ιπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ιπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών ΚΑΡΑΒΑ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΤΟΥ ΧΡΗΣΤΟΥ Αριθμός Μητρώου: 5641 Θέμα «Έλεγχος ευστάθειας και σταθεροποίηση πλοίου με την βοήθεια της μη γραμμικής διαφορικής εξίσωσης Mathieu» Επιβλέπων ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΑΖΑΚΟΣ ΗΜΟΣΘΕΝΗΣ Αριθμός ιπλωματικής Εργασίας: Πάτρα, Οκτώβριος 009

~ 1 ~

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η ιπλωματική Εργασία με θέμα «Έλεγχος ευστάθειας και σταθεροποίηση πλοίου με την βοήθεια της μη γραμμικής διαφορικής εξίσωσης Mathieu» Του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών καιτεχνολογίας Υπολογιστών ΚΑΡΑΒΑ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΤΟΥ ΧΡΗΣΤΟΥ Αριθμός Μητρώου: 5641 Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις 15/10/009 Ο Επιβλέπων Ο ιευθυντής του Τομέα ημοσθένης Καζάκος Επίκουρος Καθηγητής Νικόλαος Κούσουλας Καθηγητής ~ ~

~ 3 ~

Αριθμός ιπλωματικής Εργασίας: Θέμα: «Έλεγχος ευστάθειας και σταθεροποίηση πλοίου με την βοήθεια της μη γραμμικής διαφορικής εξίσωσης Mathieu» Φοιτητής: Καραβάς Νικόλαος Επιβλέπων: Καζάκος ημοσθένης Περίληψη Σκοπός της παρούσης διπλωματικής εργασίας είναι η προσπάθεια βελτίωσης της δυναμικής συμπεριφοράς ενός πλοίου όσον αφορά την ευστάθεια και την σταθεροποίησή του. Αρχικά περιγράφεται το φυσικό σύστημα του πλοίου, μελετάται η ευστάθειά του στον εγκάρσιο άξονα κύλισης και μοντελοποιείται μαθηματικά. Έπειτα, αφού πραγματοποιηθεί η προσομοίωση του συστήματος του πλοίου, εφαρμόζονται διαφορετικές τεχνικές ελέγχου και συγκρίνονται με σκοπό την εύρεση της καταλληλότερης. Τέλος σχεδιάζεται ο παρατηρητής του συστήματος. ~ 4 ~

~ 5 ~

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Αρχικά, θα ήθελα να αναφέρω τους ανθρώπους εκείνους που συνέβαλαν στην διεκπεραίωση της διπλωματικής αυτής. Πρωτίστως, θέλω να ευχαριστήσω τον επίκουρο καθηγητή κ. Καζάκο Δημοσθένη, ο οποίος μου έδωσε την ευκαιρία να συνεργαστώ μαζί του για την εκπόνηση της συγκεκριμένης εργασίας. Επιπλέον, θερμές ευχαριστίες θέλω να δώσω και στον υποψήφιο διδάκτορα του Πανεπιστημίου Πατρών Κωνσταντόπουλο Γεώργιο ο οποίος μου προσέφερε με προθυμία τις γνώσεις του και συνέβαλε στην ολοκλήρωση αυτής της διπλωματικής εργασίας. ~ 6 ~

~ 7 ~

Αφιερώνεται σε εκείνους που με πίστεψαν ~ 8 ~

~ 9 ~

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Καταρχάς,το πρόβλημα της μελέτης της δυναμικής συμπεριφοράς και της ευστάθειας ενός πλοίου είναι βασική απασχόληση του Ναυπηγού Μηχανικού κατά την διάρκεια του σχεδιασμού του πλοίου. Όμως κάτω από την επίδραση εσωτερικών (π.χ. μετακίνηση βαρών) ή εξωτερικών (π.χ. δράση κυμάτων) δυνάμεων ένα πλοίο μπορεί να φθάσει σε ανεπιθύμητες καταστάσεις ισορροπίας ή ακόμα και να ανατραπεί. Συνεπώς η εφαρμογή ελέγχου σε πλοία κυρίως μεσαίου και μικρού μεγέθους αποκτά ιδιαίτερο επιστημονικό ενδιαφέρον με σκοπό την βελτίωση της δυναμικής συμπεριφοράς και την σταθεροποίηση του πλοίου. Στην συνέχεια περιγράφεται το περιεχόμενο των κεφαλαίων αυτής της εργασίας. Στο κεφάλαιο 1, αρχικά γίνεται μια αναφορά στα είδη ταλαντώσεων που είναι πιθανόν να διαταράξουν ένα πλοίο και έπειτα μια σύντομη ανάλυση των ταλαντώσεων που οφείλονται από κυματισμό. Στην συνέχεια περιγράφεται το φυσικό σύστημα του πλοίου και μελετάται η ευστάθεια του στον άξονα της κύλισης. Έπειτα καταλήγουμε στην εξίσωση κύλισης του πλοίου, η οποία είναι η εξίσωση Mathieu,και ουσιαστικά αποτελεί την μαθηματική μοντελοποίηση του φυσικού μας συστήματος,δηλαδή την κίνηση του πλοίου στον εγκάρσιο άξονα κύλισης. Τέλος μορφοποιούμε το σύστημα σε καταστατικές εξισώσεις. Στο κεφάλαιο,παρουσιάζεται η προσομοίωση του συστήματος του πλοίου και τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων. Στο κεφάλαιο 3, γίνεται η γραμμικοποίηση του συστήματος με την βοήθεια της σειράς Taylor, η οποία όπως αποδεικνύεται καταλήγει σε μη ελέγξιμο σύστημα. Στο κεφάλαιο 4, προτείνεται μια τεχνική ελέγχου,το feedback linearization, η οποία γραμμικοποιεί το σύστημα. Στο κεφάλαιο 5, αρχικά σχεδιάζεται ένας μη γραμμικός έλεγχος με βάση του θεωρήματος Artstein και έπειτα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων. Στην συνέχεια σχεδιάζεται έλεγχος με τοποθέτηση πόλων στο ~ 10 ~

γραμμικοποιημένο σύστημα και παρουσιάζονται τα αποτελέσματα. Αφού γίνει εφαρμοστεί βέλτιστος έλεγχος τότε συγκρίνονται τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων των δύο παραπάνω ελέγχων. Τέλος γίνεται μια αναφορά στην υλοποίηση του ελέγχου στο σύστημα του πλοίου. Στο κεφάλαιο 6, σχεδιάζεται ένας παρατηρητής με βάση το γραμμικοποιημένο σύστημα και συγκρίνονται η εκτιμούμενες καταστάσεις με τις πραγματικές έτσι ώστε να ελεχθεί η αξιοπιστία του. Στο κεφάλαιο 7, αναφέρονται τα συμπεράσματα τις διπλωματικής εργασίας και παρουσιάζονται προτάσεις για περαιτέρω έρευνα. ~ 11 ~

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ... 6 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 1 1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ... 14 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 14 1. ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΚΥΜΑΤΙΣΜΟ... 15 1.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ... 18 1.3.1 Ορισμοί γεωμετρίας πλοίου... 18 1.3. Μελέτη ευστάθειας πλοίου... 19 1.4 Η ΕΞΙΣΩΣΗ MATHIEUU... 3 1.4.1 Γενική Λύση... 3 1.4. Περιοδικές Λύσεις... 4 1.4.3 Ευστάθεια Λύσεων... 5 1.5 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΚΥΛΙΣΗΣ... 8 1.6 ΜΟΡΦΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΣΕ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... 33. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ... 36 3. ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΣΕΙΡΑΣ TAYLOR... 46 4. FEEDBACK LINEARIZATION... 50 (ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΑΝΑΔΡΑΣΗ)... 50 4.1 INPUT STATE LINEARIZATION... 51 4.1.1 Γενικά... 51 4.1. Ορισμοί... 51 4.1.3 Υλοποίηση της τεχνικής input state linearization... 55 4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ INPUT STATE LINEΑRIZATION ΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΟΥ ΠΛΟΙΟΥ... 56 5. ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ... 6 5.1 ΘΕΩΡΗΜΑ ARTSTEIN... 63 5. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΤΑ ARTSTEIN ΣΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΠΛΟΙΟΥ... 65 5.3 ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΠΟΛΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΟΥ ΠΛΟΙΟΥ... 68 5.4 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ... 75 5.5 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ... 79 ~ 1 ~

6. ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗ... 8 7. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ... 88 ΒΙΒΛΙΟΦΡΑΦΙΑ... 90 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α... 91 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: ΠΡΟΡΑΜΜΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ MATLAB... 9 ~ 13 ~

1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι ταλαντώσεις ενός πλοίου είναι ένα θέμα που παρουσιάζει συνεχές ενδιαφέρον σε Επιστήμονες Μηχανικούς. Η παρουσία ταλαντώσεων μπορεί να προκαλέσει τη δυσφήμιση ενός επιβατηγού πλοίου, να επηρεάσει σοβαρά τη μαχητική ικανότητα ενός πολεμικού πλοίου και να ενοχλεί το πλήρωμα ενός εμπορικού πλοίου. Επίσης η ύπαρξη εντόνων ταλαντώσεων μπορεί να προκαλέσει ζημιές στη μεταλλική κατασκευή και συνεπώς η αποφυγή τους ή η μείωσή τους πρέπει να είναι ένας από τους στόχους του μελετητή που ασχολείται με τη σχεδίαση ενός νέου πλοίου. Αν σκεφτούμε το πόσο πολύπλοκη είναι η μεταλλική κατασκευή ενός πλοίου και το πλήθος των πηγών ταλαντώσεων δεν θα πρέπει να εκπλαγούμε όταν διαπιστώσουμε πως απέχουμε πολύ ακόμη από μια πλήρη λύση των προβλημάτων των ταλαντώσεων του πλοίου. Οι διεγέρσεις που προκαλούν αυτές τις ταλαντώσεις μπορούν να χωριστούν στις εξής κατηγορίες: α) Περιοδική διέγερση που μπορεί να οφείλεται στην κύρια μηχανή,στην έλικα ή σε βοηθητικά μηχανήματα β) Τυχαία διέγερση που οφείλεται στον κυματισμό γ) Παροδική διέγερση που μπορεί να οφείλεται : 1)Σε πολύ άσχημη κατάσταση θάλασσας με κρούση κυμάτων πάνω στο πλοίο )Σε κρούση του κάτω τμήματος της πρώρας πάνω στα κύματα 3)Σε πυρά των πυροβόλων του πλοίου ~ 14 ~

