GR. 06 79 - Athens - HELLAS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να προσδιορίσετε τους φυσικούς αριθμούς ν που είναι τέτοιοι ώστε ο αριθμός 42 2 ν + να είναι ακέραιος. 2. Θεωρούμε οξεία γωνία ΑΟΒ και την προέκταση ΟΓ της πλευράς ΟΑ. Στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ΑΓ και περιέχει το σημείο Β, φέρουμε ευθεία ΟΔ ΟΑ και ευθεία ΟΕ ΟΒ. Αν είναι ΓΟΕ = 4ΑΟΒ, να υπολογίσετε τη γωνία ΑΟΒ. α βγδ είναι πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε ( γ δ)( γ δ) 0. Αν,,, α + β α β α + β α β + = + γ + δ γ δ γ δ γ + δ να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους α, βγδ,, ισούται με 0. + και 4. Να αποδείξετε ότι κάθε εξαψήφιος φυσικός αριθμός της μορφής yzyz, όπου, y, z είναι ψηφία με 0 διαιρείται με τους αριθμούς 7, και.,
Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 92 90 4 2 Α= 2 5 7. Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο Α και. Δίνεται ο αριθμός ποιο είναι το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο του. 2. Να προσδιορίσετε τους φυσικούς αριθμούς,, y 6 = =. 4 z yz που είναι τέτοιοι ώστε:. Έστω Μ σημείο της βάσης ΒΓ ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ με ΑΒ=6. Αν είναι Κ Λ είναι η προβολή του ΚΛ στη ΒΓ, να υπο- ΜΚ ΑΒ, ΜΛ ΑΓ και λογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου ΚΚΛΛ. 4. Οι 5 μαθητές μιας τάξης έχουν συνολικά στις τσάντες τους 5 τετράδια. Αν κάθε μαθητής έχει ένα τουλάχιστον τετράδιο, να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον μαθητές έχουν τον ίδιο αριθμό τετραδίων.
Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, βγδε,,, με α < β < γ < δ < ε και η παράσταση (i) Να αποδείξετε ότι: β (ii) Αν είναι α δ γ + α δ ε + ε β α + ε β γ Κ= β α + β γ + δ γ + δ ε <Κ< δ. ( α β)( γ δ), ( α γ)( β δ), ( α δ)( β γ) = + + y = + + z = + +, να συγκρίνετε τους αριθμούς yz,,. 2. Στο εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ υπάρχει σημείο Μ τέτοιο ώστε ΜΒΓ = ΜΓΒ και πάνω στις ΜΒ και ΜΓ υπάρχουν σημεία Δ και Ε, αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΔ=ΑΕ και ΜΑΔ = ΜΑΕ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές... Αν είναι y>, 0 και + y 64, να αποδείξετε ότι: 2 + y < 52. 4 4. Έχουμε κέρματα και χαρτονομίσματα των, 0 και 00 ευρώ. Είναι δυνατόν με 000 α- κριβώς από αυτά να σχηματίσουμε το ποσό των 50000 ευρώ;
. Δίνεται ότι το πολυώνυμο ( ) Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ρ = + κ + λ με κ, λ έχει τις πραγματικές ρίζες,, και 2 που ανά δύο είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Να εκφράσετε την παράσταση συναρτήσει των κ, λ. ( 2 )( 2 )( 2 2 ) Γ= 2. Θεωρούμε τόξο ΑΒ = 90 και προεκτείνουμε τη χορδή ΑΒ κατά ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ=ΑΒ. Ονομάζουμε Δ το σημείο επαφής της εφαπτομένης του τόξου ΑΒ από το Γ και Κ το ίχνος της κάθετης από το Α προς τη ΒΔ. Να αποδείξετε ότι: ΚΒ= 2ΚΑ.. Αν α, β είναι θετικοί ακέραιοι, να αποδείξετε ότι: 4 4 α + β α + β α+ β α β α β. 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Από σημείο Μ της πλευράς ΒΓ φέρουμε παράλληλες προς τις ΑΓ και ΑΒ που τέμνουν τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Κ και Λ, αντίστοιχα. Αν είναι ΜΚ=, ΜΛ= y, να βρείτε το ελάχιστο της παράστασης 2 2 S = + y και τη θέση του σημείου Μ για την οποία λαμβάνεται αυτό.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ " Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Αν log50 2 =, log50 = y τότε να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης A= 50 y 2 y ( ) 2. Δίνεται ότι το πολυώνυμο ( ) Ρ = + κ + λ με κ, λ έχει τις πραγματικές ρίζες,, 2 και που ανά δύο είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Να εκφράσετε την παράσταση συναρτήσει των κλ,.. Να λύσετε στο την εξίσωση: ( 2 )( 2 )( 2 2 ) Γ= + + + 2 + =. 2 4. Αν Ι είναι το έγκεντρο τριγώνου ΑΒΓ με ΒΓ=2 και ΒΑΓ = 60, να αποδείξετε ότι: ΙΑ + ΙΒ + ΙΓ 2.