ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Ισχύει ότι α α, για κάθε πραγματικό αριθμό α β Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει δύο ρίζες άνισες αν Δ < 0 γ Η απόσταση δύο αριθμών α και β στον άξονα x x είναι d(α, β)= α β δ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών x με α < x < β λέγεται κλειστό διάστημα από α μέχρι β και συμβολίζεται [α, β] ε Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μπορεί να έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με κάθε κατακόρυφη ευθεία x= 0 A Έστω η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 που έχει πραγματικές ρίζες x,x Να αποδείξετε ότι: α x x β + = α β x x γ = α A Τι λέγεται συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β; ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Η απόσταση των αριθμών α και β ισούται με α+β

β Το τριώνυμο αx + βx + γ α 0 με > 0 και x, x ρίζες, είναι ετερόσημο του α, μόνο για τις τιμές του x που βρίσκονται μεταξύ των ριζών γ Αν ρ R με ρ> 0 και x R, τότε ισχύει η ισοδυναμία: x < ρ ρ<x<ρ δ Για κάθε πραγματικό αριθμό α και φυσικό αριθμό ν ισχύει: ν μ α = ε H ευθεία y=αx + β με α>0 σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα x x νμ A Αν α,β 0, να αποδείξετε την ισότητα: A Να δώσετε τον ορισμό της αριθμητικής προόδου ΘΕΜΑ A Α Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες: α ν α ν β= ν α β x= 0 Μονάδες 0 i α ν =, όπου α ν είναι ο ν-οστός όρος αριθμητικής προόδου, α o πρώτος όρος και ω η διαφορά της προόδου ii d(α, β) = Μονάδες x=4 Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη i Αν α 0, η εξίσωση α x = 0 είναι αδύνατη ii Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει β = α + γ iii Η ευθεία y = αx + β έχει κλίση λ = β Μονάδες x=6 A Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει P(A ) = P(A) Μονάδες 0 A4 Να γράψετε τον ορισμό της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού α

ΘΕΜΑ A 4 Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη i Η εξίσωση ii μ ν α= μ+ν ν x =α, με α < 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, είναι αδύνατη α για κάθε α 0 και μ, ν θετικοί ακέραιοι iii d(α,β) = α +β όπου d(α, β) η απόσταση των αριθμών α και β iv Το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0 γίνεται ομόσημο του α, μόνο όταν Δ>0 και για τις τιμές του x που βρίσκονται μεταξύ των ριζών v Αν Δ>0, τότε αx + βx + γ = α(x x )(x x ), όπου x, x οι ρίζες του τριωνύμου x=0 A Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει αβ=α β Μονάδες 0 A Να αποδείξετε ότι αν τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι α+γ αριθμητικής προόδου τότε ισχύει: β= ΘΕΜΑ A 5 Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Για κάθε x R ισχύει x = x β Η εξίσωση 0x = β είναι αδύνατη για κάθε β R γ Αν η διακρίνουσα ενός τριωνύμου είναι αρνητική τότε το τριώνυμο είναι θετικό για κάθε x R δ Αν α, β ομόσημοι τότε α+β < α + β ε Αν γ < 0 και α < β τότε αγ > βγ x=0 A Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α x +β x+γ= 0 με α,β,γ R, α 0 και με άθροισμα και γινόμενο ριζών S και P αντίστοιχα, μετασχηματίζεται στην μορφή x Sx + P = 0 Μονάδες 0 A Πότε δύο ενδεχόμενα λέγονται ασυμβίβαστα;

4 ΘΕΜΑ A 6 Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Για κάθε πραγματικό α ισχύει α α = α α β Αν α 0 και ν άρτιος τότε ν ν α = α γ Η εξίσωση αx + βx + γ = 0 με α 0 έχει δυο άνισες ρίζες όταν Δ 0 δ Τα σημεία (α, β) και ( α, β) του καρτεσιανού επιπέδου, είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα x x ε Αν δυο αριθμοί x, x έχουν άθροισμα S και γινόμενο P, τότε η εξίσωση δευτέρου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς x και x είναι: x Sx + P = 0 x=0 A Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β α Να αποδείξετε ότι α + β α + β Μονάδες 7 β Πότε στην παραπάνω σχέση ισχύει το ίσον; Μονάδες A Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α ΘΕΜΑ A 7 Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Η ανίσωση ισχύει για κάθε x R α x +β x+γ> 0 με α, β, γ R, α <0 και Δ < 0 β Αν θ > 0, ισχύει η ισοδυναμία x<θ θ<x<θ γ Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε α+γ ισχύει: β=

