«Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Φ- Ο ΧΡΥΣΟΣ ΜΕΣΟΣ»

Πανεπιιστήμιιο Αιιγαίίου Τμήμα Πολιτισμικής Τεχνολογίας και Επικοινωνίας Εργαστήριο ιαχείρισης της Πολιτισμικής Κληρονομιάς ΜΠΣ: Πολιτισμικής Πληροφορικής ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: Σχεδιασμός Ψηφιακών Πολιτιστικών προϊόντων Μεετταπττυχιιακή διιαττριιβή μεε θέέμα:: «Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Φ- Ο ΧΡΥΣΟΣ ΜΕΣΟΣ» ημιουργία πολυμεσικής εφαρμογής για τον αριθμό Φ Το Χρυσό Μέσο Επιβλέπων καθηγητής: Γεράσιμος Παυλογεωργάτος Επίκ. Καθηγητής Σκαλοχωρίτου Γεωργία Μυτιλήνη Φεβρουάριος 2009

Στη μνήμη του Στέλιου Στο Βαγγέλη, στον Αντώνη, στο Γιώργο

Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω Τον επιβλέποντα Επίκουρο Καθηγητή κ. Γεράσιμο Παυλογεωργάτο για την πολύτιμη υποστήριξη και την αποτελεσματική καθοδήγηση που μου προσέφερε κατά την εκπόνηση της μεταπτυχιακής μου διατριβής. Την ιδάσκουσα κ. Ευαγγελία ημαράκη για το ενδιαφέρον της, τις χρήσιμες κατευθύνσεις που μου έδωσε και τις παρατηρήσεις που έκανε για το σχεδιασμό της εφαρμογής. Τον κ. Θωμά Μαυροφίδη, ΕΤΕΠ του Τμήματος Πολιτισμικής Τεχνολογίας και Επικοινωνίας, για την αμέριστη συμπαράσταση και βοήθειά του στην υλοποίηση της εφαρμογής. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω τα μέλη της τριμελούς εξεταστικής επιτροπής για τον χρόνο που δαπάνησαν στο να διαβάσουν και να αξιολογήσουν την συγκεκριμένη διατριβή: τον Επίκ. Καθηγητή κ. Γ.. Παυλογεωργάτο, τη Μόν. Επίκ. Καθηγήτρια κα. Ε. Σαμπανίκου και τη ιδάσκουσα κα Ε. ημαράκη. 3

Περιεχόμενα Περιεχόμενα... 4 Πίνακας Εικόνων... 7 Πίνακας Σχημάτων... 12 Πίνακες Πινάκων... 14 Πρόλογος... 16 Κεφάλαιο 1:Εισαγωγή-Ιστορική αναδρομή για το Φ... 18 Ιστορική αναδρομή... 22 Κεφάλαιο 2: Μεθοδολογία Έρευνας... 32 Βιβλιογραφική και διαδικτυακή ανασκόπηση... 32 Σχεδιασμός και Υλοποίηση πολυμεσικής εφαρμογής... 33 Κεφάλαιο 3 : Χρυσή Τομή και Άλγεβρα... 36 1. Ορισμός... 36 2. Ιδιότητες του αριθμού... 39 3. Γραφικός Προσδιορισμός του Φ... 42 4. Η Χρυσή Τομή και οι αριθμοί Fibonacci... 45 Τα κουνέλια και οι μέλισσες του Fibonacci... 48 Κεφάλαιο 4: Χρυσή Τομή και Γεωμετρία... 54 1. Τo χρυσό ορθογώνιο... 55 2. Το χρυσό τρίγωνο... 58 Χρυσά ορθογώνια τρίγωνα... 60 3 Χρυσή γωνία... 62 4 Κανονικό Πεντάγωνο... 62 Προσεγγιστική κατασκευή κανονικού πενταγώνου από τους Durer και Leonardo Da Vinci... 66 5 Κανονικό εκάγωνο... 69 6 Τα Πλατωνικά στερεά και η Χρυσή Τομή... 70 7 Χρυσή Έλλειψη... 72 8 Λογαριθμικές ή ισογώνιες σπείρες... 75 Κεφάλαιο 5:Χρυσή Τομή και Τέχνη... 77 1. Χρυσή Τομή και Ζωγραφική... 80 Μεσαίωνας... 80 4

Αναγέννηση... 83 i) Leonardo da Vinci... 83 ii) Albert Durer... 96 iii) Michelangelo... 103 iv) Rafaello Sanzio... 107 v) Sandro Botticelli... 112 vi) Τιτσιάνο Βετσέλιο... 115 Σύγχρονη εποχή... 117 i) Rembrandt Van Rijn... 117 ii) Ο George Seurat... 118 iii) Edward Burne- Jones... 122 iv) Salvador Dali... 123 v) Piet Modrian... 125 2. Χρυσή Τομή και Γλυπτική... 127 3. Χρυσή Τομή και Αρχιτεκτονική... 136 Αρχιτεκτονική στην αρχαία Ελλάδα... 137 Αρχιτεκτονική στον Μεσαίωνα... 144 Αρχιτεκτονική στην Αναγέννηση... 151 Αρχιτεκτονική στο 19 ο αιώνα... 152 Αρχιτεκτονική στον 20 ο αιώνα... 155 4. Χρυσή Τομή και Μουσική... 162 Κεφάλαιο 6:Χρυσή Τομή και Φύση... 168 ραστηριότητα... 180 Κεφάλαιο 7: Εφαρμογές... 181 1. Χρωματισμοί Κτιρίων (Apartment Buildings)... 181 2. Brick Wall Patterns... 182 3. Τοποθέτηση πλακιδίων... 183 4. Ones and Twos... 184 5. Leonardo's Leaps... 185 6. Chairs in a row: The Teachers version... 185 7. Making a bee-line with Fibonacci numbers... 186 8. A Fibonacci Jigsaw puzzle... 187 5

9. Quiz 1... 188 10. Quiz 2... 190 Κεφάλαιο 8:Περιγραφή της υλοποιηθείσας εφαρμογής... 191 Συμπεράσματα... 203 Παράρτημα... 206 Η Πυραμίδα του Χέοπα... 206 O χρυσός αριθμός Φ με 10000 δεκαδικά ψηφία... 210 Fibonacci... 214 Luca Pacioli (Λούκα Πατσιόλι)... 217 Βιβλιογραφία -Αναφορές... 219 6

