτρο και ο Κϊςτασ μπορεί να μπογιατίηει δυο φορζσ πιο γριγορα από τον Πζτρο. Ο Πζτροσ ξεκινά να μπογιατίηει το δωμάτιο και για μια ϊρα και 30 λεπτά δουλεφει μόνοσ του. Μετά ζρχεται ο Γιάννθσ και μαηί με το Πζτρο δουλεφουν μαηί μζχρι που μπογιατίηουν το μιςό δωμάτιο. Στθν ςυνζχεια ζρχεται ο Κϊςτασ και ςυνεχίηουν όλοι μαηί να δουλεφουν μζχρι να μπογιατίςουν το δωμάτιο. Να βρείτε από τθν ϊρα που ξεκίνθςε ο Πζτροσ, πόςα ςυνολικά λεπτά χρειάςτθκαν και οι τρεισ να τελειϊςουν το βάψιμο του δωματίου. Πρόβλημα 3 Δίνονται οι πραγματικοί αρικμοί ςυνκικεσ : a 35, a Να υπολογίςετε τθ τιμι του x.,,, x με a 0 που ικανοποιοφν τισ 11 Πρόβλημα 4 Στο πιο κάτω ςχιμα δίνεται ΑΒ//ΔΓ, Ε και Ζ ςθμεία των ΑΒ και ΔΓ αντίςτοιχα. Τα ΑΖ, ΒΖ, ΕΔ και ΕΓ είναι ευκφγραμμα τμιματα και οι αρικμοί 19, 1, x και 57 που βρίςκονται μζςα ςτα τρίγωνα αντιπροςωπεφουν τα εμβαδά των αντίςτοιχων τριγϊνων. Να βρείτε τθν τιμι του x. και Γ Α x 19 Δ 1 x Ε Β 57 Γ άτ Εμβ Εμβ Εμβ Εμβ Εμβ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Α ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1 α) Να αποδείξετε ότι για κάκε πραγματικό αρικμό ιςχφει θ ανιςότθτα β) Να αποδείξετε ότι για κάκε κετικό ακζραιο αρικμό θ προθγοφμενθ ανιςότθτα γίνεται γ) Να αποδείξετε ότι ιςχφει Πρόβλημα α) Να γράψετε τθν παράςταςθ ωσ γινόμενο δυο τριωνφμων τθσ μορφισ. β) Να αποδείξετε ότι για κάκε κετικό ακζραιο, ο κετικόσ ακζραιοσ αρικμόσ δεν είναι ποτζ πρϊτοσ. Πρόβλημα 3 Από τισ κορυφζσ ορκογωνίου με φζρουμε τισ κάκετεσ ςτθ διαγϊνιο ( ςθμεία τθσ διαγωνίου ). Με πλευρζσ τισ και καταςκευάηουμε τα ιςόπλευρα τρίγωνα και που βρίςκονται εκτόσ του ορκογωνίου. Να αποδείξετε ότι: α) Το είναι παραλλθλόγραμμο β) Η περνά από το κζντρο του γ) Η ευκεία είναι παράλλθλθ προσ τισ. Πρόβλημα 4 Να λφςετε το ςφςτθμα {, όπου κετικοί πραγματικοί αρικμοί.
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Β ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1 α) Να γράψετε τθν παράςταςθ ωσ γινόμενο δυο τριωνφμων τθσ μορφισ. β) Να αποδείξετε ότι για κάκε κετικό ακζραιο, ο κετικόσ ακζραιοσ αρικμόσ δεν είναι ποτζ πρϊτοσ. Πρόβλημα Αν ο αρικμόσ είναι κετικόσ ακζραιοσ, να αποδείξετε ότι Πρόβλημα 3 Σε οξυγϊνιο τρίγωνο φζρουμε το φψοσ. Ο κφκλοσ, διαμζτρου τζμνει τισ πλευρζσ ςτα ςθμεία αντίςτοιχα. Η διχοτόμοσ τθσ γωνίασ τζμνει τθν πλευρά ςτο και θ διχοτόμοσ τθσ γωνίασ τζμνει τον κφκλο ςτο ςθμείο. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα, είναι όμοια β) Πρόβλημα 4 α) Σε κάκε τρίγωνο να αποδείξετε ότι (με ςυμβολίηουμε το εμβαδόν του ): (i) και (ii) β) Αν είναι εςωτερικό ςθμείο τριγϊνου, ϊςτε, να αποδείξετε ότι.