5 δ Το συμμετρικό του σημείου Α(α, β) ως προς τον άξονα x x είναι το σημείο Α (α, β) ε Αν x, x είναι οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης αx +βx + γ = 0, α 0, β τότε ισχύει x +x = α x=0 A Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι ισχύει: ΡΑ Β =ΡΑ+ΡΒ ΡΑ Β Μονάδες 0 A Τι λέγεται γεωμετρικός μέσος δύο αριθμών α και γ; ΘΕΜΑ A 8 Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο γραπτό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Ως συντελεστής διεύθυνσης ή ως κλίση μιας ευθείας ε, ορίζεται η εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ε με τον άξονα x x β Η εξίσωση α x +β x +γ= 0, με α 0 με διακρίνουσα αρνητική δεν έχει πραγματικές λύσεις γ Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, ως προς τον άξονα y y δ Δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα, όταν Α Β ε Για δύο οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει α+β = α + β A Πότε μία ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος; x=0 A Αν Α Β, να αποδείξετε ότι P(A) P(B) Μονάδες 0

6 ΘΕΜΑ A 9 Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο γραπτό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α α +β = 0 α= 0 ή 0 β= β Η εξίσωση α x+β= 0, όταν α=0, έχει μοναδική λύση γ Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει α= α 0 δ Το τριώνυμο αx +βx +γ με α 0 γίνεται ομόσημο του α μόνο όταν Δ> 0 και για τις τιμές του x που είναι μεταξύ των ριζών ε x>ρ x > ρ ή x < ρ (ρ > 0) Μονάδες 0 A Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) x=0 A Να δώσετε τον αλγεβρικό ορισμό της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού α ΘΕΜΑ A 0 Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Αν θ > 0, τότε: x=θ x=θ β Αν είναι x + y =0 τότε x = 0 και y = 0 γ Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει β = αγ δ Για δυο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )= Ρ(Α) ε Αν S το άθροισμα των ριζών x, x της εξίσωσης α x +β x +γ= 0, α 0 τότε: S = β α x= 0 Α Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι ισχύει: ΡΑ Β =ΡΑ ΡΑ Β Μονάδες 0 Α Να γράψετε τον ορισμό της ν-οστής ρίζας μη αρνητικού αριθμού α

7 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α α= α όπου α R β Η έκφραση «Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β» διατυπωμένη στη γλώσσα των συνόλων σημαίνει «(Α B)» γ Η ευθεία με εξίσωση y = αx + β τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β(0, β) δ Το γινόμενο των ριζών x, x μιας εξίσωσης αx β +βx+γ=0, α 0 δίνεται από τον τύπο Ρ= α ε Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β) x=0 A Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α A Να αποδείξετε ότι αβ=α β όπου α, β R Μονάδες 0 ΘΕΜΑ A A Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Αν A, B είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης τότε ισχύει ότι: Α Β Α Β = Α β Για κάθε α, β R ισχύει ότι: ( α β ) = ( β α ) γ Αν α, β άρρητοι αριθμοί τότε το γινόμενο τους αβ είναι σε κάθε περίπτωση άρρητος αριθμός δ Η εξίσωση x ν = α, με α < 0 και ν φυσικό περιττό αριθμό, έχει ακριβώς μία λύση την ν α ε Αν Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε ισχύει Ρ(Ω)< x=0

8 A Αν για δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης ισχύει ότι Α Β τότε να δείξετε ότι: Ρ(Α) Ρ(Β) Μονάδες 0 A Πότε μία ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β και ν θετικό ακέραιο ισχύει η σχέση: ν ν ν α β = α β β Σε σύστημα αξόνων xoy το συμμετρικό του σημείου Μ(α, β) ως προς την αρχή των αξόνων είναι το σημείο Ν( α, β) για κάθε α, β R γ Η εξίσωση x ν = α με α < 0, α R και ν άρτιο θετικό ακέραιο έχει ακριβώς δύο λύσεις τις x = ν α και x = ν α δ Ο ν ος όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α και διαφορά ω είναι: α ν = α + νω ε Αν η εξίσωση αx +βx+γ = 0 με α, β, γ πραγματικούς αριθμούς και α 0 έχει διακρίνουσα Δ, τότε ισχύει η συνεπαγωγή: α γ < 0 Δ > 0 x=0 A Αν θεωρήσουμε δύο αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία Α και Β αντίστοιχα, τι ονομάζουμε απόσταση των πραγματικών αριθμών α και β και με τι ισούται; A Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β α Να αποδείξετε ότι α + β α + β β Πότε στην παραπάνω σχέση ισχύει το ίσον; Μονάδες 7 Μονάδες

