3. Μαγνετοστατικά πεδία (Μagnetostatic fields)

3. Μαγνετοστατικά πεδία (Μagnetostatic fields) Στο προηγούμενο κεφάλαιο μιλήσαμε για τα στατικά ηλεκτρικά πεδία που χαρακτηρίζονται από το Ε και το D. Σε αυτό το κεφάλαιο θα επικεντρωθούμε στα στατικά μαγνητικά πεδία, τα οποία χαρακτηρίζονται από το H (Ένταση Μαγνητικού Πεδίου (A/m)) και το B (Μαγνητική Πυκνότητα Ροής (Wb/m ή Tesla (T)). Αναλογίες μεταξύ ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα: Παράγοντας (Term) Ηλεκτρικό πεδίο Μαγνητικό πεδίο Βασικοί νόμοι Q Q μ F a 0 Idl a r db 4πε r 4π R D. d s Q enc H. d l I enc Νόμοι δυνάμεων FQ.E FQu x B Στοιχεία πηγής (source dq QuIdl elements) Ένταση πεδίου I V E ( V / m ) H ( A / m ) l l Ψ Ψ D ( C / m ) B ( Wb / m ) S S Πυκνότητα ροής(flux density) Σχέσεις μεταξύ πεδίων DεE BμΗ Δυναμικά (potentials) E V H V m ( J 0 ) V ρ L dl μ Idl A 4 πε r 4πR Ροή(flux) Ψ D. ds Ψ B. ds Πυκνότητα ενέργειας(energy density) Εξίσωση Πουασόν(Poisson s equation) του Ψ Q CV dv I C dt Ψ LI V di L dt w E D.E w m B. H ρ J ν Α μ V ε R

Υπάρχουν δύο πολύ σημαντικοί νόμοι στα μαγνητικά πεδία () ο νόμος του Μπιότ-Σαβάρτ (Biot-Savart s law) και () ο νόμος του Αμπέρ για τα κυκλώματα (Ampere s law). Νόμος του Μπιότ-Σαβάρτ (Biot-Savart s law) O νόμος λέει ότι η ένταση του μαγνητικού πεδίου dh που παράγεται σε ένα σημείο Ρ, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα, από ένα διαφορικό στοιχείο ρεύματος (differential current element) Idl είναι ανάλογη με το γινόμενο Idl και το ημίτονο (sine) της γωνίας α και είναι αντιστρόφως ανάλογο με το τετράγωνο της απόστασης R μεταξύ του Ρ και του στοιχείου. dh Idl sin 4π R a d H Idl R 4π R ή σε διανυσματική μορφή 3 O νόμος του Μπιότ-Σαβάρτ, σε σχέση με το διανεμημένο ρεύμα, γίνεται dh Idl a R ή 4π R L Idl 4π R a R H για επικαμπύλιο ρεύμα

dh K ds a R ή H 4π R S K ds 4π R a R για ρεύμα επιφάνειας dh J dv a R ή H 4π R v J dv 4π R a R για ρεύμα όγκου. Τα Idl (I σε Amperes), KdS (K σε A/m) και Jdv (J σε A/m ). Για παράδειγμα, ας εφαρμόσουμε τις πιο πάνω εξισώσεις για να υπολογίσουμε το πεδίο που παράγεται λόγω ενός μεταφορέα ρεύματος ευθείας γραμμής (straight) μήκους ΑΒ όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. 3

Αν υποθέσουμε τη συμβολή του dh στο σημείο Ρ λόγω του στοιχείου dl στο σημείο (0,0,z) τότε dh Idl R 3 και αφού 4π R dl dz a z και Rρa ρ za z dl x Rρdz a φ και έχοντας το zρcot α, dz -ρcosec α dα I καταλήγουμε στο H 4π α α Ι 4πρ ρ cos ec ada 3 3 ρ cos ec a α φ a a sin( a φ a ) da ή I H (cos a cos a )a φ 4πρ 4

