Συλλογή και Παρουσίαση Δεδομένων

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Συλλογή και Παρουσίαση Δεδομένων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος

2 Στατιστικοί Πίνακες Τρόποι Συλλογής Δεδομένων Απογραφή Δειγματοληψία Παρουσίαση Στατιστικών Δεδομένων Πίνακες Διαγράμματα Αναφορές Ορισμοί Παρουσίαση δεδομένων Πίνακες συχνοτήτων

3 Τρόποι Συλλογής Δεδομένων Οι μέθοδοι συλλογής δεδομένων ποικίλουν και κυρίως εξαρτώνται από τον χρόνο συλλογής και από το αν επιλέγεται όλος ο μελετώμενος πληθυσμός ή μόνο ένα δείγμα του. Τρεις είναι οι κύριες μέθοδοι συλλογής: Απογραφή Δειγματοληψία Συνεχής καταγραφή

4 Απογραφή Απογραφή (census) καλείται η διαδικασία με την οποία συλλέγονται οι παρατηρήσεις όλων των μονάδων ενός πληθυσμού σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Είναι δυνατόν να έχουμε τις: Δημογραφικές απογραφές στις οποίες συλλέγονται στοιχεία σχετικά με το φύλο, την ηλικία, το επάγγελμα, κ.τ.λ. Οικονομικές απογραφές στις οποίες συγκεντρώνονται στοιχεία σχετικά με την οικονομική κατάσταση. Βιομηχανικές απογραφές, στις οποίες συλλέγουμε πληροφορίες σχετικά με την οικονομική δραστηριότητα των βιομηχανιών, τον αριθμό των απασχολούμενων, το επίπεδο μηχανοργάνωσης, κ.τ.λ..

5 Απογραφή Πλεονεκτήματα Πληρότητα Ακρίβεια Χρήση των αποτελεσμάτων από άλλες έρευνες Μειονεκτήματα Χρονοβόρα Το μεγάλο κόστος, καθώς χρειάζεται ειδική προεργασία και μεγάλο αριθμό απογραφέων. Την μη ύπαρξη πολλών εξειδικευμένων ατόμων, που έχει ως συνέπεια την συγκέντρωση εσφαλμένων στοιχείων τα οποία μπορεί να δώσουν λανθασμένη εικόνα της σύνθεσης του πληθυσμού. Την μη επίκαιρη έκδοση των αποτελεσμάτων, λόγω του μεγάλου όγκου των πληροφοριών.

6 Δειγματοληψία Επειδή πολλές φορές είναι δύσκολο ακόμη και αδύνατο να συλλέξουμε δεδομένα από όλον τον πληθυσμό που μας ενδιαφέρει σε μια χρονική στιγμή, περιοριζόμαστε να συλλέξουμε δεδομένα από ένα μικρό μέρος του πληθυσμού το οποίο ονομάζεται δείγμα. Επομένως Δειγματοληψία καλείται η απογραφή ορισμένων συγκεκριμένων χαρακτηριστικών ενός τμήματος του πληθυσμού. Μεγάλη προσοχή πρέπει να δείξουμε στην επιλογή του δείγματος Η σωστή επιλογή μεγέθους δείγματος εξαρτάται από την ακρίβεια σφάλματος δ που επιθυμούμε. Όσο μικρότερο το δ, τόσο μεγαλύτερο το μέγεθος δείγματος που πρέπει να πάρουμε. Φροντίζουμε να έχουμε ικανοποιητικό δείγμα ώστε να εξαγάγουμε σωστά συμπεράσματα, αλλά όχι και πολύ μεγάλο δείγμα για να μην έχουμε μεγάλο κόστος.

7 Μέθοδοι Δειγματοληψίας Υπάρχουν διάφοροι μέθοδοι συλλογής δείγματος, ώστε να έχουμε όσο γίνεται πιο πλήρη και ακριβή εικόνα της πραγματικότητας, με τα λιγότερα λάθη. Θα αναφέρουμε με συντομία τις κυριότερες μεθόδους επιλογής δείγματος: Απλή τυχαία: Κάθε στοιχείο του πληθυσμού έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί στο δείγμα. Η επιλογή γίνεται χρησιμοποιώντας τυχαίους αριθμούς. Κατά στρώματα: Χρησιμοποιείται για ανομοιογενή πληθυσμό, ο οποίος είναι χωρισμένος σε διαφορετικά στρώματα. Επιλέγονται στοιχεία με απλή τυχαία δειγματοληψία από κάθε στρώμα. Κατά ομάδες: Χρησιμοποιείται για πληθυσμό, ο οποίος είναι χωρισμένος σε παρόμοιες ομάδες. Επιλέγουμε για δείγμα μία ή περισσότερες ομάδες.