4)Σε χειρισμούς αγκυροβολίας 1. ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΚΥΜΑΤΙΣΜΟ Εμείς θα ασχοληθούμε μόνο με τις ταλαντώσεις που οφείλονται σε διέγερση από κυματισμό. Η διέγερση της μορφής αυτής συμβαίνει κατά δύο διαφορετικούς τρόπους. Ο πρώτος είναι η δημιουργία μιας συνεχούς τυχαίας ταλαντώσεως με κάποιο είδος συντονισμού με τα κύματα, κατά την οποία οι δυνάμεις διεγέρσεως επενεργούν σε όλο το μήκος του πλοίου. Το φαινόμενο αυτό χαρακτηρίζεται σαν ταλάντωση κυματισμού (springing). O δεύτερος είναι σφυροκρούσεις της πλώρης και του πυθμένος του πλοίου που συμβαίνουν σε πολύ άσχημη κατάσταση θάλασσας και μπορούν να προκαλέσουν παροδικές ταλαντώσεις που αρχίζουν απότομα και σιγά σιγά σβήνουν. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται ταλάντωση χτυπήματος (whipping).τα δύο αυτά είδη ταλαντώσεως συμβαίνουν συνήθως μαζί και είναι δύσκολο να τα διακρίνει κανείς στην πράξη. Η κίνηση που προκαλείται από την ταλάντωση κυματισμού υπερτίθεται στις συνήθεις κινήσεις προνευτασμού και καθ ύψος ταλαντώσεως του πλοίου. Σε μεγάλα πλοία η παραμόρφωση από ταλάντωση κυματισμού μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί με το μάτι. Οι επιταχύνσεις μπορούν επίσης να γίνουν αισθητές από τους ανθρώπους που βρίσκονται πάνω στο πλοίο. Στο σχήμα 1-1 βλέπουμε ότι η κίνηση της ταλαντώσεως κυματισμού μπορεί να φθάσει μέχρι του σημείου που να προκαλεί δυσάρεστη αίσθηση, πράγμα που συμφωνεί γενικά με την εμπειρία. Το επίπεδο ταλαντώσεως ενός πλοίου από κυματισμό εξαρτάται κατά πολύ από την κατάσταση της θάλασσας και του πλοίου. Οι θεωρητικές προβλέψεις είναι δύσκολες κυρίως λόγω της δυσκολίας που παρουσιάζουν η υδροδυναμική διέγερση και η απόσβεση. Είναι όμως δυνατόν, με βάση μετρήσεις που έχουν γίνει και την κοινή εμπειρία, να αναγνωρισθούν μερικές κύριες τάσεις στο φαινόμενο: ~ 15 ~

Σχήμα 1-1 α) Η ταλάντωση κυματισμού αυξάνεται με αύξηση της φυσικής συχνότητας. Αυτό κυρίως σημαίνει ότι πλοία μεγάλου μήκους και λεπτά εκτίθενται περισσότερο από ~ 16 ~

πλοία μικρού μήκους και επεξηγεί το γιατί πολλή προσπάθεια ελέγχου του φαινομένου έχει δαπανηθεί στα πλοία των μεγάλων λιμνών. β) Η ταλάντωση κυματισμού μειώνεται με την αύξηση του βυθίσματος του πλοίου. Αυτό είναι εύκολα κατανοητό γιατί η πίεση από τον κυματισμό μειώνεται γρήγορα κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας. γ) Η ταλάντωση κυματισμού αυξάνεται με την ταχύτητα του πλοίου. Εάν το πλοίο επιταχύνεται μέσα σε μετωπικούς κυματισμούς, τα κύματα που είναι σε συντονισμό με τις ταλαντώσεις κυματισμού θα έχουν όλο και μικρότερη συχνότητα και όλο και μεγαλύτερο μήκος κύματος. Το γεγονός αυτό μπορεί να εξαχθεί από την αρχή του Doppler. Τότε, οι ταλαντώσεις κυματισμού θα αυξηθούν γιατί τα κύματα συντονισμού θα έχουν μετακινηθεί στην περιοχή με περισσότερη ενέργεια του φάσματος κυματισμών όπως φαίνεται στο σχήμα 1-. Σχήμα 1- ~ 17 ~

δ) Η ταλάντωση κυματισμού αλλάζει με την κατεύθυνση των κυμάτων. Η ταλάντωση κυματισμού είναι μέγιστη με μετωπικούς κυματισμούς και ελάχιστη με ακολουθούντες κυματισμούς. Πρέπει όμως να αναφερθεί ότι η ταλάντωση κυματισμού δεν εξαφανίζεται με πλευρικά κύματα. 1.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 1.3.1 Ορισμοί γεωμετρίας πλοίου Το τμήμα του πλοίου που έρχεται σε επαφή με το νερό, είτε στην κατακόρυφη, είτε σε κεκλιμένη θέση του πλοίου ονομάζεται γάστρα(hull). Η γάστρα δηλαδή είναι το κοίλο σώμα που περικλείεται από μια εξωτερική επιφάνεια και σκεπάζεται από ένα υδατοστεγές κατάστρωμα. Το μέρος της γάστρας που βρίσκεται κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας ονομάζεται ύφαλα ενώ το μέρος της γάστρας που βρίσκεται πάνω από την επιφάνεια της λέγεται έξαλα. Η αντίσταση του πλοίου, η ευστάθειά του, η συμπεριφορά του σε κυματισμό και πολλές άλλες ιδιότητες του συνδέονται άμεσα με την εξωτερική μορφή της γάστρας του. Το εξωτερικό χαλύβδινο, ξύλινο ή και πλαστικό περίβλημα του πλοίου στηρίζεται πάνω σ ένα αντίστοιχο σκελετό. Τα εγκάρσια πλευρικά στοιχεία του σκελετού του πλοίου ονομάζονται νομείς κατασκευής. Επίσης η τομή της επιφάνειας της θάλασσας (που θεωρείται επίπεδη) με την επιφάνεια αναφοράς του πλοίου ονομάζεται ίσαλος(waterline,wl). ~ 18 ~

Σχήμα 1-3 1.3. Μελέτη ευστάθειας πλοίου Ένα αντικείμενο που επιπλέει σε ένα αδιατάραχτο υγρό δέχεται δύο κατακόρυφες, αντίθετης φοράς,δυνάμεις. Το βάρος και την δύναμη της αντώσεως(άνωσης) όπως φαίνεται και στο σχήμα 1-4α. Όταν το κέντρο αντώσεως βρίσκεται στην ίδια ευθεία με το κέντρο βάρους τότε το πλοίο ισορροπεί. Αν το πλοίο κυλήσει στον εγκάρσιο άξονα κύλισης (άξονας του Roll) και το κέντρο αντώσεως μετακινηθεί με την ίδια διεύθυνση τότε το πλοίο τείνει να επιστρέψει στο σημείο ισορροπίας και είναι ευσταθές(σχήμα 1-4β). Αν όμως το κέντρο αντώσεως μετακινηθεί με διεύθυνση αντίθετη από αυτής της κύλισης του πλοίου τότε το πλοίο τείνει να ανατραπεί και είναι ασταθές(σχήμα 1-4γ). ~ 19 ~

Σχήμα 1-4 Ευστάθεια πλοίου στον εγκάρσιο άξονα κύλισης (άξονας του Roll): (α) πλοίο σε ισορροπία (β) ευσταθές πλοίο (γ) ασταθές πλοίο Για την εξέταση της ευστάθειας του πλοίου σε μεγάλες κλίσεις πρέπει να γνωρίζουμε το αρχικό μετακεντρικό ύψος GM, το εκτόπισμα και τις γεωμετρικές ιδιότητες της γάστρας του πλοίου. Επίσης θεωρούμε ότι έχουμε ισόογκη μεταβολή δηλαδή ότι ο όγκος εκτοπίσματος του πλοίου παραμένει σταθερός. ~ 0 ~

Σχήμα 1-5 Έστω λοιπόν, χωρίς απώλεια της γενικότητας, ένα πλοίο συμμετρικό ως προς το επίπεδο του νομέα. Σε μία ισόογκοη κλίση κατά την γωνία φ το αρχικό κέντρο αντώσεως Β μετακινείται στο επίπεδο του και φθάνει στο,σχήμα 1-5. Έστω ακόμα KG η κατακόρυφη θέση του κέντρου βάρους, ΒΜ= \ η αρχική μετακεντρική ακτίνα και Ν (ψευδομετάκεντρο) το σημείο τομής της καθέτου στην κεκλιμένη ίσαλο, που διέρχεται από το κέντρο αντώσεως, με το διαμήκη άξονα συμμετρίας του πλοίου. Ο μοχλοβραχίονας ευστάθειας G Z ισούται : sin sin sin (1.1) Συνεπώς η ροπή επαναφοράς που δημιουργείται είναι: sin (1.) ~ 1 ~

