Α. ΕΚΠ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 8 Κεφάλαιο 1o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα 1.8: ΕΚΠ και ΜΚ ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων Θεµατικές Ενότητες: 1. ΕΚΠ ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων.. ΜΚ ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων. Α. ΕΚΠ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Γνωρίζουµε από τη Α Γυµνασίου ότι το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π) δύο ή περισσοτέρων αριθµών (εδώ πολυωνύµων), που έχουν αναλυθεί σε γινόµενο πρώτων παραγόντων είναι το γινόµενο που σχηµατίζεται από τους κοινούς και τους µη κοινούς παράγοντες τους, στο οποίο ο καθένας λαµβάνεται µε το µεγαλύτερο εκθέτη. π.χ 1 Ε.Κ.Π (90,144,156) =? Αναλύοντας του παραπάνω αριθµούς σε γινόµενο πρώτων παραγόντων έχουµε ότι: 5 90= 5, 144= 5 και 156= Άρα σύµφωνα µε τον παραπάνω κανόνα έχουµε ότι: 5 Ε.Κ.Π (90,144,156) = 5 π.χ Ε.Κ.Π ( x 1, x x+ 1, x x+ ) =? Τα πολυώνυµα γράφονται: x 1= ( x ( x+ x x+ 1= ( x x x+ = ( x )( x Άρα το Ε.Κ.Π τους είναι το εξής: ( x ( x+ ( x ) Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -107-

2 Β. ΜΚ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Αντίστοιχα ο Μέγιστος Κοινός ιαιρέτης (Μ.Κ. ) δύο ή περισσοτέρων αριθµών (εδώ πολυωνύµων), που έχουν αναλυθεί σε γινόµενο πρώτων παραγόντων είναι το γινόµενο που σχηµατίζεται από τους κοινούς πρώτους παράγοντες τους, στο οποίο ο καθένας λαµβάνεται µε το µικρότερο εκθέτη. π.χ 1 Μ.Κ. (90,144,156) =? Αναλύοντας του παραπάνω αριθµούς σε γινόµενο πρώτων παραγόντων έχουµε ότι: 5 90= 5, 144= 5 και 156= Άρα σύµφωνα µε τον παραπάνω κανόνα έχουµε ότι: Μ.Κ. (90,144,156) = = 6 π.χ Μ.Κ. ( x 9x,xy+ x y ) =? Τα πολυώνυµα γράφονται: x 9x= x( x 9) = x( x )( x+ ) ( ) xy+ x y= xy + x Άρα ο Μ.Κ. τους είναι ο εξής: x( x+ ) ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για να βρούµε το ΕΚΠ και το ΜΚ πολυωνύµων ακολουθούµε τη παρακάτω διαδικασία: Αναλύουµε τα πολυώνυµα σε γινόµενο πρώτων παραγόντων. Υπολογίζουµε το ΕΚΠ και το ΜΚ των αριθµητικών παραγόντων. Εφαρµόζουµε τους παραπάνω ορισµούς για το ΕΚΠ και το ΜΚ των πολυωνύµων. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -108-

3 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το ΕΚΠ και το ΜΚ των: α. µονωνύµων: 6 x y w, 8 x yw, 4x y Λύση. 5 β. πολυωνύµων: ( x ( x+ 1 ), ( x 1 ), 4( x - α. Οι συντελεστές 6, 8, 4 έχουν ΕΚΠ = 4 και ΜΚ =. Άρα τα µονώνυµα έχουν: 5 ΕΚΠ= 4x y w και ΜΚ = x y. β. Οι συντελεστές,, 4 έχουν ΕΚΠ = 1 και ΜΚ = 1. Άρα τα πολυώνυµα έχουν: 1( x ( x ΕΚΠ = + και ΜΚ = x 1.. Να βρείτε το ΕΚΠ και το ΜΚ των παραστάσεων: α. α α, α 4α +, α α + β. x + x, x 1 Λύση. α. Αρχικά αναλύουµε τα πολυώνυµα σε γινόµενα πρώτων παραγόντων. Αναλυτικά έχουµε: a a= a( a = a( a ( a+ a 4a+ = ( a a+ = ( a a a+ = ( a ( a ) Άρα 6a( a ( a ( a ) ΕΚΠ= + και ΜΚ = a 1. β. Αναλυτικά έχουµε: x + x = ( x+ ) ( x x 1= ( x ( x + x+ Άρα ( x ) ( x ( x x ΕΚΠ= και ΜΚ = x 1. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -109-

4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ Να συµπληρωθούν τα κενά γράφοντας σε κάθε κενό το ΜΚ των παραστάσεων Α, Β: Α Β 6α β αβ αβγ β 4αβ γ α γ Να συµπληρωθούν τα κενά γράφοντας σε κάθε κενό το ΕΚΠ και ΜΚ των παραστάσεων Α, Β: ΕΚΠ ΜΚ αβ, α 6α, αβ x( x, 4( x ( x+ x ( x+ ), x( x 4 1 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -110-

5 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π των παραστάσεων: α αβγ i), α α β ii), iii)x y, xy iv)4 α βγ,8 αβ,1γ ( ) α α α v), + vi)y y, y y α β+αβ α +αβ vii), + viii)x 4, x x ix)x + x+ 1, x + x+ x) x 1, x 1. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π και ο Μ.Κ. των παραστάσεων: i)4x,6x ii)x,6x iii), 4β iv)x y,5xy v)α xy, 4αx y,6α x ( ) ( α β)( α+β) vi) α α β,. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π και ο Μ.Κ. των παραστάσεων: i)α β, α +β αβ, α β ii)x 1, x 1, x + x iii)x 4x, x y 4xy+ 4y, x 8 4. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π και ο Μ.Κ. των παραστάσεων: ( ) i)x y, 4x y, x y ii)x 1, x + 6x+ 5, x + x+ 1, x + 11x+ 10 iii)x 6x+ 9, x 6x, x 9 iv)5α β x y,15α β x y,1α β x y ( ) ( ) v) α β, βα+α, α+β α β αβ Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -111-