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Γ ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1: α) Σε κάκε τρίγωνο να αποδείξετε ότι (με ςυμβολίηουμε το εμβαδόν του ): (i) και (ii) β) Αν είναι εςωτερικό ςθμείο τριγϊνου, ϊςτε, να αποδείξετε ότι. Πρόβλημα Σε οξυγϊνιο τρίγωνο φζρουμε το φψοσ. Ο κφκλοσ, διαμζτρου τζμνει τισ πλευρζσ ςτα ςθμεία αντίςτοιχα. Η διχοτόμοσ τθσ γωνίασ τζμνει τθν πλευρά ςτο και θ διχοτόμοσ τθσ γωνίασ τζμνει τον κφκλο ςτο ςθμείο. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα, είναι όμοια και β) Πρόβλημα 3 Πάνω ςτουσ κετικοφσ θμιάξονεσ ενόσ ορκοκανονικοφ ςυςτιματοσ αξόνων παίρνουμε αντίςτοιχα τα ςθμεία Έςτω επίςθσ είναι δφο τυχαία ςθμεία του θμιάξονα με. Από το ςθμείο φζρουμε παράλλθλεσ προσ τισ ευκείεσ οι οποίεσ τζμνουν τον άξονα ςτα ςθμεία αντίςτοιχα. Αν είναι το ςθμείο τομισ των ευκειϊν και είναι το ςθμείο τομισ των ευκειϊν, να αποδείξετε: i) το τετράπλευρο είναι παραλλθλόγραμμο και ii), όπου είναι τα εμβαδά των τριγϊνων Πρόβλημα 4 Θεωπούμε ηη ζςνάπηηζη με, [ ). α) Να αποδείξεηε όηι ςπάπσει ηοςλάσιζηον ένα, ώζηε να ιζσύει [ ). β) Να μελεηήζεηε ηη ζςνάπηηζη με [ ) ωρ ππορ ηη μονοηονία και ηα ακπόηαηα. γ) Να βπείηε ηο όπιο και να αποδείξεηε όηι [ ).
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1 α) Στο διπλανό ορκογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ θ γωνία Β είναι ορκι, AΔ 7cm, ΔΒ 3cm, BΓ 8cm, και Ε το μζςο του ΓΔ. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγϊνου ΑΓΕ. Προτεινόμενθ Λφςθ 10 8 3 8 E 40 1 8 cm 1 1 E 8 14 cm τότε E cm 14 β) Αν a, είναι οι διαςτάςεισ ενόσ ορκογωνίου που ζχει περίμετρο 68cm και, οι διαςτάςεισ ενόσ άλλου ορκογωνίου που ζχει περίμετρο 5cm, να υπολογίςετε τθν τιμι τθσ παράςταςθσ A 8 5( ) 3( - ) ( 6 - ) Προτεινόμενθ Λφςθ Αφοφ a 68cm τότε a 34 cm 5 τότε 6 Τότε A 8 5( ) 3( - ) ( 6 - ) A 8 5 5 3a 3 1 A 5 3 5 3a 1 5 3 1 A 5 6 3 34 1 44 τότε A 44
Πρόβλημα Τα 5 των χρθμάτων του Ανδρζα ιςοφνται με τα χριματα του Βαςίλθ και τα 7 9 των χρθμάτων του Βαςίλθ ιςοφνται με τα χριματα του Γιάννθ. Αν όλοι μαηί ζχουν 1540 ευρϊ, να βρείτε πόςα χριματα ζχει ο κακζνασ Προτεινόμενθ Λφςθ Αντρζασ : x Βαςίλθσ : x 5 Γιάννθσ : 7 x 14 x 9 5 45 14 x x x 1540 τότε 45x 18x 14x 1540 45 τότε 77x 1540 45 5 45 Τότε x 900 Τότε ο Αντρζασ ζχει 900 ευρϊ, ο Βαςίλθσ 900 360 5 ευρϊ και ο Γιάννθσ 14 900 80 45 ευρϊ Πρόβλημα 3 Εκατόν άτομα προςκλθκικαν να γευτοφν τουλάχιςτον ζνα από τα τρία διαφορετικά είδθ κραςιοφ Α, Β και Γ. Αν ξζρουμε ότι όποιοσ γεφτθκε το κραςί