Σχολή Περιβάλλοντος, Γεωγραφίας & Εφαρμοσμένων Οικονομικών Τμήμα Γεωγραφίας Εφαρμοσμένη ανάλυση Γεωγραφικών Δεδομένων με την αξιοποίηση ΣΓΠ Μοντέλα Παλινδρόμησης και GIS Εργασία του Παπαδόπουλου Αλέξανδρου Α.Μ. 216312 22/01/2017
Περιεχόμενα 1.Εισαγωγή... 3 2.Βιβλιογραφική Ανασκόπηση... 4 3.Δεδομένα... 9 4.Μεθοδολογία Αποτελέσματα... 10 5.Συμπεράσματα... 19 6.Βιβλιογραφία... 20
1.Εισαγωγή Σε αυτή την τεχνική έκθεση εφαρμόζεται η μέθοδος της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης. Στόχος της εργασίας είναι η εξοικείωση με το σκεπτικό και τις τεχνικές εφαρμογής μοντέλων παλινδρόμησης σε γεωγραφικά προβλήματα με τη χρήση των GIS. Τα θέματα που χρησιμοποιούνται και αναλύονται στην άσκηση είναι μεταξύ άλλων η τυχαία χωρική δειγματοληψία, ο υπολογισμός του συντελεστή συσχέτισης μεταξύ χωρικών μεταβλητών και η εφαρμογή πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης. Στην άσκηση αυτή γίνεται πρόβλεψη των τιμών μιας εξαρτημένης χωρικής μεταβλητής (συσσώρευση χιονιού) από τρείς ανεξάρτητες (υψόμετρο, ηλιακή έκθεση, γεωγραφικό πλάτος) με τη χρήση της μεθόδου πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης. Επισημαίνεται όμως ότι, ισχύουν οι στατιστικές προϋποθέσεις για τη διενέργεια γραμμικής παλινδρόμησης. Πέρα από το πρόγραμμα ArcGIS γίνεται μεγάλη χρήση και του υπολογιστικού φύλου excel. Η χρήση στατιστικών τύπων από το υπολογιστικό φύλλο γίνεται μετά από μελέτη και κατανόηση των πράξεων. Ο χρήστης πρέπει να είναι ικανός να κρίνει τα αποτελέσματα και όχι απλά να τα δέχεται.
2.Βιβλιογραφική Ανασκόπηση Με την ανάλυση παλινδρόμησης (regression analysis) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών με σκοπό την πρόβλεψη των τιμών της μιας, μέσω των τιμών της άλλης (ή των άλλων). Σε κάθε πρόβλημα παλινδρόμησης διακρίνουμε δύο είδη μεταβλητών: τις ανεξάρτητες ή ελεγχόμενες ή επεξηγηματικές (independent, predictor, casual, input, explanatory variables) και τις εξαρτημένες ή απόκρισης (dependent, response variables). Σε πειραματικές έρευνες, ανεξάρτητη μεταβλητή X είναι εκείνη την οποία μπορούμε να ελέγξουμε, δηλαδή, να καθορίσουμε τις τιμές της (π.χ. το ύψος της διαφημιστικής δαπάνης ενός προϊόντος, ο αριθμός των λειτουργούντων ταμείων σε ένα υποκατάστημα τραπέζης, η ποσότητα λιπάσματος, η θερμοκρασία επεξεργασίας ενός προϊόντος). Εξαρτημένη μεταβλητή Y είναι εκείνη στην οποία αντανακλάται το αποτέλεσμα των μεταβολών στις ανεξάρτητες μεταβλητές (π.