8 Μέθοδοι Δειγματοληψίας Επιφανειακή: Χρησιμοποιείται για πληθυσμό, ο οποίος είναι χωρισμένος σε γεωγραφικές επιφάνειες. Επιλέγονται στοιχεία από περιοχές ή από οικοδομικά τετράγωνα. Ποσοστών: Χρησιμοποιείται για πληθυσμό, για τον οποίο διαθέτουμε λεπτομερή στοιχεία ως προς κάποια χαρακτηριστικά του. Το δείγμα επιλέγεται με αναλογία ποσοστών ώστε να υπάρχουν σ αυτό όλα τα χαρακτηριστικά με την ίδια αναλογία που υπάρχουν και στον πληθυσμό. Συστηματική: Χρησιμοποιείται όταν ο πληθυσμός, είναι αριθμημένος. Επιλέγεται ένα στοιχείο στην τύχη και μετά τα υπόλοιπα στοιχεία του δείγματος με συστηματική σειρά. Π.χ. το 3ο, το 23ο, το 43ο κλπ Κατευθυνόμενη: Βασίζεται σε υποκειμενικά κριτήρια του ερευνητή, ο οποίος πρέπει να διαθέτει αντίστοιχη εμπειρία και καλή γνώση του πληθυσμού.

9 Δειγματοληψία Πλεονεκτήματα Μεγαλύτερη ταχύτητα πληροφοριών. Μεγαλύτερη ακρίβεια. Μεγαλύτερη ευχέρεια εφαρμογής. Χαμηλό κόστος. Επίκαιρα Αποτελέσματα Ολοκληρωτική δύναμη εφαρμογής της γενικής απογραφής.

10 Δειγματοληψία Μειονεκτήματα Αν οι μονάδες του πληθυσμού που εξετάζουμε εμφανίζονται σποραδικά, πρέπει να μελετήσουμε ένα σημαντικά μεγάλο δείγμα. Ο σχεδιασμός και η εκτέλεση της Δειγματοληψίας απαιτούν μεγάλη προσοχή και είναι επιτακτική η αυστηρή και πιστή εφαρμογή του θεωρητικής διαδικασίας που επιβάλλεται για την επιλογή του δείγματος και η στατιστική ανάλυση των αποτελεσμάτων. Η κακή σχεδίαση και εκτέλεση της Δειγματοληψίας. Η μη αντιπροσωπευτικότητα του δείγματος. Η μη κατάλληλη μέθοδος διεξαγωγής Δειγματοληψίας. Τα ανεπαρκή δεδομένα. Τα Δειγματοληπτικά Σφάλματα.

11 Συνεχής Καταγραφή Συλλέγουμε δεδομένα από όλον τον πληθυσμό αλλά όλα τα δεδομένα δεν συλλέγονται την ίδια χρονική στιγμή. Κάθε φορά που συμβαίνει μια αλλαγή καταγράφεται ο χρόνος και το είδος της αλλαγής. (π.χ. δημοτολόγια, λογιστήρια) Πλεονεκτήματα Πληρότητα Ακρίβεια Πληροφορίες για όλη την διάρκεια του χρόνου Μειονεκτήματα Μεγάλο Κόστος Πολλά εξειδικευμένα άτομα Απαιτείται οργάνωση και αρχειοθέτηση για μεγάλη χρονική διάρκεια

12 Παρουσίαση Στατιστικών Δεδομένων Τα στατιστικά δεδομένα πρέπει να παρουσιάζονται με τρόπο απλό και σαφή, έτσι ώστε να είναι εύκολη η κατανόησή τους από τον κάθε ενδιαφερόμενο. Η παρουσίαση μπορεί να γίνει υπό μορφή: Πινάκων που διακρίνονται στις εξής κατηγορίες: Στατιστικοί Πίνακες Πίνακες Κατανομής Συχνοτήτων Γραφικών Παραστάσεων Εκθέσεων ή Αναφορών

