Μαθηµατική Παροσίαση των FM και PM Σηµάτων Ένα γωνιακά διαµορφωµένο σήµα, πο αναφέρεται επίσης και ως εκθετικά διαµορφωµένο σήµα, έχει τη µορφή u os j [ ] { π + jφ π + φ Re e } Σεραφείµ Καραµπογιάς Ορίζοµε τη στιγµιαία φάση το u µε την θ π + φ και τη στιγµιαία σχνότητα το διαµορφωµένο σήµατος µε την i d θ d + φ π d π d Οι σναρτήσειςφ και d φ d σχνότητας, αντίστοιχα. αναφέρονται ως στιγµιαίες αποκλίσεις φάσης και
Σεραφείµ Καραµπογιάς Στην διαµόρφωση φάσης PM, η στιγµιαία απόκλιση φάσης το φέροντος είναι ανάλογη προς το σήµα µηνύµατος φ όπο p ησταθεράαπόκλισηςφάσης µεµονάδα rad/vol p Για τα διαµορφωµένα κατά σχνότητα σήµατα, η απόκλιση σχνότητας το φέροντος είναι ανάλογη προς το σήµα µηνύµατος. i d φ π ή φ π d τ dτ όπο ησταθεράαπόκλισηςσχνότητας µεµονάδα rad/se u os [ π + ] p os [ ] π + τ dτ για PM για FM ιαµόρφωση Γωνίας -
Σεραφείµ Καραµπογιάς Σήµα µηνύµατος ΑΜ FM PM ιαµορφωµένα σήµατα Κµατοµορφές ΑΜ, FM και PM για δύο διαφορετικές κµατοµορφές µηνµάτων. ιαµόρφωση Γωνίας -3
Ισοδναµία σηµάτων FM και PM Έχοµε ότι φ για PM και φ π τ dτ για FM p Παρατηρούµε ότι αν διαµορφώσοµε κατά φάση το φέρον µε το ολοκλήρωµα ενός µηνύµατος, είναι ισοδύναµο µε το να διαµορφώσοµε κατά σχνότητα το φέρον µετοαρχικόµήνµα. Επίσης έχοµε ότι d d d φ για PM και φ π για FM d p d Παρατηρούµε επίσης ότι αν διαµορφώσοµε κατά σχνότητα το φέρον µε την παράγωγο το µηνύµατος, το αποτέλεσµα είναι ισοδύναµο µε διαµόρφωση φάσης τοφέροντοςµετοίδιοτοµήνµα. d Σεραφείµ Καραµπογιάς FM ιαµορφωτής u PM ιαµορφωτής u PM Ολοκληρωτής ιαµορφωτής u FM ιαφοριστής ιαµορφωτής u FM ιαµορφωτής PM ιαµορφωτής ιαµόρφωση Γωνίας -4
Ισοδναµία σηµάτων FM και PM Σεραφείµ Καραµπογιάς 4 4 u FM u FM 4 4 u PM Ισοδύναµα u PM 4 4 Κµατοµορφές FM και PM για ορθογώνιο και τριγωνικό σήµα µηνύµατος ιαµόρφωση Γωνίας -5
ιαµόρφωση τόνο Αν το σήµα µήνµα είναι ηµιτονικό ή τόνος, έχοµε a os π και η στιγµιαία απόκλιση φάσης το διαµορφωµένο σήµατος είναι φ π p Το διαµορφωµένο σήµα είναι Ορίζοντας p a os τ dτ os u os a β για FMκαιβ p os π + u os π + π a si, π π + p a os π a π + si π, p, PM έχοµε, για PM για FM για PM για FM όπο οι παράµετροι β p και β καλούνται δείκτες διαµόρφωσης των PM και FM σστηµάτων αντίστοιχα a για β p os π β si π,, Σεραφείµ Καραµπογιάς για PM για FM ιαµόρφωση Γωνίας -6