Παράδειγμα 3. Ένας κυκλικός βρόγχος βρίσκεται στο x + y 9, z0 και τον διαπερνά σταθερό ρεύμα 0Α στη κατεύθυνση του a φ όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Να υπολογίσετε το Η στα σημεία (0,0,4) και (0,0,-4). (sd 7.3 p98) dh Idl R 4π R 3 όπου dl ρdϕaϕ a dl R ρ a ρ ϕ z 0 ρd ϕ 0 ρhdϕaρ + ρ dϕa z 0 a h R ( 0,0, h ) ( x, y,0) ρ aρ + haz ( ρhdϕ aρ + ρ dϕa z) dhρaρ + dhzaz I dh 3 4π ( ρ + h ) Λόγω συμμετρίας η συνιστώσα στην κατεύθυνση aρ είναι 0. H ρ π 0 H dh zaz 0 π z 0 4π Iρ dϕa Αντικαθιστούμε I 0A, ρ3, h4 ( ) 0( 3) az ( ) ( ) 3 9 ( + 6) (αφού dl R είναι το ίδιο για h και h) Iρ πa H 0, 0, 4 H 0, 0, 4 0.36 a A/m Iρ a 3 3 ( ρ + h ) 4π ( ρ + h ) 3 ( ρ + h ) z ( ) a ( + ) 0 3 z H 0, 0, 4 0.36 a 3 z A/m 9 6 z z 5

Νόμος του Αμπέρ για τα κυκλώματα Εξίσωση του Μάξουελ (Ampere s circuit law-maxwell s equation) Ο νόμος του Αμπέρ για τα κυκλώματα λέει ότι το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα (line integral) της εφαπτόμενης συνιστώσας του Η γύρω από μια κλειστή πορεία, είναι το ίδιο με το συνολικό ρεύμα που εσωκλείεται από αυτή τη πορεία ή αλλιώς H. dl I enc Από το νόμο του Αμπέρ βγαίνει και η τρίτη εξίσωση του Μάξγουελ (Maxwell s third equation) που είναι H J όπου Ienc J ds S και J είναι η πυκνότητα ρεύματος (A/m ) Εφαρμογές του νόμου του Αμπέρ (Applications of Ampere s law) Θα χρησιμοποιήσουμε το νόμο του Αμπέρ για να υπολογίσουμε το Η για κάποιες συμμετρικές διανομές ρεύματος όπως ένα άπειρο επικαμπύλιο ρεύμα (infinite line current), άπειρη επιφάνεια ρεύματος (infinite current sheet) και άπειρη ομοαξονική γραμμή μετάδοσης (infinite coaxial transmission line). 6

Άπειρο επικαμπύλιο ρεύμα (infinite line current) Έχουμε το ρεύμα Ι στη κατεύθυνση του άξονα z όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Για να υπολογίσουμε το Η στο σημείο Ρ, θα επιτρέψουμε μια κλειστή πορεία που θα περνά από το σημείο Ρ όπου ονομάζεται Αμπερική πορεία (Amperian path). Δεδομένου ότι το ρ είναι σταθερό I H a φ. ρ d φa φ Η φ ρ d φ Η πρ φ φ ή Η Ι πρ α φ 7

Άπειρή επιφάνεια ρεύματος (infinite current sheet) Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια άπειρη επιφάνεια ρεύματος στο επίπεδο z0 όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Aν η πυκνότητα του ρεύματος είναι ομοιόμορφη ΚΚ y α y A/m, με την εφαρμογή του νόμου του Αμπέρ στη κλειστή τετραγωνική πορεία μας δίνει H. dl I enc K y b Γενικά, για μια άπειρη επιφάνεια ρεύματος με πυκνότητα ρεύματος Κ A/m H K a n όπου α n είναι ένα κάθετο διάνυσμα που κατευθύνεται απó το επίπεδο του ρεύματος επιφάνειας στο σημείο που μας ενδιαφέρει. 8

