1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Transcript

1 . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει ευθεία ε. Όταν β 0 και α 0, η εξίσωση γίνεται βy = α + γ y = α β + γ β και η ευθεία τέµνει τους άξονες Όταν β = 0, η εξίσωση γίνεται α = γ = παράλληλη στον άξονα y y. Όταν α = 0, η εξίσωση γίνεται βy = γ y = παράλληλη στον άξονα. γ α γ β και η ευθεία είναι και η ευθεία είναι. Λύση γραµµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ζευγάρι αριθµών (, y) που την επαληθεύει. 4. Σύστηµα Λέγεται κάθε σύστηµα της µορφής α +β y=γ α +β y =γ 5. Λύση συστήµατος Λέγεται κάθε ζευγάρι αριθµών (, y) που επαληθεύει τις εξισώσεις του. 6. Ισοδύναµα συστήµατα Λέγονται τα συστήµατα που έχουν ίδιες λύσεις.

2 7. Γραφική επίλυση συστήµατος Στο σύστηµα αξόνων σχεδιάζουµε τις ευθείες που παριστάνουν οι δύο εξισώσεις του συστήµατος. Το σηµείο τοµής τους αποτελεί τη γραφική λύση. 8. Ορίζουσα ( γραµµές επί στήλες) : α γ β δ = αδ βγ 9. Οι ορίζουσες του συστήµατος D = α β α β, D = α +β y=γ α +β y =γ γ β, D y = γ β α γ α γ 0. Λύση διερεύνηση του συστήµατος α +β y=γ α +β y =γ D D y Αν D 0, το σύστηµα έχει µοναδική λύση τη (, y) =, D D Αν D = 0, το σύστηµα είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων.

3 ΣΧΟΛΙΑ - ΜΕΘΟ ΟΙ. Πλήθος λύσεων Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ, έχει άπειρες λύσεις. Μέθοδος Για να έχουµε όλες τις λύσεις γραµµικής εξίσωσης, λύνουµε ως προς τον έναν άγνωστο συναρτήσει του άλλου.. Μέθοδος Για να βρούµε µία λύση γραµµικής εξίσωσης, θέτουµε µία αυθαίρετη τιµή στον έναν άγνωστο και λύνουµε ως προς τον άλλο. 4. ιευκρίνιση Η εξίσωση της µορφής α = β µε α 0 : Μπορεί να είναι η γνωστή πρωτοβάθµια εξίσωση µε άγνωστο. Μπορεί να είναι γραµµική εξίσωση αφού γράφεται α +0 y = β 5. Η εξίσωση y = κ Είναι γραµµική αφού γράφεται 0 + y = κ. Παριστάνει ευθεία Όλα της τα σηµεία έχουν ίδια τεταγµένη κ. Είναι συνάρτηση 6. Η εξίσωση = κ Είναι γραµµική αφού γράφεται + 0y = κ. Παριστάνει ευθεία y y Όλα της τα σηµεία έχουν ίδια τετµηµένη κ. Προσοχή εν είναι συνάρτηση

4 4 7. Γραµµική εξίσωση και αντίστοιχη συνάρτηση Όταν β 0, τότε η εξίσωση α + βy = γ γράφεται βy = α + γ y = α β + γ β f() = α β + γ β συνάρτηση της µορφής f() = λ + µ Προσοχή : Όταν β = 0, δεν έχουµε συνάρτηση, αλλά έχουµε ευθεία // y y 8. Μέθοδος Για να λύσουµε σύστηµα που έχει παράµετρο : α) Βρίσκουµε τις D, D, D y β) ιακρίνουµε τις περιπτώσεις : D = 0, D 0 9. Μέθοδος Για να βρούµε την τιµή της παραµέτρου ώστε το σύστηµα να είναι αδύνατο ή να έχει άπειρες λύσεις, λύνουµε την εξίσωση D = 0 0. Σηµείωση Κάθε σύστηµα µπορεί : Να έχει µοναδική λύση οι ευθείες τέµνονται Να είναι αδύνατο οι ευθείες παράλληλες Να έχει άπειρες λύσεις οι ευθείες συµπίπτουν

