1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,..., 500.000,..., 900.000, 900.001,..., 999.999, 1.000.000,... Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) προκύπτει από τον προηγούμενό του αν προσθέσουμε το 1. Π.χ. 5+ 1 = 6 24 + 1 =25 99 + 1 = 100 999 + 1 = 1.000 10.000 + 1 = 10.001 99.999 + 1 = 100.000 999.999 + 1 = 1.000.000 Οι φυσικοί αριθμοί δεν έχουν κάποιο τέλος γι αυτό λέμε ότι είναι άπειροι (Η λέξη βγαίνει από το στερητικό α- και τη λέξη πέρας που σημαίνει τέλος, άρα άπειρος = χωρίς τέλος). Τα ψηφία Για να γράψουμε τους φυσικούς αριθμούς χρησιμοποιούμε τα δέκα αριθμητικά σύμβολα: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (τους δέκα μονοψήφιους αριθμούς), που λέγονται ψηφία.
Ένας αριθμός μπορεί να ονομαστεί ανάλογα με τον αριθμό των ψηφίων του μονοψήφιος, διψήφιος, τριψήφιος, τετραψήφιος, πενταψήφιος κ.λπ. 38 -> διψήφιος 426 -> τριψήφιος 32.507 -> πενταψήφιος 900.334 -> εξαψήφιος. Αν έχει πολλά ψηφία λέγεται πολυψήφιος αριθμός. Η θέση του κάθε ψηφίου σ έναν αριθμό είναι πολύ σημαντική, καθώς κάθε θέση έχει διαφορετική αξία. Στο σύστημα αρίθμησης που ακολουθούμε, μια θέση έχει δέκα φορές μεγαλύτερη αξία από την προηγούμενη, προχωρώντας από δεξιά προς τα αριστερά. Γι' αυτό το σύστημα αρίθμησης που ακολουθούμε το λέμε δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Π.χ. στον αριθμό 3.852 (ξεκινώντας από δεξιά προς τα αριστερά) : Το 2 δηλώνει Το 5 δηλώνει Το 8 δηλώνει Το 3 δηλώνει 2 μονάδες 5 δεκάδες 8 εκατοντάδες 3 χιλιάδες (ή 3 μονάδες χιλιάδων) Στον αριθμό 364. 546 : Το 6 δηλώνει Το 4 δηλώνει 6 μονάδες 4 δεκάδες
Το 5 δηλώνει Το 4 δηλώνει Το 6 δηλώνει Το 3 δηλώνει 5 εκατοντάδες 4 χιλιάδες (ή 4 μονάδες χιλιάδων) 6 δεκάδες χιλιάδων 3 εκατοντάδες χιλιάδων Πώς διαβάζουμε τους πολυψήφιους αριθμούς; Για να διαβάσουμε τους αριθμούς ακολουθούμε τα εξής βήματα: 1ο. Χωρίζουμε τον αριθμό από δεξιά προς τα αριστερά σε τριψήφια τμήματα, με τελείες. Το πρώτο από τα αριστερά τμήμα μπορεί να είναι μονοψήφιο, διψήφιο ή και τριψήφιο. 2ο. Ονομάζουμε τα τριψήφια τμήματα τα από δεξιά: τμήμα των μονάδων, τμήμα των χιλιάδων, τμήμα των εκατομμυρίων κ.λπ. 3ο. Για να διαβάσουμε ή να μιλήσουμε για κάποιον αριθμό αρχίζουμε από το πρώτο αριστερά τμήμα, λέγοντας τον αριθμό κάθε τμήματος και το όνομα του τμήματος. Το τριψήφιο τμήμα που όλα τα ψηφία του είναι μηδενικά, το παραλείπουμε όταν απαγγέλλουμε τον αριθμό. Π.χ. Θέλω να διαβάσω τον αριθμό 3984567 Τον χωρίζω σε τμήματα ανά τρία ψηφία : 3.984.567
Το πρώτο από δεξιά τμήμα είναι των μονάδων, το επόμενο των χιλιάδων και το τελευταίο (που αποτελείται από ένα μόνο ψηφίο), των εκατομμυρίων. Τώρα μπορώ να τον διαβάσω (ξεκινώντας από αριστερά) : 3 εκατομμύρια εννιακόσιες ογδόντα τέσσερις χιλιάδες πεντακόσια εξήντα επτά. 2. Σύγκριση και διάταξη αριθμών Για να εξακριβώσουμε αν δυο αριθμοί είναι ίσοι ή άνισοι, τους συγκρίνουμε. Για να είναι ίσοι οι αριθμοί πρέπει να έχουν τον ίδιο αριθμό ψηφίων και τα ίδια ψηφία στις ίδιες θέσεις. Για να δηλώσουμε ότι οι αριθμοί είναι ίσοι γράφουμε ανάμεσά τους το ίσον ( = ) π.χ. 518 = 518, 31.740 = 31.740, 628.009 = 628.009 Για να δηλώσουμε ότι δύο αριθμοί είναι ίσοι, χρησιμοποιούμε το σύμβολο =. Π.χ. 518 = 518, 31.740 = 31.740, 628.009 = 628.009 Όταν οι αριθμοί έχουν διαφορετικό αριθμό ψηφίων ή έχουν τον ίδιο αριθμό ψηφίων αλλά διαφορετικά ψηφία στην ίδια θέση, λέγονται άνισοι π.χ. α) οι αριθμοί 567 και 72 είναι άνισοι γιατί δεν έχουν τον ίδιο αριθμό