Πίνακας Εικόνων Εικόνα 1 Η πυραμίδα του Χέοπα στη Γκίζα... 18 Εικόνα 2: Το πεντάγραμμα, σύμβολο της σχολής των Πυθαγορείων.... 19 Εικόνα 3: Σχέδια των πλατωνικών στερεών από τον Leonardo Da Vinci.... 20 Εικόνα 4: Πυθαγόρας ο Σάμιος... 22 Εικόνα 5: Φειδίας... 23 Εικόνα 6: Πλάτων... 24 Εικόνα 7: Ευκλείδης... 24 Εικόνα 8: Leonardo Fibonacci... 25 Εικόνα 9: Fra Luca Pacioli... 26 Εικόνα 10: Johanes Kepler... 27 Εικόνα 11: Charles Bonnet... 28 Εικόνα 12: Martin Ohm... 29 Εικόνα 13: Edouard Lucas... 29 Εικόνα 14:Roger Penrose... 30 Εικόνα 15α,β: Εφαρμογή της χρυσής έλλειψης στο μοντέλο της Volkswagen Beetle 74 Εικόνα 16:Αποκαθήλωση του Rogier Van der Weyden, Mουσείο Πράδο, Μαδρίτη 81 Εικόνα 17: Η Παρθένος με το Βρέφος του Jean Fouquet (Koninklijk Museum voor Schone Kunsten, Antwerp) και εφαρμογή της χρυσής αναλογίας... 82 Εικόνα 18:α) Μόνα Λίζα (Μουσείο του Λούβρου, Παρίσι) β) εφαρμογή χρυσού ορθογωνίου γ) εφαρμογή χρυσού τριγώνου και ορθογωνίου... 84 Εικόνα 19: α)saint Jerome (Pinacoteca Vaticana, Vatican, Rome) β) εφαρμογή χρυσού ορθογωνίου... 85 Εικόνα 20: α)the Vetruvian Man. "(The Man in Action)" β)εφαρμογή χρυσών ορθογωνίων γ) εφαρμογή κανονικού πενταγώνου (... 86 Εικόνα 21:α) Old Man (Gallerie dell'accademia Venice:β)Study of proportions (Royal Library, Windsor)... 87 Εικόνα 22: α)αυτοπροσωπογραφία του Da Vinci β) εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 88 Εικόνα 23: α)the Last Supper β)εφαρμογή του χρυσού ορθογωνίου... 89 Εικόνα 24: α)madonna with Child and Saints, β)εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 90 Εικόνα 25: α) The Annunciation β)εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 91 7

Εικόνα 26: α)virgin of the Rocks, πρώτη έκδοση (Musée du Louvre, Paris), β) εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 92 Εικόνα 27: Virgin of the Rocks, δεύτερη έκδοση (National Gallery, London)... 93 Εικόνα 28: Η Λήδα και ο κύκνος (Royal Library, Windsor)... 94 Εικόνα 29: Natural disaster (1517-18, Royal Library, Windsor),... 95 Εικόνα 30: Spring Device (Museo del Prado, Madrid)... 95 Εικόνα 31: α)the Fall of Adam and Eve (Staatliche Kunsthalle, Karlsruhe),... 98 Εικόνα 32: α)αυτοπροσωπογραφία του Albert Durer.(Alte Pinakothek, Munich)... 99 Εικόνα 33: α)view of Trento (Kunsthalle, Bremen), β) εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 100 Εικόνα 34: α) View of Nurnberg β) Εφαρμογή χρυσής αναλογίας στον πίνακα... 101 Εικόνα 35:α) Σκίτσο του Durer σε γιαλί (1492) β)εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 102 Εικόνα 36:α) St Jerome in the Wilderness (National Gallery, London),... 103 Εικόνα 37α) Holy Family (Galleria degli Uffizi, Florence), β) εφαρμογή πενταγώνου... 104 Εικόνα 38 α)entombment (National Gallery, London), β) εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 105 Εικόνα 39 α)portrait of Vittoria Colonna (British Museum, London), β)εφαρμογή χρυσού ορθογωνίου... 106 Εικόνα 40: α)crucifix (British Museum, London), β) εφαρμογή χρυσής αναλογίας. 106 Εικόνα 41:α)Christ on the Cross ((British Museum, London), β) εφαρμογή χρυσού ορθογωνίου.... 107 Εικόνα 42:α)The Sistine Madonna (Gemäldegalerie, Dresden), β)εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 108 Εικόνα 43: α)crucifixion (National Gallery, London) β) εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 109 Εικόνα 44:α) Crucifixion εφαρμογή χρυσού τριγώνου β) Crucifixion εφαρμογή πενταγώνου... 110 Εικόνα 45: α)diotalevi Madonna (Staatliche Museen, Berlin) β)εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 111 Εικόνα 46:α)Nude Study (Graphische Sammlung Albertina, Vienna), β) εφαρμογή χρυσού ορθογωνίου... 111 8

Εικόνα 47 The birth of Venus (Galleria degli Uffizi, Florence)... 112 Εικόνα 48: Εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 113 Εικόνα 49 α)cestello Annunciation β) εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 113 Εικόνα 50: α) The Annunciation β)εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 114 Εικόνα 51: α)assumption of the Virgin (Santa Maria Gloriosa dei Frari, Venice), β) εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 115 Εικόνα 52: α)st Mark Enthroned with Saints (Santa Maria della Salute, Venice), β) εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 116 Εικόνα 53: α)self portrait of Rembrandt,1640, National Gallery, London β) εφαρμογή χρυσού λόγου... 118 Εικόνα 54: α)bathers at Asnieres, 1883-84. (Λουόμενοι στον Ανιέρ) (National Gallery,London β). Εφαρμογή χρυσής αναλογίας γ)χρυσά ορθογώνια... 120 Εικόνα 55: Invitation to the Sideshow (La Parade de Cirque).... 120 Εικόνα 56: La Parade de Cirque, Εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 121 Εικόνα 57: α)le pont de Courbevoie,(1886-87),Courtauld Institude, London β) εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 121 Εικόνα 58: The Golden Stairs, 1876-1880, The Tate Gallery, London... 122 Εικόνα 59: α)the Sacrament of the last Supper, National Gallery of Art, Washington DC β)εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 124 Εικόνα 60: α)composition in Red, Yellow, and Blue (1926), Χρυσά ορθογώνια.. 125 Εικόνα 61: α)composition with Red, Yellow, and Blue (1942) β) χρυσά ορθογώνια... 126 Εικόνα 62: α)η Αφροδίτη της Μήλου, Μουσείο Λούβρου β)εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 128 Εικόνα 63: α)ορυφόρος, Ρωμαϊκό μαρμάρινο αντίγραφο του αυθεντικού χάλκινου αγάλματος, Εθνικό Αρχαιολογικό Μουσείο Νάπολης. β)εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 129 Εικόνα 64: α)καρυάτιδες, Ερεχθείο, Ακρόπολη Αθηνών, β)χρυσό ορθογώνιο... 130 Εικόνα 65: Χάλκινος Ποσειδώνας ή ίας του Αρτεμισίου.... 132 Εικόνα 66: Χάλκινος Ποσειδώνας α)εγγραφή σε κύκλο, β) Εφαρμογή χρυσής αναλογίας.... 133 9

