Κεφ. : Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Επίλυση απλών εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas.. Νόρμες πινάκων, δείκτης κατάστασης πίνακα, ασταθή συστήματα,. Επίλυση συστημάτων με επαναληπτικές μεθόδους.. Μέθοδος Jacob.. Μέθοδος Gauss-Sedel.. Σύγκριση επαναληπτικών μεθόδων και ορισμός φασματικής ακτίνας.4 Μέθοδος Newto-Raphso
. Επίλυση εξισώσεων Παραδείγματα προβλημάτων θερμοδυναμικής, στατικής, μηχανικής, ρευστών, κτλ., που απαιτείται ο υπολογισμός των ριζών αλγεβρικών εξισώσεων: Η καταστατική εξίσωση των Beatte και Brdgma δίδεται από την σχέση RT β γ δ P = + + + 4 V V V V όπου τα β, γ, δ είναι γνωστές συναρτήσεις της θερμοκρασίας. Να βρεθεί ο όγκος του αερίου σε γνωστές τιμές της πίεση και θερμοκρασίας ή η θερμοκρασία του αερίου σε γνωστές τιμές της πίεσης και του όγκου. Η εξίσωση που περιγράφει την παραμόρφωση μιας ελαστικής δοκού που παραλαμβάνει ένα γραμμικά μεταβαλλόμενο φορτίο είναι w0 5 4 y = + L L 0EIL Να βρεθεί το σημείο της μέγιστης παραμόρφωσης και στη συνέχεια η τιμή της Ε=50.000kN/cm, I=0.000cm 4, L=450cm, w 0 =,75kN/cm.
Η συγκέντρωση του οξυγόνου σε ένα ποτάμι κατάντη του σημείου εξόδου αστικών λυμάτων δίδεται από την σχέση 0. 075. c 0 0e = e όπου η απόσταση από το σημείο εξόδου. Να προσδιοριστεί σε ποια απόσταση η συγκέντρωση του οξυγόνου είναι c=5. Στη μηχανική ρευστών ο συντελεστής τριβής δίδεται από τη εξίσωση = 087. l Re 08. Υπολογίστε τον συντελεστή τριβής για Re=00.000. Η παρακάτω εξίσωση εφαρμόζεται στον υπολογισμό της ειδικής θερμότητας του αέρα. Να βρεθεί η θερμοκρασία που αντιστοιχεί σε c p =.kj/kgk. 4 8 4 4 c = 0. 9940 +. 67* 0 *T + 9. 75* 0 *T 9. 588* 0 *T +. 950* 0 *T p
.. Μέθοδος διχοτόμησης και γραμμικής παρεμβολής Ζητείται η ρίζα της εξίσωσης 0 Αλγόριθμος: Ορίζεται σημείο = + Εάν Εάν = + = στο διάστημα =. / < 0 τότε αντικαθίσταται το > 0 τότε αντικαθίσταται το 4 / με = + 4 / με και το παλιό με Με τον τρόπο αυτό το διάστημα που βρίσκεται η ρίζα διχοτομείται συνεχώς., το μέγιστο αρχικό λάθος είναι /και μετά Αφού η ρίζα είναι στο διάστημα [ ] από διχοτομήσεις θα είναι / +. Αντίστοιχη είναι και η μέθοδος της γραμμικής παρεμβολής με μόνη διαφορά ότι η νέα τιμή προκύπτει από τη σχέση: = 4
Παράδειγμα: Να βρεθεί η ρίζα της εξίσωσης = cos cosh + = 0 στο διάστημα [.6, ] L R M L.6.0.8 0.947-0.5656 0.940.8.0.9 0.940-0.5656-0.049.8.9.85 0.940-0.049 0.00.85.9.875 0.00-0.049 0.0004.875.9.8875 0.0004-0.049-0.058.875.8875.88 0.0004-0.058-0.055.875.8754.875 0.0004-0.00-0.0004 R M 5
.. Μέθοδος απλών αντικαταστάσεων Η αρχική εξίσωση = 0 γράφεται στη μορφή F Στη συνέχεια εφαρμόζεται η επαναληπτική διαδικασία Η επαναληπτική διαδικασία τερματίζεται όταν Σύγκλιση: Έστω η αναλυτική λύση και Επιλύουμε ως προς =. + + + = F < ε ή + < ε η αριθμητική λύση και σ = το σφάλμα. και αντικαθιστούμε στον επαναληπτικό αλγόριθμο: df + σ = F + σ = F + σ σ = σ d df Η μέθοδος συγκλίνει εάν < d = + + df d 6
Παραδείγματα: =.88+.9 = 0 +.9.88 = = F, F =.88 6 Αριθμός επανάληψης F F 0.500 0.66-0.600 0.66 0.559-0.685 0.559 0.66-0.6 4 0.66 0.58-0.665 5 0.58 0.6-0.69 6 0.6 0.59 7 0.59 0.60 7
