Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας για την Γ Λυκείου. Αν έχετε κάνει σωστά τους υπολογισμούς σας, μεταφοράς ενός

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας για την Γ Λυκείου. Αν έχετε κάνει σωστά τους υπολογισμούς σας, μεταφοράς ενός"

Εύανδρος Αθανασίου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Τουρναβίτης Στέργιος Σκοπός της εργασίας αυτής, είναι να παρουσιάσει κάποιες ασκήσεις που λύνονται με την βοήθεια στατιστικών πινάκων,

Ο τρόπος Αν έχετε κάνει σωστά τους υπολογισμούς σας, μεταφοράς ενός με τη βοήθεια (του «εξορισμένου» από τις δείγματος φοιτητών γεωμετρικές κατασκευές μοιρογνωμονίου), το σ ένα Πανεπιστήμιο, βρέθηκε

να βοηθήσετε την ομάδα σύνταξης των φοιτητών, να παρουσιάσει τα δεδομένα αυτά του διπλανού πίνακα, σ ένα κυκλικό διάγραμμα με σκοπό να τα εκθέσει στο μηνιαίο περιοδικό του Πανεπιστημίου; Το σύνολο

1 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Τουρναβίτης Στέργιος Σκοπός της εργασίας αυτής, είναι να παρουσιάσει κάποιες ασκήσεις που λύνονται με την βοήθεια στατιστικών πινάκων, διαγραμμάτων και να βοηθήσει ταυτόχρονα στην περαιτέρω κατανόηση κάποιων στατιστικών όρων (συχνότητα, σχετική συχνότητα κ.λ.π.) που εμπλέκονται στη λύση αυτών των ασκήσεων. 1. Ο τρόπος Αν έχετε κάνει σωστά τους υπολογισμούς σας, μεταφοράς ενός με τη βοήθεια (του «εξορισμένου» από τις δείγματος φοιτητών γεωμετρικές κατασκευές μοιρογνωμονίου), το σ ένα Πανεπιστήμιο, βρέθηκε ότι ήταν: διάγραμμά σας θα πρέπει να μοιάζει με αυτό της παρακάτω εικόνας: Συχνότητα Mεταφορικό μέσο (x ) (ν ) Περπάτημα 12 Ποδήλατο 8 Λεωφορείο ή τρόλεϊ 26 Τρένο 33 Αυτοκίνητο 11 Σύνολο --- Μπορείτε να βοηθήσετε την ομάδα σύνταξης των φοιτητών, να παρουσιάσει τα δεδομένα αυτά του διπλανού πίνακα, σ ένα κυκλικό διάγραμμα με σκοπό να τα εκθέσει στο μηνιαίο περιοδικό του Πανεπιστημίου; Το σύνολο των φοιτητών είναι: Αν, 1,..., οι γωνίες του κυκλικού διαγράμματος που θα φτιάξουμε τότε: f360, 1,...,,όπου f, 1,..., η σχετική συχνότητα κάθε μεταφορικού μέσου. f, 1,...,. Άρα: Με την ίδια διαδικασία μπορείτε να υπολογίσετε και τις υπόλοιπες γωνίες ώστε να συμπληρώσετε στη συνέχεια την τρίτη στήλη του πίνακα. x ν ω (σε μοίρες) Περπάτημα Ποδήλατο 8 Λεωφορείο 26 Τρένο 33 Αυτοκίνητο 11 Σύνολο Ο παρακάτω (ελλιπής) πίνακας συχνοτήτων και το αντίστοιχο κυκλικό διάγραμμα, αναφέρονται στις προτιμήσεις ενός δείγματος ν μαθητών από διάφορα Λύκεια της Ελλάδας όσον αφορά το αγαπημένο τους άθλημα. x ν ω (σε μοίρες) Χάντμπολ 0 Μπάσκετ 80 Κολύμπι 60 Βόλεϊ 220 Ποδόσφαιρο Σύνολο α) Πόσοι μαθητές πήραν μέρος στην δειγματοληψία; β) Πόσοι από αυτούς είναι φίλοι του ποδοσφαίρου; γ) Μπορείτε να συμπληρώσετε τα κενά της στήλης των συχνοτήτων και για τα άλλα αθλήματα;

Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας για την Γ Λυκείου α) Για να βρούμε το σύνολο των μαθητών του δείγματος, ξεκινάμε από την γραμμή του πίνακα συχνοτήτων που είναι συμπληρωμένη.