Εικόνα 67 Το άγαλμα του ορυφόρου αριστερά και δεξιά το άγαλμα του Χάλκινου Ποσειδώνα... 133 Εικόνα 68 α)αυίδ του Michelangelo, β)εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 134 Εικόνα 69 Le Modulor,κλίμακα αναλογιών βασισμένη στο ανθρώπινο σώμα... 135 Εικόνα 70: α)παρθενώνας, β)εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 138 Εικόνα 71: Αρχαίο Θέατρο της Επιδαύρου... 141 Εικόνα 72 Αρχαίο Θέατρο του ιονύσου, Αθήνα... 142 Εικόνα 73: Vitruvian man, 1521, The British Library Board... 145 Εικόνα 74 α)ο καθεδρικός ναός του Chartres, β)εφαρμογή της χρυσής αναλογίας... 147 Εικόνα 75 α) Rose Window, εσωτερικό του ναού β)εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 147 Εικόνα 76: Καθεδρικός ναός Notre Dame, Παρίσι... 149 Εικόνα 77: Καθεδρικός ναός Notre Dame, εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 150 Εικόνα 78: Αναλογίες του γυναικείου σώματος, Medici Venus:... 153 Εικόνα 79: Gustav Theodorechner,... 154 Εικόνα 80: Αναλογίες ανθρωπίνου σώματος (Neufert 1936)... 156 Εικόνα 81: Το Modulor του Le Corbusier... 157 Εικόνα 82: Villa Stein de Monzie, Garches, 1927... 159 Εικόνα 83: Κτίριο των Ηνωμένων Εθνών, Νέα Υόρκη... 160 Εικόνα 84: The CN Tower, Toronto... 161 Εικόνα 85:Απόσπασμα από την 5 η συμφωνία του Μπετόβεν... 163 Εικόνα 86:Βιολί Στραντιβάριους και εφαρμογή χρυσής αναλογίας σ αυτό.... 167 Εικόνα 87: Πληκτρολόγιο πιάνου.... 167 Εικόνα 88: α)κέρατα κριαριού σε σχήμα σπείρας β)ανάπτυξη φυτού σε σχήμα σπείρας... 168 Εικόνα 89: α) κυκλώνες, β) σπειροειδείς γαλαξίες γ)το όστρακο του ναυτίλου... 169 Εικόνα 90:α) white calla lily (ένα πέταλο) β) Euphorbia (δύο πέταλα) γ) Trillium (τρία πέταλα) δ) Columbine (πέντε πέταλα) ε) Bloodroot (οκτώ πέταλα) στ) black-eyed susan (13 πέταλα) ζ)μαργαρίτα shasta (21 πέταλα) η)μαργαρίτες αγρού (34 πέταλα)... 171 Εικόνα 91 α) Ανάπτυξη βλαστών β)ανάπτυξη κλώνων... 172 Εικόνα 92: α,γ) εξιόστροφες και β,δ) αριστερόστροφες σπείρες στους κώνους του κουκουναριού... 173 10

Εικόνα 93:Κεφαλή άνθους μαργαρίτας... 174 Εικόνα 94: Φολίδες του ανανά και οι σχηματιζόμενες σπείρες.... 174 Εικόνα 95: Κουνουπίδι και οι αριστερόστροφες και δεξιόστροφες σπείρες... 175 Εικόνα 96: Μπρόκολο και οι αριστερόστροφες και δεξιόστροφες σπείρες... 175 Εικόνα 97: Άνθος του ηλιοτρόπιου... 176 Εικόνα 98:ιάταξη πέντε φύλλων... 176 Εικόνα 99: ιάταξη 8 φύλλων... 177 Εικόνα 100: εφαρμογή χρυσής αναλογίας α) στη παλάμη β στο χέρι... 178 Εικόνα 101: α)χρυσή σπείρα στο αυτί β)έλικα του DNA... 179 Εικόνα 102: Εισαγωγή α)κατασκευή χρυσού ορθογωνίου, β)κατασκευή σπείρας... 193 Εικόνα 103 α,β,γ,δ εισαγωγικές σελίδες... 195 Εικόνα 104: Βασικοί ορισμοί... 196 Εικόνα 105: Κεντρικό μενού... 197 Εικόνα 106α,β: Μενού Ζωγραφικής... 198 Εικόνα 107: Μενού γλυπτικής... 199 Εικόνα 108: Μενού Αρχιτεκτονικής... 199 Εικόνα 109: Μενού Μουσικής... 200 Εικόνα 110: Μενού Μαθηματικών... 200 Εικόνα 111: Μενού Φιμπονάτσι... 201 Εικόνα 112: Ορισμός χρυσού ορθογωνίου μέσα από πίνακα... 202 Εικόνα 113 Εφαρμογή χρυσού ορθογωνίου και πενταγώνου με τη βοήθεια του προγράμματος Geometer's Sketchpad... 203 Εικόνα 114 Η πυραμίδα του Χέοπα στη Γκίζα... 206 Εικόνα 115 Leonardo Fibonacci... 214 Εικόνα 116: Fra Luca Pacioli... 217 11

Πίνακας Σχημάτων σχήμα 1: ιάγραμμα ροής... 33 σχήμα 2: Ευκλείδης, Πρόταση 11, ΒιβλίοII... 36 σχήμα 3:Γεωμετρική κατασκευή διαίρεσης τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο.... 37 σχήμα 4: α)γραφική παράσταση της F(x)=x+1, β)γραφική παράσταση της F(x)=x 2.. 42 Σχήμα 5:Γραφική παράσταση των F(x)=x+1 και F(x)=x 2... 42 Σχήμα 6 ημιουργία χρυσού ορθογωνίου... 43 Σχήμα 7 ημιουργία χρυσού ορθογωνίου... 43 Σχήμα 8 ημιουργία χρυσού ορθογωνίου... 44 σχήμα 9: Προσέγγιση του αριθμού Φ... 46 σχήμα 10: ιάγραμμα αναπαραγωγής των κουνελιών... 48 Σχήμα 11: Γραφική παράσταση της συνάρτησης F(x)=Φ.x... 50 σχήμα 12: οικογενειακό δένδρο αρσενικής μέλισσας... 52 σχήμα 13: οικογενειακό δένδρο θηλυκής μέλισσας... 53 σχήμα 14: Γεωμετρικά σχήματα στα οποία εμφανίζεται η χρυσή τομή.... 54 σχήμα 15: Χρυσό ορθογώνιο... 56 σχήμα 16: Γεωμετρική κατασκευή χρυσού ορθογωνίου... 57 σχήμα 17: α) χρυσό οξυγώνιο τρίγωνο β) χρυσό αμβλυγώνιο τρίγωνο... 58 σχήμα 18: Γεωμετρική κατασκευή χρυσού οξυγώνιου τριγώνου... 59 σχήμα 19: Χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο... 60 σχήμα 20: Χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο... 61 σχήμα 21: Χρυσή γωνία... 62 σχήμα 22: Κανονικό πεντάγωνο... 63 σχήμα 23: Κατασκευή κανονικού πενταγώνου... 64 σχήμα 24: Κανονικό πεντάγωνο... 65 σχήμα 25 ημιουργία χρυσών τριγώνων και πενταγώνων... 66 σχήμα 26: Προσεγγιστική κατασκευή κανονικού πενταγώνου από τον Durer... 68 σχήμα 27: Προσεγγιστική κατασκευή κανονικού πενταγώνου από τον Leonardo Da Vinci... 69 σχήμα 28: Κανονικό δεκάγωνο... 70 σχήμα 29: α) Κανονικό τετράεδρο, β) κανονικό εξάεδρο γ) κανονικό οκτάεδρο... 71 σχήμα 30:α) δωδεκάεδρο β) εικοσάεδρο... 72 12