Προφανώς τα διανύσματα ΚΒ και ΒΜ εξαρτώνται από την αρχική γεωμετρία των υφάλων και το εκτόπισμα, το ΚG από την κατανομή της μάζας του πλοίου και το ΜΝ από την τελική γεωμετρία των υφάλων και το εκτόπισμα. Έτσι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο μοχλοβραχίονας ευστάθειας για ένα πλοίο που πλέει σε εκτόπισμα Δ, συντίθεται από δύο όρους. Ο ένας όρος,gmsin εξαρτάται από την κατακόρυφη θέση του κέντρου βάρους και τη αρχική γεωμετρία των υφάλων και λέγεται ευστάθεια λόγω αρχικού μετακεντρικού ύψους και ο άλλος όρος, ΜΝsin, εξαρτάται από γεωμετρία των υφάλων στην τελικ ή θέση και καλείται υπόλοιπη ευστάθεια. Έτσι, εάν εκτρέψουμε το πλοίο κατά μια αρχική γωνία θα έχουμε μια αύξηση της ταλάντωσης του πλοίου ως εξής: αυξάνεται το διάνυσμα GN άρα και η ροπή επαναφοράς. Το πλοίο θα τείνει να κινηθεί αντίθετα από την διεύθυνση εκτροπής μετατρέποντας την δυναμική του ενέργεια σε κινητική. Η κίνηση αυτή υποβοηθείται από την δύναμη επαναφοράς. Μόλις ο κάθετος άξονας του πλοίου περάσει το σημείο ισορροπίας τότε η δύναμη επαναφοράς αντιστέκεται στην κίνηση. Έτσι έχουμε μια ταλάντωση του πλοίου μέχρι να επανέλθει στο σημείο ισορροπίας. Όμως η συνεχής επίδραση των κυματισμών είναι δυνατόν να εκτρέψουν το πλοίο σε γωνία φ > με αποτέλεσμα να αυξάνει η ταλάντωση γύρω από τον εγκάρσιο άξονα κύλισης μέχρι της ανατροπής του πλοίου. Αυτό κάνει φανερή την ανάγκη χρησιμοποιήσεως κάποιου ελέγχου ώστε να αποφεύγεται το εν λόγω φαινόμενο, αλλά και ακόμα να επιταχύνεται χρονικά η επαναφορά του πλοίου στη θέση ισορροπίας. ~ ~

1.4 Η ΕΞΙΣΩΣΗ MATHIEU Η εξίσωση Mathieu είναι ειδική περίπτωση μιας μη γραμμικής δευτέρας τάξης ομογενούς διαφορικής εξίσωσης και έχει γενική μορφή: 0 (1.3) όπου α και q είναι παράμετροι. Οι λύσεις της εξίσωσης ονομάζονται συναρτήσεις Mathieu. Συνήθως όμως το όνομα συνάρτηση Mathieu χρησιμοποιείται για τις λύσεις με περίοδο π ή π. 1.4.1 Γενική Λύση Για δεδομένα α και q υπάρχουν μία γενική λύση y(x) και ένας χαρακτηριστικός εκθέτης μ τέτοια ώστε: (1.4) Για μικρές τιμές του q μια προσεγγιστική τιμή του μ δίδεται από την σχέση: (1.5) Αν είναι μία λύση της εξίσωσης Mathieu ικανοποιώντας τις αρχικές συνθήκες 0 1 και 0 0 τότε ο εκθέτης μ μπορεί να βρεθεί από τη σχέση cosh (1.6) Η λύση και συνεπώς και ο εκθέτης μ μπορούν να ορισθούν με οποιοδήποτε βαθμό ακρίβειας με τη βοήθεια αριθμητικών ή προσεγγιστικών μεθόδων. Η γενική λύση εξαρτάται από την τιμή και μπορεί να εκφραστεί ~ 3 ~

από δύο δευτερεύουσες περιοδικές συναρτήσεις και όπως φαίνεται και στο πίνακα 1. ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Περιορισμός Γενική λύση Περίοδος της και Εκθέτης 1 π μ πραγματικός αριθμός 1 π μ=ρ+1/i 1 π μ= iv 1 π μ=0 1.4. Περιοδικές Λύσεις Για να υπάρχουν λύσεις με περίοδο π ή π πρέπει οι παράμετροι α και q να ικανοποιούν συγκεκριμένες συνθήκες(αυτές οι τιμές της παραμέτρου α ονομάζονται ιδιοτιμές).για παράδειγμα η εξίσωση 0 έχει περιοδική λύση αν και μόνον αν α=0. Οι εύρεση αυτών των συνθηκών είναι ένα από τα βασικά προβλήματα της θεωρίας των συναρτήσεων Mathieu. Αυτό οφείλεται στο ότι πολλά φυσικά περιοδικά προβλήματα μπορούν να αντιμετωπιστούν με την εξίσωση Mathieu όπως για παράδειγμα τα προβλήματα ταλαντώσεων και κυμάτων. Στον πίνακα παρουσιάζονται οι πιο σημαντικές περιοδικές λύσεις. ~ 4 ~

ΠΙΝΑΚΑΣ Συναρτήσεις Mathieu Σχέσεις συντελεστών Κανονικοποιημέ νες συνθήκες 1.4.3 Ευστάθεια Λύσεων Ένα άλλο βασικό πρόβλημα της εξίσωσης Mathieu είναι η ευστάθεια των λύσεων. Ευσταθής σημαίνει ότι η απόκριση y είναι φραγμένη. Για ένα πλοίο του οποίου η κίνηση στον άξονα κύλισης διέπεται από την εξίσωση του Mathieu μια ασταθή λύση σημαίνει ότι το πλοίο ανατρέπεται. Συνεπώς είναι κατανοητό πόσο σημαντική είναι η διάκριση των περιοχών ευστάθειας. Η συνθήκη ευστάθειας για μία γραμμική διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές είναι οι πόλοι της ~ 5 ~

συνάρτησης μεταφοράς να έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος. Αυτή η συνθήκη δεν ισχύει για την εξίσωση Mathieu, καθώς η συμπεριφορά των λύσεων εξαρτάται από τις τιμές των παραμέτρων α και q.αυτή η συμπεριφορά μπορεί να εξηγηθεί με την βοήθεια του σχήματος 1-6. Στον οριζόντιο άξονα βρίσκονται οι τιμές της παραμέτρου α και στον κάθετο οι τιμές της παραμέτρου q. Οι λευκές περιοχές ανήκουν στις ευσταθείς λύσεις και οι γραμμοσκιασμένες στις ασταθείς. Σχήμα 1-6 ~ 6 ~

Από το διάγραμμα συμπεραίνουμε τα εξής: Οι γραμμές που χωρίζουν τις ευσταθείς περιοχές με τις ασταθείς τέμνουν τον οριζόντιο άξονα στα σημεία 0,1,,3, 4 Όσο αυξάνει το α τόσο αυξάνει και το πλάτος των ευσταθών περιοχών. Όσο αυξάνει το q οι περιοχές ευστάθειας μικραίνουν. ~ 7 ~

1.5 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΚΥΛΙΣΗΣ Μια γενική μορφή της εξίσωσης που περιγράφει την κίνηση στον εγκάρσιο άξονα κύλισης (άξονα του Roll) είναι: d θ IXX + D( θθ, ) + M( θ, t) 0 dt = (1.7) όπου οι όροι παριστούν την αδράνεια, το ιξώδες και τις ροπές βαρύτητας αντίστοιχα. Ας θεωρήσουμε τώρα ότι το πλοίο επιπλέει σε μία ταραγμένη θάλασσα στη οποία τα κύματα υποθέτουμε ότι έχουν ημιτονοειδή μορφή. Για την ακρίβεια θεωρούμε την επιφάνεια της θάλασσας σαν μια δυσδιάστατη κυματομορφή. Πολύ εύκολα θα καταλάβουμε ότι ανάλογα με την διεύθυνση κίνησης των κυμάτων θα έχουμε κίνηση κύλισης του πλοίου γύρω από τους τρεις άξονές του όπως φαίνεται στο σχήμα 1-7. Στην παρούσα εργασία όμως θα μελετήσουμε την ευστάθεια του πλοίου μόνο στον εγκάρσιο άξονα κύλισης(άξονας του Roll). Σχήμα 1-7 ~ 8 ~

Εξαιτίας των κυμάτων δημιουργείται μεταβολή του μετακεντρικού ύψους Μ αλλά και του ψευδομετακέντρου Ν. Συνεπώς θα έχουμε μεταβολή του διανύσματος GN. Έτσι χωρίς εκτενής ανάλυση καταλήγουμε σε μια εξίσωση που περιγράφει πώς μεταβάλλεται με τον χρόνο η ροπή επαναφοράς: M ( θ, t) = W[ GN ( Δ GN / )sin ω t] θ (1.8) e όπου ωe είναι η φαινόμενη συχνότητα. Ο όρος που έχει προστεθεί αντιστοιχεί στην μεταβολή της ευστάθειας. Η φαινόμενη περίοδος T e είναι ο χρόνος που χρειάζεται ένα κύμα να διασχίσει το μήκος του πλοίου. Η φαινόμενη συχνότητα εξαρτάται από την ταχύτητα του πλοίου,την συχνότητα και την διεύθυνση των κυμάτων και δίδεται από την σχέση: Uω w U ωe = cos μ+ ωw = ωw(1 + ωw cos μ) (1.9) g g όπου U η ταχύτητα του πλοίου, ω w η συχνότητα των κυμάτων και μ η γωνία μεταξύ των κυμάτων και της πλώρης του πλοίου, όπως φαίνεται και στο σχήμα1-8. Σχήμα 1-8 ~ 9 ~

Οπότε αντικαθιστώντας την (1.8) στην εξίσωση (1.7) έχουμε: d θ dθ + ( B / ) ( / )( ( /)sin ) 0 r I XX + W I XX GN Δ GN ωet θ = (1.10) dt dt Όπου Br η ολική υδροδυναμική απόσβεση κύλισης και I XX η ροπή αδράνειας κύλισης. Αν ορίσουμε την φυσική συχνότητα (ιδιοσυχνότητα) τότε η (1.10) γίνεται: 0 WGN I ω = (1.11) d θ dθ + ( B / ) r I XX + ω 0(1 ( ΔGN / GN)sin ωet) θ = 0 (1.1) dt dt Ας κάνουμε τώρα τους παρακάτω μετασχηματισμούς: z = ω e t x = θ Τότε XX dθ dx dz dx = = ωe dt dz dt dz d θ d x dz dx d z d x = ( ) + = ω e dt dz dt dz dt dt Εισάγουμε τις παραπάνω εκφράσεις στην (1.1) και έτσι έχουμε: ω + + Δ = (1.13) d x dx 0 ( B / ) ( ) (1 ( / )sin ) 0 r ωei XX GN GN z x dz dz ωe Εάν τώρα ορίσουμε : a ω ω 0 = ( ) (1.14 α) e ~ 30 ~

