ΜΑΘΗΜΑ 4 Κεφάλαιο 1o : Οι Φυσικοί Αριθµοί Υποενότητα 1.4: Ευκλείδεια ιαίρεση - ιαιρετότητα Θεµατικές Ενότητες: 1. Ευκλείδεια ιαίρεση Α. ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΟΡΙΣΜΟΙ Όταν δοθούν δυο φυσικοί αριθµοί και δ (δ 0) υπάρχουν ακριβώς δύο άλλοι φυσικοί αριθµοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει = δ π + υ, µε 0 υ < δ. Ο αριθµός λέγεται διαιρετέος, ο αριθµός δ διαιρέτης, ο αριθµός π πηλίκο και ο αριθµός υ υπόλοιπο της διαίρεσης. Η ισότητα = δ π + υ µε 0 υ < δ λέγεται Ευκλείδεια ιαίρεση. Αν υ = 0, δηλαδή = δ π, η διαίρεση λέγεται τέλεια. Αν υ 0, τότε η διαίρεση λέγεται ατελής. Σηµειώνουµε ότι: στους φυσικούς αριθµούς η τέλεια διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασµού φυσικών αριθµών. ηλαδή, αν = δ π, τότε : δ = π και αντίστροφα: αν : δ = π, τότε = δ π. Έτσι: Επειδή: 12= 3 4 είναι 12 : 4=3 και 12 : 3=4, Επειδή: 12 : 4=3 και 12 : 3=4 είναι 12=3 4. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 34 -
ΠΡΟΣΟΧΗ: Ο διαιρέτης µιας διαίρεσης δεν είναι ποτέ 0, δεν ορίζεται δηλαδή η διαίρεση δια το 0. Αν = δ, τότε π = 1 και υ=0. Αν δ = 1, τότε π = και υ=0. Αν = 0, τότε π = 0 και υ=0. Αν < δ, τότε π = 0 και υ =. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ (Σ) ΛΑΘΟΥΣ (Λ) Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λανθασµένη (Λ) καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις: i. Σε µια Ευκλείδεια ιαίρεση το πηλίκο πρέπει να είναι πάντοτε µικρότερο από το διαιρέτη. ii. iii. iv. Σε µια Ευκλείδεια ιαίρεση ο διαιρετέος πρέπει να είναι µικρότερος από το διαιρέτη. Όταν ο διαιρετέος είναι 0, η Ευκλείδεια ιαίρεση είναι πάντοτε τέλεια. Η ισότητα 80 = 9 8 + 8 δεν προκύπτει από Ευκλείδεια ιαίρεση. v. Η ισότητα 173 = 9 17 + 20 δεν προκύπτει από Ευκλείδεια ιαίρεση. vi. Αν σήµερα είναι ευτέρα µετά από 116 ηµέρες θα είναι Παρασκευή. vii. Η ισότητα 13 = 4 2,5 + 3 προκύπτει από Ευκλείδεια ιαίρεση. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 35 -
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθεµιά από τις επόµενες ερωτήσεις: i. Η ισότητα 28 = 4 6 + 4 έχει προκύψει από µια Ευκλείδεια ιαίρεση. Ο διαιρέτης της διαίρεσης είναι: Α. 4 Β. 6 Γ. 28 ii. iii. Σε µια Ευκλείδεια ιαίρεση ο διαιρέτης είναι 3. Το υπόλοιπο µπορεί να πάρει τις τιµές: Α. 0 ή 1 Β. 1 ή 2 ή 3 Γ. 0 ή 1 ή 2 Σε µια Ευκλείδεια ιαίρεση το υπόλοιπο είναι 3. Η µικρότερη τιµή που µπορεί να πάρει ο διαιρέτης είναι: Α. 4 Β. 3 Γ. 5 iv. Σε µια Ευκλείδεια ιαίρεση ο διαιρέτης είναι το 3 και το πηλίκο το 2. Ο διαιρετέος µπορεί να πάρει τιµές: Α. 3 ή 4 ή 5 Β. 4 ή 5 ή 6 Γ. 6 ή 7 ή 8 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τους φυσικούς αριθµούς που όταν διαιρεθούν µε το 5 δίνουν πηλίκο 2. Λύση. Το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι σίγουρα µικρότερο του διαιρέτη άρα υ<5. Εποµένως: υ = 0 ή υ = 1 ή υ = 2 ή υ = 3 ή υ = 4. Ισχύει = δ π + υ, άρα: αν υ = 0, τότε: = 5 2 + 0 = 10, αν υ = 1, τότε: = 5 2 + 1 = 11, αν υ = 2, τότε: = 5 2 + 2 = 12, αν υ = 3, τότε: = 5 2 + 3 = 13, αν υ = 4, τότε: = 5 2 + 4 = 14. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 36 -
2. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις i. 8 : 0 ii. 8 :8 iii. 8 :1 iv. 0 :8 Λύση. i. Στη διαίρεση 8:0, ο διαιρέτης είναι δ=0. Η διαίρεση αυτή δεν µπορεί να γίνει. ii. iii. iv. Στη διαίρεση 8:8, ο διαιρέτης είναι ίσος µε τον διαιρετέο. Άρα ισχύει: 8:8=1 Στη διαίρεση 8:1, o διαιρέτης είναι δ=1.άρα ισχύει: 8:1=8 Στη διαίρεση 0:8, ο διαιρετέος είναι =0.Άρα ισχύει: 0:8=0 3. Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω ισότητες εκφράζουν Ευκλείδεια ιαίρεση: i. 19= 5 3+ 4 ii. 26= 4 5+ 6 iii. 34= 5 6+ 4 iv. 20= 3.5+ 5 Λύση. i. Στην ισότητα19= 5 3+ 4, ο αριθµός 4 είναι µικρότερος από το 5, αλλά είναι µεγαλύτερος από το 3. Έτσι η ισότητα αυτή εκφράζει την Ευκλείδεια διαίρεση του =19 µε τον δ=5, η οποία έχει πηλίκο π=3 και υπόλοιπο υ=4. Η ισότητα 19=5.3+4 δεν εκφράζει την Ευκλείδεια διαίρεση του =19 µε τον δ=3, γιατί τότε το υπόλοιπο υ=4 θα ήταν µεγαλύτερο από τον διαιρέτη δ=3. ii. Στην ισότητα 26 4 5 6 = +, ο αριθµός 6 είναι µεγαλύτερος και από το 4 και από το 5. Άρα η ισότητα αυτή δεν εκφράζει Ευκλείδεια διαίρεση. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 37 -
iii. Στην ισότητα 34= 5 6+ 4, ο αριθµός 4 είναι µικρότερος και από το 5 και από το 6. Άρα η ισότητα αυτή εκφράζει την Ευκλείδεια διαίρεση: µε =34, δ=5, π=6 και υ=4 µε =34, δ=6, π=5 και υ=4 iv. Στην ισότητα 20= 3 5+ 5, ο αριθµός 5 δεν είναι µικρότερος ούτε από το 3, ούτε από το 5. Άρα η ισότητα αυτή δεν εκφράζει Ευκλείδεια διαίρεση. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις παρακάτω ευκλείδειες διαιρέσεις µε τις δοκιµές τους: α) 96 : 8 δ) 2 : 4 ζ) 12.690 : 54 β) 85 : 5 ε) 246 : 8 η) 21.953 : 224 γ) 84 : 7 στ) 142 : 5 θ) 17.721 : 179 2. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω ισότητες προκύπτουν από Ευκλείδειες ιαιρέσεις και να σηµειώσετε το αντίστοιχο πηλίκο: α) 26 = 3 8 + 2 β) 30 = 4 6 + 6 γ) 63 = 2 20 + 23 δ) 19 = 2 9 + 1 ε) 0 = 4 0 στ) 5 = 5 1 ζ) 2721 = 82 33 + 15 η) 10043 = 127 79 + 10 3. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθµού α = 1 2 3 4 5... 2011 2012 2013 + 30 µε το 31. 4. Να βρείτε τους φυσικούς αριθµούς οι οποίοι: α) Όταν διαιρεθούν µε το 4 δίνουν πηλίκο 5. β) Όταν διαιρεθούν µε το 3 δίνουν πηλίκο 4. γ) Όταν διαιρεθούν µε το 2 δίνουν πηλίκο 6. 5. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: α) 4 2 : 2 + (15 + 5) : 2 2 + 36 : 3 2 β) (16 : 2 + 4) (25 32 : 2) 2 3 3 2 : 6 γ) 4 2 : 2 3 (6 4) + (15 + 5) : 2 2 + 36 : 3 2 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 38 -