9 ΘΕΜΑ A 4 Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α Αν α > β τότε α γ > β γ, για κάθε πραγματικό αριθμό γ β Ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης γ Αν για τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου f(x) = αx +βx + γ α 0, είναι Δ > 0, τότε το f(x) γίνεται ομόσημο του α για κάθε x R δ Το σημείο Μ (x, y) με x > 0 και y < 0 βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο ε Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) και f(x) είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα x x x=0 A Δίνεται η εξίσωση: αx + βx +γ = 0, α 0 () και x, x οι πραγματικές ρίζες της Αποδείξτε ότι η εξίσωση () μετασχηματίζεται ισοδύναμα στην εξίσωση: x Sx+P=0 όπου S και Ρ, το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της () Μονάδες 8 A Τι ονομάζεται συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β; Μονάδες 4 A4 Τι παριστάνει γεωμετρικά το σύμβολο α β αν α, β τυχαίοι διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί; Μονάδες ΘΕΜΑ A 5 Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη: α Αν α +β =0 α=0 και β = 0, α, β R β Το σύνολο των αριθμών x για τους οποίους ισχύει x α συμβολίζεται με (,α] γ Αν η f είναι συνάρτηση από το Α στο Β, υπάρχουν x A που έχουν δύο τιμές στο Β δ Η ανίσωση για κάθε x R α x +β x+γ> 0 με α, β, γ R, α > 0 και Δ < 0 ισχύει

0 ε Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με α, β, γ R, τότε β + γ = α Μονάδες 0 A Αν x,x είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx +βx + γ = 0, α 0 και Δ>0 να αποδείξετε ότι: x β γ + x = και x x = α α Μονάδες 9 A Να γράψετε τους ορισμούς: της αριθμητικής προόδου της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού Μονάδες +=6

0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 0 ΘΕΜΑ Γ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΡΙΖΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ x x 8 + + Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x Γ Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Γ Να αποδείξετε ότι: f( 0) = και f( 5) = Γ Να υπολογίσετε την παράσταση + + f(0) + f(5) Μονάδες 8 Γ4 Αν για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω γνωρίζουμε ότι : ( f( P( ) )) P(A) =, 8 P(B) τότε να υπολογίσετε: α τις πιθανότητες P( A ) και P( B ) ΛΥΣΗ Γ Πρέπει : β την πιθανότητα PA ( B ) x + x + 8 0 x 6, αφού οι ρίζες του τριωνύμου και x 0 x ( f ( 5) ) P( Ω) = και P( A B) 5 = 8 Μονάδες 4 Μονάδες x + x + 8 είναι οι αριθμοί και 6 Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το A = [,) (, 6] Γ Είναι 8 9 f 0 = = = = και 5 + 5 + 8 8 4 f( 5) = = = = = 5

Γ + + + = + = = = + f(0) + f(5) + + Γ4 α Επειδή P( ) = 0 και ( ) ( ( ( ) )) ( ) f P P(A) = = = = 8 8 8 4 Επίσης επειδή P( Ω ) =, είναι: f P = f 0 =,είναι: ( ) Ω f 5 P P(B) = = = Οπότε έχουμε διαδοχικά: P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) 5 = + P ( A B ) 8 4 5 4 5 P( A B) = + = + = 4 8 8 8 8 8 P A B = P A P A B = = = 4 8 8 8 8 β Είναι ΘΕΜΑ Γ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω= {,,,, 0} που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, με: A= { x Ω/x 4< } και B = { x Ω / x ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f (x) = 4 x } Γ Να λύσετε την ανίσωση x 4 < και να αποδείξετε ότι: A= {, 4, 5} Μονάδες 7 Γ Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) = 4 x και να αποδείξετε ότι B= {,,, 4} Μονάδες 7

Γ Να βρείτε τις πιθανότητες : α P( A ), P( B ) και P( A B) β να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α και Β γ να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β Μονάδες 6 Μονάδες Μονάδες ΛΥΣΗ Γ x 4 < < x 4 < < x < 6 και επειδή x Ω, είναι Γ Πρέπει 4 x 0 x 4 A= {, 4, 5} και επειδή x Ω, είναι B {,,, 4} = Γ α Είναι Ω= {,,,, 0}, A= {, 4, 5} και B {,,, 4} οπότε Άρα: P A ( Ω) N A = = N 0 β Έχουμε διαδοχικά:, P( B) A B = {, 4} ( Ω) N B 4 = = N 0 P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) =, και P( A B) = 0 4 5 P( A B) = + = = 0 0 0 0 γ Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β είναι το ( A B) ( B A) Επειδή τα ενδεχόμενα A B και B Aείναι ασυμβίβαστα, έχουμε: (( ) ( )) = ( ) + ( ) P A B B A P A B P B A = P( A) P( A B) + P( B) P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) 4 = + = 0 0 0 0

