35 = (7+ 109) =

Transcript

1 Άλγεβρα Α Λυείου Στεφανής Παναγιώτης Συνδυαστιές Ασήσεις Ασήσεις δηµοσιευµένες στο περιοδιό <<Eυλείδης >> τεύχος 8 Άσηση α) Να δείξετε ότι: = β) Να λυθεί η ανίσωση: 7 7x + x + x x 9. γ) Να εξετάσετε αν ο αριθµός ρ = + είναι λύση της παραπάνω ανίσωσης. α) Οι όροι του αθροίσµατος είναι διαδοχιοί όροι αριθ. προόδου µε α 7 α = 9 7+ ν = 9 ν= = αι ω=, οπότε ν Αρα το ζητούµενο άθροισµα είναι : S = (7+ 9) = β) Η ανίσωση ισοδύναµα γράφεται : 7 x + x x ( ) x x x ( x ή x ) x ή x γ) Γι αυτό αρεί: + >, ή Άρα ο αριθµός ρ είναι λύση της. > +, ή 8> +, ή >, ή >, που ισχύει. Άσηση Εστω η αριθµητιή πρόοδος α ν µε α = αι τα συµπληρωµατιά ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατιού χώρου Ω που αποτελείται από ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόµενα αι ισχύει P(A) = α, P(B) = α + α. i) Να δείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι ω=. ii) Αν Ν(A) =, να βρείτε Ν(B). i) Έχουµε: A B= Ω P(A Β) = P(A) + P(Β) = α+ α + α = + + ω + + ω = + ω= ω= ii) Είναι P(A) = α= Άρα: N(A) = = N(Ω) = N(Ω) N(Ω) Επίσης P(B) = α+ α = = Άρα N(B) = N(B) = = N(Ω)

2 Άσηση α) Να λυθεί η ανίσωση x < x, όπου είναι θετιός αέραιος. β) Έστω ότι το άθροισµα των θετιών αέραιων λύσεων της ανίσωσης είναι, β ) Να βρείτε το. β ) Επιλέγουµε τυχαία µία από τις θετιές αέραιες λύσεις της παραπάνω ανίσωσης. Εστω το ενδεχόµενο Α: Η λύση που επιλέξαµε επαληθεύει την εξίσωση x x =. Να βρεθεί η Ρ(Α) x x α) < x + x < x + x < x < < x < < x< + β) Έχουµε: + + = + = + = + =... ( ) {, } = γ) Στο Ω= {,,,...} έχουµε: { } = = = x x x(x ) x,, x Συνεπώς A= { }, οπότε P(A) = Άσηση Έστω η εξίσωση + = x λx λ, όπου λ R παράµετρος. i) Να δείξετε ότι έχει πραγµατιές ρίζες για άθε λ R. ii) Να βρείτε για ποια λ,υπάρχουν α,β R ώστε: + + < () (α λα λ )(β λβ λ ) iii) Αν ρ, ρ οι ρίζες της (), τότε να εξετάσετε αν υπάρχει λ ώστε οι αριθµοί ρ,λ,ρ να είναι διαδοχιοί όροι αριθµητιής προόδου. i) Είναι = ( λ) (λ ) = λ λ+ = (λ ) για άθε λεr. Συνεπώς η εξίσωση έχει πραγµατιές ρίζες για άθε λ R ii) Αν f( x) x λx λ f α f β < f α,f β ετερόσηµοι > λ. = +, τότε iii) Αν λ=, τότε ρ =ρ =, οπότε οι αριθµοί,, δεν αποτελούν διαδοχιούς όρους, αριθ. προόδου. λ ± (λ ) λ± λ Αν λ, τότε οι ρίζες της () είναι ρ, = =, λ+ λ λ (λ ) δηλαδή ρ = = λ, ρ = =, ή αντιστρόφως. Όµως ρ, λ, ρ διαδοχιοί όροι αριθµ. προόδου ρ,λ,ρ διαδοχιοί όροι αριθ. προόδου λ= ρ+ ρ λ= λ λ=, δετή τιµή αφού.