2 Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας για την Γ Λυκείου α) Για να βρούμε το σύνολο των μαθητών του δείγματος, ξεκινάμε από την γραμμή του πίνακα συχνοτήτων που είναι συμπληρωμένη. Αυτή δεν είναι άλλη από την προτίμηση στο βόλεϊ. Έχουμε όπως και προηγουμένως: f Άρα: β, γ) Για τους φίλους του ποδοσφαίρου, δεν γνωρίζουμε ούτε πόσοι είναι (ν ), αλλά ούτε και την γωνία (ω ) που αντιστοιχεί στο «κομμάτι της πίτας τους». Μπορούμε ωστόσο να την βρούμε, αν από το 360 (το σύνολο των μοιρών του κύκλου) αφαιρέσουμε το άθροισμα όλων των γωνιών από τα υπόλοιπα αθλήματα που δίνονται. Έχουμε: 360 ( ) 11 Έχοντας ξετυλίξει αρκετά το κουβάρι της λύσης, μπορούμε να υπολογίσουμε όχι μόνο τους «λάτρεις» του ποδοσφαίρου, αλλά και αυτούς που συμπαθούν και τα υπόλοιπα αθλήματα από τον τύπο: 360, 1,..., π.χ Έτσι αν ολοκληρώσετε σωστά τους υπολογισμούς σας, ο πίνακάς σας θα πρέπει να μοιάζει με τον παρακάτω: x ν ω (σε μοίρες) Χάντμπολ Μπάσκετ Κολύμπι Βόλεϊ 220 Ποδόσφαιρο Σύνολο Στις προηγούμενες ασκήσεις, μπορείτε να προσθέσετε μία επιπλέον στήλη. Τη στήλη των σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό f% Κρίμα που οι μεταβλητές είναι ποιοτικές και δεν μπορούμε να προσθέσουμε και 4 η στήλη, την στήλη των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων επί τοις εκατό F %, αλλά ούτε καν τη στήλη των αθροιστικών συχνοτήτων. Οι αθροιστικές συχνότητες έχουν νόημα, μόνο για ποσοτικές μεταβλητές Ως γνωστόν ισχύει: v f % f , 1, 2,3, 4, 12 π.χ. f 1% , Την τελευταία σχετική συχνότητα επειδή κάνoυμε προσέγγιση στους υπολογισμούς μας θα την βρούμε αν αφαιρέσουμε από το 100 το σύνολο των υπολοίπων. Στην άσκηση 1: x ν (σε μοίρες) f % Περπάτημα ,33 Ποδήλατο ,89 Λεωφορείο ,89 Τρένο ,67 Αυτοκίνητο ,22 Στην άσκηση 2: Ας δούμε τώρα τι γίνεται και με τις ποσοτικές διακριτές μεταβλητές, όπως τη ρίψη ενός ζαριού, όπου μπορούμε να ασχοληθούμε και με δύο ακόμη συχνότητες (απόλυτες και σχετικές) αλλά αθροιστικές ω Σύνολο x ν (σε μοίρες) f % Χάντμπολ ,89 Μπάσκετ ,22 Κολύμπι ,67 Βόλεϊ 220 1,28 Ποδόσφαιρο ,94 Σύνολο ω