13 Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Για την παρουσίαση Στατιστικών Δεδομένων χρησιμοποιούμε τους πίνακες και τα γραφήματα

14 Πίνακες Ένας Πίνακας έχει στόχο να παρουσιάσει στατιστικά δεδομένα με τρόπο κατανοητό στους πιθανούς αναγνώστες. Σε κάθε πίνακα, που έχει συνταχθεί σωστά, εκτός από το κύριο σώμα, που περιέχει διαχωρισμένα μέσα στις γραμμές και στήλες τα στατιστικά δεδομένα, παρατηρούνται και τα εξής ειδικότερα στοιχεία Ο Τίτλος του, που φέρεται σαφής και συνοπτικός στο πάνω μέρος του πίνακα. Το Κύριο σώμα του πίνακα, που περιλαμβάνει τις επικεφαλίδες γραμμών και στηλών καθώς και τις μονάδες μέτρησης των δεδομένων που παρουσιάζουν. Το τέλος της κάθε γραμμής ή στήλης συνήθως γράφουμε το άθροισμα των δεδομένων αντίστοιχα. Οι Επεξηγήσεις εφόσον απαιτούνται Η Πηγή προέλευσης των δεδομένων που παρουσιάζονται στον πίνακα. Τοποθετείται στο κάτω μέρος προκειμένου ο πίνακας να είναι αξιόπιστος.

15 Πίνακες Τίτλος Κυρίως σώμα πίνακα με ονομασίες στηλών, σύνολα Πηγή

16 Πίνακες Πλεονεκτήματα Πληρότητα Ακρίβεια Μειονεκτήματα Δεν ελκύει το ενδιαφέρον Δυσκολία συγκρίσεων

17 Πίνακες Με τους πίνακες παρουσιάζουμε τα δεδομένα σε μορφή γραμμών και στηλών, όπου αναφέρουμε τις τιμές της μεταβλητής και τις συχνότητες (ή τα ποσοστά) εμφάνισής τους. Οι πίνακες μπορεί να είναι απλής εισόδου (μία μεταβλητή), διπλής εισόδου, (δύο μεταβλητές), πολλαπλοί πίνακες (πολλές μεταβλητές) Οι πίνακες απλής εισόδου χρησιμοποιούνται όταν οι μονάδες του εξεταζόμενου πληθυσμού ερευνώνται ως προς ένα ποιοτικό ή ποσοτικό χαρακτηριστικό. Ενώ οι πίνακες διπλής εισόδου όταν οι μονάδες του εξεταζόμενου πληθυσμού μελετώνται ταυτοχρόνως ως προς δυο ποιοτικά ή ποσοτικά χαρακτηριστικά. Πίνακες κατανομής συχνοτήτων Οι πίνακες αυτοί συντάσσονται με κατάλληλη κατάταξη και συστηματική ομαδοποίηση των τιμών της μεταβλητής που εξετάζεται. Ο τρόπος κατασκευής τους εξαρτάται από το είδος των χαρακτηριστικών.

18 Πίνακας Συχνοτήτων Πίνακας συχνοτήτων (ποιοτικά) ή κατανομή συχνοτήτων (ποσοτικά): Καταχωρούμε ή κατατάσσουμε τα δεδομένα σε πίνακα Συχνότητα: Το πλήθος των στοιχείων κάθε κατηγορίας Απόλυτη συχνότητα, που συμβολίζεται με f, και δείχνει το πλήθος σε απόλυτο αριθμό Σχετική συχνότητα, που συμβολίζεται με fi/n και δείχνει την ποσοστιαία αναλογία της κατηγορίας στο σύνολο των κατηγοριών.

19 Πίνακας Συχνοτήτων Ομαδοποίηση: η ταξινόμηση των δεδομένων σε κάποιες κλάσεις ή ομάδες. Γενικά, ο αριθμός των κλάσεων που θα πρέπει να γίνουν για την ομαδοποίηση μιας σειράς δεδομένων καθορίζεται αφενός από το συνολικό αριθμό των δεδομένων, αφετέρου όμως, και κυρίως, από την εμπειρία του ερευνητή και από το τι ακριβώς θέλει να δείξει ο ερευνητής.