Β γεφτθκε και το κραςί Α, ότι 8 άτομα γεφτθκαν τα κραςιά Α και Γ, ότι 34 άτομα γεφτθκαν το κραςί Β επίςθσ ότι 45 άτομα γεφτθκαν το κραςί Γ και τζλοσ ότι 0 άτομα γεφτθκαν και τα τρία κραςιά να βρείτε πόςα άτομα γεφτθκαν μόνο ζνα από τα τρία κραςιά. Προτεινόμενθ Λφςθ Αφοφ όποιοσ γεφτθκε το κραςί Β γεφτθκε και το κραςί Α ςυνεπάγεται ότι B A. Με τθ βοικεια του πιο κάτω βζννειου διαγράμματοσ βρίςκουμε ότι μόνο ζνα κραςί γεφτθκαν 41 + 17 = 58 άτομα. A B Γ 34-0=14 100-(14+0+8+17) =100-59=41 0 8-0=8 45-(0+8)=17
Πρόβλημα 4 Nα βρείτε όλουσ τουσ τριψιφιουσ αρικμοφσ ( a,, ψθφία του τριψιφιου αρικμοφ με a 0 ) ζτςι ϊςτε το a να είναι διαιρζτθσ του 6. Προτεινόμενθ Λφςθ Διαιρζτεσ του 6 είναι το 1,, 13, 6 Άρα το a είναι ίςο με 1 ι ι 13 ι 6 1 θ περίπτωςθ Αν a 1 τότε τα ψθφία είναι 0,0,1. Άρα 1 αρικμόσ : 100 θ περίπτωςθ Αν a τότε τα ψθφία είναι 0,1,1. Άρα αρικμοί : 101, 110 3 θ περίπτωςθ Αν a 13 τότε τα ψθφία είναι 0,3,. Άρα 4 αρικμοί : 30, 30, 03, 30 4 θ περίπτωςθ Αν a 6 τότε τα ψθφία είναι 0,5,1. Άρα 4 αρικμοί: 501, 510, 305, 350 5 θ περίπτωςθ Αν a 6 τότε τα ψθφία είναι 4,3,1. Άρα 6 αρικμοί: 431, 413, 341, 314, 134, 143
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Β ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ Πρόβλημα 1 Εκατόν άτομα προςκλθκικαν να γευτοφν τουλάχιςτον ζνα από τα τρία διαφορετικά είδθ κραςιοφ Α, Β και Γ. Αν ξζρουμε ότι όποιοσ γεφτθκε το κραςί Β γεφτθκε και το κραςί Α, ότι 8 άτομα γεφτθκαν τα κραςιά Α και Γ, ότι 34 άτομα γεφτθκαν το κραςί Β, ότι 45 άτομα γεφτθκαν το κραςί Γ και τζλοσ ότι 0 άτομα γεφτθκαν και τα τρία κραςιά να βρείτε πόςα άτομα γεφτθκαν μόνο ζνα από τα τρία κραςιά. Προτεινόμενθ Λφςθ Αφοφ όποιοσ γεφτθκε το κραςί Β γεφτθκε και το κραςί Α ςυνεπάγεται ότι B A. Με τθν βοικεια του πιο κάτω βζννειου διαγράμματοσ βρίςκουμε ότι μόνο ζνα κραςί γεφτθκαν 41 + 17 = 58 άτομα. A B Γ 34-0=14 100-(14+0+8+17) =100-59=41 0 8-0=8 45-(0+8)=17
Πρόβλημα Να βρείτε όλουσ τουσ τριψιφιουσ αρικμοφσ ( a,, ψθφία του τριψιφιου αρικμοφ με a 0 ) ζτςι ϊςτε το a να είναι διαιρζτθσ του 6. Προτεινόμενθ Λφςθ Διαιρζτεσ του 6 είναι το 1,, 13, 6 Άρα το a είναι ίςο με 1 ι ι 13 ι 6 1 θ περίπτωςθ Αν a 1 τότε τα ψθφία είναι 0,0,1. Άρα 1 αρικμόσ : 100 θ περίπτωςθ Αν a τότε τα ψθφία είναι 0,1,1. Άρα αρικμοί : 101, 110 3 θ περίπτωςθ Αν a 13 τότε τα ψθφία είναι 0,3,. Άρα 4 αρικμοί : 30, 30, 03, 30 4 θ περίπτωςθ Αν a 6 τότε τα ψθφία είναι 0,5,1. Άρα 4 αρικμοί: 501, 510, 305, 350 5 θ περίπτωςθ Αν a 6 τότε τα ψθφία είναι 4,3,1. Άρα 6 αρικμοί: 