0 05 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ -ΚΕΦΑΛΑΙΑ:7 ο -8 ο -9 ο -0 ο _9005 ΘΕΜΑ Β (7 ο -9 ο ) Σε τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόµος της γωνίς Αˆ τέµνει την πλευρά ΒΓ σε σηµείο, τέτοιο ώστε Β 3 = Γ 3 ) Ν ποδείξετε ότι ΑΒ= ΑΓ (Μονάδες ) 5 β) Αν επιπλέον ισχύει ότι ΒΓ= ΑΓ ν εξετάσετε ν το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο. Ν δικιολογήσετε την πάντησή σς. (Μονάδες 3) ΑΠΑΝΤΗΣΗ (ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΤΣΙΤΙΜΑΚΗΣ ΓΑΜΒΡΙΝΟΣ) ) Από θεώρηµ εσωτερικής διχοτόµου στο ΑΒΓ έχουµε: οπότε ή ΑΒ= ΑΓ β) Από υπόθεση ΑΓ ή ΒΓ (). Από το πρώτο ερώτηµ ΑΒ= ΑΓ= οπότε ΑΒ= ΒΓ. () Από () έχω Από () έχω Προσθέτω άρ ορθογώνιο µε Â= 90 _908 ΘΕΜΑ Β (9 ο -0 ο ) ίνετι ισοσκελές τρπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) κι ΒΕ το ύψος του. Αν είνι ΑΒ=3, Γ =7 κι ΒΓ= τότε, ) ν ποδείξετε ότι ΒΕ = 3. (Μονάδες 3) β) ν υπολογίσετε το εµβδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες ) o
0 05 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΑΠΑΝΤΗΣΗ (ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΛΛΙΟΠΗ ΒΟΛΥΡΑΚΗ) ) Φέρνω κι το άλλο ύψος ΑΖ. Το τετράπλευρο ΑΒΕΖ είνι ορθογώνιο, άρ ΑΒ=ΕΖ=3. Τ τρίγων Α Ζ, ΒΓΕ είνι ίσ ( Α =ΒΓ, = Εφρµόζετι το Κριτήριο Υποτείνουσ Οξεί γωνί ) Άρ Ζ=ΕΓ= ( Γ-ΖΕ= Ζ+ΕΓ 7-3= Ζ+ Ζ = Ζ Ζ=) Εφρµόζω το Πυθγόρειο Θεώρηµ στο τρίγωνο ΒΓΕ: ΒΕ =ΒΓ ΕΓ = 6 = ΒΕ = = = ΒΕ = β) Στο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνω το ύψος ΓΗ. Όπου ΓΗ = ΒΕ = (ΑΒΓ) = ΑΒ ΓΗ = 3 =3 (ΑΒΓ) =3 _9038 ΘΕΜΑ Β (8 ο -0 ο ) Σε ηµικύκλιο διµέτρου ΑΒ κέντρου Ο θεωρούµε σηµείο του. Η χορδή Β τέµνει το ηµικύκλιο διµέτρου ΟΒ στο Γ. Ν ποδείξετε ότι: ) Τ τρίγων Α Β κι ΟΓΒ είνι όµοι. (Μονάδες ) β) (Α Β)= (ΟΓΒ) (Μονάδες 3) ΑΠΑΝΤΗΣΗ (ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΛΕΟΝΤΑΡΙ ΗΣ- ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΑΛΑΜΠΟΥΚΑΣ)