ψηφίων β) οι αριθμοί 567 και 657 είναι άνισοι, γιατί ενώ έχουν τον ίδιο αριθμό ψηφίων, έχουν διαφορετικά ψηφία σε κάθε θέση. Όταν οι αριθμοί είναι άνισοι, ένας από αυτούς είναι μεγαλύτερος από τον άλλο. Ένας αριθμός είναι μεγαλύτερος από έναν άλλο εάν έχει περισσότερα ψηφία.π.χ. μεταξύ των αριθμών 23 και 128 ο δεύτερος είναι μεγαλύτερος επειδή έχει τρία ψηφία, ενώ ο πρώτος δύο. Γράφουμε τότε 23 < 128 ή 128 > 23. Προσέχουμε όταν χρησιμοποιούμε το σύμβολο > ή <, η «μύτη» του συμβόλου να είναι στραμμένη προς τον μικρότερο αριθμό. Για δύο αριθμούς που έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων, συγκρίνουμε ένα - ένα τα ψηφία τους ξεκινώντας από τα αριστερά (ψηφία της ανώτερης τάξης) και σταματάμε, όταν συναντήσουμε το πρώτο διαφορετικό ψηφίο. Μεγαλύτερος είναι ο αριθμός που το ψηφίο αυτό είναι το μεγαλύτερο. Π.χ. Να συγκρίνουμε τους αριθμούς 32.456 και 32.546 : Και οι δύο αριθμοί έχουν τον ίδιο αριθμό ψηφίων. Στην πιο αριστερή θέση, αυτή των δεκάδων χιλιάδων, έχουν το ίδιο ψηφίο, το 3.
Στην επόμενη θέση, αυτή των μονάδων χιλιάδων, έχουν το ίδιο ψηφίο, το 2. Στην επόμενη θέση, αυτή των εκατοντάδων μονάδων ο ένας έχει το ψηφίο 4 και ο άλλος το ψηφίο 5, άρα ο δεύτερος αριθμός (ο 32.546) είναι μεγαλύτερος από τον πρώτο (τον 32.456). Δε χρειάζεται να συγκρίνουμε τα επόμενα ψηφία. Διάταξη αριθμών Διάταξη δύο ή περισσότερων αριθμών σημαίνει να έχουμε γράψει τους αριθμούς αυτούς σε μια σειρά: από το μικρότερο στο μεγαλύτερο ή από το μεγαλύτερο στο μικρότερο. Π.χ. α. Οι αριθμοί 450, 500, 550 γράφονται σε διάταξη (ή αλλιώς διατάσσονται) από το μεγαλύτερο στο μικρότερο ως εξής: 550 > 500 >450 β). Οι αριθμοί 1.345, 1.356, 1.370, 1.417, 1.386 διατάσσονται από το μικρότερο στο μεγαλύτερο ως εξής: 1.345 < 1.356 < 1.370 < 1.386 < 1.417 3. Τι σημαίνει μια κλασματική μονάδα
Κάθε κλάσμα (= μέρος ενός ολόκληρου) με αριθμητή το 1 και παρονομαστή οποιονδήποτε αριθμό λέγεται κλασματική μονάδα π.χ. 2 1 1 4 1 12 1 κ.λπ. Η κλασματική μονάδα σημαίνει ότι χωρίσαμε ένα ολόκληρο 10 σε τόσα ίσα μέρη όσα λέει ο παρονομαστής και πήραμε το 1. Αν ξέρουμε ποια είναι η τιμή μιας κλασματικής μονάδας, για να βρούμε πόση είναι η ακέραια μονάδα, πολλαπλασιάζουμε την τιμή αυτή με τον παρονομαστή της κλασματικής μονάδας. Π.χ. αν το 10 1 των αγοριών μιας κατασκήνωσης παίζουν μπάσκετ είναι 10, πόσα είναι όλα τα αγόρια της κατασκήνωσης ; Ξέρουμε ότι η τιμή της κλασματικής μονάδας 10 1 είναι 10. Για να βρούμε πόσα είναι όλα τα αγόρια θα πολλαπλασιάσουμε 10 Χ 10 = 100. Άρα όλα τα αγόρια της κατασκήνωσης είναι 100. Αν το 3 1 των μήλων που αγοράσαμε είναι 2 μήλα, πόσα είναι όλα τα μήλα ; Σύμφωνα με όσα είπαμε παραπάνω 3 Χ 2 = 6 μήλα. Άρα, όλα τα μήλα είναι 6.
4. Μαγικά τετράγωνα 100 1.500 1.400 400 1.200 600 700 900 800 1.000 1.100 500 1.300 300 200 1.600 Μαγικό τετράγωνο είναι ένα τετράγωνο, όπου το άθροισμα των αριθμών τόσο οριζόντια, όσο και κάθετα ή διαγώνια είναι το ίδιο, όπως φαίνεται και στο διπλανό παράδειγμα..