431, 413, 341, 314, 134, 143 Πρόβλημα 3 Ο Πζτροσ μπογιατίηει ζνα δωμάτιο ςε 15 ϊρεσ, ο Γιάννθσ μπορεί να μπογιατίηει 50% πιο γριγορα από τον Πζτρο και ο Κϊςτασ μπορεί να μπογιατίηει δυο φορζσ πιο γριγορα από τον Πζτρο. Ο Πζτροσ ξεκινά να μπογιατίηει το δωμάτιο και για μια ϊρα και 30 λεπτά δουλεφει μόνοσ του. Μετά ζρχεται ο Γιάννθσ και μαηί με το Πζτρο δουλεφουν μαηί μζχρι που μπογιατίηουν το μιςό δωμάτιο. Στθν ςυνζχεια ζρχεται ο Κϊςτασ και ςυνεχίηουν όλοι μαηί να δουλεφουν μζχρι να μπογιατίςουν το δωμάτιο. Να βρείτε από τθν ϊρα που ξεκίνθςε ο Πζτροσ, πόςα ςυνολικά λεπτά χρειάςτθκαν και οι τρεισ να τελειϊςουν το βάψιμο του δωματίου. Προτεινόμενθ Λφςθ Ο Πζτροσ μπογιατίηει το 1 15 του δωματίου ςε μια ϊρα Ο Γιάννθσ μπογιατίηει το 1 1 50 3 1 του δωματίου ςε μια ϊρα 15 15 100 15 10 1 Ο Κϊςτασ μπογιατίηει το του δωματίου ςε μια ϊρα 15 15 Αρχικά ο Πζτροσ δουλεφει μόνοσ του για 3 1 ϊρεσ με ρυκμό του δωματίου ανά ϊρα άρα 15 μπογιατίηει 3 1 1 του δωματίου 15 10
Αργότερα δουλεφουν μαηί ο Πζτροσ και ο Γιάννθσ και μπογιατίηουν 1 1 4 του δωματίου με 10 10 4 1 1 3 1 ρυκμό του δωματίου ανά ϊρα, άρα δουλεφουν για 10 1 ϊρεσ 15 10 30 6 1 5 6 Και οι τρεισ μαηί πρζπει να μπογιατίςουν το υπόλοιπο 1 του δωματίου με ρυκμό 1 1 3 4 3, άρα δουλεφουν μαηί για 15 10 15 30 10 1 3 3 10 5 ϊρεσ, Τελικά κα χρειαςτεί να δουλζψουν ςυνολικά για 3 1 5 45 7 50 167 ϊρεσ ι 5 3 30 30 167 60 334 30 λεπτά. Πρόβλημα 4 Στο διπλανό ςχιμα φαίνεται θ τετράγωνθ αυλι πλευράσ μικουσ 1m. Στο εςωτερικό τθσ αυλισ κα καταςκευαςτεί μια μικρι παιδικι πιςίνα επίςθσ τετράγωνου ςχιματοσ πλευράσ μικουσ 8m. Στο χϊρο τθσ αυλισ, γφρω από τθν πιςίνα (ςκιαςμζνο εμβαδόν), κα τοποκετθκοφν πλακάκια. Να υπολογίςετε το ποςοςτό με το οποίο κα πρζπει να αυξθκεί το μικοσ τθσ πλευράσ τθσ πιςίνασ ζτςι ϊςτε το εμβαδόν τθσ επιφάνειασ όπου κα τοποκετθκοφν πλακάκια να ελαττωκεί κατά 45%. Προτεινόμενθ Λφςθ Το εμβαδόν τθσ αυλισ γφρω από τθν πιςίνα αρχικά είναι: Ε = Ε αυλισ Ε πιςίνασ πριν = 1-8 = 144 64 = 80 m. Η μείωςθ του εμβαδοφ τθσ αυλισ γφρω από τθν πιςίνα κατά 45% του 80 είναι 36 m. Άρα το νζο εμβαδόν τθσ αυλισ γφρω από τθν πιςίνα είναι: Ε= 80 36 = 44 m και το νζο εμβαδόν τθσ πιςίνασ είναι : E πιςίνασ μετά = 144 44 = 100 m Άρα το νζο μικοσ τθσ πλευράσ τθσ πιςίνασ είναι 10 m και θ αφξθςθ του μικουσ τθσ πλευράσ τθσ πιςίνασ είναι 10 8 = m. Το ποςοςτό αφξθςθσ του μικουσ τθσ πλευράσ τθσ πιςίνασ είναι : 100 % 5 % 8