0 05 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ) Τ τρίγων Α Β, ΟΓΒ έχουν: Α Β = Ο Β = 90, ως εγγεγρµµένες γωνίες που βίνουν σε ηµικύκλι, φού ΑΒ κι ΟΒ διάµετροι. κοινή γωνί Άρ, Α Β ΟΓΒ ( 8., ο κριτήριο Οµοιότητς ή Πόρισµ (i) σελ. 7) β) Α Β ΟΓΒ µε λόγο οµοιότητς: λ = = = = = (Α Β) = (ΟΓΒ) ( 0.5 Θεώρηµ I, σελ. ) _8985 ΘΕΜΑ (8 ο -9 ο ) Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούµε δύο χορδές του ΑΒ κι Γ που τέµνοντι σε έν σηµείο Μ. ) Αν το σηµείο Α είνι το µέσο του τόξου Γ, ν ποδείξετε ότι: i. Ότν η χορδή ΑΒ είνι κάθετη στη χορδή Γ, τότε ΑΜ ΑΒ=ΑΓ ii. Ότν η χορδή ΑΒ δεν είνι κάθετη στη χορδή Γ, ισχύει η σχέση ΑΜ ΑΒ=ΑΓ ; Ν ιτιολογήσετε την πάντησή σς. (Μονάδες 9) β) Αν γι τις χορδές ΑΒ κι Γ που τέµνοντι σε σηµείο Μ ισχύει ότι ΑΜ ΑΒ=ΑΓ, ν ποδείξετε ότι το σηµείο Α είνι το µέσο του τόξου Γ. ΑΠΑΝΤΗΣΗ (ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΓΟΥΛΗΣ) ) i. Αφού οι χορδές ΑΒ, ΓΔ τέμνοντι στο Μ ισχύει: () Α μέσο του Γ άρ ΑΓ= Α κι δηλδή στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΓ η ΑΜ είνι ύψος άρ κι διάμεσος. 3
0 05 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. Άρ () ii. Oι εγγεγρµµένες γωνίες Βˆ κι ΑΓ ˆ βίνουν στ ίσ τόξ ΑΓ κι Α οπότε Β=ΑΓ Β=ΑΓΜ ˆ ˆ ˆ ˆ (). Έτσι τ τρίγων ΑΓΜ κι ΑΒΓ είνι όµοι γιτί έχουν κοινή, την γωνί A κι Β=ΑΓΜ ˆ ˆ () άρ θ ΑΜ ΑΓ έχουν τις ντίστοιχες πλευρές τους νάλογες δηλδή: = ΑΓ =ΑΜ ΑΒ ΑΓ ΑΒ Άρ η σχέση ΑΜ ΑΒ=ΑΓ ισχύει κι ότν οι χορδές ΑΒ κι Γ δεν είνι κάθετες. β) (3) Η γωνί κι είνι κοινή στ τρίγων ΓΑΜ κι ΓΑΒ κι περιεχόμενη στις νάλογες πλευρές της σχέσης (3) άρ τ τρίγων ΑΓΜ κι ΑΓΒ είνι όμοι. Οπότε κι οι υπόλοιπες γωνίες ίσες μί προς μί. Δηλδή Γ. κι είνι εγγεγρμμένες άρ βίνουν σε ίσ τόξ, άρ ΑΓ= Α δηλδή Α μέσο του _90 ΘΕΜΑ (9 ο -0 ο ) ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγρµµένο σε κύκλο (Ο,R) τέτοιο ώστε ν ισχύει. Αν η προέκτση της διµέσου του ΑΜ τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ρ, ν ποδείξετε ότι : 3 ) µ = 3 β) ΜΡ= 6 γ) (ΑΒΓ)=6 (ΜΡΓ) (Μονάδες 9) ΑΠΑΝΤΗΣΗ (ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΒΑΣΙΛΗΣ ΖΩΓΡΑΦΟΣ) ) Από πρώτο θεώρηµ διµέσων είνι