3 Άσηση Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατιού χώρου Ω. Οι πιθανότητες P(A), P(B) είναι λύσεις της εξίσωσης: x x + P(A Β) = αι είναι P(A B) =, P(A) < P(B). i) Να βρείτε τα P(A),P(B). ii) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου : «δεν πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα τα Α αι Β» iii) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου : «πραγµατοποιείται µόνο το Α» : i) Είναι P(A Β) = P(A) + P(B) P(A Β) P(A) P(B) P(A B) = + Όµως P(A) + P(B) = = (άθροισµα ριζών) Άρα : = P(A B) P(A B) = Ετσι η εξίσωση γίνεται x x+ =, που έχει ρίζες x =,x = αι επειδή P(A) < P(B) θα είναι P(A) = αι P(B) =. ii) P ((A B)' ) = P(A B) = = iii) P(A B) = P(A) P(A Β) = = Άσηση Εστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατιού χώρου Ω τέτοια ώστε η εξίσωση: P(A) x P(A)x + =, να µην έχει ρίζες άνισες αι να ισχύει P(B) P(B) = i) Να βρείτε την P(A) ii) Να βρείτε P(B). iii) Να εξετάσετε αν τα A, B είναι ασυµβίβαστα. = ( P(A) (P(A) ) i) Είναι = [P(A)] P(A) + = P(A) Η εξίσωση δεν έχει ρίζες άνισες P(A) P(A) = P(A) = ii) Επειδή P(B) θα είναι P(B) P(B) = P(B) P(B) = + = P(B) P(B) = = iii) Εστω ότι τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα. Τότε: P(A B) = P(A) + P(B) 7 P(A B) = + = >, πράγµα άτοπο. Συνεπώς δεν είναι ασυµβίβαστα.

4 Φροντιστήρια Παναγιώτης Στεφανής - Πλατεία Πάρου Λαµία Άσηση 7 Έστω η συνάρτηση f(x) = x αι τα σηµεία της γραφιής παράστασης µε τετµηµένες x,x,x. α) Αν τα x,x,x είναι διαδοχιοί όροι γεωµετριής προόδου, να δείξετε ότι οι αντίστοιχε τεταγµένες είναι επίσης διαδοχιοί όροι γεωµετριής προόδου. β) Eστω η συνάρτηση g(x)= x i) Να λυθεί η ανίσωση f(x)>g(x) ii) Nα εξηγήσετε τι εφράζουν γραφιά οι λύσεις της ανίσωσης iii) Να σχεδιάσετε στο ιδιο σύστηµα αξόνων τις δυο γραφιές παραστάσεις Έχουµε: x x x = () αι θέλουµε να δείξουµε ότι [ ] x = (x x ), που ισχύει λόγω της (). : f (x ) = f (x ) f (x ), δηλαδή (x ) = x x, ή β) x > x αι x (, ) (, ) x (, ) (, ) f (x) > g(x) x > x x > x x x > x x > x αι x > x αι + +. Β τρόπος x = y f (x) > g(x).λ.π. y y> ii) Οι λύσεις της ανίσωσης είναι τα σηµεία των διαστηµάτων. στα οποία η C είναι πάνω από την C iii) f g σχήµα α Παρατηρήστε εξάλλου ότι: f (x) g(x) x( x ) x= ή x x= ή x x= ή x (, ] [, + ) x (, ] [, + ) { }.

5 σχήµα β Άσηση 8 Έστω η παραβολή y = x λx + λ +, λ R *, η οποία έχει ορυφή Κ µε y =. α) Να βρείτε το λ. β) Για το λ που βρήατε να λύσετε την ανίσωση: f (x) f (x) + x, όπου f x = x λx + λ +, λ R *. γ) Αν για το ενδεχόµενο Α ενός δειγµατιού χώρου Ω µε ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόµενα ισχύει: P(A) + = y, όπου M( x,y) σηµείο της παραβολής, τότε να δείξετε ότι το Α είναι το βέβαιο ενδεχόµενο αι να βρείτε το x. λ λ λ α) Ως γνωστόν x =, οπότε y = + λ+ = λ λ + λ= λ( λ) = λ=, αφού λ. β) Το τριώνυµο f(x) έχει ελάχιστη τιµή το, οπότε για άθε x R ισχύει f (x) > >. Άρα : f (x) > αι f (x) + > Η ανίσωση ισοδύναµα γίνεται: f (x) (f (x) + ) x x x γ) Είναι y = f (x ), οπότε P(A) + P(A), ενώ P(A). Άρα P(A) = Α=Ω. Εξάλλου λ P( A) = f (x ) = x = =. = µε Σχόλιο Συντατιής Επιτροπής: Αν τα στοιχειώδη ενδεχόµενα δεν είναι ισοπίθανα π.χ. Ω { α,β,γ} P ή P(A) ({ α} ) =, P( { β} ) =, P( { γ} ) = αι A π.χ. { } =, τότε µπορεί να υπάρχει A Ω µε P(A) = αι A Ω A= β. π.χ. A= { α,γ} Φροντιστήρια Παναγιώτης Στεφανής - Πλατεία Πάρου Λαµία