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Γ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. Πρόβλημα 1 (α) Να δείξετε ότι ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ (β) Να βρείτε τθν τιμι του ακζραιου αρικμοφ για τον οποίο ιςχφει θ ςχζςθ Προτεινόμενθ Λφςθ: α) 1 οσ τρόποσ 1 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ος τρόπος 1 1 x y x y x y x y x y x y x y β) Από το (α) ερϊτθμα προκφπτει: Άρα: x y 1 1 1, 1,,3,, n 1 1 1 1 1 1 15 1 3 4 3 n 1 n n n 1 3 4 3 1 15 n n n 3 4 1 1 3 15 n 1 1 15 n 1 16 n 1 16 n 1 56 n 55
Πρόβλημα Ο Πζτροσ μπογιατίηει ζνα δωμάτιο ςε 15 ϊρεσ, ο Γιάννθσ μπορεί να μπογιατίηει 50% πιο γριγορα από τον Πζτρο και ο Κϊςτασ μπορεί να μπογιατίηει δυο φορζσ πιο γριγορα από τον Πζτρο. Ο Πζτροσ ξεκινά να μπογιατίηει το δωμάτιο και για μια ϊρα και 30 λεπτά δουλεφει μόνοσ του. Μετά ζρχεται ο Γιάννθσ και μαηί με το Πζτρο δουλεφουν μαηί μζχρι που μπογιατίηουν το μιςό δωμάτιο. Στθν ςυνζχεια ζρχεται ο Κϊςτασ και ςυνεχίηουν όλοι μαηί να δουλεφουν μζχρι να μπογιατίςουν το δωμάτιο. Να βρείτε από τθν ϊρα που ξεκίνθςε ο Πζτροσ, πόςα ςυνολικά λεπτά χρειάςτθκαν και οι τρεισ να τελειϊςουν το βάψιμο του δωματίου. Προτεινόμενθ Λφςθ Ο Πζτροσ μπογιατίηει το 1 15 του δωματίου ςε μια ϊρα Ο Γιάννθσ μπογιατίηει το 1 1 50 3 1 του δωματίου ςε μια ϊρα 15 15 100 15 10 Ο Κϊςτασ μπογιατίηει το 1 του δωματίου ςε μια ϊρα 15 15 Αρχικά ο Πζτροσ δουλεφει μόνοσ του για 3 μπογιατίηει 3 1 1 του δωματίου 15 10 ϊρεσ με ρυκμό 1 15 του δωματίου ανά ϊρα άρα Αργότερα δουλεφουν μαηί ο Πζτροσ και ο Γιάννθσ και μπογιατίηουν 1 1 4 του δωματίου με 10 10 4 1 1 3 1 ρυκμό του δωματίου ανά ϊρα, άρα δουλεφουν για 10 1 ϊρεσ 15 10 30 6 1 5 6 Και οι τρεισ μαηί πρζπει να μπογιατίςουν το υπόλοιπο 1 του δωματίου με ρυκμό 1 1 3 4 3, άρα δουλεφουν μαηί για 15 10 15 30 10 1 3 3 10 5 ϊρεσ Τελικά κα χρειαςτεί να δουλζψουν ςυνολικά για 3 1 5 45 7 50 167 ϊρεσ ι 5 3 30 30 167 60 334 30 λεπτά
Πρόβλημα 3 Δίνονται οι πραγματικοί αρικμοί,,, x με a 0 που ικανοποιοφν τισ ςυνκικεσ : a 35, a Να υπολογίςετε τθ τιμι του x. 11 και x Προτεινόμενθ Λφςθ a 35 a τότε a 35 a (1) 11 τότε 11 () x τότε x (3) Προςκζτουμε κατά μζλθ τισ (1) και () και (3) και προκφπτει a 35 11 x a a 35 11 x a a a 35 11 x a a 35 11 x a 35 11 x 0 35 11 x Τότε x 46