χ. η ζήτηση ενός προϊόντος, ο χρόνος αναμονής των πελατών ενός υποκαταστήματος τραπέζης, η απόδοση μιας καλλιέργειας, η αντοχή ενός υλικού). Σε μη πειραματικές έρευνες (δειγματοληψίες) η διάκριση μεταξύ ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών δεν είναι πάντοτε σαφής γιατί καμία μεταβλητή δεν είναι ελεγχόμενη αλλά όλες είναι τυχαίες (Παπαδόπουλος, 2017). Ένα μοντέλο πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης γράφεται ως: Το υπολειμματικό λάθος (residual error) υπολογίζεται ως πραγματικής και αναμενόμενης τιμής. την διαφορά μεταξύ Η προβλεπόμενη τιμή υπολογίζεται ως όπου οι τιμές b προέρχονται από στατιστικούς υπολογισμούς λογισμικού και οι τιμές x προσδιορίζεται από τον χρήστη ( Pardoe, 2017). Η ανάλυση παλινδρόμησης επιτρέπει την μοντελοποίηση, την εξέταση και την διεύρυνση στις χωρικές σχέσεις, και μπορεί να βοηθήσει στην εξήγηση χωρικών φαινομένων που παρατηρούνται. Η ανάλυση παλινδρόμησης χρησιμοποιείται επίσης για την πρόβλεψη. H Γεωγραφικά Σταθμισμένη Παλινδρόμηση (Geographically Weighted Regression) είναι μία από τις πολλές τεχνικές χωρικής παλινδρόμησης, που χρησιμοποιείται όλο και περισσότερο στη γεωγραφία, αλλά και σε άλλους κλάδους. H Γεωγραφικά Σταθμισμένη Παλινδρόμηση παρέχει ένα τοπικό μοντέλο της μεταβλητής ή της διαδικασίας που πρέπει να κατανοηθεί / προβλευθεί με την τοποθέτηση μιας εξίσωσης παλινδρόμησης για κάθε χαρακτηριστικό στο σύνολο δεδομένων. Η γραμμική συσχέτιση είναι είτε θετική είτε αρνητική. Αν διαπιστωθεί ότι ο αριθμός των δράσεων διάσωσης αυξάνεται όταν αυξάνονται οι θερμοκρασίες της ημέρας, η σχέση λέγεται ότι είναι θετική. Αντιθέτως, αν διαπιστωθεί ότι ο αριθμός των εγκλημάτων μειώνεται όταν αυξάνονται οι περιπολίες της αστυνομίας, η συσχέτιση είναι αρνητική.
Υπάρχουν τρεις κύριοι λόγοι για να χρησιμοποιηθεί η ανάλυση παλινδρόμησης: 1) για να μοντελοποιηθούν κάποια φαινόμενα, προκειμένου να κατανοηθούν καλύτερα. 2) για να μοντελοποιηθούν κάποια φαινόμενα, προκειμένου να προβλεφθούν οι τις τιμές για το συγκεκριμένο φαινόμενο σε άλλα μέρη ή άλλες φορές. 3) για να επιβεβαιωθεί μία υπόθεση (Environmental Systems Research Institute, 2017) Συσχέτιση Pearson είναι μια γενική μέθοδος ανάλυσης χρήσιμη όταν μελετούν την πιθανή σύνδεση μεταξύ δύο συνεχή ή όχι μεταβλητών. Για δύο μεταβλητές ενδιαφέροντος, που συμβολίζεται ως Χ και Υ, και για διμεταβλητό δείγμα μεγέθους n: ορίζονται τα ακόλουθα στατιστικά στοιχεία: Ο συντελεστής συσχέτισης Pearson για τη μέτρηση της σύνδεσης μεταξύ των μεταβλητών Χ και Υ δίδεται από τον ακόλουθο τύπο:
Ο συντελεστής συσχέτισης Pearson μετρά το βαθμό της γραμμικής σχέσης μεταξύ Χ και Υ για τιμές -1 rp 1, έτσι ώστε το rp να είναι μια ποσότητα χωρίς μονάδες. Η τιμή 1 αντανακλά τέλεια θετική συσχέτιση και η τιμή - 1 αντανακλά τέλεια αρνητική συσχέτιση (King et. al., 2017). Trials Η συνάρτηση LINEST υπολογίζει τα στατιστικά στοιχεία για μια γραμμή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο "ελαχίστων τετραγώνων" για να υπολογίσει μια ευθεία γραμμή που ταιριάζει καλύτερα στα δεδομένα, και στη συνέχεια επιστρέφει έναν πίνακα που περιγράφει τη γραμμή. Η συνάρτηση για την γραμμή είναι: y = mx + b ή y = m1x1 + m2x2 +... + b Η σύνταξη για το υπολογιστικό φύλο του Excel είναι: LINEST(known_y's, [known_x's], [const], [stats]) known_y's Αναγκαία. Το σύνολο των γνωστών y στο y = mx + d. known_x's Μη αναγκαίο. Το σύνολο το x ίσως είναι γνωστά στο y = mx + b. const είναι ίση με το 0. stats Μη αναγκαίο. Μία λογική πρόταση (TRUE ή FALSE) που καθορίζει αν η σταθερά b Μη αναγκαίο. Μία λογική πρόταση (TRUE ή FALSE) που καθορίζει τον υπολογισμό ή όχι στατιστικών παλινδρόμησης. Στατιστικές se1,se2,...,sen seb r2 sey F df ssreg ssresid (Microsoft Corporation, 2017) Περιγραφή Σταθερές λάθους για τα m1,m2,...,mn. Η σταθερά λάθους για το b Ο συντελεστής προσδιορισμού r2 Η σταθερά λάθους για το y Χρησιμοποιείται για να χαρακτηριστεί αν η σχέση εξαρτημένων και μη μεταβλητών είναι τυχαία. Ο βαθμός ελευθερίας Το παλινδρομικό άθροισμα τετραγώνων Το υπολειπόμενο άθροισμα τετραγώνων
Η δειγματοληψία αφορά επιλογή ενός υποσυνόλου των ατόμων μέσα από ένα πληθυσμό για την εκτίμηση χαρακτηριστικών του συνόλου του πληθυσμού. Σε σύγκριση με τη πλήρη απαρίθμηση, μια διαδικασία δειγματοληψιών με στατιστική βάση έχει μεγάλα πλεονεκτήματα. Οδηγεί σε μείωση του κόστους, μεγαλύτερη ταχύτητα, μεγαλύτερη εμβέλεια και τα λάθη της ακρίβειας είναι αμελητέα σε σύγκριση με την πλήρη καταμέτρηση (Wang et. al., 2012). Το εργαλείο Sample (Spatial Analyst - ArcGIS) δημιουργεί έναν πίνακα που δείχνει τις τιμές των κελιών από ένα ψηφιδωτό, ή σύνολο ψηφιδωτών, αρχείων για καθορισμένες θέσεις. Τα σημεία ορίζονται από τα κελιά ψηφιδωτών αρχείων ή από ένα σύνολο σημείων. Τα ψηφιδωτά αρχεία εισόδου μπορεί να είναι δισδιάστατη ή πολυδιάστατο. Για κάθε θέση δείγματος, οι πληροφορίες σχετικά με τον αριθμό θέσης (η τιμή raster ή σημείο χαρακτηριστικό ID), η θέση στο χώρο του χάρτη (x, y συντεταγμένες), και οι τιμές των κελιών από κάθε ένα από τα ψηφιδωτά αρχεία εισόδου είναι γραμμένα στον πίνακα (ESRI product, 2017). Το εργαλείο IDW (3D Analyst Arcgis) παρεμβάλει μια ψηφιδωτή επιφάνεια από τα σημεία γνωστών τιμών χρησιμοποιώντας μια τεχνική αντίστροφής σταθμισμένης απόστασης. Αυτή η μέθοδος προϋποθέτει ότι η μεταβλητή που χαρτογραφείται μειώνεται σε συνάρτηση με την απόσταση από τη θέση του δείγματος (ESRI product, 2017). Έχει ενδιαφέρον να