ΥΤΗΜΑΤΑ ΩΤΟ ΑΘΟ. Aν όταν α = β τότε το σύστημα, έχει μοναδική λύση.. Το σύστημα, έχει μοναδική λύση για κάθε α, β με α β 3. Το σύστημα, είναι αδύνατο όταν α = β και γ β 4. Το σύστημα, έχει απειρία λύσεων όταν α = β = γ 5. Το σύστημα, έχει ως λύση το διατεταγμένο ζεύγος, για κάθε α, β με α β 6. Το σύστημα, είναι αδύνατο όταν α = β και α γ 7. Η ορίζουσα του συστήματος, είναι ο αριθμός α β με α, β πραγματικοί. 8. το σύστημα x y αν D 0, τότε έχει μοναδική λύση. y 9. το σύστημα x y αν D x 0 τότε είναι αδύνατο. y 0. το σύστημα x y αν D = 0 και D x 0, τότε είναι αδύνατο. y. το σύστημα x y y αν D = D x = D y = 0 και α 0 τότε έχει απειρία λύσεων.. το σύστημα x y αν D 0,και γ = γ = 0 τότε θα είναι και D x = D y = 0 y 3. το σύστημα x y αν D 0,και D x = D y = 0 τότε θα είναι και γ = γ = 0 y
x y 4. το σύστημα αν D = D x = 0 και D y 0 τότε το σύστημα έχει y απειρία λύσεων. x y 5. το σύστημα αν D =, D x = 0, D y = τότε το σύστημα έχει y μοναδική λύση την (x, y) = (0, ) 6. Δίνονται οι ευθείες (ε ) α x + β y = γ και (ε ) α + β y = γ που αποτελούν ένα γραμμικό σύστημα με ορίζουσες τις D, D x, D y Αν D = 0 και D x =, D y = 3 τότε οι ευθείες τέμνονται στο σημείο (, 3). 7. Δίνονται οι ευθείες (ε ) α x + β y = γ και (ε ) α + β y = γ που αποτελούν ένα γραμμικό σύστημα με ορίζουσες τις D, D x, D y. Αν D = 0 και D x 0 τότε οι ευθείες είναι παράλληλες. 8. Δίνονται οι ευθείες (ε ) α x +β y=γ και (ε ) α + β y=γ που αποτελούν ένα γραμμικό σύστημα με ορίζουσες τις D, D x, D y Αν D 0,και D x = D y = 0 και α 0 τότε οι ευθείες ταυτίζονται. 9. Δίνονται οι ευθείες (ε ) α x + β y = γ και (ε ) α + β y = γ που αποτελούν ένα γραμμικό σύστημα με ορίζουσες τις D, D x, D y. Αν D 0 και D x = 0, D y = 0 τότε οι ευθείες διέρχονται από την αρχή των αξόνων. 0. Δίνονται οι ευθείες (ε ) α x + β y = γ και (ε ) α + β y = γ που αποτελούν ένα γραμμικό σύστημα με ορίζουσες τις D, D x, D y. Αν D 0 τότε οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο.. Το σύστημα 0x + βy = 0 0). κx + λy = 0 για κάθε β, κ, λ έχει για λύση το (0,. Το σύστημα 0x + 0y = 0 έχει απειρία λύσεων 0x + 0y = 5 3. Το σύστημα 3x - βy = α για κάθε α, β, γ έχει πάντα λύση βx + 3y = γ 4. Αν το σύστημα δύο εξισώσεων που παριστάνουν ευθείες είναι αδύνατο, οι ευθείες είναι παράλληλες. 5. Οι ευθείες + 3y = 5 και 4x + 6y = 0 ταυτίζονται. 6. Αν D = D x = D y = 0, τότε το σύστημα έχει πάντοτε απειρία λύσεων. 7. Αν (D ) + (D ) = 0, το σύστημα έχει μοναδική λύση. 8. Αν D + (D x ) = 0, το σύστημα έχει απειρία λύσεων.