=.88+.84 = 0, Αναλυτική λύση: =.497 F +.84.88 = =, F 6.88 Αριθμός επανάληψης F F.500.4997 0.9659.4997.4995 0.965.4995.499......495.495 0.9555.495.495 0.955.495.4950 0.955 8
.. Μέθοδος Newto Έστω η αναλυτική λύση και η αριθμητική λύση και σ = το σφάλμα. d = 0 = 0 = 0 = = σ σ σ d = = = + Γεωμετρική ερμηνεία: 9
Σύγκλιση: Έστω η αναλυτική λύση και Αλγόριθμος: Ανάπτυγμα Taylor: η αριθμητική λύση και σ = το σφάλμα. + + σ = + σ σ σ + = d d = 0 σ = σ + σ = 0 d d = = d σ d = σ = Αντικαθιστούμε την τελευταία σχέση στον αριθμητή της προηγούμενης: 0
σ = σ + Η μέθοδος συγκλίνει εάν < Απλοποιημένη Newto: + =, + σ σ σ Αλγόριθμος ης τάξης: + =, σ + σ
Παράδειγμα: =, = + = 0, Αναλυτική λύση: = = = σ + = σ Μέθοδος Newto Μέθοδος απλών επαναλήψεων σ σ σ 0.75σ. 0.. 0..008 0.008 0.0.076 0.076 0.075.000068 0.000068 0.000069.0545 0.0545 0.055 4.000000.0405 0.0405 0.0409.. 9.0070 0.0070 0.005 0.005 0.005 Απλές επαναλήψεις: = =, F / F = F = 0.75
Μέθοδος Newto για πολλαπλές ρίζες: Είναι προφανές ότι στη περίπτωση πολλαπλών ριζών η μέθοδος Newto αστοχεί ή στη καλύτερη περίπτωση η σύγκλιση είναι αντίστοιχη με αυτή των γραμμικών μεθόδων καθώς πλησιάζουμε τη ρίζα όχι μόνο το αλλά και το τείνουν στο μηδέν. Απόδειξη: Έχει αποδειχθεί ότι η εξέλιξη του σφάλματος στη μέθοδο Newto δίδεται από την σχέση: + σ = σ Αν η ρίζα είναι πολλαπλότητας τότε = 0 σ = 0 = σ Η τελευταία σχέση αντικαθίσταται στη γενική έκφραση και προκύπτει ότι: + σ = σ = σ σ
Επομένως εφαρμόζονται οι παρακάτω δύο εναλλακτικοί αλγόριθμοι ώστε η σύγκλιση να παραμείνει τετραγωνική. Α Έστω u = και u = Σημειώνεται ότι οι ρίζες της u είναι οι ίδιες με αυτές της αρχικής συνάρτησης. + u = u + = 4
Παράδειγμα Chapra & Caale, σελ. 65: = 5 + 7 = = 0 Μέθοδος Newto Μέθοδος Newto για πολλαπλές ρίζες σ % σ % 0 0 00 0 00 0.486 57.056 0.6857.0008 0. 0.89 7.00000 0.0004 4 0.9 8.7 5 0.9558 4.4 6 0.9777. 5
Β Έστω ότι αναζητείται ρίζα πολλαπλότητας : = 0 σ = 0 σ + σ = 0 σ σ = 0 = 0 = 0 σ σ = σ = 0 σ = Γενική περίπτωση ρίζας πολλαπλότητας m: + = + = m 0 6
. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους Εξετάζονται συστήματα όπου ο αριθμός των εξισώσεων ισούται με τον αριθμό των αγνώστων. Οι απευθείας μέθοδοι εφαρμόζονται μόνο σε γραμμικά συστήματα της μορφής A = b ή a + a +... + a = b a + a +... + a = b... a + a +... + a = b... a + a +... + a = b ή a j j = b, =,,..., j= Ο αριθμός των πράξεων που απαιτούνται για την επίλυση του συστήματος με τις απευθείας μεθόδους είναι τάξης O ]. [ 7
Το σύστημα = det A 0. A b έχει λύση εάν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος ή εάν Το σύστημα A = 0 έχει μη μηδενική λύση εάν ο πίνακας A είναι μη αντιστρέψιμος det A = 0. ή εάν Οι ιδιοτιμές ή χαρακτηριστικές τιμές λ ενός πίνακα A προκύπτουν επιλύοντας συστήματα όπως το σύστημα A = λ ή A λi = 0, όπου είναι το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα ή χαρακτηριστικό διάνυσμα. Το σύστημα αυτό έχει μη μηδενική λύση μόνο όταν λ χαρακτηριστική εξίσωση 0 + λ+... + λ + λ = 0 c c c από την οποία προκύπτουν οι ιδιοτιμές λ, λ,..., λ. Φασματική ακτίνα πίνακα A: ρ = ma{ λ } A, =,,...,. det A I = 0 που οδηγεί στην 8