Άπειρη ομοαξονική γραμμή μετάδοσης (Infinite coaxial transmission line) Ας θεωρήσουμε ότι έχουμε μία άπειρη ομοαξονική γραμμή μετάδοσης που περιέχει δύο ομόκεντρους κυλίνδρους που έχουν τον άξονά τους στην κατεύθυνση του άξονα z. Η τομή (cross section) των γραμμών φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα όπου ο άξονας z είναι έξω από τη σελίδα. Ο εσωτερικός αγωγός έχει ακτίνα α και έχει ρεύμα Ι, ο εξωτερικός έχει ακτίνα b, πάχος t και έχει ρεύμα Ι. Θέλουμε να υπολογίσουμε το Η παντού, δεδομένου ότι το ρεύμα είναι ομοιόμορφα διανεμημένο και στους δυο αγωγούς. Θα εφαρμόσουμε το νόμο του Αμπέρ για κάθε μια από τις 4 περιοχές 0 ρ α, α ρ b, b ρ b + t, ρ b + t. Για τη περιοχή καταλήγουμε στο 0 ρ α χρησιμοποιώντας το νόμο του Αμπέρ H φ Iρ πα 9

Για τη περιοχή καταλήγουμε στο α ρ b χρησιμοποιώντας το νόμο του Αμπέρ H φ I πρ Για τη περιοχή b ρ b + t χρησιμοποιώντας το νόμο του Αμπέρ καταλήγουμε στο 0

H φ Ι πρ ρ t b + bt Για τη περιοχή καταλήγουμε στο ρ b + t χρησιμοποιώντας το νόμο του Αμπέρ H φ 0

Παράδειγμα 3. Ένα πηνίο σχήματος δακτυλίου του οποίου οι διαστάσεις φαίνονται στο πιο κάτω σχήμα έχει N στροφές και ρεύμα Ι. Να υπολογίσετε το H μέσα και έξω από το πηνίο. (sd 7.6 p309)

Πυκνότητα μαγνητικής ροής-εξίσωση του Μάξγουελ (Magnetic flux density-maxwell s equation) H πυκνότητα μαγνητικής ροής Β είναι παρόμοια με την πυκνότητα ηλεκτρικής ροής D. Όπως το Dε ο Ε σε ελεύθερο χώρο, έτσι και το Bμ ο Η όπου μ ο είναι μια σταθερά που ονομάζεται διαπερατότητα του ελεύθερου χώρου (permeability of free space) σε Henry/meter (H/m) και έχει τη τιμή μ ο 4π x 0-7 Η/m. Η μαγνητική ροή μέσα σε από μια επιφάνεια S είναι Ψ S B. ds και μετριέται σε Webers (Wb) και η πυκνότητα μαγνητικής ροής μετριέται σε (Wb/m ) ή Teslas (T). Η γραμμή της μαγνητικής ροής Β είναι η γραμμή όπου η βελόνα της πυξίδας θα ευθυγραμμιστεί αν τοποθετηθεί σε μαγνητικό πεδίο. Για παράδειγμα, οι μαγνητικές γραμμές ροής λόγω ενός ευθύγραμμου σύρματος φαίνονται στο πιο κάτω σχήμα. 3

Σε ένα ηλεκτροστατικό πεδίο η ροή που περνά μέσα από μια κλειστή επιφάνεια είναι η ίδια με το εσωκλειόμενο φορτίο δηλαδή Ψ D. ds Q Για αυτό το λόγο μπορούμε να έχουμε ένα απομονωμένο ηλεκτρικό φορτίο όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Aντίθετα οι μαγνητικές γραμμές ροής είναι πάντοτε κλειστές όπως φαίνονται στο πιο κάτω σχήμα. Αυτό γίνεται για το λόγο ότι δεν είναι δυνατό να έχουμε απομονωμένους μαγνητικούς πόλους (ή μαγνητικά φορτία). Για παράδειγμα, αν προσπαθήσουμε να απομονώσουμε ένα μαγνητικό πόλο με το να κόψουμε ένα μαγνήτη σε δύο, θα καταλήξουμε με δύο κομμάτια με το κάθε ένα να έχει βόρειο και νότιο πόλο όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Έτσι η συνολική ροή μέσα από μια κλειστή επιφάνεια σε ένα μαγνητικό πεδίο πρέπει να είναι ίση με μηδέν. B.dS 0 Η εξίσωση αυτή ονομάζεται ο νόμος της διατήρησης της μαγνητικής ροής (law of conservation of magnetic flux). Από αυτή την εξίσωση μπορούμε να καταλήξουμε στη τέταρτη εξίσωση του Μάξγουελ (fourth Maxwell s equation) που είναι 4