9. Αν D + 5 D y = 0, το σύστημα είναι αδύνατο. 30. Ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους μπορεί να έχει ακριβώς δύο λύσεις. 3. Δύο ευθείες που οι εξισώσεις τους αποτελούν σύστημα με ορίζουσα διάφορη του μηδενός, μπορεί να είναι παράλληλες. 3. Δύο ευθείες που οι εξισώσεις τους αποτελούν σύστημα με ορίζουσα μηδέν πάντα ταυτίζονται. 33. Αν α, α, β, β, γ, γ οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί με α β 0 και η ορίζουσα D του συστήματος x y y είναι μηδέν, τότε 34. Αν α, α, β, β, γ, γ οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί με α β - α β = 0, το σύστημα x y 0 δέχεται πάντα άπειρες λύσεις. y 8 35. Αν ο κ είναι αριθμός περιττός ακέραιος αριθμός, τότε η τιμή της ορίζουσας 000 00 A είναι άρτιος αριθμός. 004 36. Ένα γραμμικό σύστημα που έχει τους σταθερούς όρους του μηδέν, δεν είναι ποτέ αδύνατο. 37. Ένα γραμμικό σύστημα που έχει τους σταθερούς όρους του μηδέν, έχει πάντοτε την μηδενική λύση. 38. Ένα γραμμικό σύστημα που έχει D = D x = D y = 0 έχει πάντοτε απειρία λύσεων 39. Ένα γραμμικό σύστημα που έχει εξισώσεις λιγότερες από τους αγνώστους του είναι αδύνατο. 40. Υπάρχουν τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε το σύστημα 06x 8 να γίνεται αδύνατο. 4900y 880
ΕΡΩΤΗΕΙ ΠΟΑΠΗ ΕΠΙΟΓΗ y. Δίνεται το σύστημα το σύστημα αυτό έχει μοναδική λύση όταν : x Α. λ = Β. λ και λ Γ. λ= και λ Δ. λ = ή λ = Ε. λâ.. Αν α, β, γ, δr*, και τότε η τιμή της ορίζουσας είναι ίση με: Α. α Β. β- Γ. βγ αδ Δ. 0 Ε. δεν είναι δυνατό να υπολογιστεί η τιμή της. 3x 3. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x α, β είναι : η οποία διέρχεται από τα σημεία (-,) και (,-3) τότε οι τιμές των Α. α =, β = Β. α = 4, β = 3 Γ. α = 4 3, β = 8 Δ. α =,β = Ε. α = 3, β = 4 x 4 4. Αν 6 και 7 x = 3 + y τότε οι τιμές των x, y είναι: x 3y Α. x = 6, y = Β. x =, y = Γ. x = 0, y = Δ. x =, y = 3 Ε. x =, y = 3 5. Δίνεται η παράσταση (x ) = y + y + H παράσταση αυτή είναι: Α. Το ανάπτυγμα μιας ταυτότητας. Β. Ένα γραμμικό σύστημα που έχει λύση την (x, y) = (,3) Γ. Ένα γραμμικό σύστημα που έχει ορίζουσα D = Δ. Ένα αδύνατο γραμμικό σύστημα. Ε. Ένα γραμμικό σύστημα με απειρία λύσεων. 6. Δίνονται οι ισότητες αx = βy και βx = αy+. Αν υπάρχει μοναδικό διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (x,y) που επαληθεύει και τις δύο ισότητες τότε : Α. α = β Β. α β Γ. Δ. α + β = Ε. α, βr. 7. ένα γραμμικό σύστημα με ορίζουσες D, D x, D y ισχύουν D 0 και 4D = D x, D = 5D y τότε η λύση του συστήματος είναι : Α. (, 5 ) 4 Β. (4, 5) Γ. ( 4, ). 5 Δ. το σύστημα έχει απειρία λύσεων Ε. το σύστημα είναι αδύνατο. x 5 8. Δίνεται το σύστημα Αν το σύστημα είναι αδύνατο τότε η τιμή του πραγματικού αριθμού λ 3x 3y 7 είναι : Α. λ = Β. λ = Γ. λ = 3 Δ. λ = 3 Ε. λr
9. Οι ευθείες y x = και x + y = τέμνονται στο σημείο: Α. (0, ) Β.(, 0) Γ. (0, ) Δ. (0, 0) Ε. (, 0) 3x y α 0. Αν το σύστημα για κάθε κ, α R* έχει άπειρες λύσεις, το κ παίρνει μια από τις 6x - 4ky k α τιμές: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. κy 0. Αν το σύστημα είναι αδύνατο, το κ ισούται με: 6x 9y 3 Α. 3 Β. 3 Γ. 0 Δ. οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό Ε.. Η παράσταση Α = x + +3y 5 γίνεται ελάχιστη όταν: Α. x = και y = 4 Β. x = και y = Γ. x = και y = 3 Δ. x = y = 0 E. x = y = 3y -9 3. Αν το σύστημα επαληθεύεται για δύο ζεύγη τιμών των x, y, τότε το α ισούται με: - y 3 Α. Β. 3 Γ. 9 Δ. 6 Ε. 0 4. Αν D x+ D y = D, D 0 και x = y, τότε η λύση του συστήματος είναι: Α. (, ) Β. (½, ½) Γ. (, ) Δ. (0, 0) Ε. (, ) 5. Αν D 0 και D = D x, D = D y, τότε η λύση του συστήματος είναι: Α. (, ) Β. (, ½) Γ. (, ½) Δ. (, ½) Ε. (, ) 6. Αν D + D - 5 0 τότε για το σύστημα ισχύει: x Α. έχει λύση το ζεύγος (5, 0) Β. έχει λύση το ζεύγος ( 5, 0) Γ. έχει άπειρες λύσεις Δ. είναι αδύνατο Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε 7. Δύο ευθείες ε, ε που οι εξισώσεις τους αποτελούν σύστημα με ορίζουσα D για την οποία ισχύει D 3-8 = 0 έχουν σχετική θέση: Α. Δ. Β. Ε.