Η παράµετρος β ορίζεται µόνο για διαµόρφωση τόνο και παριστάνει τη µέγιστη φασµατική απόκλιση πο προκαλεί ο τόνος πο διαµορφώνει Μπορούµε να επεκτείνοµε τον ορισµό το δείκτη διαµόρφωσης γενικά για ένα µη ηµιτονοειδές σήµα ως β β p p ax ax [ ] [ ] όπο W σµβολίζει το εύρος-ζώνης το σήµατος µηνύµατος. W Σεραφείµ Καραµπογιάς ιαµόρφωση Γωνίας -7
ιαµόρφωση Γωνίας Στενού Εύρος-Ζώνης Ανσεένασύστηµαησταθεράαπόκλισηςκαιτοσήµαµηνύµατοςείναιτέτοιαπο γιαόλατα έχοµε φ << radτότε u os os π osφ si π π φ si π Σεραφείµ Καραµπογιάς siφ παρατηρούµε ότι στην περίπτωση ατή το διαµορφωµένο σήµα u µοιάζει πολύ µε ένα σµβατικό M σήµα. Το εύρος-ζώνης το u είναι πολύ µικρότερο από εκείνο ενός τπικού FM και γι ατό ο τύπος διαµόρφωσης ατό καλείται διαµόρφωση γωνία στενού εύροςζώνης ή απλά διαµόρφωση στενής-ζώνης Η διαµόρφωση στενής-ζώνης χρησιµοποιείται σπάνια στην πράξη για επικοινωνιακούς σκοπούς. si V u a os si V u φ os ιαγράµµατα µε φάσορες σµβατικού ΑΜ και διαµόρφωσης στενής-ζώνης ιαµόρφωση Γωνίας -8
Σεραφείµ Καραµπογιάς Φασµατικά Χαρακτηριστικά Σηµάτων ιαµορφωµένων κατά Γωνία Όταντοσήµαµηνύµατοςείναιέναηµιτονοειδέςσήµα, τόσοτο FM όσοκαιτο PM έχον τη µορφή u os + π β si π Μπορούµε να εκφράσοµε το διαµορφωµένο σήµα ως Παρατηρούµε ότι το e u Re jβ si π j π jβ si π e e είναι περιοδικό µε περίοδο T Εποµένως µπορεί να αναπτχθεί σε σειρά Fourier της µορφής e jβ si π j π C e και οι σντελεστές της σειράς Fourier δίνονται από την C u π π jβ si π j π j β si u u e e d e du π J β ιαµόρφωση Γωνίας -9
όπο J β είναιοισναρτήσεις Besselτοπρώτοείδοςτάξης. Έτσι το σήµα FM το διαµορφωµένο µε ένα τόνο εκφράζεται + R j j J e e J e u π β β π π os j j e J e π π β β si Έχοµε λοιπόν τη σειρά Fourier Από την έκφραση ατή προσδιορίζεται το φάσµα το u. Το ακριβές εύρος-ζώνης το διαµορφωµένο σήµατος είναι άπειρο. Σεραφείµ Καραµπογιάς ιαµόρφωση Γωνίας -
Σεραφείµ Καραµπογιάς u K J β os + J β os + J β os π π π + K Το φάσµα FM αποτελείται από µια σνιστώσα φέροντος και από άπειρο πλήθος πλερικώνσνιστωσώνστιςσχνότητες ±,,. Το σχετικό πλάτος των φασµατικών σνιστωσών το σήµατος FM εξαρτάται από τιςτιµέςτης J β Η φασική σχέση µεταξύ των πλερικών σνιστωσών είναι τέτοια ώστε οι περιττής τάξης κάτω πλερικές να είναι φασικά ανεστραµµένες. J J β J β, β, άρτιος περιττός Οι φασµατικές σνιστώσες της διαµορφωµένης κµατοµορφής δεν σχετίζονται µε απλό τρόπο µε το φάσµα το µηνύµατος. ιαµόρφωση Γωνίας -