. B 0 Η πιο πάνω εξίσωση δείχνει ότι τα μαγνετοστατικά πεδία δεν έχουν ούτε πηγή ούτε αρνητική πηγή (sink). 5

Εξισώσεις του Μάξγουελ για στατικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία (Maxwell s equations for static EM fields) O πιο κάτω πίνακας περιλαμβάνει συγκεντρωμένες τις 4 εξισώσεις του Μάξγουελ. Διαφορική μορφή D Μορφή ολοκληρώματος D. ds ρ ν dv. ρ ν S v. Β 0 B.dS 0 Ε 0 E.dl 0 Η J H. dl J. ds S L L S Σημειώσεις Νόμος του Γκάους Μη ύπαρξη μαγνητικού μονοπόλου Διατήρηση του ηλεκτροστατικού πεδίου Νόμος του Αμπέρ 6

Μαγνητικά βαθμωτά και διανυσματικά δυναμικά (Magnetic scalars and vector potentials) Aς θυμηθούμε ότι πολλά από τα προβλήματα των ηλεκτροστατικών πεδίων απλοποιήθηκαν με το συσχετισμό που κάναμε για το δυναμικό V και την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Ε ( E V ). Τον ίδιο συσχετισμό μπορούμε να κάνουμε με το δυναμικό και το μαγνετοστατικό πεδίο Β. Το μαγνητικό δυναμικό μπορεί να είναι βαθμωτό V m αλλά και διανυσματικό Α. Το βαθμωτό μαγνητικό δυναμικό συσχετίζεται με το H με τη πιο κάτω εξίσωση: H V m όταν J0 Το διανυσματικό μαγνητικό δυναμικό συσχετίζεται με το Β με τη πιο κάτω εξίσωση: B A Το Α ορίζεται ως το μαγνετοστατικό διανυσματικό δυναμικό (magnetic vector potential) και έχει μονάδα μέτρησης Tm, ή Wb/m. Ακόμα μπορούμε να ορίσουμε τα πιο κάτω: A L μ ο Ιdl 4πR για επικαμπύλιο ρεύμα (line current) A S μ ο K ds 4πR για ρεύμα επιφάνειας (surface current) 7

A V μ ο J dv 4πR για ρεύμα όγκου(volume current) Επίσης με την αντικατάσταση της εξίσωσης B A μέσα στην εξίσωση Ψ B ds και χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Στόουκ S (Stoke s theorem) καταλήγουμε στο Ψ L A.dl Τότε η μαγνητική και ηλεκτρική ροή μέσα σε ένα δεδομένο εμβαδό μπορεί να βρεθεί από τις εξισώσεις Ψ S B ds Ψ και L A. dl Η χρησιμοποίηση του μαγνητικού διανυσματικού δυναμικού προσφέρει μίαν ισχυρή προσέγγιση στη λύση ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων, ειδικά αυτών που σχετίζονται με αντένες. 8

Παράδειγμα 3.3 Δίνεται το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό (magnetic vector potential) Α -ρ /4 a z Wb/m, να υπολογίσετε την ολική μαγνητική ροή που διασχίζει την επιφάνεια φ π/, ρ m, 0 z 5 m. (sd 7.7 p37) Μέθοδος 5 z 0 ρ A ρ B A a a S a ρ z ϕ ϕ d dρdz ϕ 5 Ψ B ds ρdρdz ρ ( 5) 3.75 Wb 4 4 S Μέθοδος 3 z B Α 4 x y Ψ d Ψ +Ψ +Ψ +Ψ L A l όπου L είναι η καμπύλη που περικλείει την 3 4 επιφάνεια S. Το Α έχει μόνο συνιστώσα στο a z. ΨΨ Ψ 3 0 ΨΨ +Ψ 4 () dz + () 4 5 ( 4)( 5) 3.75 Wb 4 4 5 0 0 5 dz 9