Πρόβλημα 4 Στο πιο κάτω ςχιμα δίνεται ΑΒ//ΔΓ, Ε και Ζ ςθμεία των ΑΒ και ΔΓ αντίςτοιχα. Τα ΑΖ, ΒΖ, ΕΔ και ΕΓ είναι ευκφγραμμα τμιματα και οι αρικμοί 19, 1, x και 57 που βρίςκονται μζςα ςτα τρίγωνα αντιπροςωπεφουν τα εμβαδά των αντίςτοιχων τριγϊνων. Να βρείτε τθν τιμι του x. Γ Α 19 Δ 1 x Ε Β 57 Γ άτ Εμβ Εμβ Εμβ Εμβ Εμβ Προτεινόμενθ Λφςθ Αφοφ ΑΒ//ΓΓ τότε ΑΒΓΓ τραπζηιο. Ζςτω υ το φψοσ του τραπεηίου. Δ ΑΒΕ, Δ ΓΔΓ Δ ΑΒΓΓ = Δ ΑΒΕ + Δ ΓΔΓ (1) Από το πιο πάνω ςχιμα παρατθροφμε ότι το κοινό μζροσ των τριγϊνων ΑΒΗ και ΔΕΓ ζχει εμβαδόν 1 x. Επίςθσ από το ςχιμα E 19 1 x 57 () Από (1) και () προκφπτει: E E x 19 1 57 Z τότε 0 19 1 x 57 Τότε x 55
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Α ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1 α) Να αποδείξετε ότι για κάκε πραγματικό αρικμό ιςχφει θ ανιςότθτα β) Να αποδείξετε ότι για κάκε κετικό ακζραιο αρικμό θ προθγοφμενθ ανιςότθτα γίνεται γ) Να αποδείξετε ότι ιςχφει ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: α) Επειδι, θ ανιςότθτα που κζλουμε να αποδείξουμε γράφεται ιςοδφναμα: ι ι, που είναι αλθκισ β) Από το α) για κάκε κετικό ακζραιο, ζχουμε ι ι
γ) Από το β) ζχουμε διαδοχικά για :... Προςκζτοντασ κατά μζλθ τισ 016 πιο πάνω ανιςότθτεσ, ζχουμε: ι Πρόβλημα α) Να γράψετε τθν παράςταςθ ωσ γινόμενο δυο τριωνφμων τθσ μορφισ. β) Να αποδείξετε ότι για κάκε κετικό ακζραιο, ο κετικόσ ακζραιοσ αρικμόσ δεν είναι ποτζ πρϊτοσ. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: α) Η παράςταςθ γράφεται β) Επομζνωσ από το (α) κα ζχουμε Και επειδι για ιςχφει Ο αρικμόσ δεν είναι ποτζ πρϊτοσ.
Πρόβλημα 3 Από τισ κορυφζσ ορκογωνίου με φζρουμε τισ κάκετεσ ςτθ διαγϊνιο ( ςθμεία τθσ διαγωνίου ). Με πλευρζσ τισ και καταςκευάηουμε τα ιςόπλευρα τρίγωνα και που βρίςκονται εκτόσ του ορκογωνίου. Να αποδείξετε ότι: α) Το είναι παραλλθλόγραμμο β) Η περνά από το κζντρο του γ) Η ευκεία είναι παράλλθλθ προσ τισ. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: α) Τα ορκογϊνια τρίγωνα και είναι ίςα, αφοφ ζχουν και. Άρα και. Τα τρίγωνα και είναι ίςα, αφοφ ζχουν, (λόγω (1)) και. Άρα. Τα τρίγωνα και είναι ίςα, αφοφ ζχουν, και. Άρα. Από τισ προκφπτει ότι το είναι παραλλθλόγραμμο. β) Επειδι (κάκετεσ ςτθν ) και λόγω τθσ, το είναι παραλλθλόγραμμο, αφοφ. Άρα το ςθμείο τομισ των διαγωνίων του είναι το μζςον τθσ διαγωνίου, θ οποία είναι επίςθσ διαγϊνιοσ και του παραλλθλογράμμου. Συνεπϊσ από το περνά και θ άλλθ διαγϊνιοσ του, δθλαδι θ. Όμωσ το είναι το κζντρο του ορκογωνίου. γ) Επειδι και, θ ευκεία είναι μεςοκάκετοσ του και άρα παράλλθλοσ προσ τισ. Συνεπϊσ και λόγω του β), είναι.
Πρόβλημα 4 Να λφςετε το ςφςτθμα {, όπου κετικοί πραγματικοί αρικμοί. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: Επειδι το ςφςτθμα γράφεται ιςοδφναμα: { ι { ( ) ( ) ι { ( ) ι { ( ) ι { ι {, απ όπου τελικά παίρνουμε.