20 Πίνακας Συχνοτήτων Τα δεδομένα μας, όσα και αν είναι, έχουν μια ελάχιστη τιμή και μια μέγιστη τιμή. Η διαφορά μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής καλείται εύρος Κλάσεις εισοδήματος 7.200 10.450 10.450 13.700 13.700 16.950 16.950 20.200 20.200 23.450 23.450 26.700 R= 26.700 7.200 =19.500

21 Πίνακας Συχνοτήτων Για να χωρίσουμε το εύρος των δεδομένων σε k κλάσεις : διαιρούμε το εύρος των δεδομένων R με το k παίρνουμε έναν αριθμό τον οποίο στρογγυλοποιούμε, έτσι ώστε τελικά να προκύψει ένας εύχρηστος αριθμός που θα αποτελέσει το εύρος της κάθε κλάσης. Προσοχή: η στρογγυλοποίηση πρέπει να γίνεται πάντα προς τα πάνω, αλλιώς υπάρχει ο κίνδυνος να χάσουμε ακραίες παρατηρήσεις.

22 Πίνακας Συχνοτήτων Παράδειγμα: Εάν θέλουμε να χωρίσουμε τα δεδομένα σε 6 κλάσεις, τότε έχουμε: R k = 19.500 / 6 = 3.250 Οπότε η κλάσεις διαμορφώνονται ως εξής : Κλάσεις εισοδήματος 7.200 10.450 10.450 13.700 13.700 16.950 16.950 20.200 20.200 23.450 23.450 26.700.

23 Πίνακας Συχνοτήτων Παράδειγμα2: Έχουμε την Βαθμολογία των Φοιτητών στο μάθημα της Στατιστικής. Το εύρος είναι 10 επιλέγω 3 κλάσεις επειδή 0-4 Ανεπαρκώς, 5-7 Καλώς, 8-10 Άριστα. Τάξη (Κλάση) Κεντρική Τιμή Συχνότητα 0-4 2 20 5-7 6 11 8-10 9 25 Σύνολο 56

24 Πίνακας Συχνοτήτων Το γράφημα για ομαδοποιημένα -ταξινομημένα δεδομένα λέγεται ιστόγραμμα συχνοτήτων. Οι ράβδοι στην περίπτωσή μας λέγονται ιστοί είναι στην ουσία κάποια ορθογώνια με βάση ίση με το εύρος της κλάσης και ύψος ίσο με τη συχνότητα της κάθε κλάσης. Στο ιστόγραμμα οι ιστοί εκπροσωπούν ομάδες αριθμών που βρίσκονται σε ορισμένη σειρά και για το λόγο αυτό ενώνονται μεταξύ τους.

25 Πίνακας Συχνοτήτων Όπως αναφέρθηκε ο Πίνακας συχνοτήτων για ποιοτικές ή ποσοτικές ασυνεχείς μεταβλητές παρουσιάζει τον αριθμό των δεδομένων(συχνότητα) που αντιστοιχούν σε κάθε κατηγορία ή σε κάθε τιμή της μεταβλητής Παράδειγμα 3: Κατανομή δείγματος n=25 επιχειρήσεων ως προς το εργατικό δυναμικό X 10 Xi fi fi % 20 3 12 25 6 24 fi 5 30 10 40 40 4 16 50 2 8 0 20 25 30 40 50 Αριθμός απασχολουμένων Σύνολο 25 100

26 Πίνακας Συχνοτήτων Παράδειγμα 4 : Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε «ποιο είδος βιβλίων προτιμάτε να διαβάζετε στον ελεύθερο χρόνο σας;» Λογοτεχνικά (Λ) Αστυνομικά (Α) Επιστημονικά / Ιστορικά (Ε) Κανένα ή άλλο (Κ) Δεν μας ενδιαφέρει η απάντηση του κάθε ατόμου ξεχωριστά, αλλά πόσα άτομα βρίσκονται σε καθεμία από τις 4 κατηγορίες. Έστω ότι βρήκαμε τις συχνότητες 8 Λ 11 Α 4 Ε 2 Κ

