G. Parmeggiani, 5//9 Algebra Lineare, a.a. 8/9, Scuola di Scienze - Corsi di laurea: Studenti: Statistica per l economia e l impresa Statistica per le tecnologie e le scienze numero di MATRICOLA PARI Svolgimento degli Esercizi per casa Sia A(α) la matrice considerata nell esercizio 4 degli Esercizi. Per quegli α C per cui A(α) è diagonalizzabile, si trovi una diagonalizzazione di A(α). 3 La matrice considerata nell esercizio 4 degli Esercizi è A(α) α, 7 5 dove α C, ed abbiamo calcolato: matrice autovalori molteplicità algebriche molteplicità geometriche A(α) λ 8 m d α 8, } λ m d λ 3 α m 3 d 3 A A() λ 8 m d λ m d B A( 8) λ 8 m d λ m d Solo per α 8 la matrice A(α) A( 8) B ha un autovalore (λ 8) con molteplicità algebrica (m ) diversa dalla molteplicità geometrica (d ). Quindi A(α) è diagonalizzabile α 8.
Troviamo una diagonalizzazione per A(α) per ogni α 8. caso α 8, } : E A(α) (λ ) E A(α) ( 8) N(A(α) + 8I 3 ) N( 7 3 α + 8 ) 7 3 Da una E.G. su A(α) + 8I 3 : segue che 7 3 α + 8 7 3 α 8: E ( α+8 ) E3( 7)E( )E( 7 ) 3 7 7(α+8) 3 7 α + 8 7 E A(α) ( 8) N( 7 3 α + 8 ) N( 3 7 7 3 e quindi v 3 7 7(α+8) 3 7 h 7(α+8) h h h C },, 7(α+8) } è una base di E A(α) (λ ) E A(α) ( 8). ) ( E A(α) (λ ) E A(α) () N(A(α) I 3 ) N 3 3 α ) 7 7 Da una E.G. su A(α) I 3 : 3 3 α 7 7 α : E ( α ) E3( 7)E( )E( 3 ), α
segue che E A(α) () N( 3 3 α ) N( ) h h C }, 7 7 h e quindi v } è una base di E A(α) (λ ) E A(α) (). E A(α) (λ 3 ) E A(α) (α) N(A(α) αi 3 ) N( α 3 ) 7 5 α Da una E.G. su A(α) αi 3 : α 3 7 5 α α α segue che e quindi E α 3 7 5 α α : E 3( +α)e ( α ), E3( 7)E(+α) E A(α) (α) N( α 3 ) N( ) 7 5 α v 3 h h C }, } è una base di E A(α) (λ 3 ) E A(α) (α). Dunque se α 8, }, una diagonalizzazione di A(α) è: 3
A(α) S(α)D(α)S(α) con λ 8 D(α) λ λ 3 α S(α) 3 7 v v v 3 7(α+8). ed caso α : Posto A A(), nell Esercizio abbiamo visto che v 3 7 } 7 è una base di E A (λ ) E A ( 8) e w ; w } è una base di E A (λ ) E A (). Dunque se α, una diagonalizzazione di A A() è: A SDS con λ 8 D λ λ S v w w 3 7 7. ed N.B.: Per ogni α 8, una diagonalizzazione di A(α) è: A(α) S(α)D(α)S(α) con 8 3 7 D(α) ed S(α) 7(α+8). α i Sia A(α), dove α C. i α 4
(a) Per quali α C si ha che di A(α) è unitariamente diagonalizzabile? (b) Per quali α C si ha che di A(α) è diagonalizzabile? (c) Sia A A() la matrice che si ottiene ponendo α. Si trovi una diagonalizzazione unitaria A UDU H per A. (d) Sia A A() la matrice che si ottiene ponendo α. Si scriva A nella forma A λ P + λ P, con λ e λ autovalori di A, e P e P matrici di proiezione su E A (λ ) ed E A (λ ) rispettivamente. (e) Sia A A() la matrice che si ottiene ponendo α. Posto z ( + i) 3 e z ( i) 3, si scriva A 3 in funzione di z e z. (a) A(α) è unitariamente diagonalizzabile A(α) è normale A(α)A(α) H A(α) H A(α). Calcoliamo A(α) H : A(α) H i i. i α i α Calcoliamo ora A(α)A(α) H ed A(α) H A(α): i i A(α)A(α) H i α i α 4 + i + iα i αi + αα i i A(α) H A(α) i α i α 5 i + iα i αi + α, ( ) 4 + i iα 5 i iα i + αi + αα i + αi + α. Imponendo l uguaglianza A(α)A(α) H A(α) H A(α) otteniamo: A(α)A(α) H A(α) H A(α) i + iα i iα α + α 4. Scrivendo α in forma algebrica: α a + ib con a, b R, 5