5 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνεται η εξίσωση + y =. i) Να εξετάσετε αν τα ζευγάρια (, ), (, ) ii) είναι λύσεις της εξίσωσης. Να βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης, όπως και µια συγκεκριµένη. iii) Κάθε λύση της εξίσωσης τι παριστάνει στο καρτεσιανό επίπεδο; i) + ( ) = =, δηλαδή το ζευγάρι (, ) επαληθεύει την εξίσωση, άρα αποτελεί λύση της ( ) + = = 0, δηλαδή το ζευγάρι (, ) δεν επαληθεύει την εξίσωση, άρα δεν αποτελεί λύση της ii) Η εξίσωση + y = y = y = Οι λύσεις είναι (, y) = (, ) (), για κάθε R Σχόλιο Για = 0, η () δίνει y = Άρα µια συγκεκριµένη λύση είναι ( 0, ) ii) Κάθε λύση της εξίσωσης, στο καρτεσιανό επίπεδο, παριστάνει ένα σηµείο.

6 6. ίνεται η εξίσωση + y = 6. ικαιολογήστε κάθε απάντησή σας στα παρακάτω ερωτήµατα. i) Είναι συνάρτηση ; Αν ναι, ποια η µονοτονία της ; ii) Στο καρτεσιανό επίπεδο, παριστάνει ευθεία ; Αν ναι, τι γωνία σχηµατίζει µε τον άξονα ; i) Είναι συνάρτηση, διότι γράφεται y = + 6 που είναι της µορφής f() = + 6 για κάθε R f() = α + β Επειδή α = < 0, η f είναι γνησίως φθίνουσα. ii) Στο καρτεσιανό επίπεδο παριστάνει ευθεία, αφού είναι γραµµική. Έστω ω η γωνία σχηµατίζει µε τον άξονα Είναι εφω = α εφω = εφω = εφ 45 ο εφω = εφ( 80 ο 45 ο ) εφω = εφ5 ο ω = 5 ο Σχόλιο 7. ίνεται η εξίσωση y =. ικαιολογήστε κάθε απάντησή σας στα ερωτήµατα : Είναι συνάρτηση ; Είναι γνησίως µονότονη ; Ποιες είναι οι λύσεις της ; Τέλος, σχεδιάστε τη γραµµή που σχηµατίζουν οι λύσεις της. Είναι συνάρτηση, αφού γράφεται 0 + y = Σχόλιο 7 f() = για κάθε R εν είναι γνησίως µονότονη, αφού είναι σταθερή. Οι λύσεις της είναι (, y) = (, ) για κάθε R. y O Α(0, )

7 7 4. ίνεται η εξίσωση =. ικαιολογήστε κάθε απάντησή σας στα ερωτήµατα : Είναι συνάρτηση ; Ποιες είναι οι λύσεις της ; Τέλος, σχεδιάστε τη γραµµή που σχηµατίζουν οι λύσεις της. Η εξίσωση γράφεται + 0y = για κάθε y R. εν είναι συνάρτηση, αφού ένα (το ) αντιστοιχίζεται σε πολλά (οποιοδήποτε) y. Οι λύσεις της είναι (, y) = (, y) για κάθε y R. y O - Α(, 0) 5. i) Στο καρτεσιανό επίπεδο τοποθετήστε τέσσερα σηµεία που να έχουν τετµηµένη Είναι συνευθειακά; Αν ναι, ποια είναι η εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκουν και τι γωνία σχηµατίζει αυτή µε τον άξονα ; ii) Στο καρτεσιανό επίπεδο τοποθετήστε τέσσερα σηµεία που να έχουν τεταγµένη Είναι συνευθειακά; Αν ναι, ποια είναι η εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκουν και τι γωνία σχηµατίζει αυτή µε τον άξονα ; iii) Ποιες είναι οι συντεταγµένες του σηµείου τοµής των παραπάνω ευθειών; i) Σχόλιο 6 Έστω Α, Β, Γ, τα τέσσερα σηµεία. Είναι συνευθειακά και µάλιστα ανήκουν σε ευθεία, από το σηµείο (, 0) Η εξίσωση της ευθείας τους είναι = και σχηµατίζει µε τον άξονα γωνία 90 ο ii) Έστω Κ, Λ, Μ, Ν τα τέσσερα σηµεία. Είναι συνευθειακά και µάλιστα ανήκουν σε ευθεία, από το σηµείο (0, ) y O - - Σχόλιο 5 Γ Β Κ Λ Μ Ν Η εξίσωση της ευθείας τους είναι y = και σχηµατίζει µε τον άξονα γωνία 0 ο iii) Οι συντεταγµένες του σηµείου τοµής των παραπάνω ευθειών είναι (, ) Α 5