Σεραφείµ Καραµπογιάς ΤιµέςΣνάρτησης Bessel J β β, β,5 β β β 5 β 8,99,938,765,4,78,7,,4,44,577,38,35,5,3,5,353,47,3 3,,9,365,9 4,,34,39,5 5,7,6,86 6,,3,338 7,53,3 8,8,3 9,6,6,,6,,3 ιαµόρφωση Γωνίας -
Σεραφείµ Καραµπογιάς u J β os π + F + [ os π ] δ + δ u K+ J + J + J os os os π J os π π π + + J os π + K J J J J + J U J J J J J + + + ιαµόρφωση Γωνίας -3
Ισχύς και Εύρος Ζώνης των Σηµάτων FM. Αν η ζώνη εκποµπής περιέχει το 98% ή περισσότερο της ισχύος το σήµατος τότε η παραµόρφωση το σήµατος βασικής ζώνης είναι αµελητέα S Επειδή το πλάτος ενός γωνιακά διαµορφωµένο σήµατος είναι πάντα σταθερό, ανεξάρτητα από το είδος το µηνύµατος, η µέση ισχύς είναι J J β β Σεραφείµ Καραµπογιάς Ορίζοµετηνποσότητα S ωςτολόγοτηςισχύοςποπεριέχεταιστοφέρονκαισε πλερικέςπροςτηνολικήισχύ. J β S T ιαµόρφωση Γωνίας -4
Σεραφείµ Καραµπογιάς Έτσι είναι S J β Παρατηρούµεότιγια >β+ τότε S,98 Έτσι για τη διαµόρφωση τόνο, το εύρος ζώνης το σήµατος FM είναι B β + Για την περίπτωση πο το γωνιακά διαµορφωµένο σήµα προκύπτει γενικά από ένα µη περιοδικό, αλλά νοµοτελειακό σήµα µηνύµατος, η έκφραση το εύρος ζώνης είναι B β+ W Η παραπάνω έκφραση το εύρος ζώνης αναφέρεται ως κανόνας τοcarso. ιαµόρφωση Γωνίας -5
Υλοποίηση ιαµορφωτών Γωνίας Σεραφείµ Καραµπογιάς Οι διαµορφωτές γωνίας γενικά είναι σστήµατα χρονικά µεταβαλλόµενα και µη γραµµικά. Υπάρχον δύο µέθοδοι παραγωγής σηµάτων FM η άµεση µέθοδος και η έµµεση µέθοδος. Η άµεση µέθοδος κάνει χρήση διατάξεων πο λέγονται ταλαντωτές ελεγχόµενοι από τάση VCO: Volage Corolled Osillaor των οποίων η σχνότητα εξαρτάται γραµµικάαπότηντάσητοσήµατος διαµόρφωσης. Υπάρχον δύο τεχνικές σχεδίασης ενός VCO. Η µία χρησιµοποιεί δίοδο λχνία varaor και η άλλη λχνία µη ωµικής σµπεριφοράς. Στηνέµµεσηµέθοδοπαράγεταιπρώταένασήµα FM στενήςζώνηςµετηνχρήση ενός διαµορφωτή πλάτος, το οποίο στη σνέχεια µετατρέπεται σε σήµα ερείας ζώνης µε πολλαπλασιασµό σχνότητας. ιαµόρφωση Γωνίας -6
Άµεση µέθοδος παραγωγής σηµάτων FM ίοδο λχνία varaor Σεραφείµ Καραµπογιάς C C a L προς κύκλωµα ταλαντωτή Υλοποίηση διαµορφωτή γωνίας µε δίοδο varaor Η χωρητικότητα της διόδο varaor δίδεται από την Όταν η σχνότητα το κκλώµατος σντονισµού είναι Όταν η σχνότητα το κκλώµατος σντονισµού είναι i Τελικά π L C C + π C C C + π LC + + i C πο είναι η σχέση για ένα διαµορφωµένο κατά σχνότητα σήµα C L C ιαµόρφωση Γωνίας -7