abbiamo che α a ib per cui α + α (a + ib) + (a ib) a 4 a α + ib con b R. In conclusione, A(α) è unitariamente diagonalizzabile α + ib con b R. (b) Poichè A(α) è una matrice NON SCALARE, allora A(α) è diagonalizzabile se e solo se ha i (due) autovalori distinti. INFATTI: Sia A. Allora p A (x) ha grado. caso : p A (x) (x λ )(x λ ) con λ λ. A è diagonalizzabile. caso : p A (x) (x λ). A è diagonalizzabile se e solo se dime A (λ). Dal momento che E A (λ) N(A λi ), in questo caso A è diagonalizzabile rk(a λi ) A λi O A λi. Quindi se A è NON SCALARE, allora A è diagonalizzabile se e solo se i suoi due autovalori sono distinti. Il polinomio caratteristico di A(α) è: p A(α) (x) x i Det(A(α) xi ) Det i α x ( x)(α x) i α αx x + x + x (α + )x + (α + ). Quindi gli autovalori di A(α) sono: Quindi λ α++ (α+) 4(α+) α++ α +4+4α 8α 4 α++ α 4α e λ α+ (α+) 4(α+) α+ α +4+4α 8α 4 α+ α 4α. 6
λ λ α 4α α 4α α, 4}, e concludiamo che A(α) è diagonalizzabile α, 4}, i (c) Sia A A(). Abbiamo visto in (a) che A è unitariamente i diagonalizzabile (perchè + ib con b R). I suoi autovalori (calcolati in (b)) sono: λ ++ 4 8 4+ 4 4+i + i e λ + 4 8 4 4 4 i i. con molteplicità algebriche e geometriche uguali a m d m d. Cerchiamo basi ortonormali degli autospazi di A. Da una E.G. su A ( + i)i : segue che e quindi E A (λ ) E A ( + i) N(A ( + i)i ). i i A ( + i)i i i E A (λ ) E A ( + i) N ( v E ( i)e (i) ( ) ) } è una base di E A (λ ) E A ( + i)., h } h C, h N.B.: Poichè ha un unico elemento, v } è già una base ortogonale di E A (+i). Per ottenere una base ortonormale di E A ( + i), normalizziamo v. per cui v v H v + 7
v } v è una base ortonormale di E A (λ ) E A ( + i). Da una E.G. su A ( i)i : segue che e quindi E A (λ ) E A ( i) N(A ( i)i ). i i A ( i)i i i E A (λ ) E A ( i) N v E ( i)e ( i) ( ), h } h C, h } è una base di E A (λ ) E A ( i). N.B.: Poichè ha un unico elemento, v } è già una base ortogonale di E A ( i). Per ottenere una base ortonormale di E A ( i), normalizziamo v. v v H v ( ) + per cui v } v è una base ortonormale di E A (λ ) E A ( i). Dunque se α, una diagonalizzazione unitaria di A A() è: A UDU H D con λ + i λ i U ( v v v v ) ed. 8