8 8 6. ίνονται οι ευθείες y = και + y = 4 Να βρείτε τη σχετική τους θέση (τέµνονται παράλληλες συµπίπτουν) y= + y = 4 y= = 4 y Σχόλιο 0 (4 y) y= = 4 y 8 6 y y= = 4 y 7 y= 7 = 4 y y= y= = 4 y = 4 Άρα οι ευθείες τέµνονται στο σηµείο Α(, ) y= = 7. ίνονται οι ευθείες y = και y = Να βρείτε τη σχετική τους θέση (τέµνονται παράλληλες συµπίπτουν) y = y = Σχόλιο 0 y = y = 6 y = y = 6 y = ( ) = 6 y = y = + = 6 = 6 Σύστηµα αδύνατο, άρα οι ευθείες είναι παράλληλες.

9 9 8. ίνονται οι ευθείες ε : y = και y = Να βρείτε τη σχετική τους θέση (τέµνονται παράλληλες συµπίπτουν) y= y= y= y= y = Άπειρες λύσεις, άρα οι ευθείες συµπίπτουν. Σχόλιο y = Να λύσετε το σύστηµα 5 y = 7 Θέτουµε = ω και y = φ Το σύστηµα ω+ ϕ = ω 5 ϕ = 7 ϕ ω = ω 5 ϕ = 7 ϕ ω = ϕ 5 ϕ = 7 ϕ ω = 9ϕ 0 ϕ = 4 ϕ ω = 9 ϕ = 9 ϕ ω = ϕ = = 4 y = ω = 4 ϕ = = ± 4 y = ± Οι λύσεις είναι (4, ), (4, ), ( 4, ), ( 4, )

10 0 0. Να λύσετε το σύστηµα Περιορισµοί :, y 0 + y= 5 y= 7 Θέτουµε = ω, y = φ Το σύστηµα γίνεται ω+ ϕ= ω 5 ϕ= 7 ω = 4 ϕ = = 4 y = = 6 y = λύνοντας, όπως στην άσκηση 9, βρίσκουµε

11 . 4 = 9 y Να λύσετε το σύστηµα 4 5 = 7 y Λύση 4 = 9 y Το σύστηµα γράφεται Θέτουµε u 4 5 = 7 = και v y =. y Το σύστηµα γίνεται u 4v = 9 { 4u 5v = 7 { u = 9 + 4v 4u 5v = v u = 4u 5v= v u = 9+ 4v 4 5v = v u = 6+ 6v 5v = 9+ 4v u = v = 5 ( ) u = v = 5 Άρα = και 7 y= u = v = 5 { u = 7 v = 5

12 . Να λύσετε το σύστηµα Λύση Περιορισµός:, y + 5 = y+ = 5 y + Θέτουµε = κ, y+ = λ Το σύστηµα γίνεται κ+ 5 λ = κ λ = 5 κ+ 5 λ = κ 5 = λ κ+ 5(κ 5) = λ = κ 5 κ+ 0κ 5 = λ = κ 5 κ = 6 λ = κ 5 κ = λ = κ 5 κ = λ = Άρα και y+ = = 4 = 5 = 5 = = y y = 4