Επίλυση του συστήματος A = b με τον κανόνα του Cramer: = A A,,,..., = όπου A = a a... a a a... a............ a a... a............ a a... a A = a a... b... a a a... b... a.................. a a... b... a.................. a a... b... a η στήλη αντικαθίσταται με το διάνυσμα b Πλεονέκτημα: Η λύση είναι σε κλειστή μορφή Μειονέκτημα: Ο αριθμός πράξεων για σύστημα εξισώσεων είναι O!. 6 Για σύστημα 0 εξισώσεων ο αριθμός πράξεων είναι 0 O. 9
.. Απαλοιφές elmato Gauss και Gauss-Jorda Κύρια χαρακτηριστικά απαλοιφής Gauss: Α Αντικατάσταση κάθε στοιχείου της διαγωνίου με μονάδα Β Αντικατάσταση κάθε στοιχείου κάτω από τη διαγώνιο με μηδέν Γ Αντικατάσταση όλων των άλλων στοιχείων με τις τιμές που προκύπτουν από τα παραπάνω βήματα χωρίς να αλλοιώνεται το αρχικό σύστημα. Κύρια χαρακτηριστικά απαλοιφής Gauss-Jorda: Δ Αντικατάσταση κάθε στοιχείου πάνω από τη διαγώνιο με μηδέν εκτός της στήλης + Ε Αντικατάσταση κάθε στοιχείου της στήλης + με τις τιμές που προκύπτουν από τα παραπάνω βήματα χωρίς να αλλοιώνεται το αρχικό σύστημα Αριθμός πράξεων απαλοιφής Gauss: 5 5 + προσθαφαιρέσεις, + πολλαπλασιασμούς, + διαιρέσεις 6 6 Αριθμός πράξεων απαλοιφής Gauss-Jorda: + προσθαφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς, διαιρέσεις 0
Παράδειγμα: Απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση 0 7 5 0 0 0.4 0.4 r r r r/5 r r r 5 0 0 7 0 7 0 0.4 0.4 0 0.4 0.4 0 0.4 0.4 0 0.6.6 r r 0 7 r r / 0. 0.66 0-7 0 0.6.6 0 0.6.6 0 0.4 0.4 0 0.4 0.4 r r r 0. 0.66 r r / 4.06 0. 0.66 0 0 4.06.9 0 0 0.968 = 0.4 + 0.4 = 0.66 +. = 0.787 =.590 = 0.968 = 0.968
Παράδειγμα: Να λυθεί το σύστημα Α Χωρίς οδήγηση: 0. 005 0. 5 με αριθμητική σημαντικών ψηφίων. 0. 005 0. 5 00 00 00 00 00 00 0 99 99 0 00 99 99 = = 0. 495 0. 50, = 00 00 0. 5 = 0 ΛΑΘΟΣ!! 00 Β Με οδήγηση: 0. 005 0. 5 0. 005 0. 5 0 0. 995 0. 495 0 0. 0. 50 = 05., = 05. = 05. ΣΩΣΤΟ σε σημαντικά ψηφία Η λύση με ακρίβεια 4 σημαντικών ψηφίων είναι = 0. 505 και = 0. 4975
Παράδειγμα ολική οδήγηση: Επιλύστε το παρακάτω σύστημα με απαλοιφή Gauss ολικής οδήγησης και σχολιάστε την ακρίβεια του αποτελέσματος: 0. 00 0. 0. 0. 5 0. 7 0. 66 0. 66 0. 85 0. 6 0. 76 0. 477 = 0. 8 0. 6 0. 76 0. 477 0. 8 = 0. 00 0. 0. 0. 5 0. 7 0. 66 0. 66 0. 85 0. 66 0. 7 0. 66 0. 85 0. 6 0. 944 0. 40 0. 76 0. 6 0. 477 = 0. 8 0 0. 8 0. 0. 07 = 0 0. 056 0. 0. 4 0. 0. 00 0. 0. 5 0. 6 0. 944 0. 40 0. 944 0. 6 0. 40 0 0. 056 0. = 0. 4 0 0. 0. 056 0. 4 = 0 0. 0. 8 0. 07 0. 944 0. 6 0. 40 0. 096 0 0. 40. 09 = 0. 69 = 0 0 0. 67 0. 67 0 0. 8 0. 0. 07
Σημειώνεται ότι η απλή απαλοιφή Gauss χωρίς μερική ή ολική οδήγηση είναι ένας ασταθής αλγόριθμός διότι είναι πιθανόν ο οδηγός να είναι μηδέν με αποτέλεσμα να γίνονται διαιρέσεις με μηδέν και το αποτέλεσμα να απειρίζεται ή να είναι ένας μικρός αριθμός και στις πράξεις που πραγματοποιούνται να αυξάνουν σημαντικά τα σφάλματα στρογγυλοποίησης. Επομένως, η εφαρμογή του σε συστήματα που είναι αριθμητικά μη καλώς τοποθετημένα συνήθως οδηγεί σε λάθος αποτελέσματα. Αντίθετα, ο αλγόριθμος απαλοιφής Gauss με μερική ή ολική οδήγηση είναι ευσταθής. Μεταξύ της μερικής και ολικής απαλοιφής Gauss συνήθως επιλέγεται η πρώτη επειδή το υπολογιστικό κόστος είναι μικρότερο και οδηγεί σε σωστά αποτελέσματα \. 4