Σεραφείµ Καραµπογιάς V j Φ Από την τελεταία εξίσωση έχοµε διαδοχικά V j F π Φ j π Φ π π φ π τ dτ d φ π d Παρατηρούµε ότι η τάση ελέγχο το VCO,, είναι ανάλογη το σήµατος µηνύµατος. Επίσης το εύρος-ζώνης το G πρέπει να ισούται µε το εύρος-ζώνης W το σή- µατος µηνύµατος ιαµόρφωση Γωνίας -8
Σεραφείµ Καραµπογιάς Λχνία µη ωµικής σµπεριφοράς Στην λοποίηση ατή χρησιµοποιείται ένα πηνίο η επαγωγή το οποίο µεταβάλλεται µε την εφαρµοζόµενη τάση Λόγω της στενής σχέσης µεταξύ FM και PM οι ίδιες µέθοδοι µπορούν να εφαρµοστούνγιατηδηµιοργίασηµάτων PM.Πράγµατι, FM ιαµορφωτής u PM ιαµορφωτής u PM Ολοκληρωτής ιαµορφωτής u FM ιαφοριστής ιαµορφωτής u FM ιαµορφωτής PM ιαµορφωτής ιαµόρφωση Γωνίας -9
Έµµεση µέθοδος παραγωγής σηµάτων FM και PM Ανσεένασύστηµαησταθεράαπόκλισηςκαιτοσήµαµηνύµατοςείναιτέτοιαπο γιαόλατα έχοµε φ << radτότε u os os π osφ si π π φ si π Σεραφείµ Καραµπογιάς siφ παρατηρούµε ότι στην περίπτωση ατή το διαµορφωµένο σήµα u µοιάζει πολύ µε ένα σµβατικό M σήµα. Έτσι κάθε διαµορφωτής πο παράγει σµβατικό ΑΜ σήµα µπορεί εύκολα να τροποποιηθεί ώστε να παράγει ένα σήµα διαµορφωµένο κατά γωνία στενής-ζώνης. Ολοκληρωτής FM φ φ si π u PM os π Ταλαντωτής φέροντος si π Ολίσθηση φάσης 9 ηµιοργία σήµατος διαµορφωµένο κατά γωνία στενής-ζώνης ιαµόρφωση Γωνίας -
Σεραφείµ Καραµπογιάς Στη σνέχεια το διαµορφωµένο κατά γωνία στενής-ζώνης σήµα, µετατρέπεται σε σήµαερείαςζώνης. ιαµορφωτής κατά γωνία στενής ζώνης Σχνότητα Σχνότητα Σχνότητα BP Φίλτρο Έξοδος Τοπικός Ταλαντωτής Σχνότητα Έµµεση µέθοδος δηµιοργίας σήµατος διαµορφωµένο κατά γωνία. Το διαµορφωµένο σήµα στενής-ζώνης u L π + φ os Η έξοδος το πολλαπλασιαστή σχνότητας π + φ y os Το τελικό διαµορφωµένο κατά γωνία ερείας ζώνης σήµα π + φ u os L ιαµόρφωση Γωνίας -
Αποδιαµόρφωση Σηµάτων FM ιεκρινιστές είναι τα κκλώµατα των οποίων η τάση εξόδο είναι ανάλογη της σχνότητας εισόδο. B H V + για < όπο είναι η εαισθησία το διεκρινιστή. Τάση εξόδο κλίση Σεραφείµ Καραµπογιάς Σχνότητα εισόδο Τα χαρακτηριστικά ενός ιδανικού διεκρινιστή. u os [ ] π + π τ dτ ιεκρινιστής u [ ] V + os π + π τ dτ ιαµόρφωση Γωνίας -