ΔGN ω b q = = a (1.14 β) 0 ( )( ) ( ) 4GN ωe B r Συντελεστής απόσβεσης Dx ( ) = ω I (1.14 γ) Καταλήγουμε στην εξίσωση : d x e XX dx + Dx ( ) + ( a qsin zx ) = 0 (1.15) dz dz η οποία είναι η γνωστή εξίσωση Mathieu με έναν όρο απόσβεσης. Συνεπώς η εξίσωση (1.15) αποτελεί την μαθηματική μοντελοποίηση του φυσικού συστήματος του πλοίου που περιγράφτηκε παραπάνω. Αν ο συντελεστής απόσβεσης D είναι σταθερός τότε ο όρος απόσβεσης εξαρτάται μόνο από την γωνιακή ταχύτηταθ, οπότε έχουμε γραμμικό μοντέλο απόσβεσης. Αν όμως ο συντελεστής απόσβεσης εξαρτάται και από την γωνία θ τότε έχουμε μη γραμμικό μοντέλο απόσβεσης. Αυτό προφανώς εξαρτάται από την ολική υδροδυναμική απόσβεση κύλισης B r.έχει αποδειχθεί από προηγούμενη εργασία πως η περίπτωση του μη γραμμικού μοντέλου παρουσιάζει καλύτερη συμπεριφορά έχοντας μεγαλύτερες περιοχές ευστάθειας και ταχύτερες αποκρίσεις. Συνεπώς ο έλεγχος στην περίπτωση του γραμμικού μοντέλου απόσβεσης παρουσιάζει μεγαλύτερο ενδιαφέρον. Για αυτό τον λόγο στην παρούσα εργασία θα μελετηθεί η περίπτωση του γραμμικού μοντέλου απόσβεσης. Έτσι θα ασχοληθούμε με την εξίσωση Mathieu με γραμμικό όρο απόσβεσης : d x dx + D + ( a qsin z) x=0 (1.16) dz dz Στο σχήμα 1-9 φαίνονται οι περιοχές ευστάθειας για την εξίσωση Mathieu για διάφορες τιμές των παραμέτρων α και q στην περίπτωση του γραμμικού μοντέλου απόσβεσης. ~ 31 ~

Σχήμα 1-9 Όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενη ενότητα στην εξίσωση Mathieu οι τιμές των α και q καθορίζουν αν η λύση είναι ευσταθής ή όχι. Στην περίπτωση του πλοίου οι παράμετροι α και q εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της σχεδίασης του πλοίου(τα οποία καθορίζουν και την φυσική συχνότητα του πλοίου) αλλά και από την φαινόμενη συχνότητα. Γεγονός που αποδεικνύει το αναμενόμενο, δηλαδή ότι η ευστάθεια του πλοίου (αν θα ανατραπεί ή όχι) εξαρτάται από την γεωμετρία του πλοίου και από την συχνότητα και το πλάτος των κυμάτων. ~ 3 ~

1.6 ΜΟΡΦΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΣΕ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Αφού περιγράψαμε το μοντέλο του πλοίου με την εξίσωση (1.16) και έχοντας ως στόχο να εφαρμόσουμε έλεγχο για να βελτιωθεί η συμπεριφορά του συστήματος πρέπει να μετασχηματίσουμε την εξίσωση σε καταστατική μορφή. Θέτοντας:.. x = x x= x 1 1.. x = x x = x 1 Οπότε η εξίσωση (1.16) γίνεται:. x + Dx + ( a qsin z) x = 0. 1 x = ( a qsin z) x1 Dx Άρα το καταστατικό μοντέλο είναι:. x. = x 1 x = ( a qsin z) x Dx 1 (1.17) όπου η κατάσταση x 1 είναι η γωνία εκτροπής του πλοίου από την θέση ισορροπίας και η κατάσταση x είναι η γωνιακή ταχύτητα. Τώρα πρέπει να ορίσουμε τον έλεγχο (είσοδο) που θα εφαρμόσουμε στο σύστημα. Προφανώς σκοπός του ελέγχου είναι να επαναφέρει το πλοίο στο σημείο ισορροπίας. Δηλαδή απαιτείται μια ροπή που να ελέγχει την γωνία απόκλισης στον άξονα κύλισης. Ο συντελεστής απόσβεσης δίδεται από την σχέση (1.14 γ): B D = ω I e r XX ~ 33 ~

Άρα μπορούμε να θεωρήσουμε σαν είσοδο του συστήματος την ροπή I XX.Αυτό είναι και πρακτικά εφικτό γιατί η ροπή μπορεί να υπολογίζεται κάθε στιγμή, συνεπώς μπορεί να θεωρηθεί σαν σήμα εισόδου. Οπότε u = I XX Επίσης ορίζεται έξοδο του συστήματος η γωνία απόκλισης, δηλαδή η κατάσταση x 1: y = x1 Έτσι καταλήγουμε στο πλήρες καταστατικό μοντέλο του συστήματος μας:. x = x 1. r x = ( a qsin z) x1 x ωeu y = x 1 B (1.18) Εύκολα παρατηρούμε ότι το σύστημα είναι ένα μη γραμμικό χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα. Είναι χρονικά μεταβαλλόμενο γιατί η μεταβλητή z μεταβάλλεται στον χρόνο ενώ η μη γραμμικότητα έγκειται στο γεγονός ότι η είσοδος πολλαπλασιάζεται με μία κατάσταση. ~ 34 ~

~ 35 ~

. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Για την προσομοίωση του συστήματος χρησιμοποιήθηκε το λογισμικό MATLAB\Simulink. Έτσι το σύστημα (1.18) προσομοιώθηκε ως εξής: Σχήμα -1 Παρακάτω παραθέτονται τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων για διάφορες τιμές των παραμέτρων a και q και για κάποιο φάσμα συχνοτήτων. Υπενθυμίζεται ότι η κατάσταση x1 είναι η γωνία απόκλισης στον εγκάρσιο άξονα κύλισης (άξονας του Roll) και η κατάσταση x είναι η γωνιακή ταχύτητα. ~ 36 ~

5 Κατάσταση x1(t) για we= 0 rad/sec a=1 και q=1.5 0 15 10 x1 (deg) 5 0-5 -10-15 -0 0 0 40 60 80 100 t (sec) 5 0 15 Επίπεδο Καταστάσεων για we= 0 rad/sec a=1 και q=1.5 Κατάσταση x (deg/sec) 10 5 0-5 -10-15 -0-5 -0-15 -10-5 0 5 10 15 0 5 Κατάσταση x1 (deg) Σχήμα - ~ 37 ~

0 Κατάσταση x1(t) για we= 0 rad/sec a= και q=0.5 15 10 5 x1 (deg) 0-5 -10-15 -0 0 0 40 60 80 100 t (sec) 30 Επίπεδο Καταστάσεων για we= 0 rad/sec a= και q=0.5 0 Κατάσταση x (deg/sec) 10 0-10 -0-30 -0-15 -10-5 0 5 10 15 0 Κατάσταση x1 (deg) Σχήμα -3 ~ 38 ~

5 Κατάσταση x1(t) για we= 0 rad/sec a=0.5 και q=1.5 0 15 10 x1 (deg) 5 0-5 -10-15 -0 0 0 40 60 80 100 t (sec) 15 Επίπεδο Καταστάσεων για we= 0 rad/sec a=0.5 και q=1.5 10 Κατάσταση x (deg/sec) 5 0-5 -10-15 -0-15 -10-5 0 5 10 15 0 5 Κατάσταση x1 (deg) Σχήμα -4 ~ 39 ~

5 Κατάσταση x1(t) για we= 5 rad/sec a=1 και q=1.5 0 15 10 5 x1 (deg) 0-5 -10-15 -0-5 0 0 40 60 80 100 t (sec) 5 Επίπεδο Καταστάσεων για we= 5 rad/sec a=1 και q=1.5 0 15 Κατάσταση x (deg/sec) 10 5 0-5 -10-15 -0-5 -30-0 -10 0 10 0 30 Κατάσταση x1 (deg) Σχήμα -5 ~ 40 ~

0 Κατάσταση x1(t) για we= 5 rad/sec a= και q=0.5 15 10 5 x1 (deg) 0-5 -10-15 -0 0 0 40 60 80 100 t (sec) 30 Επίπεδο Καταστάσεων για we= 5 rad/sec a= και q=0.5 0 Κατάσταση x (deg/sec) 10 0-10 -0-30 -0-15 -10-5 0 5 10 15 0 Κατάσταση x1 (deg) Σχήμα -6 ~ 41 ~

3000 Κατάσταση x1(t) για we= 0.5 rad/sec a=1 και q=1.5 500 000 x1 (deg) 1500 1000 500 0-500 0 4 6 8 10 t (sec) 000 Επίπεδο Καταστάσεων για we= 0.5 rad/sec a=1 και q=1.5 1500 1000 Κατάσταση x (deg/sec) 500 0-500 -1000-1500 -000-500 0 500 1000 1500 000 500 3000 Κατάσταση x1 (deg) Σχήμα -7 ~ 4 ~

0 Κατάσταση x1(t) για we= 0.5 rad/sec a= και q=0.5 15 10 5 x1 (deg) 0-5 -10-15 -0 0 0 40 60 80 100 t (sec) 30 Επίπεδο Καταστάσεων για we= 0.5 rad/sec a= και q=0.5 0 Κατάσταση x (deg/sec) 10 0-10 -0-30 -0-15 -10-5 0 5 10 15 0 Κατάσταση x1 (deg) Σχήμα -8 ~ 43 ~