.. Παραγοντοποίηση actorzato or decomposto LU, μέθοδος Cholesky και Αλγόριθμος Thomas Ο πίνακας A παραγοντοποιείται σύμφωνα με τη σχέση A = ένας κάτω και ένας άνω τριγωνικός πίνακας αντίστοιχα. LU όπου L και U είναι A = b LU = b Στη συνέχεια ορίζεται ένα νέο διάνυσμα y έτσι ώστε U = στο παραπάνω σύστημα και προκύπτει Ly = b. y που αντικαθίσταται Επιλύεται το κάτω τριγωνικό σύστημα και βρίσκεται το διάνυσμα y και στη συνέχεια επιλύεται το άνω τριγωνικό σύστημα U = y και προκύπτει το διάνυσμα. Ο αριθμός πράξεων είναι αντίστοιχος με αυτόν της απαλοιφής Gauss. 5
A = LU a... a l 0 0 u...... u l l 0 0 0 u... u......... =... 0 0 =... 0 a... a l......... l 0 0 l lu lu... lu l lu + l lu + lu... lu + lu l lu + l lu + lu + l... lu + lu + lu...... l l u + l l u + lu + l... lkuk + l k= 6
Γενικές εκφράσεις: Στοιχεία της στήλης του L: l = a l u, j=, +,..., j j jk k k= Στοιχεία της γραμμής του U : Μέθοδος Cholesky j = j k kj l k= u a lu, j = +,..., T Στη περίπτωση που ο πίνακας A είναι συμμετρικός A= A και θετικά ορισμένος T δηλαδή για τον οποίο ισχύει A > 0 για κάθε R αποδεικνύεται, T εφαρμόζοντας την παραγοντοποίηση LU, ότι ο πίνακας U=L και επομένως T A = LL Η ιδιότητα αυτή είναι σημαντική επειδή μειώνει δραστικά τον αναγκαίο αριθμό πράξεων. Ο συνολικός αριθμός πράξεων που απαιτούνται στη μέθοδο Cholesky είναι O. 7
Παράδειγμα: Εφαρμόστε παραγοντοποίηση Cholesky στο συμμετρικό πίνακα [ A] 6 5 55 = 5 55 5 = 55 5 979 LL T. Οι προϋποθέσεις για τη παραγοντοποίηση Cholesky ο πίνακας Α πρέπει να είναι: α συμμετρικός και β θετικά ορισμένος Εφαρμόζονται οι παρακάτω εξισώσεις για τα στοιχεία του πίνακα L: l k = a k l j= ll j kj Για τη η, =, k * k kk kk kj j= l = a l ** k = εφαρμόζεται η Εξ. **: l = a 0 = 6 =.4495 8
Για τη η σειρά k =, αρχικά εφαρμόζεται η Εξ. * Εξ.** = : = και στη συνέχεια η l a 0 5 l.4495 = = = 6.7 l = a l = 55 6.7 = 4.8 Για τη η σειρά k = αρχικά εφαρμόζεται η Εξ. * για τα δύο πρώτα στοιχεία =, και μετά την Εξ. ** = l a 0 55 l.4495 = = =.454 l a l l l = = = 5 6.7.454 4.8 0.97 = = 979.454 0.97 = 6.0 l a l l 9
Άρα, ο πίνακας L είναι: [ L].4495 0 0 = 6.7 4.8 0.454 0.97 6.0 Σημείωση: Εναλλακτικά, η απαλοιφή Gauss μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγοντοποίηση του πίνακα Α. Στη περίπτωση αυτή εφαρμόζεται και οδήγηση. 0
Αλγόριθμος Thomas: Παραγοντοποίηση LU σε τριδιαγώνιο σύστημα A = LU a γ 0 0 d 0 0 u 0... 0 β a γ 0 0 l d 0 0 0 u... 0 0...... =0 0 0 0 = 0 γ... 0 d 0 u 0 0 β a 0... 0 l d 0 0 d du 0... 0 l lu + d du... 0 0 l lu + d...... d u 0 0 l lu + d d l = β, =,..., u = a = γ / d d = a lu, =,..., u = γ / d, =,...,
Έστω το τριδιαγώνιο σύστημα: a γ 0 0 β a γ 0 0 0......... =...... 0 γ 0... 0 β a Αλγόριθμος Thomas: e g βγ = a, e = a, =,..., e βg =, g =, =,..., e e g = g, = g +, =,...,, e Ο συνολικός αριθμός πράξεων που απαιτούνται στον αλγόριθμο Thomas είναι O.