Ένας διαφοριστής H π µετατρέπει ένα σήµα FM σε σήµα M Σεραφείµ Καραµπογιάς FM σήµα Περιοριστής BPF ιαφοριστής ΑΜ σήµα Φωρατής περιβάλλοσας Σήµα εξόδο Γενικό διάγραµµα ενός FM αποδιαµορφωτή µε περιοριστή Η έξοδος το διαφοριστή είναι [ π + ] si[ π + φ ] u Αν εξαιρέσοµε την απόκλιση φάσης φ, η έξοδος το διαφοριστή έχει τη µορφή ενός σήµατος M. Το σήµα βασικής ζώνης µπορεί να ανακτηθεί µε φώραση περιβάλλοσας, χωρίς παραµόρφωση αν { } π π ax < Η µέθοδος αναφέρεται και ως φωρατής κλίσης. ιαµόρφωση Γωνίας -3
Σεραφείµ Καραµπογιάς Προβλήµατα: Ο φωρατής αποκρίνεται σε διάφορες παρασιτικές ψεδοµεταβολές το πλάτος το FM. Αν χρησιµοποιηθεί ένα σντονισµένο κύκλωµα η περιοχή γραµµικότητας της χαρακτηριστικής σχνότητα-τάση είναι πολύ µικρή. Με το ισοσταθµισµένος διεκρινιστές επιτνχάνεται επέκταση της γραµµικότητας. Τάση εξόδο Γραµµική περιοχή Ολική απόκριση Απόκριση το επάνω φίλτρο Απόκριση το κάτω φίλτρο Ισοσταθµισµένος διεκρινιστής. Χαρακτηριστική σχνότητα τάσης π L C και π L C ιαµόρφωση Γωνίας -4
Σεραφείµ Καραµπογιάς Ζωνοπερατά φίλτρα R Φωρατές περιβάλλοσας D L C u R e C e L C R e C e R α Κκλωµατικό διάγραµµα ισοσταθµισµένο διεκρινιστή D ιαµόρφωση Γωνίας -5
Σεραφείµ Καραµπογιάς Βρόχοι Παρακολούθησης Φάσης -PLL Phase-Lo Loops Σήµα λήψης Σγκριτής φάσης Φίλτρο βρόχο G Σήµα εξόδο VCO ιάγραµµα βαθµίδων ενός PLL αποδιαµορφωτή FM Η είσοδος της διάταξης είναι ένα σήµα FM της µορφής u os [ ] [ π + φ ] os ω + π τ dτ Ο VCO δίνει σταθερή σχνότητα φέροσα σχνότητα όταν η τάση ελέγχο είναι µηδέν. Όταν η τάση ελέγχο στο VCO είναι U η στιγµιαία σχνότητα το VCO είναι + όπο U είναιηεαισθησίατο VCO σε Hz/vol ιαµόρφωση Γωνίας -6
Σεραφείµ Καραµπογιάς φ e si e [ π + φ ] u os Σγκριτής φάσης Φίλτρο βρόχο G y + si π π τ dτ VCO ιάγραµµα βαθµίδων ενός PLL αποδιαµορφωτή FM Ηέξοδοςτο VCO έχειτηµορφή y π + φ si π + π τ d si τ Ηέξοδοςτοσγκριτήφάσηςέχειτηµορφή e φ φ si φ si e Τοσήµα e είναιηείσοδοςστοφίλτροτοβρόχο. ιαµόρφωση Γωνίας -7
[ π + φ ] u os Σγκριτής φάσης Φίλτρο βρόχο G φ φ e si Σεραφείµ Καραµπογιάς y + si π π τ dτ VCO Όταν το PLL έχει κλειδώσει i lo στη φάση το σήµατος εισόδο, το σφάλµα φάσης είναι µικρό, οπότε si ιάγραµµα βαθµίδων ενός PLL αποδιαµορφωτή FM φ φ φ φ φ φ Φίλτρο βρόχο φ e g e φ π τ dτ Γραµµικοποιηµένο PLL ιαµόρφωση Γωνίας -8