27 Πίνακας Συχνοτήτων Κατασκευάζουμε τον Πίνακα με τις συχνότητες και τις σχετικές συχνότητες Είδος βιβλίων Απόλυτες Συχνότητες Σετικές Συχνότητες Ποσοστά Χ i F i F i /n F i *100/n Λογοτεχνικά 8 0,32 32 Αστυνομικά 11 0,44 44 Επιστημονικά 4 0,16 16 Κανένα 2 0,08 8 Σύνολο 25 1 10 Κάποιοι βασικοί κανόνες κατάρτισης στατιστικών πινάκων Να είναι ξεκάθαρο τι περιέχει κάθε γραμμή στήλη Για δεδομένα μιας μεταβλητής, οι γραμμές συνήθως παριστάνουν τις τιμές (κατηγορίες) της μεταβλητής που εξετάζουμε Να αποφεύγονται, κατά το δυνατόν, κενά πεδία Να αποφεύγονται τα πολλά δεκαδικά ψηφία

28 Πίνακας Συχνοτήτων Κάποιοι βασικοί κανόνες κατάρτισης στατιστικών πινάκων Σε περίπτωση παρουσίασης πολλών πινάκων, να υπάρχει σαφής αρίθμηση Στο τέλος του πίνακα αναφέρουμε την πηγή των στατιστικών στοιχείων Υποσημειώσεις χρησιμοποιούνται όταν είναι απαραίτητη κάποια επεξήγηση για τα στοιχεία του πίνακα ή για τον τρόπο της έρευνας Π.χ. μονάδες μέτρησης, o Τρόπος δειγματοληψίας Περιοχές Άνδρες Γυναίκες Άνδρες (%) Γυναίκες (%) Αστικές 1437800 723700 60,27 56,3 Ημιαστικές 275500 132200 11,55 10,28 Αγροτικές 672200 429600 28,18 33,42 Σύνολο 2385500 1285500 100 100

29 Πίνακας Συχνοτήτων Στον πίνακα συχνοτήτων για ποσοτικές συνεχείς μεταβλητές Τα δεδομένα ομαδοποιούνται σε κ τάξεις ή κλάσεις. Η εμπειρική κατανομή (πίνακας) συχνοτήτων παρουσιάζει τον αριθμό των δεδομένων που αντιστοιχούν σε κάθε κλάση. Το πλάτος των κλάσεων είναι δ = R/k όπου R εύρος μεταβολής των δεδομένων του δείγματος (διαφορά μεγαλύτερης και μικρότερης τιμής)

αριθμός ατόμων 30 Πίνακας Συχνοτήτων Ιστόγραμμα κατανομή ύψους 10.000 ανθρώπων κλάσεις ύψους

31 Πίνακας Συχνοτήτων Ιστόγραμμα Κάποιες φορές τα δεδομένα δίνουν στο ιστόγραμμα συγκεκριμένες μορφές, οι κυριότερες από τις οποίες είναι οι εξής: Ομοιόμορφο: Εάν σε όλες τις κλάσεις μπαίνει περίπου ίδιος αριθμός δεδομένων τότε το ιστόγραμμα είναι επίπεδο και ομοιόμορφο. Λοξό αριστερά: Εάν οι περισσότερες παρατηρήσεις συγκεντρώνονται στη δεξιά πλευρά του ιστογράμματος και προς τα αριστερά έχουμε όλο και λιγότερες παρατηρήσεις, με άλλα λόγια εάν δημιουργείται μια ουρά προς τα αριστερά, τότε το ιστόγραμμα εμφανίζει αριστερή λοξότητα. Σημειώνεται ότι εναλλακτικά χρησιμοποιείται ο όρος αρνητική ασυμμετρία.

αριθμός σπουδαστών 32 Πίνακας Συχνοτήτων Ιστόγραμμα βαθμολογία 750 σπουδαστών βαθμός

33 Πίνακας Συχνοτήτων Ιστόγραμμα Λοξό δεξιά: Εάν οι περισσότερες παρατηρήσεις συγκεντρώνονται στην αριστερή πλευρά του ιστογράμματος και προς τα δεξιά έχουμε όλο και λιγότερες παρατηρήσεις, με άλλα λόγια εάν δημιουργείται μια ουρά προς τα δεξιά, τότε το ιστόγραμμα εμφανίζει δεξιά λοξότητα. Σημειώνεται ότι εναλλακτικά χρησιμοποιείται ο όρος θετική ασυμμετρία.