Εξαγωγή των νόμων του Μπιότ-Σαβάρτ Αμπέρ (Derivation of Biot-Savart s law and Ampere s law) Αφού ο νόμος του Μπιότ-Σαβάρτ είναι βασικά σε επικαμπύλιο ρεύμα (line current) θα ξεκινήσουμε τη εξαγωγή με το B ' μ Ιdl μ Ι 4π R 4π ο ο L L R dl ' αν χρησιμοποιήσουμε την πιο κάτω ιδιότητα ( f F ) f F + ( f ) F και στη θέση του F έχουμε το dl και του f το /R τότε καταλήγουμε στο B μ ο I ' dl + 4π L R R dl ' Αφού το λειτουργά σε συνάρτηση του (x,y,z) και το di είναι συνάρτηση του (x,y,z ' ), τότε dl 0 ' Ακόμα ( x x ) / ' ' [ + ( y y ) + ( z ) ] R z R ( x x ' ) a + ( y y ' ) a ( z x y z R / ' ' ' [( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ] 3 R + z ' ) a a όπου το α R είναι το μοναδιαίο διάνυσμα από το σημείο πηγής (source point) στο σημείο πεδίου (field point). Με τα πιο πάνω καταλήγουμε στο μ I B ο dl a R 4π R L 0

όπου είναι ο νόμος του Μπιότ-Σαβάρτ. Μπορούμε ακόμα να δείξουμε ότι για ένα στατικό μαγνητικό πεδίο. A 0 και A μ J όπου ονομάζεται η διανυσματική εξίσωση τoυ Πουασόν (vector Poisson s equation). Επίσης μπορούμε να δείξουμε και πως εξάγεται ο νόμος του Αμπέρ. Από το θεώρημα του Στόουκ (Stoke s theorem) και την εξίσωση B A καταλήγουμε H. ds ο ( A). dl H ds μ L S ο S και χρησιμοποιώντας τις πιο κάτω ιδιότητες (. A) A A,. 0 καταλήγουμε στο A, A μ J ο A A μ J ο και αντικαθιστώντας στην εξίσωση H. ds ( A). dl HdS μ L S ο S καταλήγουμε στο νόμο του Αμπέρ που είναι H. dl J. ds L S I

Μαγνητικό δίπολο (A magnetic dipole) Ένα κομμάτι μαγνήτης ή ένα μικρός βρόγχος ρεύματος (filamentary current loop) συνήθως ονομάζονται μαγνητικά δίπολα. Ας υπολογίσουμε το μαγνητικό πεδίο Β σε ένα σημείο Ρ(r,θ,φ) που δημιουργείται λόγω ενός κυκλικού βρόγχου με ρεύμα I (circular loop currying current I) όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό στο σημείο Ρ είναι A μ ο Ι 4π dl r Μπορεί να αποδειχτεί ότι σε ένα μακρινό σημείο r>>α, το Α έχει μόνο συνιστώσα του φ και δίνεται από μ A ο Iπα θ μ a φ ή A ο 4πr sin m a 4πr όπου miπα a z, και a z x a r sin θ a φ. Υπολογίζουμε τη πυκνότητα της μαγνητικής ροής Β από το r

B A και είναι B μ m ο ( cosθa + sin ) 3 r θa θ 4π r Στον πιο κάτω πίνακα συγκρίνονται τα ηλεκτρικά και μαγνητικά μονόπολα και δίπολα. 3

Μαγνητισμός στα υλικά (Magnetization in materials) B μ ο μ H r όπου το Β είναι η πυκνότητα μαγνητικής ροής (magnetic flux density) και μετριέται σε Τέσλα (Τ), το Η είναι η ένταση μαγνητικής ροής (magnetic field strength) και μετριέται σε Α/m και το μμ ο μ r ονομάζεται η διαπερατότητα του υλικού που μετριέται σε Henrys per meter (Η/m). Επίσης ορίζουμε το Μ (magnetization) ως τη μαγνητική δίπολη ροπή ανά μονάδα όγκου (magnetic dipole moment per unit volume) και μετριέται σε Α/m. Η σχέση του Μ με το Η φαίνεται στη παρά κάτω σχέση M χ mh όπου χ m είναι μια ποσότητα χωρίς διαστάσεις και ονομάζεται μαγνητική ευαισθησία (magnetic susceptibility) του υλικού. Σημείωση: Τα πιο πάνω ισχύουν μόνο σε γραμμικά και ισοτροπικά υλικά (linear and isotropic). 4