4 0 u 000 Παράδειγμα: Να επιλυθεί το σύστημα 4 u = 0 με αλγόριθμο Thomas. 0 4 u 000 Αλγόριθμος Thomas: e = =, a 4 g 000 e = = = 500, e 4 = g = 57.4, βγ = a = 4 =.75, e 4 e βγ 4.7 = a = = e.75 β 0 500 g g = = =., e.75 βg 000. g = = = 57.4 e.7 g = g = 57.4 57.4 = 85.7, e.75 g = g = 500 85.7 = 57.4 e 4
.. Νόρμες πινάκων, δείκτης κατάστασης πίνακα, ασταθή συστήματα Νόρμες διανυσμάτων: p / : νόρμα l ή Ευκλείδεια = = = : νόρμα l ή αθροίσματος = = ma : νόρμα l or μεγίστου / p p : νόρμα l p ή γενική p [, = = Για κάθε νόρμα διανύσματος μπορούμε να ορίσουμε την αντίστοιχη νόρμα πίνακα. 4
Νόρμες πινάκων ορισμός: A = ma 0 R A Νόρμα αθροίσματος γραμμών: A 0 j = R ' A = ma = ma a j Νόρμα αθροίσματος στηλών: A ' A = ma = ma 0 j = R a j T Ευκλείδεια νόρμα: / A = ρ AA Σε Ερμιτιανούς πίνακες ισχύει ότι η ευκλείδεια νόρμα ισούται με την φασματική / / * ακτίνα: A = ρ AA = ρ A = ρ A 5
Δείκτης κατάστασης Εξετάζεται η ευστάθεια του συστήματος A = b, A R και είναι αντιστρέψιμος, όταν εισάγονται στο διάνυσμα b, διαταραχές δb R. Τότε εάν + δ είναι η λύση του συστήματος ισχύει ότι A + δ = A + Aδ = b + δb Aδ = δb δ A δb δ A δb = = δ A δb b R b = A b = A b A Συνδυάζοντας τις δύο ανισότητες προκύπτει ότι δ b A A δb δ A A δb b που αποτελεί μέτρηση του άνω φράγματος της αλλαγής στη λύση που επιφέρει η εξωτερικά επιβαλλόμενης διαταραχής δb. 6
δ K A = = A A δb Δείκτης κατάστασης πίνακα A: Σημειώνεται ότι K A > Απόδειξη: K b A = A A AA = I = Εάν K A είναι κοντά στη μονάδα τότε ο πίνακας A είναι σε καλή κατάσταση. Εάν K A >> τότε είναι ο πίνακας A σε κακή κατάσταση. Ο δείκτης κατάστασης ορίζεται μόνο για αντιστρέψιμους πίνακες και εάν ο πίνακας K A τείνει να είναι ιδιόμορφος τότε. Για οποιαδήποτε νόρμα πίνακα ισχύει ότι ρ A < A. 7
. Επίλυση συστημάτων με απλές επαναληπτικές μεθόδους A b A Q Q b Q Q A b Q Q A Q b = + = = + = + = G + k, όπου G = Q Q A = I Q A και k = Q b Απλός επαναληπτικός αλγόριθμος: m+ m = G + k, όπου G ο πίνακας επανάληψης. Έστω m m σ = + m m m σ + = G σ + + k = Gσ + G + k m+ m σ = Gσ Αποδεικνύεται ότι m m m m 0 σ = Gσ = G σ =... = G σ, όπου 0 σ το αρχικό σφάλμα. Επομένως m m lm σ = 0 εάν lm G = 0 το οποίο ισχύει εάν G < m m m m Απόδειξη: εάν G < τότε G G 0, δηλαδή G m 0 Τέλος, επειδή ρ G < G < προκύπτει ότι η επαναληπτική μέθοδος συγκλίνει εάν η φασματική ακτίνα του πίνακα επανάληψης G είναι μικρότερη της μονάδας. 8
Για την εφαρμογή των μεθόδων Jacob και Gauss-Sedel διασπούμε τον αρχικό πίνακα συντελεστών του συστήματος ως εξής: A= D+ L+ U, όπου a... a A =........., a... a 0 0... 0 a 0 0... 0 L =... 0 0 0,... 0 0 a...... a, 0 D U a 0... 0 0 a 0 =... 0... 0... 0 a, 0 0... 0 a 0 a...... a 0 0 a... a = 0 0 a, 0 0 0 9
.. Μέθοδος Jacob A = b D+ L+ U = b D = L+ U + b = D A D + D b = D D A + D b = I D A + D b Επομένως ο επαναληπτικός αλγόριθμος Jacob δίδεται από τη σχέση: m+ m = G + k, όπου J J GJ = I D A και k J = D b Η μέθοδος συγκλίνει εάν ρ G < J Είναι προφανές ότι στη μέθοδο Jacob Q D 40
Γράφοντας το σύστημα A = b στη μορφή a= b a a... a a... a = a + b, =,...,,,, + +, j j j= j m+ m Αλγόριθμος Jacob: = a j j + b a j= j Παράδειγμα: 4 + + = + = + + 4 = 6 = 4 4 4 = + 6 = 4 4 4 = 4 4 4 m+ m = + 6 = 4 4 4 m+ m m m+ m m 4