ΘΕΜΑ Γ AΝΙΣΩΣΕΙΣ ( Α ΒΑΘ ΜΕ ΑΠΟΛ ΤΙΜΗ, Β ΒΑΘ) ΔΕΥΤ ΕΞΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Θεωρούμε το δειγματικό χώρο Ω= {,,,,} που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, και τα ενδεχόμενα του: A= { x Ω/x } B = { x Ω/ x 4x + 0} { / η εξίσωση x x 0 έχει διπλή ρίζα} Γ = λ Ω + λ + = Γ Να λύσετε την ανίσωση x και να δείξετε ότι : Γ Να λύσετε την ανίσωση Γ Να δείξετε ότι Γ= {, } A = {, 0,,, } x 4x 0 Μονάδες 7 + και να δείξετε ότι B = {,,} Γ4 Να βρείτε τις πιθανότητες P( A ), P( B ) και P ( Γ ) Γ5 Να βρείτε τις πιθανότητες P( Β Γ ) και Ρ Α ( Β Γ) Μονάδες 7 Μονάδες 7 Μονάδες Μονάδες ΛΥΣΗ Γ x x x και επειδή Γ x Ω, είναι A = {, 0,,, } x 4x + 0 x, αφού οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι αριθμοί και και επειδή x Ω, είναι B = {,,} Γ Η εξίσωση x 4x + x + ( λ) x + = 0 έχει διπλή ρίζα, άρα = 0, οπότε : ( λ) 4 = 0 λ= ή λ= λ= ή λ= Άρα Γ= {, } Γ4 Είναι

Γ5 Είναι Επίσης Ν Α Ρ( Α ) = = Ν Ω 5 7, 4 Ν Β Ρ Β = = Ν Ω 7 και Β Γ= {,,,}, άρα P Ν Γ Ρ Γ = = Ν Ω 4 Β Γ = 7 Α ( Β Γ ) = { 0}, οπότε Ρ Α Β Γ = ΘΕΜΑ Γ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΡΙΖΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = 9 x λ, λ R Γ Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f 7 7 Mονάδες 7 Γ Έστω Ω= {,,, 4,5,6,7,8,9,0} ο δειγματικός χώρος ενός { R:f 5 } πειράματος τύχης και το ενδεχόμενό του Α = λ = λ + λ Αν επιλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο από το δειγματικό χώρο Ω, να βρείτε την πιθανότητα το στοιχείο αυτό να ανήκει στο Α Γ Για λ= 0, α Να βρείτε το f ( 5) και να μετατρέψετε την παράσταση f ( 5) σε ισοδύναμη με ρητό παρονομαστή Μονάδες 8 β Να βρείτε το σημείο που η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y y Moνάδες 5 ΛΥΣΗ Γ Πρέπει 9 x 0 x 9 9 x 9 Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το A = [ 9,9] Γ Είναι f( 5) = λ + λ, άρα 9 5 λ= λ + λ 4 λ= λ + λ λ λ+ = 0 λ= ή λ=

5 Άρα A = {, } και επειδή {,,, 4,5,6,7,8,9,0} N( A) P( A) = = = N( Ω) 0 5 Γ α Για 0 λ= είναι Ω= είναι f 5 = 9 5 = 9 5 = 4 =, οπότε : f ( 5) + + + = = = = = + + β Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το A = [ 9,9], άρα το 0 Α, οπότε για λ= 0 είναι f( 0) = 9 = Συνεπώς η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα y y στο σημείο K ( 0, ) ΘΕΜΑ Γ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΡΙΘ ΠΡΟΟΔΟΣ ΕΞΙΣ Β ΒΑΘ ΜΕ ΑΠΟΛ ΤΙΜΗ 5 Έστω οι συναρτήσεις f( x) = x 4 και g x = 7 x Γ Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g Μονάδες 4 Γ Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί f( ),f( 8 ),f( 5), με την σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου Μονάδες Γ Αν ο f( 8) είναι ο δεύτερος όρος της παραπάνω αριθμητικής προόδου, να βρείτε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της Γ4 Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου M 9, g ( 9) ως προς άξονες συμμετρίας τους x x, y y και ως προς κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων 4 f x g x = Γ5 Να λύσετε την εξίσωση : Μονάδες 4 Γ6 Να βρείτε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς g( 0 ) και g ( 9) Μονάδες 4