Μαγνητικές Οριακές συνθήκες (Magnetic boundary conditions) Oρίζουμε μαγνητικές οριακές συνθήκες τις συνθήκες που πρέπει το μαγνητικό πεδίο να ικανοποιεί στη διεπαφή (interface) δύο μέσων. Ας υποθέσουμε τη διεπαφή (interface) μεταξύ δυο μαγνητικών μέσων και, που χαρακτηρίζονται από το μ και το μ αντίστοιχα όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Mε εφαρμογή των εξισώσεων καταλήγουμε στο B.dS 0 Δh 0 και H dl I B n Bn Ακόμα μπορούμε να δείξουμε ότι μ H μ H ή n n ( H H) an K όπου τα a n είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα που κατευθύνεται από το μέσο στο. 5

Εάν η διεπαφή δεν έχει ρεύμα ή εάν τα μέσα δεν είναι αγωγοί, μπορούμε να γράψουμε H t H t ή B t μ Bt μ Απόδειξη 6

Παράδειγμα 3.4 Δίνεται το Η -a x + 6a y + 4a z A/m στη περιοχή y x 0, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα, όπου μ 5μ ο. Να υπολογίσετε (α) το Μ και το Β εάν το χ μ (μ r ) (β) το Η και το Β στη περιοχή y x 0, όπου μ μ ο. (sd 8.8 p 366) Το y-x είναι επίπεδο και το y-x είναι η περιοχή (βάζοντας το σημείο (0,0) μπορούμε να το δούμε καθαρά). Ένα κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα στο f ax + ay επίπεδο f ( x,y) y-x- δίδεται από a n f (α) χμ ( μ ) ( )( ) 7 B μh μoμrh 4π 0 ( 5)( ax + 6ay + 4az) M H H 5 a + 6a + 4a 8a + 4a + 6 a A/m x y z x y z.57a + 37.7a + 5.3 a μwb/m x y z ax + ay ax + ay (β) H ( H a ) a ( a + 6a + 4a ) 4a + 4a Όμως H H + H n t n n n x y z x y ( ) ( ) H H H a + 6a + 4a 4a + 4a a + a + 4a Χρησιμοποιώντας τις οριακές συνθήκες παίρνουμε t n x y z x y x y z 7

H H a + a + 4a t t x y z B B μ H μ H n n n n μ 5 H H 4a + 4a 0a + 0a ( ) n n x y x y μ Έτσι H Hn + Ht ax + ay + a z 8 4 A/m -7 και B μh μoμrh( 4π 0 )( )( 8ax + ay + 4a z) 0.a + 30.6a + 0.05 a μwb/m x y z 8

Παράδειγμα 3.5 Το επίπεδο xy είναι η διεπαφή (interface) μεταξύ δύο διαφορετικών μέσων. Το μέσο ( z 0) το γεμίσαμε με ένα υλικό που έχει μ r 6, και το μέσο ( z 0) το γεμίσαμε με άλλο υλικό που έχει μ r 4. Αν στη διεπαφή υπάρχει ρεύμα (/μ ο )a y ma/m, και Β 5a x + 8a z mwb/m, να υπολογίσετε το Η και το Β. (sd 8.9 p 368) Σε αυτή την περίπτωση k 0 ( B x,b y,bz ) B B 8 a B 8 n n z z B Όμως H ( a + a ) 5 8 ma/m x z μ 4μo B H B a + B a +B a ma/m ( ) x x y y z z μ 6μo B σε mwb/m Έχοντας την κάθετη συνιστώσα μπορούμε να βρούμε την εφαπτομένη από ( H H) a n k H an H a n + k ( Bxax + B yay+bzaz) az ( 5ax + 8az) az + a y 6μo 4μo μo Εξισώνοντας τις συνιστώσες παίρνουμε 9

Bx 5 6 B y 0 + ή Bx.5 6 4 4 B.5ax + 8 a z mwb/m B H ( 0.5ax +.33 a z) ma/m μ μo και H (.5ax + a z) ma/m μ o 30