6 Άσηση 9 Σε αριθµητιή πρόοδο ( α ν ) για άποιο όρο της α ισχύει < α < (). α) Να δείξετε ότι : α < 9. β) Αν στην πρόοδο αυτή είναι: α = 8 αι ω= : i) Να βρείτε τις τιµές του ώστε να ισχύει < α <. ii) Να βρείτε πόσοι αρχιοί όροι της προόδου έχουν άθροισµα. iii) Να λυθεί η εξίσωση: αx + αx +...α 9x = α όπου α οι όροι της προόδου που ιανοποιούν την (). α) Παρατηρούµε ότι: β) i) Έχουµε < α < α < α < 9 α 9 α = 8+ =, οπότε 7 α 7,, αφού Ν*. ν ν ν ii) Sν = [ ( 8) + (ν )] = ( + ν ) = ν 8= ν= 9, δηλαδή S9 =. iii) Η εξίσωση πλέον ισοδύναµα γράφεται: (α+ α +...α 9)x = α S9 x = α x = α () Αν =, τότε α = =, οπότε η () αληθεύει για άθε x R. Αν =, τότε α = =, οπότε η () είναι αδύνατη. < < < < < < < < { } Άσηση Θεωρούµε τις συναρτήσεις f(x) = λ x,λ R * = αι g(x) = x. i) Να βρείτε για ποια λ οι γραφιές παραστάσεις τους έχουν τουλάχιστο ένα οινό σηµείο ii) Για ποιο λ έχουν οινό σηµείο µε τετµηµένη iii) Να υπολογιστεί το άθροισµα: S = g() + g() + g() +...g() i) Οι συντεταγµένες των οινών σηµείων είναι οι λύσεις του συστήµατος: =. Όµως = g( x) y f x f x λ x = x λ x x+ =. α) Αν λ=, τότε y= f x, δηλαδή του y= g x x=, δηλαδή οι γραφιές παραστάσεις τους έχουν οινό σηµείο το M, β) Αν λ, τότε για να έχει η () λύση πρέπει αι αρεί, όπου 8λ 8 ( λ) λ λ λ [,) (,]. Τελιά πρέπει αι αρεί λ [,] ii) Πρέπει αι αρεί f () = g() ( i) αι ( i) λ = λ = λ= ήλ= = =. Άρα: iii) S= ( ). Όµως το ( ) είναι άθροισµα διαδοχιών όρων αριθ. προόδου µε α =, ω=, οπότε αν = α + (ν )ω= ν= Άρα S= S = ( + ) = =

7 Άσηση Έστω τα συµπληρωµατιά ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατιού χώρου Ω που αποτελείται από ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόµενα α) Να δείξετε ότι [ P(A) ] [ P(B) ] + β) Να εξετάσετε πότε ισχύει το ίσον στην παραπάνω ανισοισότητα γ) Αν ισχύει [ P(A) ] [ P(B) ] N(A) N(B) + = + = αι α) Αφού τα Α, Β είναι συµπληρωµατιά θα έχουµε: P(A) + P(B) = Αν P(A) = x, τότε P(B) x = µε x [,] x + x, ή x x+, ή β) Το ίσον ισχύει όταν αι µόνον + = να βρείτε το Ν(Ω), οπότε αρεί να δείξουµε ότι: x x, (x ) =, δηλαδή + ή γ) Σύµφωνα µε το ερώτηµα (β), [ P(A) ] [ ] x, που ισχύει. x= που σηµαίνει ότι P(A) = P(B) =. + P(B) = P(A) = P(B) = Ν(A) = Ν(B), οπότε: Ν(A) Ν(A) + = (Ν(A) ) = Ν(A) = αι Ν(A) = Ν(Ω) =. Ν(Ω) Άσηση α α α) Σε άθε γεωµετριή πρόοδο να δείξετε ότι: α + α + α α α β) Αν σε Γ.Π είναι = α + α + α i) Να βρείτε το λόγο λ της προόδου ii) Αν f(x) = x 7x+ λ = + να δείξετε ότι δειγµατιού χώρου Ω α + α + α = α + λ+ λ, αφού α) Προφανώς = λ 77 f(p(a))f α αι + λ+ λ > (γιατί;) α α αλ α α (λ ) Άρα: = = = λ α+ α + α α+ αλ + αλ α (+ λ+ λ ) β) i) Σύµφωνα µε το (α) ερώτηµα προύπτει ότι: λ = λ= ii) Είναι f (x) = x 7x+ που έχει ρίζες τις x=,x =. Άρα f (x) < για άθε x (,) αι f (x) x,, + Όµως P(A), οπότε f (P(A)) αι > για άθε για άθε ενδεχόµενο Α ενός < <, οπότε f <. Άρα: f (P(A))f Φροντιστήρια Παναγιώτης Στεφανής - Πλατεία Πάρου Λαµία