6 ΛΥΣΗ Γ Είναι: x 4 0 x 4 x 4 ή x 4 Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το f ( ] [ ) A =, 4 4, + 7 x 0 x 7 7 x 7 Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το A [ 7, 7] g = Γ Είναι f ( ) = 4 = 4 = 9 = f( 8) = 8 4 = 8 4 = 4 = και f( 5) = 5 4 = 5 4 = = f( ) + f( 5) Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι f( 8) = + Πράγματι είναι =, άρα οι αριθμοί f( ),f( 8 ),f( 5), με την σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου Γ Ο δεύτερος όρος της αριθμητικής προόδου είναι α = f( 8) = και η διαφορά της ω= f( 5) f( 8) = =, άρα έχουμε : α =α +ω α =α ω= ( ) =, οπότε το άθροισμα των δέκα πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου είναι : 0 S = 0 ( 0 ) 5( 6 9) 5 α+ ω = = Γ4 Είναι g ( 9) = 7 9 = 7 9 = 8 =, άρα M ( 9, ) Άρα: Το συμμετρικό του Μ ως προς τον άξονα x x είναι το Ν( 9, ) Το συμμετρικό του Μ ως προς τον άξονα y y είναι το K ( 9, ) Το συμμετρικό του Μ ως προς O( 0,0) είναι το Λ( 9, )

Γ5 Για x Af Ag 7, δηλαδή για x [ 7, 4] [ 4, 7] 4, είναι : 4 f x g x = x 4 7 x = ( x 4) 7 + x = x 8 x + 6 7 + x = x 7 x 8 = 0 x = 8 ή x = αδύνατη Άρα x = 8 ή x = 8 Γ6 Είναι οπότε g ( 0) = 7 = και g 9 = 7 9 = 7 9 = 8 = S = g ( 0) + g ( 9) = + = 5 και άρα η ζητούμενη εξίσωση είναι η P = g 0 g 9 = = 6, x Sx + P = 0 x 5x + 6 = 0 ΘΕΜΑ Γ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ x ν =α =ee 6 Δίνονται οι παραστάσεις: A= 4 και Β= + + Γ Να αποδείξετε ότι Α= Μονάδες 0 Γ Να αποδείξετε ότι Β= Μονάδες 8 Γ Να λύσετε την εξίσωση x = + Α+ Α Α Α Μονάδες 7 Λύση Γ 4 4 A 4 4 4 = = = = 4 = = = = 4 4 8 Γ + + 4 4 Β= + = = = = + + 4

Γ Η εξίσωση x = + + 8 x = + Α+ Α Α Α λόγω του ερωτήματος Γ γίνεται : και λόγω του ερωτήματος Γ γίνεται : x =, οπότε x = ΘΕΜΑ Γ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ - ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ x ν =α λ λ x +λ = λ x (), 7 Δίνεται η εξίσωση όπου x o άγνωστος και λ R η παράμετρος Γ Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ, αν η εξίσωση έχει ως ρίζα τον αριθμό Μονάδες 6 Γ Να λυθεί η εξίσωση για τις διάφορες τιμές του αριθμού λ Μονάδες Γ Αν η εξίσωση είναι αόριστη να βρεθεί η τιμή του πραγματικού α+ = 8 αριθμού α, ώστε να ισχύει: Λύση Γ Η εξίσωση ( x ) λ Μονάδες 7 λ λ +λ = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, οπότε λ λ +λ = λ λ λ+λ = λ 6 4 Γ Είναι λ 7λ+ 4 = 0 4 λ= ή λ= λ λ x +λ = λ x λ x λ+λ = λx x ( λ λ+ ) x =λ λ Αν λ λ+ 0, δηλαδή λ και λ, η εξίσωση έχει μοναδική λύση την λ λ λ( λ ) λ x = = = λ λ+ λ λ λ Αν λ=, η εξίσωση γίνεται 0x = 0 ( αόριστη ) Αν λ=, η εξίσωση γίνεται 0x = ( αδύνατη ) Γ Η εξίσωση είναι αόριστη, άρα λ=, οπότε η εξίσωση

9 λ α+ = 8 γίνεται α+ = 8 α+ = 8 ή α+ = 8 ( α+ = ή α+ = ) α= ή α= ΘΕΜΑ Γ ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ ΤΥΠΟΙ VIETA 8 Δίνεται η εξίσωση x 4λx = 0 (), λ R Γ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε λ R Μονάδες 8 Γ Αν η εξίσωση () έχει ρίζα τον αριθμό x = να βρεθεί η παράμετρος λ και η άλλη ρίζα x της εξίσωσης Μονάδες 0 Γ Αν λ= και x, x οι ρίζες της () να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού η οποία να έχει ρίζες τους αριθμούς ρ = και ρ = x x Λύση Γ Είναι = 4λ 4 = 6λ + 48 > 0, Μονάδες 7 άρα η εξίσωση () έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε λ R Γ Η εξίσωση () έχει ρίζα τον αριθμό x =, άρα 4 λ = 0 4 + 8λ = 0 λ=, οπότε η εξίσωση γίνεται : x 4x = 0 () Αν x η άλλη ρίζα της εξίσωσης είναι : x= = x = 6 x x Γ Είναι x + x = 4 και x x =