(d) Al punto (c) abbiamo visto: gli autovalori di A A() v v v v Posto Q è ( i sono λ i + i e λ i; ) } è una base ortonormale di E A (λ ) E A ( + i); ( ) } è una base ortonormale di E A (λ ) E A ( i). v v ( P Q Q H v v ), la matrice di proiezione P su E A (λ ) E A ( + i) H v v Analogamente, posto Q E A (λ ) E A ( i) è P Q Q H v v v v ( ), la matrice di proiezione P su H v v N.B.: Siccome A ha due soli autovalori, allora P I P. Dunque A λ P + λ + P + i + i. ( ) (e) Al punto (c) abbiamo visto che A A() i ha una diagonaliz- i zazione unitaria A UDU H con D + i i ed U. Allora 9
A 3 (UDU H ) 3 UD 3 U H (( ) ( + i) 3 ( i) 3 z z ( z z z z ) ( ) z + z z z. z z z + z ) i 3 Sia A(α) i + α, dove α R. α (a) Per quali α R si ha che di A(α) è unitariamente diagonalizzabile? (b) Per quali α R si ha che di A(α) è diagonalizzabile? (c) Sia A A( 4) la matrice che si ottiene ponendo α 4. Si trovi una diagonalizzazione unitaria A UDU H per A. (d) Sia A A( 4) la matrice che si ottiene ponendo α. Si scriva A nella forma A λ P + λ P + λ 3 P 3, con λ, λ, λ 3 autovalori di A, e P, P, P 3 matrici di proiezione su E A (λ ), E A (λ ), E A (λ 3 ) rispettivamente. (a) A(α) è unitariamente diagonalizzabile A(α) è normale A(α)A(α) H A(α) H A(α). Calcoliamo A(α) H, tenendo conto del fatto che da α R segue α α: i i A(α) H i + α i + α. α α Calcoliamo ora A(α)A(α) H ed A(α) H A(α):
i i A(α)A(α) H i + α i + α α α 8 8i + iα 8i iα 4 + ( + α), α i i A(α) H A(α) i + α i + α α α 8 8i iα 8i + iα 4 + ( + α). α Imponendo l uguaglianza A(α)A(α) H A(α) H A(α) otteniamo: A(α)A(α) H A(α) H A(α) 8i + iα 8i iα α 4. (b) A(α) è diagonalizzabile se e solo se ciascun suo autovalore ha le due molteplicità, algebrica e geometrica, uguali tra loro. Calcoliamo gli autovalori di A(α) e le loro molteplicità. Il polinomio caratteristico di A(α) è: p A(α) (x) x i Det(A(α) xi 3 ) Det i + α x 3i α x x i ( ) 3+3 (α x)det i + α x (α x)[( x)( + α x) 4i ] (α x)( 4 x α αx + x + x + 4) (α x)(x αx α). Qundi gli autovalori di A(α) sono: λ α, λ α + α + 8α e λ 3 α α + 8α.
Dal momento che λ λ α α + α + 8α α α + 8α α, λ λ 3 α α α + 8α α α + 8α α, λ λ 3 α + 8α α, 8}, abbiamo: matrice autovalori molteplicità algebriche molteplicità geometriche A(α) λ α m d α, 8} λ α+ α +8α m d λ 3 α α +8α m 3 d 3 A() λ m 3 d 3 A( 8) λ 8 m d λ 4 m d Dunque: se α, 8} la matrice A(α) è diagonalizzabile. A() sarebbe diagonalizzabile solo se fosse d dim(e A() ()) m 3 3. N.B.: Se fosse dim(e A() ()) 3 sarebbe E A() () C 3, e quindi A() O. i Dunque, essendo A() i O, A() non è diagonalizzabile. A( 8) è diagonalizzabile d dim(e A( 8) ( 4)) m d dim(e A( 8) ( 4)) dim(n(a( 8) + 4I 3 ) [numero di colonne di A( 8) + 4I 3 ] rk(a( 8) + 4I 3 ) 3 rk(a( 8) + 4I 3 )