σχήμα 31: α) Χρυσή έλλειψη εγγεγραμμένη σε χρυσό ορθογώνιο β)χρυσή έλλειψη εγγεγραμμένη σε χρυσό οξυγώνιο τρίγωνο... 72 σχήμα 32: Χρυσή έλλειψη και κύκλος διαμέτρου F 1 F 2... 73 σχήμα 33: Λογαριθμική σπείρα εγγεγραμμένη σε χρυσό ορθογώνιο... 75 σχήμα 34: Λογαριθμική σπείρα εγγεγραμμένη σε χρυσό οξυγώνιο τρίγωνο... 76 Σχήμα 35: Η σύνθεση του πίνακα η Αποκαθήλωση του Rogier Van der Weyden οργανωμένη μέσα σε τρεις κύκλους... 81 Σχήμα 36: ιακοσμητικό του Durer... 96 Σχήμα 37: Ανθρώπινες αναλογίες του Durer... 97 Σχήμα 38: Σχέδια των Durer (αριστερά) και Leonardo Da Vinci (δεξιά) με τις ανθρώπινες αναλογίες... 97 Σχήμα 39: Studies on the Proportions of the hand (Staatsbibliothek, Bamberg)... 98 σχήμα 40:Παρθενώνας:πρόσοψη, εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 139 σχήμα 41: Παρθενώνας. Εφαρμογή χρυσής αναλογίας στην κάτοψη του ναού. σχήμα 42: Αρχαίο Θέατρο της Επιδαύρου, διάγραμμα,... 141 σχήμα 43 Αρχαίο Θέατρο του ιονύσου, διάγραμμα... 143 σχήμα 44Καθεδρικός ναός του Chartres α) Νότια πλευρά του ναού, εφαρμογή χρυσής αναλογίας β)υτική πλευρά του ναού, εφαρμογή χρυσής αναλογίας... 148 σχήμα 45: Ανθρώπινες μετρήσεις... 158 σχήμα 46: The CN Tower, Toronto... 161 σχήμα 47: Γραφική παράσταση αντιστοίχισης των αριθμών των μέτρων της Ανάπτυξης και Ανακεφαλαίωσης σε σχέση με το συνολικό αριθμό των μέτρων σε σονάτες του Μότσαρτ... 165 σχήμα 48 Γραφική παράσταση αντιστοίχισης των αριθμών των μέτρων της Εισαγωγής προς εκείνων της Ανάπτυξης και Ανακεφαλαίωσης... 165 Σχήμα 49: ιάγραμμα ροής της πολυμεσικής εφαρμογής... 191 σχήμα 50: Οι διαστάσεις της πυραμίδας του Χέοπα... 207 13

Πίνακες Πινάκων 2 Πίνακας 1: Απόδειξη της σχέσης α 1 α. α = 1... 47 ν ν ν 2 Πίνακας 2: ιαδικασία αναπαραγωγής των κουνελιών:... 49 Πίνακας 3: Οικογενειακά δένδρα αρσενικής και θηλυκής μέλισσας.... 53 Πίνακας 4: Μετρήσεις των Fechner και Lalo... 55 Πίνακας 5: Αποτελέσματα των ερευνών των Fechner και Lalo... 155 Πίνακας 6: Πίνακας Εισαγωγής, Ανάπτυξης και Ανακεφαλαίωσης... 164 14

H Γεωμετρία έχει δύο μεγάλους θησαυρούς Ο ένας είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα O άλλος η διαίρεση μιας γραμμής σε άκρο και μέσο λόγο. Τον πρώτο μπορούμε να τον συγκρίνουμε με μια ποσότητα χρυσού Τον δεύτερο μπορούμε να το θεωρήσουμε ως ένα πολύτιμο κόσμημα. ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΕΠΛΕΡ (1571-1630) 15

Πρόλογος Η παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή με θέμα «ημιουργία μίας πολυμεσικής εφαρμογής για τον Αριθμό Φ τον Χρυσό Μέσο» έχει ως στόχο τη δημιουργία λογισμικού με στόχο την γνωριμία και την κατανόηση μιας μαθηματικής έννοιας που απασχόλησε και απασχολεί σε παγκόσμιο επίπεδο αρκετούς ερευνητές, γιατί θεωρείται ότι εμφανίζεται στις τέχνες (ζωγραφική, γλυπτική, αρχιτεκτονική κ.α.), στη φύση (όπως για παράδειγμα στη διατομή του DNA, στο ανθρώπινο σώμα), στις έλικες των κοχυλιών, ή ακόμα και στις έλικες των γαλαξιών, και σε πολλές άλλες περιπτώσεις. Από την αρχαιότητα η χρυσή τομή είναι στενά συνυφασμένη με την αίσθηση του κάλλους και της αρμονίας. Η διερεύνηση του συγκεκριμένου θέματος στα πλαίσια της μεταπτυχιακής αυτής διατριβής, επιλέχθηκε λόγω της ιδιότητάς μου ως μαθηματικού στη Β/θμια Εκπ/ση, και ιδιαίτερη βαρύτητα δόθηκε στην σχέση που διακρίνει την έννοια αυτή με την πολιτισμική δημιουργία. Άλλωστε ο πολιτισμός δεν είναι ανεξάρτητος από τα Μαθηματικά αφού αυτά βρίσκονται πίσω από κάθε πολιτισμική έκφραση. Είναι γνωστό, ότι η παραδοσιακή διδασκαλία, που θριαμβεύει στην ελληνική σχολική πραγματικότητα, δεν αφήνει το παραμικρό περιθώριο χρησιμοποίησης πολιτισμικών στοιχείων στα πλαίσια της διδασκαλίας των μαθηματικών. Ο χρυσός αριθμός Φ, στο διδακτικό εγχειρίδιο της Γεωμετρίας της ευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, έχει περιορισθεί στις «μαθηματικές» εφαρμογές. Οι περισσότεροι καθηγητές, εξ αιτίας της πληθώρας της ύλης και του άγχους να προλάβουν να τη διδάξουν, αφήνουν ανεκμετάλλευτες σημαντικές πολιτισμικές πηγές που θα βοηθούσαν το μαθητή όχι απλά να κατανοήσει αλλά να οικειοποιηθεί τη διδασκόμενη γνώση. Με τον τρόπο αυτό όμως, δεν αναδεικνύεται ούτε η αναγκαιότητα, αλλά ούτε και η αξία των μαθηματικών. Αντίθετα τα μαθηματικά καθίστανται για το μαθητή ένα δυσνόητο και βαρετό μάθημα με τις γνωστές σε όλους μας 16

συνέπειες: Φόβος και άγχος για τα μαθηματικά, αποστροφή και μαθηματικός αναλφαβητισμός. Όπως όμως επισημαίνει ο Bruner J.(1973) πρέπει να μελετήσουμε με ποιο τρόπο είναι δυνατόν η δύναμη και η ουσία του πολιτισμού να μετατραπεί, ώστε να πάρει διδακτική μορφή. Ο Κολιάδης (1997), επίσης τονίζει ότι η σχολική εκπαίδευση είναι ένα ιδιαίτερα σημαντικό όργανο του πολιτισμού, με το οποίο αναπτύσσονται και διευρύνονται οι νοητικές ικανότητες των ατόμων μιας κοινωνίας. Επομένως ο πολιτισμικός παράγων μπορεί να αποτελέσει σημαντική βοήθεια στη διαδικασία διδασκαλίας μάθησης. Ιδιαίτερα η διδασκαλία της γεωμετρίας, με εικαστικές εικόνες και έργα τέχνης βοηθά όχι μόνο στην καλύτερη κατανόησή της αλλά είναι και ένας εναλλακτικός τρόπος διδασκαλίας, που προφανώς είναι και πιο ευχάριστος και πιο αποδοτικός όσον αφορά και τα μαθηματικά αλλά και την τέχνη. Στόχος λοιπόν της πολυμεσικής εφαρμογής είναι να κινητοποιήσει τους μαθητές να αλλάξουν τη στάση τους απέναντι στα Μαθηματικά, να τους βοηθήσει να υπερβούν διδακτικά εμπόδια και να απαντήσει στο ερώτημα γιατί τα διδάσκονται. Σ αυτήν οι μαθηματικές έννοιες ενσωματώνονται σε πραγματικά πολιτισμικά μοντέλα, όπως η Ακρόπολη, οι πίνακες του Leonardo Da Vinci και άλλων καλλιτεχνών, το άγαλμα της Αφροδίτης της Μήλου, ή ακόμα γνωστές μουσικές συνθέσεις με αποτέλεσμα να κινητοποιήσουν τους μαθητές αντί της παθητικής στάσης που τους δημιουργεί η παραδοσιακή μετωπική διδασκαλία. Για το λόγο αυτό η εφαρμογή απευθύνεται κυρίως σε μαθητές του Λυκείου, αλλά και σε όλους αυτούς που θα ήθελαν να μάθουν περισσότερα για τη χρυσή αναλογία και τις διάφορες εφαρμογές της. 17