0 0 0 = = = = = 4 4 4 = + = 6 = = 4 4 4 4 5 = = 4 4 4 4 6 5 = + = 6 5 = = 4 4 4 = 0.875 =.97 =.07... Η επαναληπτική διαδικασία ολοκληρώνεται τερματίζεται όταν m+ m < ε, =,..., ή = m+ m < ε Η μέθοδος εφαρμόζεται χωρίς να εισάγουμε τα δεδομένα σε πινακοποιημένη μορφή! 4
Αλγόριθμος Jacob με χαλάρωση: N m+ m ω m = ω + b a j j a, =,,, j= j Τυπική επαναληπτική μέθοδος Jacob: b a N = j j a j= j m+ m Αλγόριθμος Jacob με χαλάρωση υπό μορφή πινάκων: A b D L U b I D A D b = + + = = + = ω + ω I D A + D b ω ω I I D A ω D b = + + I ω D A ω D b = + m m + = J, rela + ω G D b, όπου G J, rela = I ω D A 4
.. Μέθοδος Gauss-Sedel Γράφοντας το σύστημα A = b στη μορφή a= b a a... a a... a = b a a,, + +, j j j j j= j= + Αλγόριθμος Gauss-Sedel δίδεται από τη σχέση:, m+ m+ m a = a a + b j j j j j= j= + Παράδειγμα: 4 + + = + = + + 4 = 6 = 4 4 4 = + 6 = 4 4 4 = 4 4 4 m+ m+ = + 6 = 4 4 4 m+ m m m+ m+ m+ 44
0 0 0 = = = = = 4 4 4 5 = + = 6 5 9 = = 4 4 4 8 = = = 9 5 64 78 56 = 0.9990 =.995 =.996... Jacob από παραπάνω: 0 0 0 = = = = = 4 4 4 = + = 6 = = 4 4 4 4 5 = = 4 4 4 4 6 5 = + = 6 5 = = 4 4 4 = 0.875 =.97... =.07 45
Πίνακας επανάληψης G GS της μεθόδου Gauss-Sedel: A = b D+ L+ U = b D+ L = U+ b = D+ L U+ D+ L b = D+ L A D L + D+ L b = D+ L D+ L A + D+ L b = I D+ L A + D+ L b Επομένως ο επαναληπτικός αλγόριθμος Gauss-Sedel δίδεται από τη σχέση: m+ m = G + k, όπου = + GS Η μέθοδος συγκλίνει εάν ρ < GS GS GS G I D L A και k = D+ L b G στη μέθοδο Gauss-Sedel Q D+ L GS Οι μέθοδοι Jacob και Gauss-Sedel εφαρμόζονται σε συστήματα A = συντελεστών A είναι κυρίαρχα διαγώνιος a a, =,...,. j= j j b όπου ο πίνακας 46
Μέθοδος Gauss-Sedel με χαλάρωση SOR: ω b a a m+ m m+ m = ω + j j j j a j= j= +, =,,, όπου ω 0,] είναι ένας πραγματικός αριθμός και ονομάζεται συντελεστής χαλάρωσης. Για ω =, η μέθοδος SOR ανάγεται στη μέθοδο GS. Για ω > και ω <, προκύπτει υπέρ-χαλάρωση και υπό-χαλάρωση αντίστοιχα. Υπό μορφή πινάκων ο αλγόριθμός SOR γράφεται στη μορφή: m+ m = D+ ωl ω D ωu + ω D+ ωl b 47
.4 Μέθοδος Newto Γενική μορφή συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων μη γραμμικά συστήματα:,,..., = 0,,..., = 0...,,..., = 0 Μέθοδοι απλών επαναλήψεων η μαθηματική επεξεργασία σύγκλισης δεν είναι εφικτή:...,,,..., k+ k k k k = F,,,..., k+ k k k k = F,,...,, k+ k k k k = F ή...,,,..., k+ k k k k = F,,,..., k+ k+ k k k = F,,...,, k+ k+ k+ k+ k = F 48
Τις περισσότερες φορές η σύγκλιση των μεθόδων απλών επαναλήψεων όταν εφαρμόζονται σε μη γραμμικά συστήματα είναι αργή. Για το λόγο αυτό μη γραμμικά συστήματα επιλύονται κατά κύριο λόγο με τη μέθοδο Newto ή Newto-Raphso. Εισαγωγικά εξετάζεται ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους:, = 0, = 0 k k Έστω ότι, είναι οι αναλυτικές λύσεις με, συμβολίζονται οι αντίστοιχες αριθμητικές μετά από k επαναλήψεις με τα σφάλματα να ορίζονται από τις σχέσεις k k k k σ = και σ =. k k k k k k k k, σ σ = 0 σ, σ = 0 k k k k,, k k k k σ, σ = 0 k k k k, σ σ = 0 k k k k,, 49
σ σ k k k k + σ =, k, k k, k k k k k + σ =, k, k k, k ή k k σ = k k k k, k k σ, Επιλύοντας το γραμμικό σύστημα με απευθείας ή επαναληπτικές μεθόδους προκύπτουν τα σ και σ. Έστω ότι εφαρμόζεται η μέθοδος Cramer το σύστημα είναι μόλις εξισώσεων: σ k k k, k = = k k, k k, k k σ k k k, k = = k k, k k, k k 50