13 . Να λύσετε το σύστηµα + y = y = + y = y = + y = y = ή y = + y = y = ή + y = y = + y = y = ( + ) = 4 ( ) y = = y = + y = y = ( + ) = ( ) y = 4 = y = 4. Ένα αεροπλάνο ταξιδεύοντας µε αντίθετο άνεµο διάνυσε την απόσταση µεταξύ δύο πόλεων που ήταν 4048 km σε 4,6 ώρες, ενώ για την επιστροφή χρειάστηκε 4,4 ώρες. Να βρείτε την ταχύτητα του αεροπλάνου και του ανέµου, υποθέτοντας ότι και οι δύο ήταν σταθερές. Έστω υ η ταχύτητα του αεροπλάνου και υ η ταχύτητα του ανέµου. Με αντίθετο άνεµο, το αεροπλάνο ταξίδευε µε ταχύτητα υ υ, οπότε ( υ υ ) 4,6 = 4048 () Στην επιστροφή, το αεροπλάνο ταξίδευε µε ταχύτητα υ + υ, οπότε ( υ + υ ) 4,4 = 4048 () Σύστηµα των (), () (υ υ ) 4,6 = 4048 (υ +υ ) 4,4 = 4048 υ υ = 880 υ +υ = 90 (+) : υ =800 (-) : υ = 40 υ = 900 υ = 0

14 4 5. Η περίµετρος ενός ορθογωνίου είναι 48 cm. Αν αυξήσουµε συγχρόνως τη µια πλευρά κατά 5 cm και την άλλη κατά cm, τότε το εµβαδόν του αυξάνει κατά 65 cm. Ποιες είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου; Έστω, y οι αρχικές πλευρές του ορθογωνίου. Τότε + y= 48 () και y το εµβαδόν. Στη συνέχεια οι πλευρές γίνονται + 5, y+ και το εµβαδόν y Άρα ( + 5)( y+ ) = y+ 65 y+ + 5y+ 5= y y= 60 () Σύστηµα των (), () + y = 4 + 5y = 60 + y = 4 ( ) : 4y = 6 + y = 4 y = = 4 y = 9 = 5 y = 9

15 5 6. Να βρεθεί η τιµή του α ώστε το σύστηµα Πρέπει D = 0 α α α 4 = 0 = 0 α + y=α +α y= 4 α = 4 α = ή α = να έχει άπειρες λύσεις. Σχόλιο 9 Για α = + y= Το σύστηµα γίνεται + y = = y + y= 4 Έχει άπειρες λύσεις, τις (, y) = ( y, y) µε y R Για α = Το σύστηµα γίνεται + y= y= 4 + y= y= y= + y = Άρα η ζητούµενη τιµή είναι α = y= + ( + ) = y= + = y= + αδύνατο =

16 6 7. Να βρεθεί η τιµή του α ώστε το σύστηµα α +α y= 4 α + ( α ) y = να έχει µοναδική λύση (λ, µ), γνωρίζοντας ότι το σηµείο Ρ(λ, µ) ανήκει στην ευθεία 4 y = α +. Πρέπει D 0 α α α α α α α α 0 0 α 0 α(α ) 0 α 0 και α () D = 4 α α = 4α 4 α = α 4 = (α ) D y = α 4 α Άρα (λ, µ) = = 4α 4α = 0 D, D D y ( α ) =, 0 D α( α ) α( α ) ( ) =, 0 α Ρ(λ, µ) ανήκει στην ευθεία 4 y = α + 4 α 0 = α + 8 = α + α α + α 8 = 0 = 4 + = 6, α = ± 6 = ± 6 = ± = ή 4 () Από τις (), () α = 4