0 x+ x 4 Άρα S =ρ +ρ = + = = = x x x x και P=ρ ρ = = = = x x x x Επομένως η ζητούμενη εξίσωση είναι η x + x = 0 ΘΕΜΑ Γ ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ ΤΥΠΟΙ VIETA 9 Δίνεται η εξίσωση λx ( λ+ x ) + 8= 0() με λ R και λ 0 Γ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες Μονάδες 0 Γ Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης (), α Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων x+ x και x x Λύση συναρτήσει του λ β Να βρεθεί ο λ αν Γ Η εξίσωση (x + x ) x x = 0 Μονάδες 0 λx ( λ+ x ) + 8= 0είναι δευτέρου βαθμού ( λ 0) με = λ+ λ= 4 λ + 4λ+ 4 λ= 4λ 6λ+ 6 Άρα έχει πραγματικές ρίζες Γ α Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης από τύπους Vieta έχουμε για λ 0: = 4( λ ) 0 λx ( λ+ x ) + 8= 0, λ+ λ+ 8 x+ x = = και x x = λ λ λ β Η σχέση (x + x ) x x = 0 λόγω Γ γίνεται : λ+ 8 λ+ 4 8 = 0 = 0 λ λ λ λ

λ+ 4 8 λ+ 4 8 4 + = 0 λ+ λ = 0 λ λ λ λ λ λ λ= 6 ή λ= ΘΕΜΑ Γ ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ ΤΥΠΟΙ VIETΑ ΕΞΙΣΩΣΗ 0 Δίνεται η εξίσωση x +(λ )x λ = 0, λ R Γ Αν x,x είναι οι ρίζες της () τότε: (), { } Να βρεθούν τα x+ x και x x ως συνάρτηση του λ Γ Να βρεθεί η τιμή του λ που επαληθεύει την εξίσωση: Λύση x+ x + λ 8 5 x x +λ+ + + = 5 Γ Από τύπους του Vieta είναι : λ λ x+ x = = λ + και x x = = λ Γ x+ x + λ 8 5 x x +λ+ + + = 5 Γ λ+ + λ 8 5 λ+λ+ + + = 5 λ 6 5 λ+ + + = 5 λ 5 λ + + + = 5 λ 5 λ+ + + = 5 λ = λ+ 4 λ 0 + 0 = 5 λ + 5 λ = 5 λ = 5 ή λ = 5 Άρα λ= 8 ή λ= Μονάδες0

ΘΕΜΑ Γ ΔΙΚΛΑΔΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ( κ+ )x 5, x Δίνεται η συνάρτηση f(x) =, όπου κ R x +κx 7, x > Γ Να δείξετε ότι f = κ, f ( 6) = 6κ+ 9 και f 8 = 8κ+ 57 Μονάδες 6 Γ Αν οι παραπάνω τιμές f ( ),f ( 6 ) και f ( 8 ) με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ Μονάδες 9 Γ Αν κ=, να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου Γ4 Αν κ= και ο πρώτος όρος της παραπάνω αριθμητικής προόδου είναι α = Λύση f, να υπολογίσετε το άθροισμα S =α +α +α + +α 0 Γ Είναι f = ( κ+ ) 5= κ+ 5= κ, f ( 6) = 6 + 6κ 7 = 6κ+ 9 και f 8 = 8 + 8κ 7= 8κ+ 57 Γ Επειδή οι τιμές f ( ),f ( 6 ) και f ( 8 ) με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, έχουμε : ( ) f 6 =f + f 8 6κ+ 9 = κ + 8κ+ 57 Γ Για κ=, είναι κ+ 58 = 0κ+ 54 κ= 4 κ= f = ( ) = 7, f ( 6) = 6( ) + 9 = 7 και Οπότε ω= f ( 6) f = 7 ( 7) = 4 Γ4 Είναι α = f(, ) άρα α = 7 και ω= 4, οπότε: f 8 = 8 + 57 = 4

S =α +α +α + +α 0 = S0 S0 () 0 Αλλά S0 = ( 0 ) 0 90 α+ ω = α+ ω και 0 S0 = ( 0 ) 0 45 α+ ω = α+ ω, Οπότε η σχέση () γίνεται : ω=4 S = 0α +90ω 0α 45ω = 0α +45ω 70 + 480 = 40 Δίνεται η συνάρτηση = α =-7 ΘΕΜΑ Γ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ x x+ f(x) = x Γ Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Γ Να αποδείξετε ότι για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της είναι Γ Να λύσετε την ανίσωση Λύση f (x) = x f(x) f( x) + x + > 6 Γ Πρέπει : x 0 x x και x Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι A R {,} Γ Για x Αf είναι : f = Μονάδες 0 Μονάδες 0 x = x x x+ x x+ x x f(x) = = = = x x x x Γ Για x R {,} είναι : Άρα f (x) = x, x R {, } f(x) f( x) + x x x + x + > + > 6 6