δ) (14 : 2 + 3) 2 2 + (24 2 2 3) : 2 ε) 2 3 (3 2 25 : 5) (2 3 5) 7 +4 (3 2 3 +1 5 2 ) στ) 3 (2 3 1 3 ) 2 + 3 (2 5 2 2 3) 2 3 3 + (17 8 +9 23 ) 0 ζ) 2 5 : (5 2 3 2 ) + (2 2 3) 2 : 3 2 4 (4 9 2 2 5) : 2 2 η) (3 4 4) 2 : (4 5 2 2 ) + 4 (2 3 3) : (6 2 4 5) (5 2 4) : 10 θ) (4 2 7) 2 3 8 5 : 10 + 2 3 2 + 5 9 + 15 2 (21 3 2 + 6) ι) 2 [10 (3 2-2 3 ) 2 ] : 3 2 + (6 2-5 2 ) : [2 3 + 3 (4 2-3 5)] ια) (3 2 2 + 2 3 ) : (2 2 + 1 5 ) + (2 4 2 5 2 ) : (1 2 + 3 2) (2 10 + 1 15 ) 0 ιβ) 2 3 [4 2 3 (5 2 2 4 2 2 )] 10 [3 2 4 (3 2-2 3 ) 2 ]: 5 2 ιγ) 3 {3 2 2 [4 2 +3 (5 6 + 3 6 4 )] 0 + 3 2 2 } + (3 3-4 2 ) : 11 4 3 2 : (3 3-3 5) ιδ) (6 2 5 2 ):11 + 2 {2 3 5 [3 5 + 4 (6 5 + 4 5 3 )] 0 +3 2 2 } 3 4 2 : (3 3-5 3) ιε) 2 5 : (5 2 3 2 ) + (2 2 3) 2 : 3 2 4 (4 9 2 2 5) : 2 2 ιστ) (3 4 4) 2 : (4 5 2 2 ) + 4 (2 3 3) : (6 2 4 5) (5 2 4) : 10 ιζ) (5 2-4 2 ) : 9 +3 {2 4 4 [1+3 (6 2009 +4 2010 ) 0 ] + 3 [3 2 4 (3 2-2 3 ) 2 ] 2 : 5 2 }: 3 6. Αν x = (21 + 2 2 ) : 5 και y = (10 2 7 0 ) : 2 να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α) A = (x 2 y + xy 2 ) : (x 2 y xy 2 ) β) B = (x 2 y + xy 2 ) (x 2 y xy 2 ) γ) Γ = (x y-2 y x-3 ) : (x y-3 y x-4 ) 7. Αν α = 12, β = 6 και γ = 2, να υπολογίσετε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων: Α = (α : β γ) 2 + (α : γ + β : γ) + (α β) 2 : 3 2. Β = (α + β γ) : γ 2 (β γ) 3 : 8 + (α γ) 2 : 5 2 Γ = (α + β + γ) 2 : 2 (α 2 + β 2 + γ 2 ) : 4 + (α : β + β : γ) 2 8. Αν x = 1+0,5 (9 : 3 1) 3 +(4 3 : 2 5 +1) 2 3 3 : 3+2 3 (1 0,5) και y + z = (8 2 2) 2,5 : (101 100) 5 (2 3 2 3), να υπολογίσετε την αριθµητική τιµή της παράστασης: Α = 2 (x+y)+3 (x+z) z. 9. Ο κύριος Βαγγέλης αγόρασε ένα αυτοκίνητο αξίας 18.100. Έδωσε 5.500 προκαταβολή και το υπόλοιπο ποσό θα το εξοφλήσει σε 36 ισόποσες, άτοκες µηνιαίες δόσεις. Ποιο είναι το ποσό της κάθε δόσης; 10. Η Ανδροµάχη κάνει δίαιτα. Γνωρίζει ότι πρέπει κάθε ηµέρα να καταναλώνει το πολύ 1.200 θερµίδες. Αν γνωρίζει ότι ένα µήλο έχει 82 θερµίδες, ένα παγωτό 337 θερµίδες και µια τυρόπιτα 280 θερµίδες κι έχει ήδη καταναλώσει 1 τυρόπιτα και 3 µήλα, πόσα παγωτά µπορεί να φάει; Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 39 -
11. Η Πένυ προκειµένου να τακτοποιήσει το δωµάτιό της τοποθέτησε εξίσου τις 43 κούκλες της σε 9 κούτες και τις υπόλοιπες τις χάρισε στην αδερφή της ήµητρα. Πόσες κούκλες έβαλε σε κάθε κούτα και πόσες κούκλες έδωσε στη ήµητρα; 12. α) Για µια πορτοκαλάδα και δυο πίτσες πληρώσαµε 5, ενώ για µια πορτοκαλάδα και 5 πίτσες πληρώσαµε 11 στο ίδιο κατάστηµα. Πόσο κοστίζει η πορτοκαλάδα και πόσο η πίτσα; β) Για τρεις πορτοκαλάδες και πέντε πίτσες πληρώσαµε 18, ενώ για έξι πορτοκαλάδες και 14 πίτσες πληρώσαµε 48 στο ίδιο κατάστηµα. Πόσο κοστίζει η πορτοκαλάδα και πόσο η πίτσα; 13. Να αντικαταστήσετε τα κενά τετράγωνα µε τα ψηφία που λείπουν: 4 5 4 4 7 2 3 3 3 3 0 8 2 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 40 -