100 Κατάσταση x1(t) για we= 1.5 rad/sec a=0.5 και q=1.5 80 60 40 0 x1 (deg) 0-0 -40-60 -80-100 0 0 40 60 80 100 t (sec) 150 Επίπεδο Καταστάσεων για we= 1.5 rad/sec a=0.5 και q=1.5 100 Κατάσταση x (deg/sec) 50 0-50 -100-150 -100-50 0 50 100 Κατάσταση x1 (deg) Σχήμα -9 ~ 44 ~

Από τα παραπάνω σχήματα εύκολα συμπεραίνουμε ότι η γωνία εκτροπής του πλοίου δεν είναι η επιθυμητή είτε γιατί το πλοίο αργεί να επιστρέψει στο σημείο ισορροπίας του είτε γιατί το πλοίο εκτρέπεται. Συνεπώς ο έλεγχος του συστήματος είναι απαραίτητος. ~ 45 ~

3. ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΣΕΙΡΑΣ TAYLOR Σε αυτό το κεφάλαιο θα γίνει προσπάθεια να γραμμικοποιηθεί το σύστημα του πλοίου έτσι ώστε να γίνει δυνατόν να εφαρμοστούν τεχνικές γραμμικού ελέγχου. Θα γραμμικοποιήσουμε το σύστημα χρησιμοποιώντας την σειρά Taylor.Αρχικά πρέπει να βρούμε το σημείο ισορροπίας του συστήματος.. x = x 1. r x = ( a qsin z) x1 x ωeu y = x 1 B (1.18) Οπότε έχουμε. x = 0. x1 = 0 x = 0 x = 0. Br ( a qsin z) x1+ x = 0 ( a qsin z) x1 = 0 x = 0 ωeu x = 0 a (3.1) x1 = 0 ή = sinz q Συνεπώς σημείο ισορροπίας είναι το (0,0) ή τα (*,0) εάν ισχύει η σχέση a a = sin z = sin ωet (3.) q q Από την σχέση (3.) συμπεραίνουμε ότι τα σημεία (*,0) είναι σημεία ισορροπίας του συστήματος για συγκεκριμένες χρονικές στιγμές στις οποίες ικανοποιείται η σχέση (3.). ~ 46 ~

Έτσι θα γραμμικοποιήσουμε το σύστημα γύρω από το σημείο (0,0) και για * * είσοδο u = u όπου u μια σταθερή τιμή. Το σύστημα (1.18) γράφεται :. x x1 f1 (. = f x1, x, u) = = Br f ( a qsin z) x 1 x x ωeu (3.3) y = g( x, x, u) = x 1 1 Οπότε αναλύουμε το σύστημα (3.3) με την σειρά Taylor και απαλείφουμε τους μη γραμμικούς όρους: f1 f1. f1 x 1 x1 x x 1 u = f (0,0) + +. f f x f x x 1 0, 0, 1 x x1= 0, x = 0, u x = x = * * u= u u= u. 0 1 x 1 x1 0 = B + u. r ( a qsin z) * x 0 x ωeu u x1 x 1 g g y = = (1 0) x x x x 1 x 1= 0, x= 0 (3.4) ~ 47 ~

Το σύστημα (3.4) που καταλήξαμε είναι ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα. Όμως η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος αυτού είναι μηδέν, αφού 1 Gs () = CsI ( A) B+ D= 0+ 0= 0 (3.5) Αυτό σημαίνει ότι η έξοδος είναι ανεξάρτητη της εισόδου. Υπολογίσουμε την μήτρα ελεγξιμότητας S: 0 0 S = ( B AB) = 0 0 det S = 0 ranks < Άρα το γραμμικοποιημένο σύστημα (3.4) δεν είναι ελέγξιμο. Συνεπώς πρέπει να βρεθεί άλλη μέθοδος γραμμικοποίησης του συστήματος. Αξίζει όμως να σημειωθεί ότι ακόμα και εάν το σύστημα (3.4) ήταν ελέγξιμο, θα έπρεπε να * αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα του υπολογισμού της τιμής u.αυτό σημαίνει ότι με αυτή τη μέθοδο γραμμικοποίησης σε κάθε βήμα του λύτη κατά την διάρκεια * της προσομοίωσης πρέπει να υπολογίζεται το u,δηλαδή το σύστημα γραμμικοποιείται από διαφορετικό γραμμικό σύστημα κάθε φορά. ~ 48 ~

~ 49 ~

4. FEEDBACK LINEARIZATION (ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΑΝΑΔΡΑΣΗ) Μια από τις βασικότερες μεθόδους μη γραμμικού ελέγχου είναι η feedback linearization,δηλαδή η γραμμικοποίηση με ανάδραση. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται κατά κόρον σε μη γραμμικά συστήματα και κυρίως σε πρακτικές εφαρμογές ελικοπτέρων, βιομηχανικών ρομπότ και σε ιατρικά συστήματα. Η βασική ιδέα είναι να εφαρμοστεί ένας αλγεβρικός μετασχηματισμός του μη γραμμικού συστήματος σε ένα ολικώς ή μερικώς γραμμικό, ώστε να μπορούν να εφαρμοστούν οι γνωστές τεχνικές γραμμικού ελέγχου. Η τεχνική του feedback linearization χρησιμοποιείται για την απλοποίηση μοντέλων κατά την εφαρμογή σθεναρών και προσαρμοστικών ελεγκτών. Τέλος υπάρχουν δύο τεχνικές, η inputstate και η input-output linearization. ~ 50 ~

4.1 INPUT STATE LINEARIZATION 4.1.1 Γενικά Έστω ένα μη γραμμικό σύστημα της μορφής x = f( x, u).η input-state linearization τεχνική λύνει το πρόβλημα του ελέγχου σε δύο βήματα. Βήμα 1 ο : Αρχικά πρέπει να βρεθεί ένας μετασχηματισμός κατάστασης z = T( x) και ένας μετασχηματισμός εισόδου u = g( x, v) ώστε το μη γραμμικό σύστημα να μετασχηματιστεί σε ένα γραμμικό χρονικώς αμετάβλητο της μορφής: z = Az+ Bv Βήμα ο : Το δεύτερο βήμα περιλαμβάνει τον σχεδιασμό ελεγκτή σύμφωνα με τις κλασικές τεχνικές γραμμικού ελέγχου, όπως τοποθέτηση πόλων. 4.1. Ορισμοί Με σκοπό να γίνει μια πιο λεπτομερή μελέτη της τεχνικής του input-state linearization θεωρούμε το μη γραμμικό σύστημα μιας εισόδου της μορφής: (4.1) x = f( x) + g( x) u όπου f και g είναι ομαλές διανυσματικές συναρτήσεις. Θα μελετήσουμε πότε ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να γραμμικοποιηθεί από μετασχηματισμούς κατάστασης και εισόδου, πώς βρίσκουμε τους μετασχηματισμούς αυτούς και πώς σχεδιάζουμε ελεγκτές βασισμένους σε τέτοιες γραμμικοποιήσεις. Οι παρακάτω ορισμοί βοηθούν στην καλύτερη κατανόηση της μεθόδου (πηγή:[11] Applied Nonlinear Control, Jean-Jacques Slotine, Weiping Li). ~ 51 ~

Ορισμός 4.1.Ένα μη γραμμικό σύστημα μιας εισόδου της μορφής (4.1) θεωρείται ότι μπορεί να γραμμικοποιηθεί με τη τεχνική γραμμικοποίησης εισόδουκατάστασης (input-state linearizable) εάν υπάρχουν μια περιοχή Ω στο R n,μια n ομαλή συνάρτηση T : Ω R και ένας μη γραμμικός έλεγχος u = a( x) + b( x) v (4.) τέτοια ώστε οι καινούργιες μεταβλητές κατάστασης z = T( x) και η καινούργια είσοδος v να ικανοποιούν την γραμμική χρονικά αμετάβλητη σχέση z = Az+ Bv (4.3) όπου 010...0 0 001... 0.... A = B = (4.4).... 000...1 0 000...0 1 Παρατηρείται ότι οι πίνακες Α και b έχουν μια συγκεκριμένη μορφή που εξαρτάται μόνο από την τάξη του συστήματος. Παρόλα αυτά η γενικότητα δεν χάνεται, γιατί ένα γραμμικό ελέγξιμο σύστημα μπορεί να θεωρηθεί ισοδύναμο με το σύστημα (4.4) ύστερα από ένα κατάλληλο μετασχηματισμό κατάστασης. Για να ορίσουμε τις προϋποθέσεις που πρέπει να πληρούνται ώστε να βρεθούν οι κατάλληλοι μετασχηματισμοί κατάστασης και εισόδου, θα κάνουμε χρήση κατάλληλων τελεστών της άλγεβρας Lie. n Ορισμός 4.. Έστω δύο διανύσματα f και g ορισμένα στο R. Ως αγκύλη Lie (Lie bracket) της f και g είναι ένα τρίτο διάνυσμα ορισμένο ως: [ f, g] = g f f g (4.5) ~ 5 ~

Η αγκύλη Lie [, f g ] συχνότερα συναντάται ως αγκύλες Lie (Lie brackets) ορίζονται αντίστοιχα: ad f g, ενώ οι επαναλαμβανόμενες 0 ad f g = g (4.6) i i 1 ad fg = [ f, ad f g], για i = 1,,... (4.7) Ορισμός 4.3.Έστω μία ομαλή βαθμωτή συνάρτηση h(x) και μία ομαλή διανυσματική συνάρτηση f(x). Τότε ως παράγωγος Lie (Lie derivative) ορίζεται το διάνυσμα : L f h = h f (4.8) Οι επαναλαμβανόμενοι παράγωγοι Lie (Lie derivatives) ορίζονται αντίστοιχα: L h= h 0 f L h= L L h = L h f i i 1 1 ( i f f f ) ( f ) (4.9) Παρόμοια εάν g είναι μια άλλη διανυσματική συνάρτηση, τότε η βαθμωτή συνάρτηση L Lhx ( ) είναι: g f L Lh= ( Lh) g g f f (4.10) Έτσι εύκολα διαπιστώνουμε την σχέση του παράγωγου Lie (Lie derivative) με τα δυναμικά συστήματα. Για ένα SISO σύστημα :. x = f( x) y = hx ( ) ~ 53 ~