Da una E.G. su A( 8) + 4I 3 : i i A() + I 3 i 6 + 4I 3 i 8 4 i 4 E ( 4 )E3 per cui rk(a( 8) + 4I 3 ), e quindi Dunque A( 8) non è diagonalizzabile. In conclusione abbiamo: i, d dim(e A( 8) ( 4)) 3. E( i)e( ) A(α) è diagonalizzabile α, 8}. i (c) Abbiamo visto in (a) che A A( 4) i è unitariamente 4 diagonalizzabile. I suoi autovalori (calcolati in (b)) sono: λ α 4 λ α+ α +8α 4+ ( 4) +8( 4) 4+ 6 4+4i + i, λ 3 α α +8α 4 ( 4) +8( 4) 4 6 4 4i i, ciascuno con molteplicità algebrica e geometrica uguali ad. Cerchiamo basi ortonormali degli autospazi di A. Da una E.G. su A + 4I 3 : E A (λ ) E A ( 4) N(A + 4I 3 ). i A + 4I 3 i E ( 4 )E( i)e( ) i, 3
segue che ( E A (λ ) E A ( 4) N i ) h C }, h e quindi w } è una base di E A (λ ) E A ( 4). N.B.: Poichè ha un unico elemento, w } è già una base ortogonale di E A ( 4). Inoltre, essendo w, non occorre normalizzare w : w } è già una base ortonormale di E A ( 4). E A (λ ) E A ( + i) N(A + ( i)i 3 ). Da una E.G. su A + ( i)i 3 : i i A+( i)i 3 i i i segue che +i E( 4 )E 3E ( i)e ( i), e quindi E A (λ ) E A ( + i) N( ) h h h C }, w } è una base di E A (λ ) E A ( + i). N.B.: Poichè ha un unico elemento, w } è già una base ortogonale di E A ( + i). Per ottenere una base ortonormale di E A ( + i), normalizziamo w. per cui w w H w ( ) + w w } 4
è una base ortonormale di E A (λ ) E A ( + i). E A (λ 3 ) E A ( i) N(A + ( + i)i 3 ). Da una E.G. su A + ( + i)i 3 : i i A+(+i)I 3 i i + i segue che E( +i 4 )E3E( i)e( i), E A (λ 3 ) E A ( i) N( ) h h h C }, e quindi w 3 } è una base di E A (λ 3 ) E A ( i). N.B.: Poichè ha un unico elemento, w 3 } è già una base ortogonale di E A ( i). Per ottenere una base ortonormale di E A ( i), normalizziamo w 3. per cui w 3 w 3H w 3 ( ) + w3 w 3 } è una base ortonormale di E A (λ 3 ) E A ( i). Dunque se α 4, una diagonalizzazione unitaria di A A( 4) è: A UDU H con λ 4 D λ + i λ 3 i U ( ) w w w 3 w w 3. ed 5
(d) Al punto (c) abbiamo visto: i gli autovalori di A A( 4) i sono λ 4, λ + i e 4 λ 3 i; w w } è una base ortonormale di E A (λ ) E A ( 4); w } è una base ortonormale di E A (λ ) E A ( + i). w w 3 w 3 Posto Q Posto Q i) è w w } è una base ortonormale di E A (λ 3 ) E A ( i). P Q Q H w w w w, la matrice di proiezione P su E A (λ ) E A ( 4) è P Q Q H w w Posto Q 3 w3 w 3 E A ( i) è H w w ( ), la matrice di proiezione P su E A (λ ) E A ( + H w w P 3 Q 3 Q H 3 w 3 w3 H w 3 w 3 ( ), la matrice di proiezione P 3 su E A (λ 3 ) ( ) 6
Dunque A λ P + λ + P + λ 3 P 3 4 + +i + i. 4 Sia A(α) positivo. 3i 3, 3iα dove α è un numero reale non (a) Per quali α numeri reali non positivi si ha che di A(α) è unitariamente diagonalizzabile? (b) Per quali α numeri reali non positivi si ha che di A(α) è diagonalizzabile? (c) Sia A A( ) la matrice che si ottiene ponendo α. Si trovi una diagonalizzazione unitaria A UDU H per A. (a) A(α) è unitariamente diagonalizzabile A(α) è normale A(α)A(α) H A(α) H A(α). Calcoliamo A(α) H, tenendo conto del fatto che da α R segue α α: 3iα 3iα A(α) H 3 3. 3i 3i Calcoliamo ora A(α)A(α) H ed A(α) H A(α): 3i 3iα A(α)A(α) H 3 3 3iα 3i 9 9, 9α 3iα 3i A(α) H A(α) 3 3 3i 3iα 9α 9. 9 7