αναπτυχθεί ο τρόπος δημιουργίας του επιπέδου μέσης ηλιακής έκθεσης για κάθε κελί (pixel). Το περιβάλλον ArcGIS δεν περιλαμβάνει κάποιο υπολογισμό για την άμεση παραγωγή του επιζητούμενου επιπέδου, αυτό όμως είναι δυνατόν να επιτευχθεί από τον συνδυασμό πολλών επιπέδων σκίασης. Το επίπεδο σκίασης δημιουργείται με την χρήση του εργαλείου Hillshade (spatial analyst). Σημειώνεται ότι από προεπιλογή, για κάθε κελί η σκιά και το φως είναι σε αποχρώσεις του γκρι που σχετίζονται με ακέραιους αριθμούς 0-255 (αριθμητική αύξηση από μαύρο σε άσπρο).ο αλγόριθμος της σκίασης που χρησιμοποιεί το ArcGIS (ESRI product, 2017). Εικ.2.1 Αλγόριθμος σκίασης Ο ανωτέρω αλγόριθμος είναι εξέλιξη του αλγόριθμου που είχε αναπτυχθεί το 1991 από τον ΕΥΤΟΝ :
Εικ 2.2 Αλγόριθμος σκίασης αναγλύθου του ΕΥΤΟΝ (1991) (Χαλκιάς, 2014). Το αζιμούθιο του ήλιου και το ύψος του υπολογίζονται αυτόματα από το ArcGIS αν εισαχθεί η ώρα ενδιαφέροντος. Για τον υπολογισμό του μέσου όρου της τιμής σκίασης κάθε ψηφίδας, στην εργασία αυτή, χρησιμοποιήθηκε το εργαλείο Hillshade για τις ώρες 11:00, 12:00, 13:00 και 14:00. Έπειτα με το raster calculator (map algebra spatial analyst): Mean_hillshade = A/4 +B/4 + C/4 +D/4 Όπου του επίπεδα A,B,C,D αντιστοιχούν στα παραγόμενα επίπεδα από την εφαρμογή το Hillshade για τις ώρες 11:00, 12:00, 13:00 και 14:00. Ως τώρα έχει υπολογιστεί η σκίαση. Για την χρήση της σκίασης ως ηλιακή έκθεση απλώς θα οριστεί ότι η ηλιακή έκθεση συμβάλει αρνητικά.
3.Δεδομένα Ως δεδομένα δίνονται 3 αρχεία, ένα με το ψηφιακό μοντέλο εδάφους της περιοχής από όπου λαμβάνεται υπόψη η μεταβλητή του υψομέτρου, ένα με την μέση ηλιακή έκθεση για κάθε pixel και ένα αρχείο με 100 ομοιόμορφα κατανεμημένες στον χώρο δειγματοληψίες όπου μετρήθηκε το ύψος χιονιού. Ακόμη, για την μεταβλητή του γεωγραφικού πλάτους χρησιμοποιείται ένα αρχείο που δημιουργήθηκε σε περιβάλλον excel. Στο αρχείο που περιέχει τις πληροφορίες του ψηφιακού μοντέλου εδάφους είναι γνωστό το περιβάλλον εργασίας: ncols 66,αριθμός στηλών nrows 53,αριθμός σειρών xllcorner 464617,94339623, Χ συντεταγμένη της προέλευσης yllcorner 4217039,0844417, Y συντεταγμένη της προέλευσης cellsize 250, μέγεθος κελιού NODATA_value -9999, τιμή των κελιών που δεν έχουν δεδομένα Για το λόγο αυτό δημιουργείται excel με 66 στήλες για κάθε μία από αυτές, 53 σειρές που αριθμούνται από το 53 προς το 1. Το πίνακα αυτό το εξάγουμε σε μορφή.txt και στο ανώτερο μέρος του ορίζονται οι παράμετροι/περιβάλλον εργασίας όπως ήταν στο αρχείο του ψηφιακού μοντέλου εδάφους. Τέλος, σημειώνεται ότι ισχύουν οι στατιστικές προϋποθέσεις για τη διενέργεια γραμμικής παλινδρόμησης.