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Β ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1 α) Να γράψετε τθν παράςταςθ ωσ γινόμενο δυο τριωνφμων τθσ μορφισ. β) Να αποδείξετε ότι για κάκε κετικό ακζραιο, ο κετικόσ ακζραιοσ αρικμόσ δεν είναι ποτζ πρϊτοσ. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: α) Η παράςταςθ γράφεται β) Επομζνωσ από το (α) κα ζχουμε Και επειδι για ιςχφει Ο αρικμόσ δεν είναι ποτζ πρϊτοσ. Πρόβλημα Αν ο αρικμόσ είναι κετικόσ ακζραιοσ, να αποδείξετε ότι ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: Θα χρθςιμοποιιςουμε τθν μζκοδο τθσ Μακθματικισ επαγωγισ. Για κα ζχουμε που ιςχφει. Υποκζτουμε ότι ιςχφει για, δθλαδι Θα αποδείξουμε ότι ιςχφει και για
Επομζνωσ από αρκεί να αποδείξουμε ότι που ιςχφει. Επομζνωσ, θ πρόταςθ ιςχφει για κάκε Πρόβλημα 3 Σε οξυγϊνιο τρίγωνο φζρουμε το φψοσ. Ο κφκλοσ, διαμζτρου τζμνει τισ πλευρζσ ςτα ςθμεία αντίςτοιχα. Η διχοτόμοσ τθσ γωνίασ τζμνει τθν πλευρά ςτο και θ διχοτόμοσ τθσ γωνίασ τζμνει τον κφκλο ςτο ςθμείο. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα, είναι όμοια β) ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: Σχήμα 1 α) Ζχουμε ότι γιατί οι γωνίεσ είναι εγγεγραμμζνεσ ςτο ίδιο τόξο του κφκλου διαμζτρου Όμοια, Επίςθσ, γιατί ζχουν πλευρζσ κάκετεσ. Από τισ παίρνουμε Από τισ ςυμπεραίνουμε ότι β) Από τθν ομοιότθτα των τριγϊνων προκφπτει Από το κεϊρθμα των διχοτόμων ςτο τρίγωνο κα ζχουμε
Από τισ κα ζχουμε Πρόβλημα 4 α) Σε κάκε τρίγωνο να αποδείξετε ότι (με ςυμβολίηουμε το εμβαδόν του ): (i) και (ii) β) Αν είναι εςωτερικό ςθμείο τριγϊνου, ϊςτε, να αποδείξετε ότι. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: α) Σχήμα (i) Από τον νόμο των ςυνθμιτόνων ςτο τρίγωνο κα ζχουμε Όμωσ το εμβαδόν του τριγϊνου γράφεται Επομζνωσ, θ προθγοφμενθ ιςότθτα γίνεται (ii) Εφαρμόηοντασ τθν ιςότθτα του (i) τρείσ φορζσ κα ζχουμε Προςκζτοντασ, τισ προθγοφμενεσ εξιςϊςεισ κατά μζλθ ζχουμε, β) Αν συμβολίσουμε
και τα εμβαδά των τριγϊνων εφαρμόηοντασ τθν ςχζςθ (i) για τθν γωνία ςτα τρία τρίγωνα κα πάρουμε αντίςτοιχα Προςκζτοντασ κατά μζλθ τισ τρείσ αυτζσ ιςότθτεσ κα ζχουμε και από το (ii) ζχουμε.