Imponendo l uguaglianza A(α)A(α) H A(α) H A(α), e tenendo conto che α è non positivo, otteniamo: A(α)A(α) H A(α) H A(α) α α. (b) A(α) è diagonalizzabile se e solo se ciascun suo autovalore ha le due molteplicità, algebrica e geometrica, uguali tra loro. Calcoliamo gli autovalori di A(α) e le loro molteplicità. Il polinomio caratteristico di A(α) è: p A(α) (x) x 3i Det(A(α) xi 3 ) Det 3 x 3iα x x 3i ( ) + ( 3 x)det 3iα x ( 3 x)(x 9i α) ( 3 x)(x + 9α). Quindi gli autovalori di A(α) sono (α R con α ): λ 3, λ 9α 3 α e λ 3 9α 3 α. Dal momento che α è un numero reale non positivo, allora λ λ, λ λ 3 α, λ λ 3 α. Quindi se α, } allora A(α) è diagonalizzabile. Anche A A( ) è diagonalizzabile: abbiamo visto in (a) che è addirittura unitariamente diagonalizzabile (quindi è vero, e non occorre verificarlo, che d dim(e A( ) ( 3)) m ). Inoltre: 8
matrice autovalori molteplicità algebriche molteplicità geometriche A(α) λ 3 m d α, } λ 3 α m d λ 3 3 α m 3 d 3 A() λ 3 m d λ m d A( ) λ 3 m d λ 3 m d A() è diagonalizzabile d dim(e A() ()) m. d dim(e A() ()) dim(n(a()) [numero di colonne di A()] rk(a()) 3 rk(a()) Da una E.G. su A(): 3i A() 3 E ( 3 i)e( 3 )E, per cui rk(a()), e quindi Dunque A() non è diagonalizzabile. d dim(e A() ()) 3. In conclusione (essendo α reale non positivo): A(α) è diagonalizzabile α R con α <. 9
(c) Abbiamo visto in (a) che A A( ) 3i 3 è unitariamente 3i diagonalizzabile. I suoi autovalori (calcolati in (b)) sono: λ 3 e λ 3 con molteplicità algebriche e geometriche uguali a m d e m d. Cerchiamo basi ortonormali degli autospazi di A. Da una E.G. su A + 3I 3 : E A (λ ) E A ( 3) N(A + 3I 3 ). 3i 3 3i A + 3I 3 3 + 3I 3 3i 3i 3 i, segue che e quindi E3( 3i)E( 3 ) E A (λ ) E A ( 3) N( i ) ik h h, k C }, k v i ; v } è una base di E A (λ ) E A ( 3). N.B.: In questo caso non occorre applicare l algoritmo di G.S. a v ; v }: v H v, per cui v ; v } è già una base ortogonale di E A ( 3) Per ottenere una base ortonormale di E A ( 3), normalizziamo v e v.
v v H v ( i ) i + v v H v ( ) per cui v v i ; v v } è una base ortonormale di E A (λ ) E A ( 3). Da una E.G. su A 3I 3 : E A (λ ) E A (3) N(A 3I 3 ). 3 3i A 3I 3 6 3i 3 E( 6 )E3( 3i)E( 3 ) i, segue che E A (λ ) E A (3) N( i ) ih h C }, h i e quindi w } è una base di E A (λ ) E A (3). N.B.: Poichè ha un unico elemento, w } è già una base ortogonale di E A (3). Per ottenere una base ortonormale di E A (3), normalizziamo w. per cui w w H w ( i ) i +
w w i } è una base ortonormale di E A (λ ) E A (3). Dunque se α, una diagonalizzazione unitaria di A A( ) è: A UDU H con λ 3 D λ 3 λ 3 i i U v v w v v w. ed