ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ"

Ἐλιακείμ Ευταξίας
9 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil kastoria.teikoz.gr/elearn 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ 2 1

auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil kastoria.teikoz.

2 Περιγραφή στατιστικών δεδομένων Κοιτάζοντας μία λίστα δεδομένων είναι δύσκολο να σχηματίσουμε μια πρώτη εντύπωση για τα χαρακτηριστικά των δεδομένων που μας ενδιαφέρουν. Οι στατιστικοί πίνακες και οι γραφικές παραστάσεις αποτελούν χρήσιμα μέσα για να παρουσιάσουμε τα δεδομένα καθαρά, σύντομα και με σαφήνεια. 3 A/A Χαρακτηριστικά 20 μαθητών Γ Τάξης Λυκείου. ΦΥΛΟ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗ AΡΙΘΜΟΣ AΔΕΛΦΩΝ ΒAΘΜΟΣ ΜAΘ/KΩΝ ΥΨΟΣ 1 K A ΒAΡΟΣ 3 K = Υπολογιστές 4 K = Αθλητισμός 5 K = Διασκέδαση 6 K = Μουσική 7 K = Τηλεόραση 8 A = Διάβασμα 9 A = Άλλο 10 K K A K A A K A A Α A

ΦΥΛΟ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗ AΡΙΘΜΟΣ AΔΕΛΦΩΝ ΒAΘΜΟΣ ΜAΘ/KΩΝ ΥΨΟΣ 1 K 4 1 15 170 60 2 A 1 0 17 180 68 ΒAΡΟΣ 3 K 4 2 12 178 62 1= Υπολογιστές 4 K 5 1 18 165 47 2= Αθλητισμός 5 K 5 0 15 170 54 3= Διασκέδαση 6 K 4 3

3 1) Περιγραφή Ποιοτικών Δεδομένων Πίνακας ς συχνοτήτων Ραβδόγραμμα, Κυκλικό διάγραμμα 5 Πίνακας συχνοτήτων Μεταβλητή Χ v i f i f i % Κατηγορία 1 v 1 f 1 f 1 % Κατηγορία 2 v 2 f 2 f 2 % Κατηγορία k v k f k f k % Σύνολα v Συχνότητα: Συχνότητα μίας κατηγορίας της μεταβλητής Χ λέγεται ο φυσικός αριθμός v i ο οποίος φανερώνει πόσες φορές παρουσιάζεται στο δείγμα η συγκεκριμένη κατηγορία. Σχετική Συχνότητα: Σχετική συχνότητα μίας κατηγορίας της μεταβλητής Χ λέγεται το πηλίκο της διαίρεσης της συχνότητας προς το πλήθος των vi παρατηρήσεων, δηλαδή: f i = v Σχετική Συχνότητα επί τοις εκατό : f i % = 100f i 6 3

i ο οποίος φανερώνει πόσες φορές παρουσιάζεται στο δείγμα η συγκεκριμένη κατηγορία.

4 Παρατηρήσεις: 1) Το άθροισμα των συχνοτήτων κάθε κατηγορίας δίνει το συνολικό πλήθος παρατηρήσεων k i = 1 v i = v 1 + v 2 + L + v k = v 2) Το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων κάθε κατηγορίας ισούται με τη μονάδα και 0 fi 1. 3) Το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων % κάθε κατηγορίας ισούται 100 και 0 fi% Παράδειγμα: Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων για τη μεταβλητή Απασχόληση Μαθητών Απασχόληση Κωδικός v i f i f i % Υπολογιστές 1 Αθλητισμός 2 Διασκέδαση 3 Μουσική 4 Τηλεόραση 5 Διάβασμα 6 Άλλο 7 ΣΥΝΟΛΑ 8 4

3) Το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων % κάθε κατηγορίας ισούται 100 και 0 fi% 100.