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 016 Γ ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 1/11/016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ.. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ. 3. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ Πρόβλημα 1: α) Σε κάκε τρίγωνο να αποδείξετε ότι (με ςυμβολίηουμε το εμβαδόν του ): (i) και (ii) β) Αν είναι εςωτερικό ςθμείο τριγϊνου, ϊςτε, να αποδείξετε ότι. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: α) Σχήμα 1 (i) Από τον νόμο των ςυνθμιτόνων ςτο τρίγωνο κα ζχουμε Όμωσ το εμβαδόν του τριγϊνου γράφεται Επομζνωσ, θ προθγοφμενθ ιςότθτα γίνεται (ii) Εφαρμόηοντασ τθν ιςότθτα του (i) τρείσ φορζσ κα ζχουμε
Προςκζτοντασ, τισ προθγοφμενεσ εξιςϊςεισ κατά μζλθ ζχουμε, β) Αν συμβολίσουμε και τα εμβαδά των τριγϊνων εφαρμόηοντασ τθν ςχζςθ (i) για τθν γωνία ςτα τρία τρίγωνα κα πάρουμε αντίςτοιχα Προςκζτοντασ κατά μζλθ τισ τρείσ αυτζσ ιςότθτεσ κα ζχουμε και από το (ii) ζχουμε. Πρόβλημα Σε οξυγϊνιο τρίγωνο φζρουμε το φψοσ. Ο κφκλοσ, διαμζτρου τζμνει τισ πλευρζσ ςτα ςθμεία αντίςτοιχα. Η διχοτόμοσ τθσ γωνίασ τζμνει τθν πλευρά ςτο και θ διχοτόμοσ τθσ γωνίασ τζμνει τον κφκλο ςτο ςθμείο. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα, είναι όμοια και β) ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: Σχήμα
α) Ζχουμε ότι γιατί οι γωνίεσ είναι εγγεγραμμζνεσ ςτο ίδιο τόξο του κφκλου διαμζτρου Όμοια, Επίςθσ, γιατί ζχουν πλευρζσ κάκετεσ. Από τισ παίρνουμε Από τισ ςυμπεραίνουμε ότι β) Από τθν ομοιότθτα των τριγϊνων προκφπτει Από το κεϊρθμα των διχοτόμων ςτο τρίγωνο κα ζχουμε Από τισ κα ζχουμε Πρόβλημα 3 Πάνω ςτουσ κετικοφσ θμιάξονεσ ενόσ ορκοκανονικοφ ςυςτιματοσ αξόνων παίρνουμε αντίςτοιχα τα ςθμεία Ζςτω επίςθσ είναι δφο τυχαία ςθμεία του θμιάξονα με. Από το ςθμείο φζρουμε παράλλθλεσ προσ τισ ευκείεσ οι οποίεσ τζμνουν τον άξονα ςτα ςθμεία αντίςτοιχα. Αν είναι το ςθμείο τομισ των ευκειϊν και είναι το ςθμείο τομισ των ευκειϊν, να αποδείξετε: i) το τετράπλευρο είναι παραλλθλόγραμμο και ii), όπου είναι τα εμβαδά των τριγϊνων ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: i) Θα βροφμε τισ ςυντεταγμζνεσ των ςθμείων. Οι κλίςεισ των ευκειϊν αντίςτοιχα είναι και αφοφ κα ζχουμε Επομζνωσ οι εξιςϊςεισ των ευκειϊν κα είναι Σχήμα 4 Σχήμα 3
Επομζνωσ οι ςυντεταγμζνεσ των ςθμείων είναι Άρα, Δθλαδι, Και αφοφ, ζπεται ότι είναι παραλλθλόγραμμο. ii) Τα τρίγωνα είναι όμοια αφοφ ζχουν τισ πλευρζσ τουσ παράλλθλεσ και άρα είναι ιςογϊνια. Ο λόγοσ ομοιότθτασ τουσ κα είναι ίςοσ με τον λόγο των πλευρϊν τουσ, δθλαδι Άρα, Πρόβλημα 4 Θεωπούμε ηη ζςνάπηηζη με, [. α) Να αποδείξεηε όηι ςπάπσει ηοςλάσιζηον ένα, ώζηε να ιζσύει [. β) Να μελεηήζεηε ηη ζςνάπηηζη με [ ωρ ππορ ηη μονοηονία και ηα ακπόηαηα. γ) Να βπείηε ηο όπιο και να αποδείξεηε όηι [. ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΤΗ: α) Η παράγωγοσ τθσ ςυνάρτθςθσ είναι Η ςυνάρτθςθ είναι παραγωγίςιμθ ςτο διάςτθμα [ και ςυνεχισ ςτο [ ] [ Επομζνωσ από το κεϊρθμα τθσ μζςθσ τιμισ κα ζχουμε ότι υπάρχει τουλάχιςτον ζνα για τον οποίο ιςχφει [. β) Η παράγωγοσ τθσ ςυνάρτθςθσ είναι Επειδι, [, θ είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο [. Επομζνωσ θ ζχει ζνα ολικό μζγιςτο ςτο το. γ) έχουμε
Επομζνωσ το ςφνολο τιμϊν τθσ ςυνάρτθςθσ είναι ( ] Άρα, [