αριθμός ατόμων 34 Πίνακας Συχνοτήτων Ιστόγραμμα Κατανομή μηνιαίου εισοδήματος 950 ατόμων 500-1000 1000-1500 1500-2000 2000-2500 2500-3000 3000-3500 3500-4000 4000-4500 4500-5000 μηνιαίο εισόδημα

αριθμός ατόμων 35 Πίνακας Συχνοτήτων Ιστόγραμμα Καμπάνα: Εάν ένα ιστόγραμμα έχει όλο και περισσότερες παρατηρήσεις καθώς πλησιάζουμε στο κέντρο του από οποιαδήποτε πλευρά και στα δύο άκρα σχηματίζει ουρές τότε έχει σχήμα καμπάνας. Συμμετρικό: Εάν σε ένα ιστόγραμμα φέρουμε μια κάθετη γραμμή στη μέση και η εικόνα αριστερά είναι περίπου ή ακριβώς καθρέφτης της εικόνας δεξιά τότε το ιστόγραμμα είναι συμμετρικό. Γενικός τύπος Γενικός τύπος Γενικός τύπος Γενικός τύπος Γενικός τύπος Γενικός τύπος Γενικός τύπος Γενικός τύπος Γενικός τύπος Γενικός τύπος Γενικός τύπος κατανομή ύψους 10.000 ανθρώπων κλάσεις ύψους

36 Διαγράμματα Τα βασικά μέρη ενός γραφήματος είναι: Ο Τίτλος του, που φέρεται σαφής και συνοπτικός στο πάνω μέρος του γραφήματος. Αν υπάρξουν άξονες δε θα πρέπει να ξεχαστεί η ονομασία τους, καθώς και οι μονάδες μέτρησης. Οι Επεξηγήσεις εφόσον απαιτούνται. Η Πηγή προέλευσης των δεδομένων που παρουσιάζονται στο γράφημα. Τοποθετείται στο κάτω μέρος προκειμένου το γράφημα να είναι αξιόπιστο.

37 Διαγράμματα Τίτλος Ονομασίες Αξόνων

38 Δθαγράμματα

39 Διαγράμματα Παρουσιάζουν τα στοιχείαμε εικόνεςώστεναελκύουντο ενδιαφέρον. Πλεονεκτήματα Ελκυστικά Εύκολα στις Συγκρίσεις Μειονεκτήματα Όχι ακρίβεια στοιχείων Δυσκολία Δημιουργίας

40 Διαγράμματα Είδη Διαγραμμάτων Ραβδόγραμμα Κυκλικό διάγραμμα Ιστόγραμμα Χρονοδιάγραμμα Χαρτόγραμμα Ειδικό διάγραμμα

41 Ποιοτικά Δεδομένα ή Διακριτά Ποσοτικά Συνήθως μια πρώτη παρουσίαση των χαρακτηριστικών αυτών γίνεται με πίνακες, που απεικονίζουν τις διάφορες κατηγορίες της μεταβλητής και τις αντίστοιχες συχνότητες εμφάνισης των ατόμων σ' αυτές. Οι πίνακες μπορεί να είναι απλής εισόδου όπως ο πίνακας 1 ή διπλής εισόδου όταν μελετάμε συγχρόνως δύο χαρακτηριστικά (χρόνος επιβίωσης - είδος φαρμάκου) στο ίδιο δείγμα ατόμων, όπως ο πίνακας 2. Μόρφωση Συχνότητα (n i ) Σχετ. συχνότητα f i (%) Μεταπτ.τίτλος 19 9.5 Πτυχίο ΑΕΙ 85 42.5 Μέση 80 40.0 εκπαίδευση Κατώτερη 16 8.0 Σύνολο (n) 200 100.0 Πίνακας 1. Μορφωτικό επίπεδο 200 εργαζομένων σε έρευνα που έγινε σε μια συγκεκριμένη εταιρεία. Μεταπτ. ΑΕΙ Μέση Κατώτ. Σύνολο Χαμηλόμισθοι 14 28 40 24 106 Υψηλόμισθοι 18 32 26 18 94 Σύνολο 32 60 66 42 200 Πίνακας 2. Μορφωτικό επίπεδο 200 εργαζομένων σε έρευνα που έγινε σε μια συγκεκριμένη εταιρεία, σε σχέση με το μισθό.