4.Μεθοδολογία Αποτελέσματα Οι τρεις μεταβλητές που θα χρησιμοποιηθούν είναι σε μορφή.txt και δεν έχουν χωρική απεικόνιση. Για να δημιουργηθεί η χωρική απεικόνιση γίνεται χρήση του ASCII to raster (Conversion tools - to raster) και για τις τρεις μεταβλητές (γεωγραφικό πλάτος, υψόμετρο και μέση ηλιακή έκθεση). Το αρχείο με τα μετρημένα ύψη χιονιού είναι σε μορφή.dbf. Πρόκειται για έναν πίνακα που έχει μία στήλη συντεταγμένων Χ, μία στήλη συντεταγμένων Υ και μία στήλη με τα μετρημένα ύψη χιονιού. Αφού εισαχθεί το αρχείο σε περιβάλλον GIS, με δεξί κλίκ στον πίνακα δίνεται η επιλογή display XY data. Επιλέγεται απεικόνιση των στοιχείων για τις συντεταγμένες ΧΥ και τιμή Ζ το μετρημένο ύψος χιονιού. Έπειτα, για την περιοχή μελέτης θα δημιουργηθεί ένα χωρικά τυχαίο δείγμα 100 σημείων και θα γίνει δειγματοληψία των ανεξάρτητων μεταβλητών για αυτό το δείγμα (Εικ 4.1, 4..2, 4.3). Για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιηθεί τόσο το λογισμικό ArcGIS. Αναζητείται η εντολή Create random Points (data management) για 100 σημεία και γίνεται προσδιορισμός των ορίων στα οποία θα περιορίζονται τα σημεία δειγματοληψίας. Επιλέγεται να οριστεί extent για το τυχαία σημεία, κατά 4 κελιά μικρότερο σε ύψος και σε πλάτος από ότι τα όρια του ψηφιακού μοντέλου εδάφους. Γνωρίζοντας ότι το κάθε κελί έχει μέγεθος 250, μειώνεται το ανώτερο και το δεξιό όριο κατά 500 και αυξάνεται το κατώτερο και αριστερό όριο κατά 500. Κατά αυτό τον τρόπο εξασφαλίζεται ότι κανένα από τα τυχαία σημεία δεν θα δεν θα είναι έξω από τα όρια του ψηφιακού μοντέλου εδάφους ή στα όριά του και ίσως σε κάποια από κελί μία από τις τρεις μεταβλητές να μην έχει τιμή.
Εικ. 4.1. Δείγματα στο ψηφιακό μοντέλο εδάφους.
Εικ. 4.2 Δείγματα μέσης ηλιοφάνειας.
Εικ. 4.3 Δείγματα γεωγραφικού πλάτους. Μετά τη δημιουργία του επιπέδου με τα 100 τυχαία δείγματα μπορεί να δημιουργηθεί ένας νέος πίνακας δειγματοληψίας από τα τρία επίπεδα μεταβλητών για τις αντίστοιχες συντεταγμένες. Με το εργαλείο Sample (Extraction Spatial analyst) θα επιλεχθούν για τις συντεταγμένες ΧΥ του επιπέδου random points να παρθούν δείγματα για τα επίπεδα γεωγραφικού πλάτους, υψομέτρου και ηλιακής έκθεσης. Αποτέλεσμα είναι ένας πίνακας 100 σειρών όπου κάθε σημείο περιλαμβάνει συντεταγμένες Χ,Υ και πληροφορίες για τις τρεις μεταβλητές. Στην συνέχεια για τον πίνακα είναι δυνατό τα γίνει εξαγωγή των αποτελεσμάτων σε υπολογιστικό φύλλο με το εργαλείο table to excel (conversion Excel). Με το λογισμικό EXCEL θα γίνει η αξιολόγηση του συντελεστή συσχέτισης. Από τα αποτελέσματα οι τρεις μεταβλητές μπορούν να χαρακτηριστούν ως ανεξάρτητες ή εξαρτημένες. Για τον έλεγχο ανεξαρτησίας επιλέγεται να γίνει χρήση της συνάρτησης PEARSON. Ανά δύο οι μεταβλητές (υψόμετρο, ηλιακή έκθεση και γεωγραφικό πλάτος) αναλύονται από τη συνάρτηση PEARSON. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης είναι: Ηλιακή έκθεση - Υψόμετρο -0.168810446 Γεωγραφικό πλάτος Υψόμετρο 0.200852353 Ηλιακή έκθεση Γεωγραφικό πλάτος -0.339191656