Γ. 8. Αν το σύστημα x y είναι: κy όπου κ οποιοδήποτε πραγματικός αριθμός είναι αδύνατο, τότε το σύστημα x y Α. αδύνατο Β. έχει μοναδική λύση την (, ) Γ. έχει απειρία λύσεων Δ. έχει μοναδική λύση την (0, ) Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε. x 9. Η ανίσωση 0 αληθεύει για: Α. x < Β. x < 0 Γ. x > Δ. x < Ε. για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό. 0. Το σύστημα - y 0 x 0 με α πραγματικό αριθμό διάφορο του μηδενός, έχει λύση: Α. (x, y) = ( α, 0) B. μόνο την (x, y) = (0, 0) Γ. άπειρες λύσεις Δ. είναι αδύνατο Ε. δεν μπορούμε να συμπεράνουμε κάτι για τη λύση του. 3x - αy 6. Αν το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, τότε οι τιμές των α και β είναι: x y β Α. (, 0) Β. (, 4) Γ. ( 3, ) Δ. (, 3) Ε. (0, )
ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΝΤΙΤΟΙΧΙΗ. Κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης να το αντιστοιχίσετε με κάθε στοιχείο της δεύτερης στήλης. ύστημα ύση του συστήματος Α. 3x y 0 x y 4. αδύνατο σύστημα x 7y 0 Β. 65x 49y 0 x y Γ. 3x 3y 6. ( ), ( ) ( ) 3. (y,y+) yr Δ. ( )x y 0 x ( )y 4. (0,0) 5. (-,) 4x 7y 3 Ε. 8x 4y 6 6. (,3)
. Για τους αριθμούς x, y R έχουμε τα δεδομένα στη στήλη (Α). Αντιστοιχίστε τα δεδομένα αυτά με τα αντίστοιχα συστήματα της στήλης (Β). στήλη Α στήλη Β Δεδομένα για τους x, y R υστήματα x y. Έχουν άθροισμα και λόγο 5 α. 3y x. Διαφέρουν κατά και το x είναι τριπλάσιο του y β. x y 6 xy 8 xy 6 3. Είναι πλευρές ορθογωνίου παραλληλογράμμου γ. x y 8 με περίμετρο και εμβαδόν 8 4. Είναι συντεταγμένες σημείου της διχοτόμου της δ. γωνίας xoy και έχουν άθροισμα 3 x y x 5y x y 0 ε. x 3 x y 0 στ x y 3 ΕΡΩΤΗΕΙ ΥΜΠΗΡΩΗ. Να συμπληρωθεί το σύστημα 3y ώστε να έχει ως λύση το ζεύγος (-,3 )... 3y. Να συμπληρωθεί το σύστημα ώστε να είναι αδύνατο.... 3y 3. Να συμπληρωθεί το σύστημα ώστε να έχει απειρία λύσεων.... 4. ημειώστε δίπλα σε κάθε σύστημα την κατάλληλη έκφραση: α) είναι αδύνατο, β) έχει άπειρες λύσεις, γ) έχει μία και μοναδική λύση. 0x y 0 x 0y 0... 0x 0y 5 0x y 3... 0x y 7 0x y... 0x 0y 0 0x 5y 0...
x 0y 3 0x y 3 0x 0y 0 0x 0y...... 5. υμπληρώστε τη στήλη (Β) με μία από τις παρακάτω φράσεις: α) είναι αδύνατο, β) έχει άπειρες λύσεις, γ) έχει μία και μοναδική λύση. ΤΗΗ Α ΤΗΗ Β D - 3 = 0... D Dx D y 0 D = 0 και Dx Dy 0 D - 0......... D + (Dy + ) = 0...