Κεφάλαιο 1:Εισαγωγή-Ιστορική αναδρομή για το Φ Ο αριθμός Φ από την αρχαιότητα είναι στενά συνυφασμένος με την αίσθηση του κάλλους και της αρμονίας. Κατά τους αρχαίους Έλληνες η Χρυσή Τομή διαιρούσε ένα τμήμα με τον τελειότερο αισθητικά τρόπο. Αναφέρονται πολλά διαφορετικά ονόματα για τη χρυσή τομή. ιαίρεση σε άκρο και μέσο λόγο (όπως εμφανίζεται στα στοιχεία του Ευκλείδη), θεία αναλογία (divina proportion, Luca Paccioli), χρυσή τομή (Leonardo Da Vinci την αναφέρει ως sectio aurea δηλαδή στα λατινικά η χρυσή τομή, Martin Ohm), phi-φ (Mark Barr), θείο τμήμα, χρυσός μέσος όρος, χρυσή αναλογία. Με όποιο όνομα και αν αναφέρεται φανερώνει την αρμονία που χαρακτηρίζει ένα αντικείμενο. Εικόνα 1 Η πυραμίδα του Χέοπα στη Γκίζα (Πηγή: http://britton.disted.camosun.bc.ca/goldslide/jbgoldslide.htm) Ένα από τα πιο παλιά παραδείγματα εφαρμογής της χρυσής αναλογίας πιστεύεται ότι είναι η μεγάλη πυραμίδα του Χέοπα στη Γκίζα, κτισμένη περίπου το 2560 π.χ. (Herz-Fischler Roger, 2000). Μερικές θεωρίες υποστηρίζουν ότι η πυραμίδα σχεδιάστηκε έτσι ώστε ο λόγος του ύψους της προς το μισό μήκος της βάσης να είναι η χρυσή αναλογία.( Markowsky G, 1992). 18

Η πρώτη μελέτη της χρυσής τομής πιστώνεται ιστορικά στους Πυθαγόρειους. Ο Πυθαγόρας - τον 5ο αιώνα π.x. - υποστήριζε ότι αποτελεί μια από τις κρυμμένες αρμονίες της φύσης και την είχε απεικονίσει στο σύμβολο της σχολής του, το πεντάγραμμα, το αστέρι δηλαδή που σχηματίζεται από τις πέντε διαγωνίους του κανονικού πενταγώνου. Ο λόγος της διαγωνίου του κανονικού πενταγώνου προς τη πλευρά του ισούται με Φ. Εικόνα 2: Το πεντάγραμμα, σύμβολο της σχολής των Πυθαγορείων. (Πηγή:http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi2DGeomTrig.html#pent) Αργότερα την εφάρμοσαν ο Ικτίνος, ο Καλλικράτης και ο Φειδίας στην κατασκευή του Παρθενώνα. Ο Ευκλείδης (365 π.χ - 300 π.χ) στα «Στοιχεία» του γράφει ότι διαιρώντας μια γραμμή σε λόγο 1:1.6180399.., διαιρούμε τη γραμμή σε «άκρο και μέσο λόγο». Αυτό σημαίνει, να χωρίσουμε μια γραμμή σε δύο άνισα τμήματα, έτσι ώστε ο αριθμός που παίρνουμε αν διαιρέσουμε το μήκος του μεγάλου τμήματος με το μήκος του μικρού να ισούται με τον αριθμό που παίρνουμε αν διαιρέσουμε το μήκος ολόκληρης της γραμμής με το μήκος του μεγάλου. ( πρόταση 30 στο βιβλίο VI ). Ο Πλάτωνας θεωρούσε ότι ο αριθμός αυτός βρίσκεται στον υπερουράνιο τόπο και τον υιοθέτησε στα ιδεατά του σχήματα που συνθέτουν τον κόσμο. Στον διάλογό του «Τίμαιος» περιγράφει τον κόσμο σαν μια σύνθεση γεωμετρικών αρμονικών σωμάτων, των γνωστών πέντε Πλατωνικών στερεών, που θα περάσουν και στην Αναγέννηση και 19

θα προβληματίσουν πολλούς επιστήμονες όπως, για παράδειγμα, τον Kepler. Η χρυσή τομή απέκτησε μεγάλη σημασία με το πέρασμα των αιώνων. Στις αρχές του 12ου αιώνα, ο Λεονάρντο Πιζάνο-Μπονάτσι (γνωστός ως Φιμπονάτσι) την εισήγαγε στην Ιταλία και την υιοθέτησαν προπομποί της Αναγέννησης όπως ο Ντα Βίντσι κι ο Άλμπερτ Ντύρερ, αργότερα ζωγράφοι όπως ο Μοντριάν και πολύ μετά ο Σαλβαντόρ Νταλί, μουσικοσυνθέτες όπως ο Μότσαρτ, ο Μπέλα Μπάρτοκ και ο Ντεμπυσί αλλά και σπουδαίοι αρχιτέκτονες του 20ού αιώνα, όπως ο Λε Κορμπυζιέ. Ο Λούκα Πακιόλι το 1509 έγραψε βιβλίο με τίτλο «de Divina Proportione» (Η θεία αναλογία) στο οποίο εκθειάζει τις ιδιότητες του χρυσού λόγου. (MacTutor, 2009). Σ αυτό περιέχονται σχέδια των πέντε πλατωνικών στερεών που έγιναν από τον Leonardo Da Vinci, ο οποίος ονόμασε την χρυσή τομή αρχικά aurea sectio (λατινικά το χρυσό τμήμα). Εικόνα 3: Σχέδια των πλατωνικών στερεών από τον Leonardo Da Vinci. (πηγή:http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit14/1511.jpeg) Το όνομα «χρυσός κανόνας» χρησιμοποιήθηκε από το λατίνο ποιητή Οράτιο (aurea mediocritas) και αργότερα από τον Κέπλερ. Οι καλλιτέχνες της Αναγέννησης προτίμησαν τον όρο «Θεία Αναλογία» που χρησιμοποίησε το 1509 ο φίλος του Ντα Βίντσι Λούκα Πάτσιολι, θεωρώντας ότι μια τόσο τέλεια και θαυμαστή αρμονία θα πρέπει να δόθηκε στους ανθρώπους από τον ίδιο τον Θεό. 20