Στη συνέχεια εισάγονται οι ορισμοί των σφαλμάτων και προκύπτει ο επαναληπτικός αλγόριθμος Newto για σύστημα εξισώσεων: k+ k = k και k+ k = k Σημειώνεται ότι σε κάθε επανάληψη απαιτείται η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος!!! Απλοποιημένη Newto: + = k k ω k και + = k k ω k 5
Παράδειγμα:, = s = 0 4π e, = e e + e = 0 4π π = + cos cos = + 4π = + π e e e = π 5
Το σύστημα που επιλύεται σε κάθε επανάληψη είναι k k σ = k σ k και οι νέες τιμές προκύπτουν από τις σχέσεις Πίνακας αποτελεσμάτων k+ k k = σ, k+ k k = σ k k k k k k 0 0.400.000 0.07-0.04 0.045-0.007 -.4 0.865 0.8.49-0.4.75-0.66.74 0.8-0.6-4.66 0.865-0.86.08-0.45 0.7-0.05 0.00-0.9-0.00-4. 0.865 0.06 0.4-0.6 0.69 0.0009 0.000-0.95-0.08-4.5 0.865-0.0007-0.00 4-0.60 0.6 0.0000 0.0000-0.9-0.08-4.4 0.865 0.0000 0.000 5-0.60 0.6 0.0000 0.0000 k k k σ k σ k Σημείωση: οι συναρτήσεις και οι μερικές παράγωγοι υπολογίζονται στα σημεία k και k. 5
Παράδειγμα: Να βρεθούν µε τη μέθοδο Newto οι ρίζες της εξίσωσης z z+ = 0 Έστω z = + y y y y 0 = 05. και y = ± 0. 86605 + + = y y + + = 0 Αριθμητική λύση με μέθοδο Newto: επιλύεται το σύστημα = = y = y y Το σύστημα που επιλύεται σε κάθε επανάληψη είναι y + = 0 y y = 0 = y k k y σ y + y = k σ y y k k+ k k = σ, k+ k k y = y σ 54
Πίνακας αποτελεσμάτων k y dd ddy dd ddy d dy err err 0-0.4 0. 00 5.5 0.6 0.8 0. 0.6 0. -.6.6 0. 0.07-0.065 0 7.6 0.49 0.86 0.0078-0.0-0.05 -.7.7-0.054-0.0077-0.00446.6 0.6 4 0.500 0.866 0.0000 985 0.0000 69 0.0000 797 -.7.7 0.0000 797 Επομένως z = 0. 5 + 0. 866. Βρείτε τη συζυγή ρίζα. 0.00009 8 Η μέθοδος Newto χρησιμοποιείται στην εύρεση μιγαδικών ριζών. 0.0000 0.000 0.000 55
Επέκταση σε σύστημα εξισώσεων: k k k k k k σ σ σ,,..., = 0 k k k k k k σ σ σ,,..., = 0... k k k k k k σ σ σ,,..., = 0... k k k k,,..., σ = 0 = k k k k,,..., σ = 0 =,,..., = 0 k k k k σ = 56
Το γραμμικό σύστημα που επιλύεται σε κάθε επανάληψη είναι = =... = σ σ σ k k k = = = k k k και στη συνέχεια k+ k k = σ, =,..., k. Το υπολογιστικό φορτίο ανά επανάληψη είναι μεγάλο σε σχέση με άλλες μεθόδους αλλά συνήθως η μέθοδος Newto συγκλίνει σε μικρό αριθμό επαναλήψεων. Εναλλακτική κλειστή μορφή αλγορίθμου Newto για σύστημα εξισώσεων: 57
...... + + + + + + + + + k+ k k k + = σ =,..., J, =,...,. 58
Ασκήσεις:. Επιλύστε με μία απευθείας μέθοδο διατηρώντας τρία σημαντικά ψηφία σε όλους τους υπολογισμούς το γραμμικό σύστημα 0. 7 46 6. 9 = 4 6 7 Αιτιολογήστε την επιλογή της μεθόδου και επαληθεύστε ότι η λύση που προκύπτει ικανοποιεί το γραμμικό σύστημα.. Α Έστω ότι για την εύρεση της ρίζας της εξίσωσης = 0 εφαρμόζεται ο επαναληπτικός αλγόριθμος + ω = ωf + όπου ω ένας πραγματικός αριθμός. Να υπολογιστεί η τιμή του ω που να βελτιστοποιεί το ρυθμό σύγκλισης της επαναληπτικής διαδικασίας. 4 Β Δίδεται ό πίνακας A = 4 4 ρ του πίνακα επανάληψης της μεθόδου Jacob για γραμμικά αλγεβρικά συστήματα με πίνακα συντελεστών G J Υπολογίστε τη φασματική ακτίνα τον πίνακα A. Γ Υπολογίστε τον αριθμό προσθέσεων/αφαιρέσεων, πολλαπλασιασμών και διαιρέσεων ανά επανάληψη της μεθόδου Jacob.. c. Δίδεται ο πίνακας A =, όπου c αυθαίρετος πραγματικός αριθμός. Να βρεθεί το εύρος των τιμών του c, για το οποίο οι μέθοδοι Jacob c. και Gauss Sedel συγκλίνουν όταν εφαρμοστούν στην επίλυση του συστήματος A = b. 59