Επαγωγέας και επαγωγή (Inductors and inductance) Ένα κύκλωμα (κλειστό μονοπάτι) που έχει ρεύμα Ι, παράγει ένα μαγνητικό πεδίο Β το οποίο προκαλεί ροή Ψ B. ds που περνά μέσα από κάθε στροφή, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Αν το κύκλωμα έχει Ν όμοιες στροφές, ορίζουμε το λ ως τη σύζευξη ροής (flux linkage) λ ΝΨ Ακόμα αν το μέσο που περιτριγυρίζει το κύκλωμα είναι γραμμικό, το λ είναι ανάλογο με το ρεύμα Ι λ LI όπου L είναι μια σταθερά που ονομάζεται η επαγωγή (inductance) του κυκλώματος. Κύκλωμα ή μέρος κυκλώματος που έχει επαγωγή ονομάζεται επαγωγέας (inductor). Από τις πιο πάνω εξισώσεις μπορούμε να ορίσουμε την επαγωγή L ως 3

L λ I NΨ I Η μονάδα μέτρησης της επαγωγής είναι Henry (H), το οποίο είναι το ίδιο με Webers/ampere. H επαγωγή που ορίσαμε πιο πάνω συνήθως αναφέρεται ως αυτεπαγωγή (self-inductance). Μαγνητική ενέργεια (Magnetic Energy) Όπως η δυναμική ενέργεια στα ηλεκτροστατικά πεδία είναι D. Edv εe dv W E έτσι και στα μαγνητικά πεδία μπορούμε να ορίσουμε ένα παρόμοιο τύπο για τη μαγνητική ενέργεια. Ο τύπος αυτός είναι W m LI και έτσι W m wm dv B. Hdv μh dv Υπολογισμός Αυτεπαγωγής Για να υπολογίσουμε την αυτεπαγωγή ακολουθούμε τα πιο κάτω βήματα:. Διαλέγουμε τις κατάλληλες συντεταγμένες. Υποθέτουμε ότι ο επαγωγέας έχει ρεύμα Ι 3. Υπολογίζουμε το Β από το νόμο του Μπιότ-Σαβάρτ (ή του Αμπέρ αν υπάρχει συμμετρία) και μετά υπολογίζουμε το Ψ από το Ψ 4. Τέλος υπολογίζουμε το L από το B. ds NΨ L λ. I I 3

33

Παράδειγμα 3.6 Να υπολογίσετε την αυτεπαγωγή (self-inductance) ανά μονάδα μήκους για έναν άπειρα μεγάλο σωληνοειδές πηνίο. (sd 8.0 p376) 34

Παράδειγμα 3.7 Να υπολογίσετε την αυτεπαγωγή ενός ομοαξονικού καλωδίου με εσωτερική ακτίνα α και εξωτερική b. (sd 8. p377) z axis x I I I x dρ dρ ρ ρ a a b b Μέθοδος : Από το προηγούμενο παράδειγμα με την εφαρμογή του νόμου μiρ μi του Αμπέρ για 0 ρ a B a ϕ και για a ρ b B a ϕ πa πρ L in (εσωτερική επαγωγή) για dρ I enc πρ d λ dψ dψ αφού το Ι είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο I πa μiρdρdz ρ d λ πa a Για μήκος l του καλωδίου a l 3 μiρ dρdz μil λin μl λ L 4 in Επαγωγή ανά μονάδα μήκους πa 8π I 8π ρ 0 z 0 Lin μ L l 8π L ext (εξωτερική επαγωγή) για dρ μi dψ B dρdz dρdz πρ Το συνολικό ρεύμα Ι είναι μέσα στο μονοπάτι που εσωκλείει την ροή 35

λ b l μ dρdz μ λ μ Ψ ln Lext ln πρ π π ρ az0 μl b LL in +Lext ln π + 4 a L μ b L ln H/m l π + 4 a I Il b l b a I a Μέθοδος : Χρησιμοποιώντας Wm L I ή L I B Wm B Hdv dv μ V V a π l B I in 4 I dv μ I μ 4π a V ρ 0ϕ 0 z 0 a π l μ 3 μl ρ dρ dϕ dz 4 4π a 8π ρ 0 ϕ 0 z 0 L L a π l B μ I ext I dv μ I μ 4π ρ V ρ 0ϕ 0 z 0 a π l μ dρ μl b dϕ dz ln 4π ρ π a ρ 0 ϕ 0 z 0 LL +L in ext μl b ln π + 4 a μ ρ ρ d ρ d ϕ dz ρdρdϕdz W m όπου όπως προηγουμένως 36