Παρατηρείται ότι για όλους του συνδυασμούς το αποτέλεσμα του PEARSON, κατά απόλυτη τιμή, είναι μικρότερο από 0.40 και για το λόγο αυτό οι μεταβλητές χαρακτηρίζονται ως ανεξάρτητες μεταξύ τους. Αν κάποιος από τους συνδυασμούς είχε αποτέλεσμα >= 0.40 τότε οι μεταβλητές θα ήταν εξαρτημένες. Θα χρειαζόταν οι δύο μεταβλητές που εξαρτώνται μεταξύ τους να συγκριθούν ως προς το βαθμό συσχέτισης με της μετρημένες τιμές του ύψους χιονιού. Για τα μετρημένα ύψη χιονιού θα λαμβανόταν δείγμα των εξαρτημένων, μεταξύ τους, μεταβλητών και θα γινόταν PEARSON μεταξύ μεταβλητών και ύψος χιονιού. Η μεταβλητή που θα είχε τη μικρότερη συσχέτιση με το ύψος χιονιού θα αφαιρούταν από τους ακόλουθους υπολογισμούς και δε θα λαμβανόταν υπόψη για την εργασία. Το επόμενο βήμα είναι οι μεταβλητές να λάβουν από έναν συντελεστή. Η διαδικασία που έγινε νωρίτερα για το random points θα γίνει και για το θεματικό επίπεδο που περιέχει σημεία για τα οποία υπάρχουν μετρήσεις της συσσώρευσης του χιονιού (πάχος σε m). Τελικό παραγόμενο του Sample (extraction spatial analyst) αυτού του βήματος είναι η δημιουργία ενός πίνακα με στήλες Ύψος Χιονιού, Υψόμετρο, Ηλιακή έκθεση, Γεωγραφικό πλάτος, και τόσες σειρές όσες και οι μετρήσεις του ύψους χιονιού. Τέλος, ο πίνακας που παρήχθηκε εξάγεται σε υπολογιστικό φύλλο (conversion Excel). Για τον υπολογισμό των παραμέτρων στην εξίσωση υπολογισμού της εξαρτημένης μεταβλητής (ύψος χιονιού) από τις ανεξάρτητες (υψόμετρο, ηλιακή έκθεση, γεωγραφικό πλάτος) χρησιμοποιείτε η στατιστική συνάρτηση LINEST (γραμμική παλινδρόμηση). x3 x2 x1 b 0.000846-0.00086-0.00162 0.160417 5.06E-05 0.000589 0.001156 0.091241 0.919912 0.063114 107.2049 28 1.281112 0.111535 Επομένως όπως φανερώνεται στην βιβλιογραφική ανασκόπηση η εξίσωση της ευθείας είναι: Y = -0.00162 * x1-0.00086 * x2 + 0.000846 * x3 + 0.160417 Χ1: γεωγραφικό πλάτος Χ2: ηλιακή έκθεση Χ3: υψόμετρο x3 x2 x1 b m3 m2 m1 b se3 se2 se1 seb Με βάση τις παραμέτρους που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο βήμα δημιουργείται το ψηφιδωτό θεματικό επίπεδο πρόβλεψης του ύψους χιονιού (Εικ. 4.4), εκτελώντας πράξεις (τοπική λειτουργία) μεταξύ ψηφιδωτών επιπέδων. r2 F ss reg se y d f ssresid
Εικ. 4.4 Εκτιμώμενο λυψος χιονιού και πραγματικές μετρήσεις. Στη συνέχεια επιζητείται να απεικονιστεί η απόκλιση (residual error) μεταξύ εκτιμώμενου ύψους χιονιού και μετρημένου ύψους χιονιού. Όπως και σε προηγούμενα βήματα γίνεται χρήση του εργαλείου Sample (Extraction Spatial analyst) από το επίπεδο εκτιμώμενου ύψους χιονιού για τα 31 σημεία που έχει μετρηθεί το ύψος χιονιού. Σε ένα πίνακα γίνεται ένωση (join) των μετρημένων και εκτιμώμενων υψών χιονιού για τα κοινά ΧΥ. Δημιουργείται νέα στήλη όπου υπολογίζεται η διαφορά μετρημένου με αναμενόμενου ύψους χιονιού μέσω του field calculator. Απεικόνιση της απόκλισης του μοντέλου από τα μετρημένα ύψη χιονιού υπάρχει στην ακόλουθη εικόνα. Για την εικόνα 4.5 τα κόκκινα σύμβολα δείχνουν ότι το μοντέλο υπερεκτίμησε το ύψος χιονιού και τα πράσινα σύμβολα δείχνουν ότι το μοντέλο έκανε υποτίμηση του ύψους χιονιού.