Ο όρος χρυσή τομή (goldene Schnitt) φαίνεται ότι χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Martin Ohm το 1835 στο βιβλίο του Die Reine Elementar-Mathematik. Η πρώτη γνωστή χρήση του όρου στα αγγλικά είναι στο άρθρο του James Sulley το 1875 περί «Αισθητικής» στην ένατη έκδοση της Encyclopedia Britannica. Ο «χρυσός κανόνας» εμφανίζεται και στη φύση. Στα πέταλα των λουλουδιών, στα φύλλα των δένδρων, στις έλικες των κοχυλιών, ακόμη και στη διατομή του DNA ή τις έλικες των γαλαξιών και τη στροφορμή μιας μαύρης τρύπας! 21

Ιστορική αναδρομή i) ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (585-500 π.χ.): Εικόνα 4: Πυθαγόρας ο Σάμιος (πηγή: http://grmath4.phpnet.us/image_2/pithagoras-2.jpg) Ένας από τους μεγαλύτερους αρχαίους Έλληνες φιλοσόφους και ιδρυτής της Πυθαγόρειας σχολής. Eίναι ο πρώτος που ονόμασε τον εαυτό του "φιλόσοφο". Θεωρείται πατέρας του χρυσού αριθμού - Φ -. Οι μαθητές του έφταναν στο σημείο να θεωρούν τη χρυσή αναλογία, θεόπνευστη. Εξέτασαν τους λόγους και τις αναλογίες αριθμών επηρεασμένοι από τις αναλογίες των μουσικών χορδών. Εισήγαγαν τρεις αναλογικές ισότητες:την αριθμητική, τη γεωμετρική και την αρμονική, ασχολήθηκαν με κάποια κανονικά στερεά, διαπίστωσαν την ύπαρξη άρρητων μεγεθών, ασχολήθηκαν με τη χρυσή τομή (Hemenway P.,2005) Το ιδιαίτερο σύμβολο της σχολής των Πυθαγορείων ήταν ένα αστέρι με πέντε κορυφές εγγεγραμμένο σε ένα κανονικό πεντάγωνο, η πεντάλφα ή πεντάγραμμο, η οποία συνδέεται με τη χρυσή τομή. Κάθε πλευρά του «πενταγράμμου» διαιρεί τις δύο άλλες σε χρυσή τομή. (Eγκυκλοπεδικό λεξικό «ΗΛΙΟΥ». Ν.Ζαφειρίου.) 22

ii) ΦΕΙΙΑΣ (490-430 π.χ.) Ένας από τους πιο γνωστούς γλύπτες της ελληνικής αρχαιότητας, ο Εικόνα 5: Φειδίας (πηγή: http://www.peri-grafis.com/patroklos/spaw/images/feidias.jpg) πιο σημαντικός ίσως της κλασικής περιόδου. Ήταν επίσης αρχιτέκτονας και Μαθηματικός. Από τα πιο γνωστά του έργα ήταν τα χρυσελεφάντινα αγάλματα της Αθηνάς Παρθένου για τον Παρθενώνα και του ία για το ναό του θεού στην Ολυμπία, που ήταν και ένα από τα επτά θαύματα του κόσμου. Λέγεται ότι μελέτησε τη χρυσή τομή και τη χρησιμοποίησε στο σχεδιασμό των αγαλμάτων του Παρθενώνα. (Eγκυκλοπεδικό λεξικό «ΗΛΙΟΥ». Ν.Ζαφειρίου, Hemenway P.,2005) iii) ΠΛΑΤΩΝ (427-347 π.χ.) Σπουδαίος Έλληνας φιλόσοφος και συγγραφέας, ο γνωστότερος μαθητής του Σωκράτη. Ανέπτυξε συστηματικά τις διδασκαλίες του πυθαγορισμού ευνοώντας, όπως και ο Πυθαγόρας, τα μαθηματικά, τα οποία έβλεπε ως "παράθυρο" στον κόσμο των ιδεών αφού ασχολούνται με άυλες και αναλλοίωτες έννοιες που διαμορφώνουν τον κόσμο. Στον Τίμαιο περιγράφει πέντε κανονικά στερεά σα βάση για την αρμονική 23

Εικόνα 6: Πλάτων (πηγή: http://grmath4.phpnet.us/image_2/platon.jpg) κατασκευή του σύμπαντος. Η χρυσή τομή παίζει καθοριστικό ρόλο στην κατασκευή και το σχήμα σε δύο από αυτά, το κανονικό δωδεκάεδρο και το κανονικό εικοσάεδρο.(νεωτερον ΕΓΚΥΚΛΟΠΑΙΙΚΟΝ ΛΕΞΙΚΟ "ΗΛΙΟΥ"). ΕΥΚΛΕΙΗΣ (325-265 π.χ) Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Εικόνα 7: Ευκλείδης (πηγή: http://grmath4.phpnet.us/image_2/euclid_476.jpg) 24

Αιγύπτου, περίπου κατά την διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου του πρώτου (323 π.χ. - 283 μ.χ.). Είναι γνωστός ως ο "πατέρας" της γεωμετρίας. Συστηματοποίησε και έθεσε σε στέρεες θεωρητικές βάσεις τα συμπεράσματα στα οποία έφτασαν ο Θαλής, ο Εύδοξος και άλλες φωτεινές διάνοιες της εποχής. Ο Ευκλείδης είχε την ικανότητα να ανασυντάξει τις αποδείξεις των θεωρημάτων σε σύντομους αυστηρούς όρους. Το πιο γνωστό έργο του είναι τα Στοιχεία. Σ αυτό μεταξύ των άλλων προτάσεων υπάρχει και η πρόταση της διαίρεσης τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο. Έτσι για πρώτη φορά η χρυσή τομή μπαίνει σε μαθηματική βάση. Ο Ευκλείδης επίσης συνέδεσε τη χρυσή τομή και με την κατασκευή του κανονικού πενταγώνου.(νεωτερον ΕΓΚΥΚΛΟΠΑΙΙΚΟΝ ΛΕΞΙΚΟ "ΗΛΙΟΥ",Hemenway P.,2005). iv) LEONARDO FIBONACCI (1170-1250 μ.χ.) Ένας από τους μεγαλύτερους Ευρωπαίους μαθηματικούς του Εικόνα 8: Leonardo Fibonacci (πηγή: http://goldennumber.net/fibonser.htm) 25

Μεσαίωνα. Ήταν από τους πρώτους που εισήγαγαν στην Ευρώπη το δεκαδικό αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε σήμερα. Με το βιβλίο του Liber abbaci (Βιβλίο του άβακα ή Βιβλίο των υπολογισμών) έπεισε πολλούς Ευρωπαίους Μαθηματικούς να χρησιμοποιούν το «νέο» σύστημα. (Hemenway P.,2005) Ανακάλυψε την ακολουθία των αριθμών 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, που είναι γνωστή ως ακολουθία FIBONACCI και έχει την ιδιότητα: το άθροισμα δύο διαδοχικών όρων της να ισούται με τον επόμενο. Η ακολουθία συνδέεται με τη χρυσή τομή, γιατί όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε τα πηλίκα των διαδοχικών όρων της (μεγαλύτερου προς τον μικρότερο) προσεγγίζουν τον αριθμό Φ με μεγάλη ακρίβεια καθώς προχωράμε στους μεγαλύτερους όρους της.(boyer C, 1997) v) LUCA PACIOLI (1445-1517 μ.χ) Γεωμέτρης και φίλος μεγάλων ζωγράφων της Αναγέννησης. Εικόνα 9: Fra Luca Pacioli (πηγή: http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit13/1410.jpeg) Επανέφερε τη χρυσή τομή. Στο βιβλίο του De divina proportione (Θεία αναλογία),που γράφτηκε το 1496-1498 στο Μιλάνο και 26