d d d d e φ π φ + Ο µετασχηµατισµός Fourier δίνει Φ Φ + Φ j G j e e π π π G j e Φ + Φ e d τ τ π φ φ Το σφάλµα φάσης γράφεται ως παραγωγίζοντας d d d g d d e e φ τ τ τ φ π φ + αν g είναι η κροστική απόκριση το χαµηλοπερατού φίλτρο τότε η έξοδος φίλτρο δίνεται µε τη βοήθεια το ολοκληρώµατος της σνέλιξης έτσι έχοµε G j G G V e Φ + Φ Ο µετασχηµατισµός Fourier της τάσης εξόδο το VCO είναι >> G j j V Φ Σεραφείµ Καραµπογιάς ιαµόρφωση Γωνίας -9
Σεραφείµ Καραµπογιάς Ραδιοφωνία FM Η εµπορική ραδιοφωνία FM χρησιµοποιεί τη ζώνη σχνοτήτων 88 8 MHz για τη µετάδοση σηµάτων οµιλίας και µοσικής. Οι φέροσες σχνότητες διαχωρίζονται µε σχνοτική απόσταση KHz και η µέγιστη τιµή της απόκλισης σχνότητας έχει καθορισθεί σταθερή στα 75 KHz. Πολλοί ραδιοσταθµοί FM µεταδίδον προγράµµατα στερεοφωνικής µοσικής χρησιµοποιώντας τις εξόδος δύο µικροφώνων πο τοποθετούνται σε δύο διαφορετικά σηµεία το χώρο. Οι KHz ποείναιδιαθέσιµοιγιακάθεσταθµόεπιτρέποντηνεκποµπήενόςή περισσοτέρων σηµάτων ψηλής πιστότητας µε σχετική οικονοµία ζώνης σχνοτήτων. Στο σχήµα πο ακολοθεί φαίνεται ένας στερεοφωνικός ποµπός FM. Αρχικά από τοαριστερόσήµα l καιτοδεξιόσήµα r ποαντιστοιχούνσεδιαφορετική περιοχή της ορχήστρας, ή σε διαφορετικούς οµιλητές παράγοµε το άρθοισµα και τη διαφορά των σηµάτων ατών. ιαµόρφωση Γωνίας -3
l l + r Το σήµα αθροίσµατος αφήνεται ως έχει και καταλαµβάνει τη ζώνησχνοτήτων 5 KHz. Σεραφείµ Καραµπογιάς r l r ιαµορφωτής FM Το σήµα διαφοράς χρησιµοποιείται γιαναδιαµορφώσεικατά DSB-SC ένα φέρων στα 38 KHz. ιπλασιασµός σχνότητας 9 KHz Πιλοτικός τόνος Στερεοφωνικός ποµπός FM. 88-8 MHz Φέροσα FM Ο τόνος πιλότος προστίθεται στοσήµαγιατιςανάγκεςτης αποδιαµόρφωσης. L+ R Πιλοτικός τόνος L R DSB CS Υποπλερικές επικοινωνίες SC 5 9 3 38 53 59 67 75 Hz Φάσµα βασικής ζώνης πολπλεγµένο στερεοφωνικού σήµατος FM ιαµόρφωση Γωνίας -3
Σεραφείµ Καραµπογιάς L+ R Πιλοτικός τόνος L R DSB CS Υποπλερικές επικοινωνίες SC 5 9 3 38 53 59 67 75 Hz Φάσµα βασικής ζώνης πολπλεγµένο στερεοφωνικού σήµατος FM Χαµηλοπερατό φίλτρο 5 KHz l + r l Σήµα από IF ενισχτή FM αποδια- µορφωτής Ζωνοπερατό φίλτρο 3 53 KHz Χαµηλοπερατό φίλτρο 5 KHz l r r Φίλτρο στενής ζώνης σντονισµένο στος 9 KHz 38 KHz ιπλασιασµός σχνότητας Προς ενδείκτη στέρεο-λήψης έκτης FM στερεοφωνικής πολπλεξίας ιαµόρφωση Γωνίας -3