Οι παράγωγοι της εξόδου είναι:. h. y = x= Lf h x.. [ Lh]. f y = x= Lf h x Θεώρημα 4.1. Το μη γραμμικό σύστημα (4.1), με f ( x ) και g( x) ομαλές διανυσματικές συναρτήσεις, μπορεί να γραμμικοποιηθεί με την τεχνική γραμμικοποίησης εισόδου-κατάστασης(δηλαδή είναι input-state linearizable) εάν, και μόνο εάν, υπάρχει μια περιοχή Ω τέτοια ώστε να ισχύουν οι ακόλουθες συνθήκες: n 1 τα διανύσματα { gadg,,..., ad g} είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στην περιοχή Ω f f n το L ie bracket οποιουδήποτε ζεύγους από το σετ { gadg, f,..., adf g} δίνει ένα διάνυσμα που μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός του αρχικού σετ διανυσμάτων Αν λοιπόν το μη γραμμικό σύστημα (4.1) ικανοποιεί τις συνθήκες του θεωρήματος 4.1 τότε είναι εφικτό να εφαρμοστεί η τεχνική γραμμικοποίηση εισόδου-κατάστασης (input-state linearization). ~ 54 ~

4.1.3 Υλοποίηση της τεχνικής input state linearization Για υλοποιηθεί η τεχνική γραμμικοποίηση εισόδου-κατάστασης (input-state linearization) πρέπει να εκτελεστούν τα παρακά τω βήματα: n 1 Κατασκευάζουμε τα διανύσματα gadg,,..., ad gγια το δεδομένο σύστημα Ελέγχουμε αν ικανοποιούνται οι δύο συνθήκες του θεωρήματος 4.1 Βρίσκουμε την πρώτη κατάσταση T 1 από τις εξισώσεις i 1 Tad g=, i = 1,..., n 1 (4.11α) 1 f 0 n 1 Tad g (4.11β) 1 f 0 LT f 1 Υπολογίζουμε τον μετασχηματισμός κατάστασης z = T( x) = (4.1) n 1 L f T1 και τον μετασχηματισμό εισόδου από την εξίσωση (4.7) με L T ax ( ) = (4.13α) n LL T n f 1 1 g f 1 f f T 1 1 bx ( ) = (4.13β) n LL T g 1 f 1 Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις και. T n = v. T = T +, k 1,..., n 1 καταλήγουμε στο γραμμικοποιημένο καταστατικό μοντέλο. k k 1 = (4.14α) (4.15β) ~ 55 ~

4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ INPUT STATE LINEΑRIZATION ΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΟΥ ΠΛΟΙΟΥ Σε αυτή την ενότητα θα εφαρμόσουμε την τεχνική γραμμικοποιήσης εισόδουκατάστασης ( input-state linearization). Αρχικά θα ερευνηθεί εάν ισχύουν οι απαραίτητες συνθήκες για να υλοποιηθεί η τεχνική αυτή και στην συνέχεια θα υπολογιστεί ο απαραίτητος μετασχηματισμός εισόδου που πρέπει να εφαρμόσουμε έτσι ώστε να καταλήξουμε στο γραμμικοποιημένο σύστημα. Επίσης όπως αποδείχθηκε σε προηγούμενο κεφάλαιο η γραμμικοποίηση με την βοήθεια της σειρά Taylor ήταν ανεπιτυχής, επειδή το γραμμικοποιημένο σύστημα που προέκυψε είναι μη ελέγξιμο. Συνεπώς, η τεχνική της γραμμικοποιήσης με ανάδραση (feedback linearization) που προτείνεται σε αυτή την εργασία παρουσιάζει ιδιαίτερη σημασία. Το καταστατικό μοντέλο του πλοίου όπως αποδείχθηκε στο κεφάλαιο 1 είναι :. x = x 1. r x = ( a qsin z) x1 x ωeu y = x 1 B (1.18) Θέτω 1 υ = u (4.16) Το σύστημα είναι της μορφής x = f( x) + g( x) υ και γράφεται: 0. x1 x. = + Br ( a qsin z) x 1 x x ω e υ (4.17) ~ 56 ~

Άρα στη περίπτωσή μας f( x) x = ( a qsin z) x1 και 0 gx ( ) = Br x ω e (4.18) Επίσης το σύστημα είναι δευτέρας τάξης δηλαδή n=. Υπολογίζω το διάνυσμα ad f g : 0 0 0 x 0 1 ad f g = [ f, g] = g f f g = Br Br 0 ( a qsin z) x1 ( a qsin z) 0 x ω e ωe B 0 B x x = = r r ω e B ω r e ( a q sin z ) x 1 Br ω 0 ( sin ) e a q z x 1 ω e = Κατασκευάζουμε τον πίνακα: ( g ad f g) Br 0 x ω e = Br B r x ( a qsin z) x1 ωe ω e (4.19) Η ορίζουσα του παραπάνω πίνακα είναι : B r det( g ag f g) = 0 ωe Άρα υπάρχει τετριμμένη λύση μόνο. Συνεπώς τα διανύσματα g και ad f g είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Εύκολα παρατηρούμε πως ισχύει και η δεύτερη συνθήκη ~ 57 ~

του θεωρήματος 4.1 άρα το σύστημα (1.18) μπορεί να γραμμικοποιηθεί με την μέθοδο input-state linearization. Από την εξίσωση (4.11α) i 1 Tad g= για i= n 1= 1 έχουμε: 1 f 0 0 0 T1 T 1 Tad 1 f g= 0 T1 g = 0 Br x1 x x = 0 ω e T B T T1 x = 0 x = 0 = 0 x x 1 r 1 ωe x (4.0) Από την εξίσωση (4.11β) n 1 Tad 1 f g 0 έχουμε: Br x T1 T ω 1 e 0 x x B ( a qsin z) x1 ω e T1 Br T1 Br x + ( a qsin z) x1 0 (4.1) x ω x ω 1 r 1 e e Οπότε από την (4.0) και την (4.1) συνεπάγεται: T x 1 1 0 (4.) Συνεπώς από τις εξισώσεις (4.) και (4.0) συμπεραίνουμε ότι η είναι συνάρτηση μόνο του x 1.Επιλέγουμε την απλούστερη λύση: T 1 πρέπει να z1 = T1 = x 1 (4.3) ~ 58 ~

Η δεύτερη κατάσταση μπορεί να υπολογιστεί από την (4.1) ως εξής: T x ( 1 0) (4.4) 1 z = T = LfT1 = f = = x x ( a qsin z) x1 Από την (4.13α) και (4.13β) υπολογίζουμε τον μετασχηματισμό εισόδου: LT x L T = L ( L T) = ( L T) f = f = ( 0 1 ) = ( a qsin z) x f 1 f 1 f f 1 f 1 1 x ( a qsin z) x1 0 Br LLT g f 1 = ( LT f 1) g= (0 1) B x r x = ωe ω e Άρα Και L T q z a ax ( ) = = = = L LT B x f 1 ( a qsin z) x1 a qsinz ( sin ) ωe x1 x1 B g f 1 r Br x r x ωe ωe (4.5) 1 1 ωe 1 bx ( ) L LT B x B x = = = (4.6) g f 1 r r ωe Έτσι καταλήγουμε: (qsin z a) ω x ω 1 B x B x e 1 e u a( x) b( x) v v = + = (4.7) r r Από την εξίσωση (4.14α) και (4.1) βρίσκουμε τις καταστατικές εξισώσεις του γραμμικοποιημένου συστήματος: ~ 59 ~

.. T = T z = z 1 1.. T = v z = v (4.8) Συνεπώς το γραμμικό καταστατικό μοντέλο που αντιστοιχεί στο καταστατικό μοντέλο του πλοίου είναι :. z1 0 1 z1 0. = + v 0 0 z 1 z z1 y = ( 1 0) z (4.9) ~ 60 ~

~ 61 ~

5. ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Σε αυτό το κεφάλαιο θα σχεδιαστεί ο έλεγχος του συστήματος με δύο διαφορετικές τεχνικές ελέγχου. Στην μια περίπτωση θα εφαρμόσουμε μη γραμμικό έλεγχο με βάση το θεώρημα Artstein χωρίς να γραμμικοποιήσουμε το σύστημα με κάποια μέθοδο. Αυτή η τεχνική ελέγχου εφαρμόστηκε σε προηγούμενη εργασία [15]. Στην δεύτερη περίπτωση θα ελέγξουμε το σύστημα με τοποθέτηση πόλων, αξιοποιώντας έτσι το πλεονέκτημα της μεθόδου γραμμικοποίησης με ανάδραση(feedback linearization) να μπορούμε να εφαρμόζουμε τεχνικές γραμμικού ελέγχου. Τέλος πραγματοποιείται σύγκριση των δύο περιπτώσεων ελέγχου. ~ 6 ~