0 4. Με αρχική εκτίμηση =,, T εφαρμόστε μία επανάληψη του αλγορίθμου Newto για τον υπολογισμό μιας λύσης εξισώσεων: 4 + = + 9 = 0 του συστήματος 4 = Κατά την διαδικασία υπολογισμού η επίλυση του προκύπτοντος γραμμικού συστήματος να γίνει με απευθείας μέθοδο όχι επαναληπτική. 5. Για την επίλυση του γραμμικού αλγεβρικού συστήματος A = b προτείνεται ο επαναληπτικός αλγόριθμος: N + ω = ω + b a j j a, =,,, N, j= j όπου a j και b τα στοιχεία του πίνακα A και του διανύσματος b αντίστοιχα, N ο αριθμός των εξισώσεων του συστήματος, ω η παράμετρος χαλάρωσης και ο δείκτης επανάληψης. Α Διατυπώστε τη γενική μορφή του πίνακα επανάληψης G του αλγορίθμου. Β Συγκρίνετε τον προτεινόμενο επαναληπτικό αλγόριθμο με τις μεθόδους Jacob και Gauss Sedel σχολιασμός. Γ Προγραμματίστε τον αλγόριθμο. Δ Εφαρμόστε τον αλγόριθμο κάνοντας επαναλήψεις με ω =. στο σύστημα: + 7 = + = 5 = 6. Να βρεθεί τουλάχιστον μια ρίζα εκτός του μηδενός της εξίσωσης ω = ω ta α με τη μέθοδο της διχοτόμου και β με τη μέθοδο Newto. 60
4 0 u 000 7. Να επιλυθεί το σύστημα 4 u = 0 με αλγόριθμο Thomas. 0 4 u 000 Επίσης, να γίνουν επαναλήψεις του επαναληπτικού σχήματος Jacob με αρχική εκτίμηση φασματική ακτίνα του G J. 0 0 0 u = u = u = και να υπολογιστεί η 0 8. Δίδεται το σύστημα A = b όπου ο πίνακας είναι συμμετρικός A T = A και κυρίαρχα διαγώνιος a N a, =,..., N. Προτείνετε την βέλτιστη μέθοδο επίλυσης του συστήματος και αιτιολογείστε την απάντησή σας. + =.9 Να γίνουν δύο επαναλήψεις της μεθόδου Newto για την επίλυση του συστήματος: + = 4. 0 0 Αρχική εκτίμηση =, =. Διατυπώστε εν συντομία τα κύρια πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα της μεθόδου Newto. 0 j= j j 9. Επιλύστε το εξής σύστημα εξισώσεων: 0.00 + 0.09044 = 0.04744 0.0400 +.556000 = 6.0800 χρησιμοποιώντας απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση. Δείξτε καθαρά όλα τα βήματα με ακρίβεια 5 σημαντικών ψηφίων. 0. Θεωρείστε την εξίσωση 6+ 5= 0. Προτείνετε έναν επαναληπτικό αριθμητικό αλγόριθμο εύρεσης μίας εκ των ριζών που εξετάστε την σύγκλιση του σχήματος για οποιαδήποτε αρχική τιμή. 6
α β. Για ένα γενικό πίνακα A = βρείτε τους πίνακες επανάληψης γ δ βρείτε τις ιδιοτιμές και εξετάστε τυχόν αλληλοεξάρτησή τους. G J και G GS των μεθόδων Jacob και Gauss-Sedel αντίστοιχα. Επίσης. Να επιλυθεί το μη γραμμικό σύστημα:, = + = 0, = + 8= 0. Για τον αριθμητικό υπολογισμό της ρίζας της εξίσωσης = προτείνεται ο επαναληπτικός αλγόριθμος: εάν ο προτεινόμενος επαναληπτικός αλγόριθμος θα συγκλίνει στην αναλυτική ρίζα περιοριστικές συνθήκες στην αρχική εκτίμηση 0. = + Να εξεταστεί + / =. Εάν συγκλίνει δώστε την τάξη σύγκλισης και τυχόν 4. Να λυθεί το σύστημα ρυθμός σύγκλισης. + y = 0 y + = y 57 με τη μέθοδο Newto-Raphso με αρχικές τιμές = 5. και y. 5 0 o =. Να προσδιορισθεί αριθμητικά ο 5. Θεωρήστε την δευτεροβάθμια εξίσωση a+ β = 0, όπου α, β>0 και a >> β. Δώστε έναν ευσταθή αλγόριθμο για τον υπολογισμό των ριζών. 6