5 Απασχόληση Κωδικός v i Υπολογιστές 1 3 Αθλητισμός 2 4 Διασκέδαση 3 1 Μουσική 4 5 Τηλεόραση 5 3 Δάβ Διάβασμα 6 2 Άλλο 7 2 ΣΥΝΟΛΑ 20 f i f i % v 3 = = v 20 1 f1 = 4 f 2 = = 20 1 f 3 = = 20 0,20 0,05 0,15 Όμοια υπολογίζουμε και τα υπόλοιπα f i 9 Πίνακας συχνοτήτων της μεταβλητής Απασχόληση Μαθητών Απασχόληση Κωδικός v i f i f i % Υπολογιστές ,15 15 Αθλητισμός 2 4 0,20 20 Διασκέδαση 3 1 0,05 5 Μουσική 4 5 0,25 25 Τηλεόραση 5 3 0,15 15 Διάβασμα 6 2 0,10 10 Άλλο 7 2 0,10 10 ΣΥΝΟΛΑ 20 1,

Πίνακας συχνοτήτων της μεταβλητής Απασχόληση Μαθητών Απασχόληση Κωδικός v i f i f i % Υπολογιστές 1 3 015 0,15 15 Αθλητισμός 2

6 ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ Ραβδόγραμμα Συχνοτήτων Μεταβλητής Απασχόληση Μαθητών Συχνότητες Υπολογιστές Αθλητισμός ιασκέδαση Μουσική Τηλεόραση ιάβασμα Άλλο Απασχόληση 11 Ραβδόγραμμα Συχνοτήτων Μεταβλητής Απασχόληση Μαθητών Άλλο ιάβασμα Απασχόληση Τηλεόραση Μουσική ιασκέδαση Αθλητισμός Υπολογιστές Συχνότητες 12 6

Απασχόληση 11 Ραβδόγραμμα Συχνοτήτων Μεταβλητής Απασχόληση Μαθητών Άλλο ιάβασμα

7 Ραβδόγραμμα Σχετικών % Συχνοτήτων της Μεταβλητής Απασχόληση Μαθητών Σχετικές % Συχνότητες Υπολογιστές Αθλητισμός ιασκέδαση Μουσική Τηλεόραση ιάβασμα Άλλο Απασχόληση 13 ΚΥΚΛΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Κυκλικό ιάγραμμα Συχνοτήτων Μεταβλητής Απασχόληση Μαθητών ιάβασμα Άλλο α 1 o Υπολογιστές α io = 360 o f i Π.χ. α 1o = 360 o f 1 = 360 o 0,15=54 ο Τηλεόραση Αθλητισμός ιασκέδαση Μουσική 14 7

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Κυκλικό ιάγραμμα Συχνοτήτων Μεταβλητής Απασχόληση Μαθητών ιάβασμα Άλλο α 1 o Υπολογιστές

8 Ταυτόχρονη παρουσίαση δύο ποιοτικών μεταβλητών Γίνεται με τη βοήθεια ενός πίνακα διπλής εισόδου Παράδειγμα: Φύλο - Απασχόληση 15 Υπολογιστές Αθλητισμός ιασκέδαση Μουσική Τηλεόραση ιάβασμα Άλλο Αό Αγόρι Κορίτσι Συχνότητα Κελιού 3 άτομα του δείγματος μας είναι αγόρια και έχουν ως απασχόληση τους υπολογιστές 16 8

Μουσική Τηλεόραση ιάβασμα Άλλο Αό Αγόρι 3 3 0 1 1 1 1 Κορίτσι 0 1 1 4 2 1 1

9 Γραφική Παρουσίαση Ομαδοποιημένο Ραβδόγραμμα Απασχόληση Μαθητών ανά Φύλο 4 Συχνότητες 3 2 ΑΓΟΡΙΑ ΚΟΡΙΤΣΙΑ 1 0 Υπολογιστές Αθλητισμός ιασκέδαση Μουσική Τηλεόραση ιάβασμα Άλλο 17 Συσσωρευμένο Ραβδόγραμμα Αγόρι Κορίτσι Υπ ολογιστές Αθλητισμός ιασκέδαση Μουσική Τηλεόραση ιάβασμα Άλλο 18 9

Μουσική Τηλεόραση ιάβασμα Άλλο 17 Συσσωρευμένο Ραβδόγραμμα 6 5 4 3 Αγόρι

10 2) Περιγραφή Διακριτών Ποσοτικών Δεδομένων Για να περιγράψουμε διακριτά ποσοτικά δεδομένα με λίγες τιμές ( σε περίπτωση πολλών τιμών τα θεωρούμε ως συνεχή) κάνουμε: Πίνακας συχνοτήτων Ραβδόγραμμα, Κυκλικό διάγραμμα 19 Παράδειγμα: Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων και τα κατάλληλα γραφήματα για τη μεταβλητή Αριθμός Αδελφών Αριθμός Αδελφών

διάγραμμα 19 Παράδειγμα: Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων και τα κατάλληλα γραφήματα για τη μεταβλητή