5.1 ΘΕΩΡΗΜΑ ARTSTEIN Το παρακάτω θεώρημα δίνει ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη συνεχούς χρονικά αμετάβλητου νόμου ανάδρασης στην περίπτωση που το σύστημα που μελετάμε είναι γραμμικό ως προς τον έλεγχο, δηλαδή όταν το σύστημα έχει την μορφή:. x = f( x) + g( x) u (5.1) Όπου οι καταστάσεις συναρτήσεις. n m xt () R, οι έλεγχοι ut () U R,οι f και οι g είναι λείες n n n n* Θεώρημα 5.1 Έστω το σύστημα (5.1) όπου τα δυναμικά f : R R, g : R R m m είναι τοπικά Lipschitz **με f (0) = 0 και το σύνολο U R είναι κυρτό με 0 U.Τότε υπάρχει ένας χρονικά αμετάβλητος νόμος ανάδρασης με k (0) = 0τέτοιος ώστε το μηδέν για το σύστημα κλειστού βρόχου (5.1) με u = k( x) είναι ομοιόμορφα ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές. Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση ελέγχου Lyapunov V η οποία είναι λεία, n κατάλληλη και θετικά ορισμένη V : R R.Θετικά ορισμένη σημαίνει ότι V (0) = 0 και V( x ) > 0.Κατάλληλη σημαίνει ότι για κάθε x 0, V( x) καθώς x.εύκολα αποδεικνύεται ότι εάν υπάρχει μια τέτοια συνάρτηση το σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές,δηλαδή ότι το σύστημα καταλήγει ασυμπτωτικά στο σημείο ισορροπίας από οποιαδήποτε αρχική κατάσταση. ** Λέμε ότι η f n είναι τοπικά Lipschitz στο x στο σύνολο [ t t ] D R R εάν για κάθε x D υπάρχει μια γειτονιά σχέση f (, tx) fty (, ) L x y να ισχύει για κάθε x, y Do, και για κάθε 1 [ t,t o ]. D o o, και μία σταθερά L o >0 έτσι ώστε η 1 t ~ 63 ~

Ορίζουμε ax ( ) V( x) f( x) = (5.α) bx ( ) V( xgx ) ( ) = (5.β) Η συνθήκη ότι V είναι συνάρτηση Lyapunov σημαίνει : bx ( ) = 0 ax ( ) < 0 x 0 (5.3) Με άλλα λόγια για κάθε τέτοιο x το ζευγάρι (α(x),b(x)) είναι ευσταθές όταν θεωρηθεί σαν ένα γραμμικό μονοδιάστατο σύστημα μιας εισόδου. Θεωρώντας λοιπόν έναν νόμο ελέγχου u = K( x) για το αρχικό σύστημα, με την προϋπόθεση ότι η ίδια V είναι μια συνάρτηση Lyapunov και για το κλειστού βρόχου σύστημα:. x = f( x) + K( x) g( x) Τότε ζητούμε ότι : Δ V( x)( f( x) + K( x) g( x)) ή ax ( ) + Kxbx ( ) ( ) < 0 x 0 Μπορούμε να πούμε ότι το (α(x),b(x)) είναι μια οικογένεια γραμμικών συστημάτων με παράμετρο το x. Από την θεωρία συστημάτων γνωρίζουμε ότι εφ όσον ένα τέτοιο σύστημα είναι σταθεροποιήσιμο τότε υπάρχει ένα Κ. Ακόμη μπορούμε να επιλέξουμε το Κ να είναι σε αναλυτική μορφή εάν το αρχικό σύστημα καθώς και η V είναι σε αναλυτική μορφή. Έτσι επιλέγουμε τον νόμο ελέγχου : ( ) ( ) ( ) ax+ a x+ b x K( x) = (5.4) bx ( ) Κατά μήκος των τροχιών του κλειστού βρόχου συστήματος ισχύει ότι: dv dt = a ( x) + b ( x) < 0 που είναι και το ζητούμενο. ~ 64 ~

Συνεπώς καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι εάν υπάρχει μια λεία συνάρτηση V Lyapunov τότε υπάρχει ένας λείος έλεγχος κλειστού βρόχου Κ με K (0) = 0. 5. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΤΑ ARTSTEIN ΣΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΠΛΟΙΟΥ Οι καταστατικές εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση του πλοίου στον άξονα του Roll όπως έχει αποδειχθεί είναι :. x = x 1. Br x = ( a qsin z) x1 x ω u y = x 1 e (1.18) 1 u B r Αν θέσουμε υ = (5.5) τότε D = υ = cυ (5.6) άρα το σύστημα γράφεται : ω e. x. = x 1 x = ( a qsin z) x cυ x y = x 1 (5.7) Το σύστημα (5.7) είναι της μορφής του συστήματος (5.1) με f ( x) ( a qsin z) = x 1 και gx ( ) = cx Είναι προφανές ότι οι συναρτήσεις f και g είναι λείες και επιπλέον f (0) = 0. Υποθέτουμε μια συνάρτηση Lyapunov: ~ 65 ~

1 1 V( x) x x x 0, V( x) = + όπου V(x) είναι λεία συνάρτηση, V (0) = 0 1 καθώς x. και για κάθε Οπότε από τις εξισώσεις (5.α) και (5.β) έχουμε: ax ( ) = V( x) f( x) = ( x+ x)( a qsin zx ) ax ( ) ( a qsin z)( x xx) 1 1 = + (5.8) 1 1 bx ( ) = V( xgx ) ( ) = ( x+ x) cx bx ( ) = cxx ( + x ) 1 1 (5.9) Η συνθήκη (5.3) ικανοποιείται για a > 0 και a > q, που είναι σαν προϋπόθεση για την ευστάθεια του συστήματος, άρα ax ( ) < 0 x 0. Συνεπώς υπάρχει έλεγχος κλειστού βρόχου της μορφής : ( ) ( ) ( ) ax+ a x+ b x K( x) = bx ( ) ( a qsin z)( x + x x ) ( a qsin z) ( x + x x ) + c ( x x + x ) K( x) = + cxx ( x ) cxx ( x ) 1 1 1 1 1 1 + 1 + (5.10) Έτσι το σύστημα (5.7) γίνεται :. x. = x 1 x = ( a qsin z) x ck( x) x 1 y = x (5.11) Στην συνέχεια παραθέτονται τα σχήματα της απόκρισης του συστήματος στο οποίο έχει εφαρμοστεί ο παραπάνω έλεγχος. ~ 66 ~

5 Κατάσταση x1(t) 0 15 x1 (deg) 10 5 0-5 -10 0 5 10 15 0 5 30 t (sec) 10 Επίπεδο Καταστάσεων 5 Κατάσταση x (deg/sec) 0-5 -10-15 -0-10 -5 0 5 10 15 0 5 Κατάσταση x1 (deg) Σχήμα 5-1 ~ 67 ~

5.3 ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΠΟΛΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΟΥ ΠΛΟΙΟΥ Σε προηγούμενη ενότητα επιτεύχθηκε η γραμμικοποίηση του συστήματος που μελετάμε με την μέθοδο γραμμικοποίησης με ανάδραση (feedback linearization). Όμως, όπως προαναφέρθηκε, δεύτερο απαραίτητο βήμα είναι η επιλογή ενός νόμου ελέγχου. Έτσι στην συνέχεια θα εφαρμόσουμε τοποθέτηση πόλων του συστήματος. Προηγουμένως αποδείξαμε πως το σύστημα του πλοίου με την τεχνική ελέγχου feedback linearization γραμμικοποιείται στο σύστημα:. z1 0 1 z1 0. = + v 0 0 z 1 z z1 y = ( 1 0) z (4.9) Αρχικά υπολογίζουμε την μήτρα ελεγξιμότητας S του συστήματος (4.9): S = ( B AB) 0 1 0 1 0 1 AB = = S = 0 0 1 0 1 0 det S = 1 0 ranks = Άρα το σύστημα (4.9) είναι πλήρως ελέγξιμο. Οπότε εφαρμόζουμε την μέθοδο της τοποθέτησης ιδιοτιμών/πόλων. Επιλέγουμε δηλαδή είσοδο ελέγχου: v= k ( z z ) k ( z z 1 1 1d d ) (5.11) ~ 68 ~

Και επειδή θέλουμε το σύστημα να επιστέφει στο σημείο ισορροπίας (0,0) η σχέση (5.11) γίνεται: v= k1z1 kz = Kz (5.1) Αντικαθιστώντας την (5.1) στο σύστημα (4.9) έχουμε:. z1 0 1 z1 0 z Az BKz ( A BK) z ( k ) 1. = = = + 1 k 0 0 z 1 z z. z1 0 1 z1 0 0 z1. = 0 0 z k1 k z z. z1 0 1 0 0 z1. = = 0 0 k1 k z z. z1 CZ. = z 0 1 z1 k k z 1 (5.13) Έτσι η χαρακτηριστική εξίσωση του C είναι : λ 0 0 1 λ 1 ( λi A+ BK) = ( λi C) = = 0 λ k k k λ + k 1 1 det( λi C) = 0 λλ ( + k ) + k = 0 λ + k λ+ k = 0 1 1 (5.14) Οπότε με την σχέση (5.14) έχουμε την δυνατότητα επιλέγοντας τις ιδιοτιμές να υπολογίσουμε τα κέρδη και k. k1 ~ 69 ~

Στην περίπτωση μας όμως θα επιλέξουμε αυθαίρετα κάποιες τιμές των κερδών και k έτσι ώστε να παρατηρήσουμε πώς αποκρίνεται το σύστημα και έπειτα θα k1 εφαρμόσουμε βέλτιστο έλεγχο. Από τις σχέσεις (4.5),(4.6),(4.7) και (5.1) υπολογίζουμε την είσοδο που πρέπει να εισάγουμε στο σύστημα έτσι ώστε να γίνει η υλοποίηση του feedback linearization και παράλληλα ο έλεγχος που επιλέξαμε, δηλαδή η τοποθέτηση πόλων. (qsin z a) ω x ω 1 = + = B x B x e 1 e u a( x) b( x) v v r r (qsin z a) ωe z1 ωe 1 ( Br z Br z k1z1 kz ) u = (qsin z a) ω z ω 1 ω 1 u = + k z + k z B z B z B z e 1 e e 1 1 r r r (qsin z a) ω z ω = + + e 1 e u (1 k1) k Br z Br (5.15) 1 Αρχικά είχαμε θέσει υ =, συνεπώς εφαρμόζουμε την είσοδο υ. Έτσι το u ελεγχόμενο πλέον σύστημα γίνεται: ~ 70 ~

