ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 011 ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1o Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. (Μονάδες 15) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση με μια γωνία ενός άλλου τρίγωνο τότε ο λόγος των εμβαδών των δύο τριγώνων είναι ίσος με το λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές.. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει α <β +γ το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. 3. Η πλευρά ενός κανονικού τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο,R) είναι 4 R. 4. Το τετράγωνο της πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του ελαττωμένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή. 5. Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο της ομοιότητας τους. () Θέμα Δίνεται κύκλος (Ο,Κ) και τόξο του 0 AB 90 με μήκος π. α) Να αποδείξετε ότι η ακτίνα του κύκλου είναι R=4. (Μονάδες 1) β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος ε. (Μονάδες 13)
Θέμα 3 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=5, ΑΓ=7 και ΒΓ=6. Αν ΑΜ η διάμεσος και ΑΔ το ύψος του τριγώνου τότε: α) Να προσδιορίσετε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. () β) Να υπολογίσετε τη διάμεσο ΑΜ. (Μονάδες 8) γ) Να υπολογίσετε το τμήμα ΜΔ. (Μονάδες 8) Θέμα 4 Στο διπλανό σχήμα ΑΓ, ΑΕ τέμνουσες του κύκλου (Ο,ρ). Αν ΑΒ=, ΒΓ=4, ΔΕ=1 και η γωνία α=67 να υπολογίσετε: α) το μήκος του ΑΔ. (). β) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΕ. Δίνονται ημ67 =0,9, συν67 =0,4. (Μονάδες 8) γ) την ακτίνα και το εμβαδόν του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΕ αν η πλευρά ΒΕ=3,6. (Μονάδες 8)
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 3 / 6 / 011 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 010 011 ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 011 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Α. Γράψτε στο τετράδιό σας τη σωστή απάντηση σε κάθε μια από τις παρακάτω ερωτήσεις. Α1. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών,,, το μήκος της διαμέσου δίνεται από τη σχέση i) ii) 4 4 iii) iv) 0 Α. Αν ένα τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο με A 90 τότε ισχύει i) ii) iii) iv) Α3. Σε ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών,, και ημιπερίμετρο, μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν με τη βοήθεια του τύπου του Ήρωνα ο οποίος δίνεται από τη σχέση: i) ( )( )( ) ii) ( )( )( ) iii) ( )( )( ) iv) ( )( )( ) Α4. Η πλευρά ενός κανονικού τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R ισούται με i) R R ii) iii) R R iv) Α5. Κάθε μια από τις γωνίες ενός κανονικού εξαγώνου ισούται με i) 60 ο ii) 10 ο iii) 150 0 iv) 90 0 Μονάδες 5 10 Β. Αποδείξτε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (όπου η ορθή γωνία), το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. Μονάδες 15 ΘΕΜΑ Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ γνωρίζουμε ότι τα μήκη των πλευρών είναι 9, 6 και 7. Α) Εξετάστε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του (δηλαδή εξετάστε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, οξυγώνιο, αμβλυγώνιο). Μονάδες 15 Β) Αποδείξτε ότι η διάμεσος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην πλευρά β ισούται με 14.
ΘΕΜΑ 3 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ο κύκλος (Ο, R). Η ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου και η ευθεία ε εφάπτεται του κύκλου στο σημείο Α. Το σημείο Μ βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε και η ΒΜ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ρ. Α) Αποδείξτε ότι. Β) Αν η χορδή ΑΡ ισούται με την πλευρά κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο (Ο, R) (δηλαδή 6 R ), τότε Β1) δείξτε ότι R 3 1 Β) δείξτε ότι 3 Μονάδες 8 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4 Δίνονται οι κύκλοι (Κ, R 1 ), (Λ, R ) και (M, R 3 ), οι οποίοι εφάπτονται ανά δύο στα σημεία Α, Β, Γ. όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν γνωρίζετε ότι R R 1 και R 3. Α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Β) Να βρεθούν τα εμβαδά των κυκλικών τομέων (Κ ΑΒ), (Λ ΑΓ) και (Μ ΒΓ). Γ) Να βρεθεί το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 6 Ο Διευθυντής Οι Εισηγητές