4 x x x x x x + > + > 6 6 x= x x = x ( x ) + ( x ) > x x 6+ x > x 4 x > 8 x > x < ή x > ΘΕΜΑ Γ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ x x Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x x Γ Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Μονάδες 7 Γ Να αποδείξετε ότι: x f(x) = x + για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της Μονάδες 7 Γ Να αποδείξετε ότι: f = και f + f = Γ4 Να αποδείξετε ότι: Λύση Γ Πρέπει x x 0 x και x f = + Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι Α f = R {, } Γ Είναι x( x ) x x x x x x x x f(x) = = = + + + Μονάδες 6,για κάθε x R {, } Γ Είναι ( ) f = = = = + + και

5 ( + ) + f = = = = = + + + Γ4 Λόγω του προηγούμενου ερωτήματος έχουμε f + f = + + = = 4 4 + + 4+ 4 + = ΘΕΜΑ Γ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ x f x = x 7x + 6 4 Δίνεται η συνάρτηση Γ Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Μονάδες 8 Γ Να δείξετε ότι f( x) =, για κάθε x που ανήκει στο πεδίο x 6 ορισμού της Μονάδες 9 Γ Να λύσετε την εξίσωση 0 f x + = Μονάδες 8 Λύση Γ Πρέπει x 7x + 6 0 x και x 6 Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι Α f = R {, 6 } Γ Για x R {, 6} έχουμε x x = = = x 7x+ 6 x x 6 x 6 f( x) Γ Για x R {, 6} είναι :, για κάθε x R {, 6 } 0 x 6 0 x 0 f x + = + = = x = 0 ή x = 0 x = ή x = 7

6 ΘΕΜΑ Γ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = x +λx 5, με λ R Αν το σημείο (, 7) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f τότε: Γ Να βρείτε την τιμή του λ Μονάδες 7 Γ Αν λ=, να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τους άξονες x x και y y Μονάδες 0 Γ Αν λ=, να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x x Μονάδες 8 Λύση Γ Το σημείο Δ(, 7) Cf, άρα Γ Για 4 λ 5 = 7 λ= 4 λ= λ= είναι Για y= 0 είναι Άρα η Για x 0 Γ Είναι Άρα η γιατί το τριώνυμο f x = x x 5, x R x x 5 = 0 x = ή x = 5 C f τέμνει τον άξονα x x στα σημεία A (, 0) και A ( 5,0 ) = είναι f ( 0) = 5 C τέμνει τον άξονα y y στo σημείο B( 0, 5 ) f f x < 0 x x 5< 0 x,5, x x 5 έχει ρίζες τους αριθμούς και 5 ΘΕΜΑ Γ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ x 4x 6 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + x Γ Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της ισχύει: f(x) = x Γ Να λύσετε την εξίσωση: f(4) x = f() x Μονάδες 8

7 Γ Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f: Α τέμνει τον άξονα των τετμημένων (άξονα x x) σε ένα σημείο του οποίου να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες Μονάδες 4 Β δεν τέμνει τον άξονα των τεταγμένων (άξονα y y) Μονάδες Γ4 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Λύση Γ Πρέπει Π= 04 4 04 04 + 04 x + x 0 x x + 0 x 0 και x Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι Α f = R { 0, } Άρα είναι x 4x x x 4 x x+ x f(x) = = = = x, + + + για κάθε x R { 0, } x x x x x x Γ Είναι f( 4) = 4 = και f = =, άρα η δοθείσα εξίσωση γίνεται : f(4) x = f() x x = x x = x ή x = + x x = ή x = Γ A Για y= 0, δηλαδή για Αλλά 0 Α f και η x x 4x = 0, επειδή + x x 4x = 0 x = 0 ή x = ή x = Α, άρα f C f τέμνει τον άξονα xx στο σημείο A (,0 ) x + x 0 έχουμε: : Β 0 Α f, άρα η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα yy 04 4 04 04 + 04 Γ4 Π= = f ( 04) και επειδή f( x) = x είναι f ( 04) = 04 = 0, άρα Π= 0