Εικ 4.5 Αποκλίσεις μοντέλου από πραγματικές τιμές. Για τον υπολογισμό των απόλυτων διαφορών του εκτιμώμενου με του πραγματικού ύψους χιονιού (εικ 4.6) χρησιμοποιείται η λειτουργία Αbs του field calculator. Με αυτές τις τιμές μπορεί να αναδειχθεί σε ποιες περιοχές η απόκλιση του μοντέλου είναι μεγαλύτερη. Επιπρόσθετα μπορεί να παραχθεί ένα επίπεδο απόκλισης μοντέλου, με τιμές για κάθε κελί ενός ψηφιδωτού αρχείου, με τη χρήση του εργαλείου IDW (interpolation spatial analyst). Στην εικόνα.. φαίνεται ότι το μοντέλο εκτίμησης ύψους χιονιού έχει μεγαλύτερη απόκλιση στα σημεία όπου το μετρημένο ύψος χιονιού έχει τις μικρότερες τιμές.
Εικ.4.6 Απόλυτες αποκλίσεις μοντέλου από πραγματικές τιμές.
Εικ.4.7 Αποκλίσεις μοντέλου από πραγματικές τιμές.
5.Συμπεράσματα Όπως φαίνεται από σύγκριση του χάρτη με το παραγόμενο ψηφιδωτό επίπεδο, και τη χαρτογραφική απεικόνιση των υπολοίπων μεταβλητών μπορούν εύκολα να παραχθούν κάποια συμπεράσματα. Παρατηρείται ότι το πάχος του χιονιού είναι μεγαλύτερο στις περιοχές με το μεγαλύτερο υψόμετρο αλλά και τη μεγαλύτερη σκίαση. Το γεωγραφικό πλάτος δε φαίνεται να επηρεάζει πολύ το πάχος του χιονιού αλλά πρέπει να επισημανθεί ότι το εύρος της περιοχής στον χάρτη είναι μικρό. Λόγω των μεγαλύτερων αποκλίσεων του μοντέλου στις περιοχές με το μικρότερο ύψος χιονιού, προτείνεται οι μεταβλητές να αλλάξουν ελαφρά. Προτείνεται μελέτη των συνθηκών χιονόπτωσης και των συνθηκών διατήρησης του χιονιού. Όταν οι συνθήκες κατανοηθούν καλύτερα θα μπορεί να γίνει χρήση της μεθόδου γεωγραφικά σταθμισμένης παλινδρόμησης, αντί της μεθόδου πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης που χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα εργασία.
6.Βιβλιογραφία Παπαδόπουλος, Γ., 2017. Σημειώσεις από το εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής. Τμημα επιστημης φυτικής παραγωγής. Γ εωπονικό πανεπιστήμιο Χαλκιάς, Χ., 2014. Ασκηση Παλινδρόμησης και GIS. Σημειώσεις εργαστηρίου Εφαρμοσμένη ανάλυση Γεωγραφικών Δεδομένων με την αξιοποίηση ΣΓΠ. Μοντέλα Χαροκόπειο Παναπιστήμιο. King, T., S., Lengerich, R., Bai, S., 2017. STAT 509 Design and Analysis of clinical trials. Lesson 18: Correlation and Agreement. 18.1 - Pearson Correlation Coefficient Pardoe, I., 2017. STAT 501, 5.3 - The Multiple Linear Regression Model. The Pennsylvania State University Wang, J.F., Stein, A., Gao, B.B., Ge, Y., 2012. Spatial Statistics. Volume 2 Ιστοσελίδες: Environmental Systems Research Institute http://www.esri.com/ (πρόσβαση στις 21/01/2017) ESRI product, ArcGIS https://www.arcgis.com/ (πρόσβαση στις 20/01/2017) Microsoft Corporation https://www.microsoft.com/ (πρόσβαση στις 21/01/2017)