δημοσιεύτηκε στη Βενετία το 1509 εκθειάζει τις ιδιότητες του χρυσού λόγου. Ο Paccioli για να εξασφαλίσει την εμπορικότητα του βιβλίου του ζήτησε από τον Λεονάρντο ντα Βίντσι, ο οποίος τον είχε πολλές φορές συμβουλευθεί για θέματα των μαθηματικών, να φιλοτεχνήσει το βιβλίο του με τα σχέδια των πέντε στερεών σωμάτων (Πλατωνικά στερεά).(boyer C, 1997, Hemenway P.,2005) vi) JOHANES KEPLER (1571-1630 μ.χ.) Γερμανός αστρονόμος και καταλυτική φυσιογνωμία στην Εικόνα 10: Johanes Kepler (πηγή: http://www.ph.surrey.ac.uk/astrophysics/files/kepler.gif) επιστημονική επανάσταση των νεότερων χρόνων. Υπήρξε επίσης μαθηματικός και συγγραφέας ενώ άσκησε κατά καιρούς και την αστρολογία για βιοποριστικούς λόγους. Αποκάλυψε τη σχέση μεταξύ της ακολουθίας Fibonacci και της χρυσής τομής, δείχνοντας ότι οι λόγοι δύο διαδοχικών όρων της ακολουθίας τείνουν στον αριθμό Φ. (Hemenway P.,2005) Εξέτασε επίσης τα φυτά και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η ακολουθία βρίσκεται στην ανάπτυξη των φυτών και στη διάταξη των σπόρων τους.(boyer C, 1997). 27

vii) CHARLES BONNET ((1720-1793 μ.χ.) Εικόνα 11: Charles Bonnet (πηγή: http://www.philosophyprofessor.com/philosophers/charles-bonnet.php) Ελβετός φυσιοδίφης και φιλόσοφος. Στο βιβλίο του «Recherches sur l Usage des Feuilles dans les Plantes» περιγράφει τη διάταξη των φύλλων στα φυτά και επισημαίνει ότι ο αριθμός των αριστερόστροφων και δεξιόστροφων σπειρών στη διάταξη των φύλλων των φυτών είναι συχνά δύο διαδοχικοί όροι της ακολουθίας Fibonacci. (Hemenway P.,2005) viii) MARTIN OHM (1792-1872) Γερμανός Μαθηματικός, αδελφός του γνωστού φυσικού George Ohm, θεωρείται ο πρώτος που χρησιμοποίησε τυπικά τη λέξη «golden section -χρυσή τομή», για να περιγράψει αυτήν την αναλογία. Συναντάμε τον όρο αυτό σε μια σημείωση του βιβλίου του «Die reine Elementar Matematik» έκδοσης 1835: «Συνηθίζεται να αποκαλείται αυτή η διαίρεση μιας αυθαίρετης γραμμής σε δύο υποδιαιρέσεις χρυσή τομή. Επίσης συνηθίζεται μερικές φορές να λέγεται σ αυτή τη περίπτωση: 28

η γραμμή r διαιρείται σε συνεχή αναλογία». Είναι φανερό ότι δεν είναι ο πρώτος που χρησιμοποιεί τον όρο αυτό, αλλά ότι το 1835 ο όρος Εικόνα 12: Martin Ohm (πηγή: http://www.cc.gatech.edu/~srini/genealogy/ohm.jpg) εμφανίζεται σε δημόσια χρήση. Η σημείωση αυτή όμως δεν εμφανίζεται σε νεώτερες εκδόσεις του βιβλίου. (Hemenway P, 2005). ix) EDOUARD LUCAS (1842-1891) Γάλλος μαθηματικός, γνωστός από την ακολουθία ακεραίων Εικόνα 13: Edouard Lucas (πηγή: http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/elucas.jpg) 29

αριθμών Lucas, που ορίζεται όπως και η ακολουθία Fibonacci, με τη διαφορά ότι ο πρώτος όρος είναι 2 και ο δεύτερος 1. ηλαδή: 2 αν ν = 0 F( ν ) = 1 αν ν = 1 F( ν 1) + F( ν 1) αν ν > 1 που είναι: 2,1,3,4,7,11,18.. Ο Ε. Lucas έδωσε επίσημα το όνομα Fibonacci στην γνωστή αριθμητική ακολουθία.(boyer C, 1997,Hemenway P.,2005) x) MARK BARR Αμερικανός μαθηματικός, στις αρχές του 20 ου αιώνα (περίπου το 1909) χρησιμοποιεί το Φ, αρχικό γράμμα του ονόματος του έλληνα γλύπτη Φειδία, για να ορίσει την χρυσή αναλογία. Μέχρι τότε χρησιμοποιούσαν τους όρους: χρυσός λόγος, χρυσή τομή, χρυσή αναλογία ή θεία αναλογία. (Cook A.,1979., Hemenway P.,2005) xi) ROGER PENROSE (1931- ) Εικόνα 14:Roger Penrose (πηγή: http://www2.spsu.edu/math/tiling/22.html) 30

Άγγλος μαθηματικός και φυσικός, καθηγητής στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης στην Αγγλία, ανακάλυψε μεθόδους για να πετύχει συμμετρικά σχήματα. Είναι γνωστός για την ανακάλυψή των «Penrose tiles», που επιτρέπει επιφάνειες να καλυφθούν με συμμετρικό τρόπο, κάτι που προηγουμένως εθεωρείτο αδύνατο. Οι πλακοστρώσεις Penrose συνδέονται άμεσα με τη χρυσή τομή. Αποτελούνται από χρυσούς ρόμβους ή από χρυσές σαΐτες και αετούς. Υπάρχει όμως και κάποια άλλη εντυπωσιακή συγγένεια αυτών των δύο: Αν σε μία πλακόστρωση από ρόμβους μετρήσουμε πόσοι είναι οι πλατείς και πόσοι οι στενοί, θα βρούμε ότι οι πλατείς είναι 1,618 φορές περισσότεροι! ηλαδή, ο λόγος του πλήθους των πλατέων ρόμβων προς το πλήθος τον στενών είναι ίσος με τον λόγο χρυσής τομής. Φυσικά, επειδή μετρούμε τους ρόμβους σε ένα «κομμάτι» του επιπέδου, ο λόγος αυτός δεν είναι ακριβώς ίσος με τον λόγο χρυσής τομής, πάντως όσο μεγαλώνουμε αυτό το κομμάτι, τόσο πιο πολύ θα πλησιάζουμε το λόγο χρυσής τομής. Μία πολύ ενδιαφέρουσα εφαρμογή των πλακοστρώσεων Penrose, που είναι ένα επίτευγμα της σύγχρονης έρευνας της τεχνολογίας, είναι η κατασκευή ημικρυστάλλων. (http://www2.spsu.edu/math/tiling/22.html), (Hemenway P.,2005) 31