11 Σχετική Αθροιστική Συχνότητα επί τοις εκατό : F % = 100 i F i Πίνακας Συχνοτήτων Μεταβλητής Αριθμός Αδελφών Αριθμός Αδελφών xi v i f i f i % 0 8 0,200 20, ,550 55, ,175 17, ,075 7,5 40 1, N i F i F i % Αθροιστική Συχνότητα Νi: Ονομάζεται το άθροισμα των συχνοτήτων των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες με την τιμή αυτή, δηλαδή: Ni = v1 + v2 + L+ vi = Ni 1 + vi Αθροιστική σχετική συχνότητα F i :Ονομάζεται το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες από αυτή, δηλαδή: Fi = f1 + f2 + L+ fi = Fi 1 + fi 21 Πίνακας Συχνοτήτων Μεταβλητής Αριθμός Αδελφών Αριθμός Αδελφών x i v i f i f i % 0 8 0,200 20, ,550 55,0, 2 7 0,175 17, ,075 7,5 40 1, N i F i F i % N1 1 = = v 8 = f 0, 200 N 2 2 = N1 + v = = 30 N 3 3 = N2 + v = = 37 N 4 4 = N3 + v = = 40 F1 1 = F 2 F 3 F4 3 4 = 2 = F1 + f = 0, ,550 = 0, = F2 + f = 0, ,175 = 0,925 = F + f = 0, ,075 1,

Αθροιστική σχετική συχνότητα F i :Ονομάζεται το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες από αυτή, δηλαδή: Fi = f1 + f2 + L+ fi = Fi 1 + fi 21 Πίνακας Συχνοτήτων

12 Πίνακας Συχνοτήτων Μεταβλητής Αριθμός Αδελφών Αριθμός Αδελφών x i v i f i f i % N i F i F i % 0 8 0,200 20,0 8 0,200 20, ,550 55,0, 30 0,750 75,0, 2 7 0,175 17,5 37 0,925 92, ,075 7,5 40 1, ,0 40 1, ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Ραβδόγραμμα Συχνοτήτων μεταβλητής Αριθμός Αδελφών Συχνότητες Αριθμός Αδελφών 24 12

0,925 92,5 3 3 0,075 7,5 40 1,000 100,0 40 1,00 100 23 ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Ραβδόγραμμα

13 Όμοια δημιουργούμε και τα ραβδογράμματα Σχετικών συχνοτήτων Αθροιστικών συχνοτήτων Σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων 25 ΚΥΚΛΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων

14 Άσκηση: Χρησιμοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων, που δίνει την κατανομή του αριθμού των απουσιών των σπουδαστών σε κάποιο εργαστήριο, να βρεθεί ο αριθμός και το ποσοστό των σπουδαστών που πήραν: α) ) τουλάχιστον μία απουσία β) πάνω από δύο απουσίες γ) το πολύ δύο απουσίες Αριθμός Συχνότητα απουσιών ) Περιγραφή συνεχών Ποσοτικών Δεδομένων Πίνακας συχνοτήτων Γραφήματα Ιστόγραμμα Πολύγωνο συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων Θηκόγραμμα Στατιστικά μέτρα 28 14

δύο απουσίες γ) το πολύ δύο απουσίες Αριθμός Συχνότητα απουσιών 0 30 1 15 2 9 3 6 27 3) Περιγραφή συνεχών Ποσοτικών

15 Πίνακας συχνοτήτων Στην περίπτωση των συνεχών μεταβλητών είναι δύσκολο να κατασκευαστούν οι πίνακες συχνοτήτων αλλά και τα διαγράμματα συχνοτήτων με τον τρόπο που είδαμε στην περίπτωση των διακριτών μεταβλητών. Για να κατασκευάσουμε τον πίνακα συχνοτήτων κάνουμε ομαδοποίηση παρατηρήσεων σε κλάσεις ίσου πλάτους (διαστήματα) ώστε κάθε τιμή να ανήκει σε μια και μόνο μια κλάση. Τις κλάσεις τις συμβολίζουμε με διαστήματα της μορφής [α,β), δηλ. κλειστό από αριστερά και ανοιχτό από δεξιά. Ταάκρατωνκλάσεωνταονομάζουμεόρια κλάσεων τα όρια. 29 Ομαδοποίηση Παρατηρήσεων Για να κάνουμε ομαδοποίηση παρατηρήσεων σε κλάσεις ίσου πλάτους ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα. 1. Βρίσκουμε το πλήθος των κλάσεων χρησιμοποιώντας τον τύπο κ =1+3,2logv 1+32logv ο οποίος όπως παρατηρούμε εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος (Ο αριθμός κλάσεων μπορεί να δίνεται στην εκφώνηση της άσκησης). 2. Από τα δεδομένα της άσκησης βρίσκουμε x max x min = = μεγαλύτερη τιμή, μικρότερη τιμή 3. Βρίσκουμε το εύρος των παρατηρήσεων R = x max x min 30 15