Ονοματεπώνυμο:.. 30 Μαΐου 011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ B ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ: ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1 Ο ΘΕΜΑ Α. Να αποδείξετε ότι, σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β, που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Στήλη Α ν-γωνο α. ισόπλευρο τρίγωνο β. τετράγωνο Στήλη Β απόστηµα κανονικού ν-γώνου 1. R. R 3 3. R γ. κανονικό εξάγωνο 4. R 5. R 5 Μονάδες 6 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. a) Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει α <β +γ, τότε αυτό είναι οποσδήποτε οξυγώνιο. µ α b) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: β +γ = α +. c) Το εµβαδόν τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο Ε= τ( τ α)( τ β)( τ γ ), όπου τ είναι η ηµιπερίµετρος του τριγώνου. O,R είναι τόξο ενός ακτινίου (rad), όταν το µήκος του είναι ίσο µε R. d) Κάθε τόξο κύκλου ( ) e) Το εµβαδόν ενός κυκλικού δίσκου ( O,R ) είναι π R. 1
Ονοματεπώνυμο:.. Νέα Πέραμος, 30 Μαΐου 011 Ο ΘΕΜΑ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε Α= ˆ 90. Αν ΒΕ = 1, 8, ΕΓ = 8, και Β = 3, τότε: i. Να δείξετε ότι Α = 3. ii. Να υπολογίσετε το µήκος της πλευράς ΑΓ. iii. Να υπολογίσετε την απόσταση των σηµείων Γ και Δ. Μονάδες 7 3 Ο ΘΕΜΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ για το οποίο ισχύει ΑΓ = 0, ΒΓ= 1 και Γ= ˆ 30. Αν Μ µέσο της ΑΒ και Ε ΒΓ σηµείο στην προέκταση της ΓΒ τέτοιο ώστε ΒΕ=, τότε: 6 i. Να δείξετε ότι ( ΑΒΓ ) = 60. ii. Να δείξετε ότι ( ΒΜ E) = 5. iii. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΜΕΓ. Μονάδες 6 4 Ο ΘΕΜΑ Στο διπλανό σχήµα δίνονται τα τόξα Γ και ΓΒ των κύκλων,r Λ,R αντίστοιχα. Δίνεται επίσης ότι το ( Κ ) και ( ) τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ρόµβος µε Α= ˆ 10 Αν η περίµετρος του ρόµβου είναι 4 3R τότε: i. Να δείξετε ότι Β = 3R. Μονάδες 5 ii. Να δείξετε ότι το εµβαδόν του σκιασµένου κυκλικού τοµέα KΓ π είναι R. 3 Μονάδες 4 iii. Θεωρούµε το µικτόγραµµο χωρίο Ω που περικλείεται από τα τόξα Γ, ΓΒ και τα τµήµατα BA και ΑΔ. (α) Να υπολογίσετε τη περίµετρο του µικτόγραµµου χωρίου Ω. Μονάδες 7 (β) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του µικτόγραµµου χωρίου Ω. Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ
19/5/011 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ ΠΔΡΙΟΓΟΤ ΜΑΙΟΤ 011 ΓΔΩΜΔΣΡΙΑ Β ΛΤΚΔΙΟΤ Θέκα 1 ν Α. Να δείμεηε όηη ζε θάζε νξζνγώλην ηξίγσλν, ην ηεηξάγσλν κηαο θάζεηεο πιεπξάο ηνπ είλαη ίζν κε ην γηλόκελν ηεο ππνηείλνπζαο επί ηελ πξνβνιή ηεο πιεπξάο απηήο ζηελ ππνηείλνπζα. Μνλ.9 Β. Να αληηζηνηρίζεηε ηα ζηνηρεία ηεο ζηειεο Α κε ηα ζηνηρεία ηεο ζηήιεο Β. Α Β 1. ι 4 α. R. α 4 β. R 3. ι 3 γ. R 3 4. α 3 5. ι 6 6. α 6 δ. ε. ζη. R R 3 R Μνλ.6 Γ. Υαξαθηεξίζεηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο σο σζηέο ή Λαλζαζκέλεο. 1. Αλ α <β +γ, ηόηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη νμπγώλην.. Σν εκβαδόλ ελόο ηξηγώλνπ δίλεηαη θαη από ηνλ ηύπν Δ=η.ξ, όπνπ ξ ε αθηίλα ηνπ εγγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ θαη η ε εκηπεξίκεηξνο ηνπ ηξηγώλνπ. 3. Σν εκβαδόλ Δ ελόο θπθιηθνύ ηνκέα κ ν θαη αθηίλαο R δίλεηαη από R ηελ ηζόηεηα Δ= 360 4. Σν εκβαδόλ ηξαπεδίνπ ηζνύηαη κε ην γηλόκελν ηνπ αζξνίζκαηνο ησλ βάζεσλ ηνπ επί ην ύςνο ηνπ. 5. ε θάζε ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη ε ζρέζε α =β +γ -βγζπλα. Μνλ.10
Θέκα ν Οη πιεπξέο ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ έρνπλ κήθε ΑΒ=9, ΒΓ=7 θαη ΑΓ=1. 1. Να απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν είλαη ακβιπγώλην. Μνλ.8. Να ππνινγίζεηε: α. Σελ πξνβνιή ηεο ΒΓ πάλσ ζηελ ΑΒ. Μνλ.9 β. Σελ πξνβνιή ηεο δηακέζνπ ΒΜ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ζηελ πιεπξά πνπ αληηζηνηρεί. Μνλ.8 Θέκα 3 ν ε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ΑΓ=6, ΑΒ=4 θαη ΑΜ= 10 όπνπ ΑΜ ε δηάκεζνο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ. 1. Να απνδείμεηε όηη ΒΓ=8. Μνλ.8. Να βξείηε : α. Σν εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ. Μνλ.8 β. Σν εκβαδόλ ηνπ εγγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ. Θέκα 4 ν Μνλ.9 Γύν θύθινη (Κ,) θαη (Λ,6) εθάπηνληαη εμσηεξηθά ζην ζεκείν Α θαη έζησ Β θαη Γ ηα ζεκεία επαθήο κηαο θνηλήο εμσηεξηθήο εθαπηνκέλεο κε ηνπο θύθινπο θέληξνπ Κ θαη Λ αληίζηνηρα. Α. Να απνδείμεηε όηη ΒΓ=4 3 Μνλ.7 Β. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξαπεδίνπ ΚΒΓΛ. Μνλ.6 Γ. Να δείμεηε όηη = 60 ν Μνλ.5 Γ. Να βξείηε ηελ πεξίκεηξν ηνπ κηθηόγξακκνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ. Μνλ.7 Ο δηεπζπληήο Οη εηζεγεηέο