8 ΘΕΜΑ Γ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ( λ ) x +, όπου * λ R, της οποίας η γραφική παράσταση είναι η ευθεία με εξίσωση ε : y = ( λ ) x + Γ Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού λ έτσι ώστε η ευθεία με εξίσωση y= ( λ x ) + να σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία 45 Μονάδες 8 Γ Για λ= 4, να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες x x, y y Μονάδες 8 Γ Αν Κ το σημείο τομής της ευθείας ε με την ευθεία δ : y = x +, να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Κ, α ως προς τον άξονα x x β ως προς τον άξονα y y γ ως προς τη διχοτόμο y= x Λύση Μονάδες 9 Γ Η ευθεία ε : y= ( λ ) x+ σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία άρα Αλλά λ = λ = λ = ή λ = * λ R, άρα λ= 4 λ= 0 ή λ= 4 Γ Για λ= 4, είναι ε : y= x+, οπότε : για y= 0 είναι x για x = 0 είναι y o 45 =, άρα η ευθεία ε τέμνει τον x x στο A (, 0) =, άρα η ευθεία ε τέμνει τον y y στο B 0, Γ Είναι x + = x + x = και y= 5, άρα K (,5 ), οπότε : α το συμμετρικό του Κ ως προς προς τον άξονα x x είναι το K (, 5) β το συμμετρικό του Κ ως προς προς τον άξονα y y είναι το K (,5) γ το συμμετρικό του Κ ως προς τη διχοτόμο y= x είναι το K ( 5, )

9 ΘΕΜΑ Γ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 Σε καρτεσιανό σύστημα αξόνων θεωρούμε την ευθεία με εξίσωση δ : y= x+ 5 και το σημείο A (, ) Γ Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α και είναι παράλληλη στην ευθεία (δ) Μονάδες 8 Γ Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας (ε) με τους άξονες x x και y y καθώς και την γωνία που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα x x Μονάδες 8 Γ Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει λ R ώστε το σημείο B( λ λ, ) να ανήκει στην ευθεία (ε) Μονάδες 9 Λύση Γ Επειδή η ευθεία (ε) είναι παράλληλη με την δ : y = x + 5 θα έχει την ίδια κλίση με αυτή, οπότε θα είναι α= Άρα η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής y=x+β και επειδή η ευθεία διέρχεται από το σημείο A (, ), θα ισχύει =+β β = Επομένως η εξίσωση της ευθείας (ε) είναι ε : y= x Γ Για y= 0 είναι x =, άρα η ευθεία (ε) τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Γ (, 0) Για x = 0 είναι y=, άρα η ευθεία (ε) τέμνει τον άξονα y y στο σημείο ( 0, ) Επίσης, όπως είναι γνωστό, για το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας y=αx +β ισχύει α = εϕω, όπου ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία y=αx +β με τον άξονα x x Επομένως θα έχουμε : εϕω =, οπότε 0 ω= 45 Γ Έστω ότι υπάρχει λ R τέτοιο ώστε το σημείο ανήκει στην ευθεία (ε) Τότε έχουμε B( λ λ, )

40 λ =λ 5 0 =λ λ+ λ λ+ = (αδύνατη) γιατί = = < 0 Άρα δεν υπάρχει στην ευθεία (ε) 9 Δίνονται οι συναρτήσεις λ R τέτοιο ώστε το σημείο ΘΕΜΑ Γ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f(x) = x 6x + 9 4 και Γ Να δείξετε ότι f(x) = x 4 για κάθε x R B( λ λ, ) να ανήκει x 4 g(x) = x Γ Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης g και να δείξετε ότι g(x) = x + για κάθε x A Γ Να λύσετε την εξίσωση f( x) = g( x) 6 Γ4 Να λύσετε την ανίσωση f( x) < 4 Λύση f(x) = x 6x+ 9 4= x 4= x 4 Γ Είναι Γ Πρέπει x 0 x x και x Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι Α= R {, } Άρα για κάθε x R {, } έχουμε : x = x x 4 x 4 x x + g(x) = = = = x + x x x Γ Για x R {, } είναι : f( x) = g( x) 6 x 4= x + 6 x = x Γ4 Για x R είναι : x = x ( αδύνατη) ή x = x x = Μονάδες 8 Μονάδες 7

f( x) < 4 x 4< 4 x < 8 8< x < 8 5< x< Άρα x ( 5, ) 4 ΘΕΜΑ Γ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 0 Έστω η συνάρτηση f x = x λ x +λ+, λ R Γ Να προσδιορίσετε τις τιμές του λ, ώστε η γραφική παράσταση της f να έχει δυο κοινά σημεία με τον άξονα x x Μονάδες ΓΑν x,x είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της C f με τον άξονα x x, να προσδιορίσετε την τιμή του λ, ώστε ΛΥΣΗ x +x =9 Μονάδες Γ Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει δυο κοινά σημεία με τον άξονα x x, άρα η εξίσωση f( x) = 0 έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες, οπότε > 0 λ 4 λ+ > 0 λ λ+ 4λ 8> 0 Άρα λ (, ) ( 7, + ) Γ Αν x,x από τύπους του Vieta έχουμε: Άρα λ 6λ 7 > 0 λ< ή λ> 7 x+ x =λ και x x =λ+ x +x =9 x +x x x = 9 λ λ+ = 9 λ λ+ λ 4 9= 0 λ 4λ = 0 λ= 6 ή λ=