Τις κλάσεις τις συμβολίζουμε με διαστήματα της μορφής [α,β), δηλ. κλειστό από αριστερά και ανοιχτό από δεξιά. Ταάκρατωνκλάσεωνταονομάζουμεόρια κλάσεων τα όρια.

16 4. Βρίσκουμε το πλάτος c κάθε κλάσης (αν δεν είναι φυσικός αριθμός στρογγυλοποιούμε πάντα προς τα πάνω) c = R κ 5. Γράφουμε τις κλάσεις, ξεκινώντας από το xmin και προσθέτοντας κάθε φορά το πλάτος c, σε διαστήματα της μορφής [α,β) Βρίσκουμε τα κέντρα των κλάσεων. Αυτά θα είναι στην περίπτωση των συνεχών μεταβλητών τα γνωστά μας x i. Προφανώς το κέντρο της κλάσης είναι το x i a + β = 2 Αφού βρούμε το πρώτο κέντρο τότε προσθέτοντας κάθε φορά το πλάτος της κλάσης c βρίσκουμε τα επόμενα κέντρα

Βρίσκουμε τα κέντρα των κλάσεων. Αυτά θα είναι στην περίπτωση των συνεχών μεταβλητών τα γνωστά μας x i.

17 7. Προσέχουμε πάντα ώστε καμία παρατήρηση να μην μείνει έξω από κάποια κλάση και καμία παρατήρηση να μην βρίσκεται σε δύο διαφορετικές κλάσεις. 8. Τέλος βρίσκουμε την συχνότητα της κάθε κλάσης με τον γνωστό τρόπο της διαλογής και κάνουμε τον πίνακα συχνοτήτων με τον τρόπο που έχουμε δει και στην περίπτωση των διακριτών ποσοτικών δεδομένων. 33 Παράδειγμα: Να γίνει ομαδοποίηση των παρατηρήσεων σε κλάσεις ίσου πλάτους για την μεταβλητή Ύψος Μαθητών παρατηρήσεις της οποίας δίνονται στον παρακάτω πίνακα και να σχηματιστεί ο πίνακας συχνοτήτων Ύψος Μαθητών

18 Λύση: Πλήθος δείγματος v = 40 Πλήθος κλάσεων 6, αφού Μέγιστη τιμή Ελάχιστη τιμή Εύρος Πλάτος κλάσης κ = 1 + 3,2logv = 6, 12 x max = 191 x min = 156 R = x x = max min = R c = = κ 35 6 = 35 5, Έτσι οι κλάσεις θα είναι [156,162) [162,168) [168,174) [174,180) [180,186) [186,192) Τα κέντρα των κλάσεων θα είναι = = ,,,,, 36 18

35 6 = 35 5,833 6 35 Έτσι οι κλάσεις θα είναι [156,162) [162,168) [168,174) [174,180) [180,186)

19 Πίνακας Συχνοτήτων Μεταβλητής Ύψος Μαθητών κλάσεις κέντρα κλάσεων [ ,162) 162) 159 [ 162,168) 165 [ 168,174) 171 [ 174,180) 177 [ 180,186) 183 [ 186,192) 189 v i f i % N F % i i , , , , , , , , , ,00 2 5, ,00 Σύνολο ,

[ 186,192) 189 v i f i % N F % i i 2 500 5,00 2 500 5,00 8 20,00 10 25,00 12

Σχετικά έγγραφα

Βασικές έννοιες. Παραδείγµατα: Το σύνολο των φοιτητών που είναι εγγεγραµµένοι

Βασικές έννοιες. Παραδείγµατα: Το σύνολο των φοιτητών που είναι εγγεγραµµένοι Τι είναι η Στατιστική? Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ορίζεται σήµερα ως η επιστήµη που σχετίζεται µε τις επιστηµονικές µεθόδους συλλογής, παρουσίασης, αξιολόγησης και γενίκευσης (: εξαγωγής συµπερασµάτων) της πληροφορίας.