42 Ποιοτικά Δεδομένα ή Διακριτά Ποσοτικά Η γραφική αναπαράσταση των ποιοτικών δεδομένων μπορεί να γίνει με: Ραβδογράμματα (Bar Charts) Στον άξονα x τοποθετούνται οι τιμές της μεταβλητής στη σειρά (αν είναι διατάξιμη - ordinal) ή σε τυχαία σειρά (αν είναι ονομαστική - nominal). Στον άξονα y, τοποθετούνται οι συχνότητες εμφάνισης των τιμών και στη συνέχεια κατασκευάζονται τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Οι βάσεις των ορθογωνίων πρέπει να είναι ίσες μεταξύ τους, ώστε να μπορεί να γίνει σύγκριση ανάμεσα στις διάφορες συχνότητες. Έτσι για τον πίνακα 1, το απλό ραβδόγραμμα έχει τη μορφή ενώ για τον πίνακα 2, παρουσιάζουμε έχουμε ένα σύνθετο ραβδόγραμμα 100 80 60 40 20 0 Μεταπτυχ. Πτυχίο Μέση Κατώτερη 50 40 30 20 10 0 Χαμηλόμισθοι Υψηλόμισθοι Μεταπτυχ. Πτυχίο Μέση Κατώτερη

43 Ποιοτικά Δεδομένα ή Διακριτά Ποσοτικά Η γραφική αναπαράσταση των ποιοτικών δεδομένων μπορεί να γίνει με: Κυκλικά Διαγράμματα ή Πίτες Για την κατασκευή κυκλικών διαγραμμάτων πρέπει να υπολογίσουμε το ποσοστό (%) των ατόμων, που ανήκουν στην κάθε κατηγορία και στη συνέχεια να υπολογίσουμε την αντίστοιχη γωνία του κυκλικού τομέα που θα καταλαμβάνει, σαν ποσοστό επι των 360 ο. Τα διαγράμματα αυτά μπορούν να αναπαραστήσουν πίνακες μόνον απλής εισόδου και δεν εφαρμόζονται για συγκρίσεις, όπως τα ραβδογράμματα. Σαν παράδειγμα ας θεωρήσουμε τον παρακάτω πίνακα: Πίνακας 4. Σύνθεση του πληθυσμού μιας Αμερικανικής πόλης ανάλογα με τη φυλή που ανήκουν. Συχνότητα Σχετική συχνότητα (σε χιλιάδες) Λευκοί 3150 56.65% Αφρικανοί 1010 18.16% Ισπανόφωνοι 1080 19.42% Αλλοι 320 5.75% Συνολο 5560 100% Ισπανόφω νο 19% Νέγροι 18% Αλλοι 6% Λευκοί 57%

44 Ασκήσεις Άσκηση 1 η Ρωτήσαμε κάποιους ανθρώπους πόσα παιδιά έχουν και πήραμε τις ακόλουθες απαντήσεις. 2,8,0,2,3,1,4,0,2,1,4,6,3,2,1,3,2,4,1,1,2,0,2 Δημιουργείστε τον πίνακα συχνοτήτων. Άσκηση 2 η Οι βαθμοί στο μάθημα Στατιστικής ήταν: 3, 4, 3, 2, 6, 5, 7, 4, 5, 6, 8, 4, 3, 5, 6, 1, 2, 9, 6, 7, 3,2, 1, 5, 6, 5, 3, 7, 8, 10, 1, 7, 6, 5, 3, 2, 5, 3, 6, 5 Δημιουργείστε τον πίνακα συχνοτήτων. Πόσοι φοιτητές πέρασαν και πόσοι κόπηκαν; Τι ποσοστό φοιτητών πέρασε το μάθημα;

45 Ασκήσεις Άσκηση 3 η Μετρήσαμε τα μόρια υποψηφίων για την κάλυψη δύο θέσεων και καταγράψαμε: 30 45 56 38 75 63 47 23 49 53 71 38 59 61 52 43 33 28 84 68 37 42 55 44 39 72 68 44 63 50 Ποια ήταν η μεγαλύτερη τιμή μορίων και ποια η ελάχιστη; Πάνω από πόσα μόρια ο υποψήφιος θα θεωρηθεί επιτυχών; Το 10% των καλύτερων υποψηφίων πάνω από πόσα μόρια είχε; Το 10% των χειρότερων υποψηφίων κάτω από πόσα μόρια είχε; Ποιο πλήθος μορίων διαχωρίζει τους υποψηφίους στη μέση;