3 . Ο παρακάτω ελλιπής πίνακας, είναι το αποτέλεσμα (άγνωστου αριθμού, ν) ρίψεων ενός ζαριού σ ένα επιτραπέζιο παιχνίδι (φιδάκι). x ν N f F f % F % , , ,22 Σύνολο Α) Μπορείτε να συμπληρώσετε τα άδεια κελιά του παραπάνω πίνακα; Β) Από τον πίνακα αυτόν, να εκτιμήσετε το ποσοστό των ρίψεων που είναι: ) μικρότερο του 3, ) ή 6, ) τουλάχιστον 2, αλλά το πολύ. Γ) Στη συνέχεια να κατασκευάσετε το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων f %. Α) Αρχίζουμε από, ν 1 = Ν 1 = 8, F 2% = F = 0, = 40. Όμοια, F 3% = F = = 2. Στη συνέχεια μπορούμε να εκμεταλλευτούμε τις δύο συνεχόμενες τιμές F 2 και F 3 (στη στήλη των αθροιστικών συχνοτήτων που δίνονται) και από το γνωστό «τριγωνάκι» να υπολογίσουμε την άγνωστη συχνότητα f 3. 0,4 f 3 0,2 Έχουμε: 0,4+ f 3 = 0,2 f 3 = 0,2 0,40 = 0,12. Ο υπολογισμός αυτής της σχετικής συχνότητας f 3, σε συνδυασμό με την ν 3 = 6, θα μας επιτρέψει να βρούμε το μέγεθος ν του δείγματος. Χρησιμοποιώντας έτσι τον ορισμό της υπολογισθείσας σχετικής συχνότητας f 3, έχουμε: f 3 = ν 3 ν = = 0. Αυτό με την σειρά του ν θα «ξεκλειδώσει» μια σειρά από άγνωστες συχνότητες, όπως την f 1 = ν 1 f ν 1 = = 0, 16. Χρησιμοποιώντας ορισμούς και τεχνικές όπως περιγράφηκαν παραπάνω, ο πίνακάς μας θα μοιάζει όπως ο παρακάτω: Με έντονο μωβ χρώμα, έχουμε σημειώσει τα κελιά του πίνακα που έχουμε υπολογίσει. x ν N f F f % F % ,16 0, ,24 0, ,12 0, ,18 0, ,22 Σύνολο Στο σημείο αυτό είναι σκόπιμο να αναφέρουμε την «τεχνική» υπολογισμού της άγνωστης συχνότητας ν, που βρίσκεται σε μία γραμμή που όλα της τα κουτάκια είναι άγνωστα, αξιοποιώντας ξανά το σύνολο ν των ρίψεων που υπολογίσαμε προηγουμένως. ν 1 + ν 2 + ν 3 + ν 4 + ν + ν 6 = ν ν = 0 - = 4. Η συνέχεια δεν θα μας δυσκολέψει αφού γίνεται με παρόμοιες διαδικασίες. Ο ολοκληρωμένος x ν N f F f % F % ,16 0, ,24 0, ,12 0, ,18 0, ,08 0, , Σύνολο πίνακας θα πρέπει να μοιάζει με τον παρακάτω: Β) ) Παρατηρούμε ότι οι φορές που ήρθε το ζάρι 1 ή 2 είναι 8+12 = 20 και το αντίστοιχο ποσοστό είναι: 20 = 40%. Αυτό μπορούμε να το 0 βρούμε και κατευθείαν από την F 2% = 40. ) Το ποσοστό των ρίψεων που είναι ή 6, βρίσκεται αν υπολογίσουμε το άθροισμα, f % + f 6% = = 30. ) Παρόμοια βρίσκουμε το ποσοστό των ρίψεων που είναι από 2 μέχρι και. Επιχειρώντας μία διαφορετική προσέγγιση από τις προηγούμενες, μπορούμε να πούμε ότι αυτό το ποσοστό μπορεί να υπολογισθεί και από τον τύπο: F % - F 1% = = 62.

Γ) Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας για την Γ Λυκείου Α) To πλάτος c κάθε κλάσης το βρίσκουμε αν διαιρέσουμε το εύρος R (Range) της διαφοράς της μικρότερης από την μεγαλύτερη τιμή,

Αρχίζοντας από την κ μικρότερη παρατηρούμενη καθυστέρηση 2 και προσθέτοντας κάθε φορά το 2, δημιουργούμε τις κλάσεις.