Σχήμα 5- Από τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων παρατηρήθηκε πως η απόκριση του συστήματος εξαρτάται μόνο από τις τιμές των κερδών k1 και k και όχι από τις τιμές των παραμέτρων aq, και ω e.συνεπώς στα παρακάτω σχήματα παρουσιάζονται οι καταστάσεις του συστήματος για διάφορες τιμές των κερδών. ~ 71 ~

5 Κατάσταση x1(t) για K1=3.5 και K=0.5 0 15 10 x1 (deg) 5 0-5 -10-15 0 4 6 8 10 t (sec) 30 Επίπεδο Καταστάσεων για K1=3.5 και K=0.5 0 Κατάσταση x (deg/sec) 10 0-10 -0-30 -40-15 -10-5 0 5 10 15 0 5 Κατάσταση x1 (deg) Σχήμα 5-3 ~ 7 ~

5 Κατάσταση x1(t) για K1=.5 και K=1.5 0 15 x1 (deg) 10 5 0-5 0 4 6 8 10 t (sec) Επίπεδο Καταστάσεων για K1=1.5 και K=1.5 0 - Κατάσταση x (deg/sec) -4-6 -8-10 -1-14 -5 0 5 10 15 0 5 Κατάσταση x1 (deg) Σχήμα 5-4 ~ 73 ~

5 Κατάσταση x1(t) για K1=0.5 και K=.5 0 15 x1 (deg) 10 5 0 0 5 10 15 0 5 30 t (sec) 1 Επίπεδο Καταστάσεων για K1=0.5 και K=.5 0.5 0 Κατάσταση x (deg/sec) -0.5-1 -1.5 - -.5-3 -3.5 0 5 10 15 0 5 Κατάσταση x1 (deg) Σχήμα 5-5 ~ 74 ~

5.4 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Από τα προηγούμενα σχήματα είναι φανερό ότι με τον έλεγχο που εφαρμόσαμε έχει βελτιωθεί σημαντικά η απόκριση του συστήματός μας. Η γωνία εκτροπής του πλοίου μηδενίζεται 10 φορές περίπου πιο γρήγορα από ότι στην περίπτωση ανοιχτού βρόχου. Όμως παρατηρούμε επίσης πως για τις διάφορες τιμές των κερδών η απόκριση του συστήματος διαφέρει αισθητά. Συνεπώς έχει ενδιαφέρον να υπολογίσουμε τα κέρδη k1 και k έτσι ώστε να έχουμε την βέλτιστη απόκριση. Οπότε για ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα της. μορφής x = Ax + Bu με νόμο ελέγχου u= Kx πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε τον δείκτη απόδοσης : (5.16) T T T Ju ( ) = ( xqx+ uru+ xnudt ) 0 Ο πιο εύκολος τρόπος για να υπολογίσουμε τα κέρδη k1 και k έτσι ώστε η συνάρτηση J να είναι ελάχιστη είναι με την βοήθεια της εντολής lqr του περιβάλλοντος Matlab. Η εντολή αυτή υπολογίζει τον βέλτιστο πίνακα Κ και τις ιδιοτιμές του πίνακα ( A BK ) έτσι ώστε ο δείκτης απόδοσης Ju) ( να είναι ελάχιστος ανάλογα βέβαια με τα βάρη που θα επιλέξουμε (δηλαδή ποια κατάσταση να έχει μεγαλύτερο βάρος) και συντάσσεται ως εξής : [K,S,e] = LQR(A,B,Q,R,N) Α,Β είναι οι πίνακες του γραμμικοποιημένου συστήματος, άρα από το σύστημα 0 1 (4.9) έχουμε A 0 = και B = 0 0 1 και Q,R,N είναι οι μήτρες -βάρη. Επειδή δίνουμε περισσότερο σημασία στην κατάσταση x 1 που είναι η γωνία εκτροπής, επιλέγουμε 10 10 Q = 10 1 R = 1 N = 0 ~ 75 ~

Έτσι παίρνουμε τα εξής αποτελέσματα: K = (3.163.7064) Και ιδιοτιμές λ = 1 λ = -1.353 + 1.1537i -1.353-1.1537i Στα παρακάτω σχήματα φαίνεται η απόκριση του συστήματος για τα αυτά βέλτιστα κέρδη. Συγκρίνοντας το σχήμα 5-6 με τα προηγούμενα σχήματα(5-3,5-4,5-5) παρατηρούμε ότι με τον βέλτιστο έλεγχο καταφέραμε να έχουμε και την πιο γρήγορη απόκριση. Έπειτα συγκρίνονται τα αποτελέσματα των δύο διαφορετικών τεχνικών ελέγχου, του μη γραμμικού κατά Artstein και του feedback linearization. Εύκολα διαπιστώνουμε πως με την τεχνική feedback linearization και την τοποθέτηση πόλων το πλοίο επιστρέφει πολύ πιο γρήγορα στ ο σημείο ισορροπίας από ότι στην τεχνική ελέγχου κατά Artstein. ~ 76 ~

5 Κατάσταση x1(t) για K1=3.163 και K=.7064 0 15 x1 (deg) 10 5 0-5 0 4 6 8 10 t (sec) Επίπεδο Καταστάσεων για K1=3.163 και K=.7064 0 - Κατάσταση x (deg/sec) -4-6 -8-10 -1-14 -16-5 0 5 10 15 0 5 Κατάσταση x1 (deg) Σχήμα 5-6 ~ 77 ~

5 0 Κατάσταση x1(t) Artstein control feedback linearization 15 x1 (deg) 10 5 0-5 -10 0 5 10 15 0 5 30 t (sec) Σχήμα 5-7 ~ 78 ~

5.5 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Η υλοποίηση ελέγχου σε ένα πλοίο είναι αντικείμενο μελέτης του ναυπηγού μηχανικού σχεδιαστή του πλοίου και δεν θα αναλυθεί στην παρούσα διπλωματική εργασία. Θα αναφερθούν όμως λίγα λόγια για το πώς μπορεί να υλοποιηθεί ένας έλεγχος σε ένα πλοίο. Όπως δείξαμε ο έλεγχος που εφαρμόζουμε είναι ουσιαστικά μια ροπή που λειτουργεί αντισταθμικά και έχει σκοπό να επαναφέρει το πλοίο στην θέση ισορροπίας του. Έτσι μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα μετρητικό σύστημα που να μετράει την γωνία εκτροπής από τον εγκάρσιο άξονα του πλοίου και έπειτα να στέλνει το σήμα στο σύστημα ελέγχου, το οποίο θα στέλνει σήματα εισόδου σε δύο κινητήρες όπου θα ενεργοποιούν δύο προπέλες( Σχήμα 5-8α) έτσι ώστε να δημιουργείται η απαραίτητη ροπή αντιστάθμισης. Μια άλλη εφαρμογή θα μπορούσε να είναι ως εξής: το σήμα ελέγχου να οδηγείται σε μια αντλία νερού η οποία θα απορροφά νερό από την μια πλευρά του πλοίου και θα το εκτινάζει στην άλλη πλευρά (Σχήμα 5-8β). ~ 79 ~

Σχήμα 5-8 ~ 80 ~

~ 81 ~

6. ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗ Πολλές φορές οι καταστάσεις του συστήματος που θέλουμε να ελέγξουμε δεν είναι μετρήσιμες. Σε τέτοιες περιπτώσεις σχεδιάζουμε έναν παρατηρητή. Ο παρατηρητής είναι ένα σύστημα,το οποίο έχει σκοπό την εκτίμηση των καταστάσεων του συστήματος, δηλαδή είναι ένας εκτιμητής κατάστασης. Στην περίπτωση του συστήματος του πλοίου που μελετάται η μέτρηση της γωνίας απόκλισης γίνεται με την βοήθεια ειδικών αισθητήρων. Όμως αυτό δεν είναι πάντοτε εφικτό ή οι αισθητήρες δεν είναι πάντοτε ικανοποιητικά ακριβείς. Συνεπώς η σχεδίαση ενός παρατηρητή παρουσιάζει ενδιαφέρον και για αυτό παραθέτεται στην συνέχεια. Όπως φαίνεται και στο σχήμα 6-1 ο παρατηρητής είναι ένα σύστημα που έχει για εισόδους την έξοδο και την είσοδο του συστήματος που θέλουμε να παρακολουθήσουμε και για έξοδο την εκτιμούμενη κατάσταση. Επίσης η εκτιμούμενη κατάσταση οδηγείται σαν είσοδο στον ελεγκτή. Σχήμα1-6 ~ 8 ~

Σε προηγούμενο κεφάλαιο αποδείχτηκε πως το καταστατικό μοντέλο του πλοίου (1.18) με την βοήθεια της μεθόδου feedback linearization μετασχηματίστηκε στο γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα (4.9):. z1 0 1 z1 0. = Az + Bv = + v 0 0 z 1 z z1 y = Cz = ( 1 0) z Και εφαρμόζοντας τον έλεγχο v= Kzκαταλήξαμε στο σύστημα (5.13):. z z 1 Az. = BKz (5.13) Πριν σχεδιάσουμε τον παρατηρητή πρέπει να διαπιστωθεί αν το σύστημα μας είναι παρατηρήσιμο. Έτσι υπολογίζουμε την μήτρα παρατηρησιμότητας Q: Q C A C A C T T T T n 1 T = [ ( ) ] T T AC 0 0 1 0 = = 1 0 0 1 άρα 1 0 Q= rankq= 0 1 Συνεπώς το σύστημα (4.9) είναι παρατηρήσιμο. Αν ^ z είναι η εκτιμούμενη κατάσταση τότε ο παρατηρητής είναι το σύστημα:. ^ ^ ^ ^ e( ) ( e ) z = Az+ Bu+ K y Cz = A K C z+ Bu+ K y (6.1) e k ^ e1 Όπου Ke =.Και επειδή u = K z η (6.1) γίνεται: k e ~ 83 ~