β + γ µ = όµως = β + γ άρ 3 3 µ = = µ = β) Επειδή οι χορδές ΑΡ κι ΒΓ τέµνοντι στο Μ ισχύει ότι: 3 3 ΜΑ ΜΡ=ΜΒ ΜΓ ΜΡ= ΜΡ= 6 γ) ΑΜ διάµεσος στο τρίγωνο ΑΒΓ άρ τ εµβδά των τριγώνων ΑΒΜ κι ΑΜΓ είνι ίσ κι ίσ µε το µισό του εµβδού του τριγώνου ΑΒΓ (Τ τρίγων ΑΒΜ κι ΑΜΓ είνι ισοδύνµ φού έχουν ίσες τις πλευρές ΒΜ κι ΜΓ κι το ίδιο ύψος πό τη κορυφή Α). Ακόµη τ τρίγων ΜΡΓ κι ΑΒΜ είνι όµοι, φού ΓΡΜ = B ως εγγεγρµµένες στο ίδιο
0 05 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. τόξο ΑΓ κι ΑΜΒ = ΡΜΓ ως κτκορυφήν. Συνεπώς ο λόγος των εµβδών τους είνι ίσος µε το τετράγωνο του λόγου οµοιότητς άρ ( ΑΒΜ) ΒΜ ( ΑΒΜ) ( ΑΒΜ) 3 = = = ( ΜΡΓ ) ΜΡ ( ΜΡΓ) 3 ( ΜΡΓ) 3 ( ΑΒΓ) = 3 = 3 ΑΒΓ = 6 ΜΡΓ ( ΑΒΜ) ( ΜΡΓ) ( ΜΡΓ) ( ) ( ) _903 ΘΕΜΑ (7 ο -0 ο ) ίνοντι δύο κύκλοι (Ο, ) κι (Κ, β) µε >β, οι οποίοι εφάπτοντι εξωτερικά στο Μ. Φέρνουµε το κοινό εφπτόµενο τµήµ ΑΒ µε Α,Β σηµεί των κύκλων (Ο, ) κι (Κ, β) ντίστοιχ. Από το Μ Θεωρούµε την κάθετη στο ΑΒ, η οποί τέµνει τ ευθύγρµµ τµήµτ ΑΚ κι ΑΒ στ σηµεί Λ κι Ν ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι: β ) ΜΛ = +β β) ΛΝ = β +β γ) Αν Ε κι Ε είνι τ εµβδά των κύκλων (Ο, ) κι (Κ, β) ντίστοιχ, τότε ΑΠΑΝΤΗΣΗ (ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΟΦΙΑ ΜΠΙΚΟΠΟΥΛΟΥ) Ε = Ε ( ΑΛΝ) ( ΚΜΛ) (Μονάδες 9) ) Έχουµε ότι ΟΑ ΑΒ κι ΚΒ ΑΒ γιτί το ΑΒ είνι εφπτόµενο τµήµ στ σηµεί Α κι Β. Επίσης φού ΜΝ ΑΒ, έχουµε ότι ΟΑ//ΜΝ//ΚΒ κι πό Θεώρηµ του Θλή στο ΟΑΚ προκύπτει ότι ΚΜ ΜΛ β ΜΛ β = = ΜΛ= ΚΟ ΟΑ +β +β. β) Από Θεώρηµ του Θλή στο τρίγωνο ΟΑΚ προκύπτει ότι 5
0 05 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΚΜ ΚΛ β ΚΛ = = ΚΟ ΚΑ +β ΚΑ (). Από Θεώρηµ του Θλή στο τρίγωνο ΑΚΒ έχουµε ΑΛ ΛΝ ΑΛ ΛΝ ΑΚ ΚΛ ΛΝ ΚΛ ΛΝ = = = =. Όµως πό σχέση () προκύπτει ότι ΑΚ ΚΒ ΑΚ β ΑΚ β ΑΚ β β ΛΝ ΛΝ β = = ΛΝ= +β β +β β +β. γ) Τ τρίγων ΑΛΝ κι ΛΜΚ έχουν ΑΛΝ=ΜΛΚ ˆ ˆ ως κτκορυφήν, άρ κι τ ηµίτον των γωνιών υτών είνι ίσ, κι έτσι ( ΑΛΝ ) ΑΛ ΛΝ ΑΛ ΟΜ = = = = ΜΛΚ ΛΜ ΛΚ ΛΚ ΜΚ β (). Άρ ( ) ( ΑΛΝ) ( ) Ε πρ ρ = = = = που προέκυψε πό τη σχέση (). Ε πρ ρ β ΜΛΚ 6