4 Γ) Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας για την Γ Λυκείου Α) To πλάτος c κάθε κλάσης το βρίσκουμε αν διαιρέσουμε το εύρος R (Range) της διαφοράς της μικρότερης από την μεγαλύτερη τιμή, δια του πλήθους κ των κλάσεων. Στην άσκηση μας είναι R = 11 2 και κ =. Έτσι, c = R = 1, 8 2. Αρχίζοντας από την κ μικρότερη παρατηρούμενη καθυστέρηση 2 και προσθέτοντας κάθε φορά το 2, δημιουργούμε τις κλάσεις. Αν υπολογίσουμε κατά τα γνωστά και τα υπόλοιπα στοιχεία, καταλήγουμε στον παρακάτω πίνακα: x ν N f F f% F% x ν Αυτά με τις κατανομές, ποιοτικές και ποσοτικές που το χαρακτηριστικό, οι τιμές x της μεταβλητής είναι μικρό. Τι γίνεται όμως σε μία έρευνα, όταν έχουμε ποσοτική διακριτή και πολύ περισσότερο συνεχή μεταβλητή και το πλήθος των τιμών της είναι αρκετά μεγάλο; Σε τέτοιου είδους περιπτώσεις, είναι απαραίτητο να κάνουμε μία ομαδοποίηση των παρατηρήσεων προκειμένου να κατασκευάσουμε τα διαγράμματά μας, αλλά και να εξάγουμε γενικά τα συμπεράσματά μας. 6. Οι χρόνοι (σε λεπτά) που παρατηρήθηκαν σε δρομολόγια τρένων, δίνονται από τον διπλανό πίνακα Α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε κλάσεις ίσου πλάτους και να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής ν, N, f, F, f %, F %. Β) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο, Β1) συχνοτήτων, Β2) σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. Γ) Να βρείτε το μέσο χρόνο καθυστερήσεων των δρομολογίων. Δ) Ποιο είναι το ποσοστό των δρομολογίων που είχαν καθυστέρηση τουλάχιστον 7 λεπτά; [2,4) ,12 0, [4,6) 6 9 0,24 0, [6,8) ,32 0, [8,10) ,2 0, [10,12) , Σύνολο Οι κεντρικές τιμές είναι οι Μέσοι Όροι κάθε κλάσης. Β1 & Β2) Για το πολύγωνο συχνοτήτων θεωρούμε στην αρχή και στο τέλος δύο υποθετικές κλάσεις μηδενικής συχνότητας και στη συνέχεια ενώνουμε με ευθύγραμμα τμήματα τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων. Για να κατασκευάσουμε το ιστόγραμμα των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, ενώνουμε αυτή τη φορά τα δεξιά άκρα (και όχι τα μέσα) των άνω βάσεων των ορθογωνίων.

5 Γ) Ο Μέσος χρόνος των καθυστερήσεων είναι ουσιαστικά η Μέση Τιμή της ομαδοποιημένης κατανομής. Στον υπολογισμό της θα μας βοηθήσει η στήλη των κεντρικών τιμών κάθε κλάσης που αντιπροσωπεύουν κάθε παρατήρηση της κλάσης τους. Σύμφωνα με τον τύπο, x ν 173, έχουμε: =1 x= x = = 6,92. Δ) Παρατηρούμε (από τον αρχικό πίνακα) ότι υπάρχουν 4 δρομολόγια τραίνων που καθυστέρησαν ακριβώς 7 λεπτά και + 3 δρομολόγια (από τον πίνακα συχνοτήτων ν ) με καθυστέρηση από 8 λεπτά και πάνω. Το αντίστοιχο ποσοστό θα είναι: 4++3 = 0, 48.

Σχετικά έγγραφα

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17 ΜΕΡΟΣ 1 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ 1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής στο τέλος του β τετραµήνου. Πήραµε τις ακόλουθες βαθµολογίες: 15,