Κεφάλαιο 2: Μεθοδολογία Έρευνας Βιβλιογραφική και διαδικτυακή ανασκόπηση Κατ αρχάς έγινε αναζήτηση σχετικής διεθνούς και εγχώριας επιστημονικής βιβλιογραφίας αλλά και διαδικτυακή αναζήτηση υλικού με λέξεις κλειδιά όπως: χρυσή τομή, διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο, χρυσή αναλογία, θεία αναλογία, θείος μέσος, αριθμός Φ ή αριθμός του Φειδία. Η έρευνα περιορίστηκε στις απλές μαθηματικές έννοιες, προκειμένου να γίνει κατανοητή από τους χρήστες, λαμβάνοντας υπόψη τις γνώσεις που απέκτησαν σχετικά με τη Γεωμετρία στο Γυμνάσιο. Για το λόγο αυτό δεν έγινε χρήση πολύπλοκων μαθηματικών εννοιών και εξισώσεων. Στη συνέχεια έγινε σύνδεση της χρυσής τομής με τις τέχνες: ζωγραφική, γλυπτική, μουσική και αρχιτεκτονική. Αναζητήθηκαν από την διεθνή βιβλιογραφία πίνακες καλλιτεχνών, γνωστά αγάλματα της αρχαιότητας και μνημεία, τα οποία έχουν θεωρηθεί ότι ακολουθούν την χρυσή τομή και έγινε προσπάθεια επάνω σε αυτά να εισαχθούν τα γεωμετρικά σχήματα που συνδέονται με τη χρυσή τομή: χρυσό ορθογώνιο, χρυσό τρίγωνο, κανονικό πεντάγωνο, χρυσή γωνία, λογαριθμική σπείρα, πλατωνικά στερεά. Έγινε σύνδεση του αριθμού Φ με την ακολουθία του Φιμπονάτσι και αναζητήθηκαν εφαρμογές αυτών στη φύση, στην ανάπτυξη των φυτών και στο ανθρώπινο σώμα. Προκειμένου η εφαρμογή να γίνει πιο φιλική στο χρήστη και παράλληλα εμπέδωση των εννοιών που παρουσιάζονται, χρησιμοποιήθηκαν αρκετά quiz και πολλές φωτογραφίες πινάκων διαφόρων καλλιτεχνών από την ιστοσελίδα Web Gallery of Art (πηγή: http://www.wga.hu/index1.html, 1996) που είναι ελεύθερη για κάθε σχολική χρήση. Τέλος στο παράρτημα της διατριβής παρουσιάζονται συμπληρωματικά ιστορικά στοιχεία. 32

Σχεδιασμός και Υλοποίηση πολυμεσικής εφαρμογής Στόχος της παρούσας πολυμεσικής εφαρμογής είναι να κινητοποιήσει τους μαθητές να αλλάξουν τη στάση τους απέναντι στα Μαθηματικά. Για το λόγο αυτό απευθύνεται κυρίως σε μαθητές του Λυκείου, αλλά και σε όλους αυτούς που θα ήθελαν να μάθουν περισσότερα για τη χρυσή αναλογία και τις διάφορες εφαρμογές της. Η δομή που ακολουθήθηκε στην εφαρμογή είναι στην αρχή γραμμική στη συνέχεια δενδρική και σε κάποια τμήματα ελεύθερη.(σχήμα 1) Όπως προκύπτει από το σχεδιάγραμμα της δομής της εφαρμογής, ο χρήστης θα έχει τη δυνατότητα από κάθε ένα από τα 7 επίπεδα της εφαρμογής να μεταβεί στο προηγούμενο και στο επόμενο επίπεδο με τη χρήση των πλήκτρων πλοήγησης. Εισαγωγή-Ιστορική αναδρομή Βασικοί ορισμοί Μαθηματικά Quiz Aκολουθία Fibonacci Χρυσή Τομή Και Γλυπτική Χρυσή Τομή Και Ζωγραφική Χρυσή Τομή Και Αρχιτεκτονική Χρυσή Τομή Και Μουσική Χρυσό ορθογώνιο Χρυσή Γωνία Χρυσό ορθογώνιο Χρυσό τρίγωνο Πεντάγωνο Λογαριθμική σπείρα Χρυσό ορθογώνιο Χρυσή Γωνία Χρυσό τρίγωνο Ακολουθία Fibonacci σχήμα 1: ιάγραμμα ροής 33

Υπάρχουν διαδράσεις που κάνουν την πλοήγηση αρκετά ενδιαφέρουσα (μεταφορά σε διαφορετικά τμήματα), και δεν βασίζονται στο στοιχείο της γραμμικής δομής. Τα χρώματα έχουν επιλεγεί με τρόπο ώστε να μην αποσπούν το χρήστη από το στόχο της εφαρμογής και παράλληλα να δημιουργούν ένα ευχάριστο περιβάλλον. Ως εισαγωγή επιλέχθηκε η κατασκευή του χρυσού ορθογωνίου που συνδέεται άμεσα με τη χρυσή τομή, το οποίο θα παραμένει σε όλη την εφαρμογή και μέσα σ αυτό θα δίνονται όλες οι πληροφορίες (βλ. κεφ. 8) Για τη πλοήγηση του χρήστη μέσα στην εφαρμογή επιλέχθηκαν κατάλληλα γραφικά και τυπογραφικά (όπως το γράμμα Φ ή το βιβλίο που παραπέμπει στη βιβλιογραφία), που θα κερδίζουν την προσοχή του, θα διατηρούν και θα αναπτύσσουν το ενδιαφέρον του και θα τον οδηγούν στις επόμενες σελίδες χωρίς να τον αποπροσανατολίζουν. Έγινε προσπάθεια μέσα από τους πίνακες τα μνημεία ή τα αγάλματα να εισαχθούν οι έννοιες και οι γεωμετρικές κατασκευές των γεωμετρικών σχημάτων, που συνδέονται με τη χρυσή τομή: χρυσό ορθογώνιο, χρυσό τρίγωνο, κανονικό πεντάγωνο, χρυσή γωνία, λογαριθμική σπείρα, πλατωνικά στερεά (βλ. Κεφ. 8 εικόνες 112,113). Ιδιαίτερη προσοχή δόθηκε στην διαχείριση του περιεχομένου έτσι ώστε ο χρήστης να μην έρχεται αντιμέτωπος με μεγάλα και δυσνόητα κείμενα και δύσκολες μαθηματικές έννοιες ή εξισώσεις. Σε κάθε σελίδα το κείμενο πλαισιώνεται από σχήματα, σχέδια και φωτογραφίες, έτσι ώστε να γίνονται άμεσα αντιληπτές οι σχέσεις μεταξύ των γεωμετρικών σχημάτων και των έργων τέχνης. Περαιτέρω εμβάθυνση όσον αφορά στο περιεχόμενο μπορεί να γίνει μόνο εφόσον ο χρήστης επιλέξει την ενότητα των Μαθηματικών. 34

Για την υλοποίηση της εφαρμογής χρησιμοποιήθηκαν τα προγράμματα: Macromedia Flash Professional 8, Geometer s Sketchpad vs. 4.2, Adobe Photoshop vs. CS, Microsoft Excel vs. 2003 και Microsoft Word vs. 2003. Η μεθοδολογία που μόλις περιγράφτηκε βασίστηκε κυρίως στην ακόλουθη βιβλιογραφία: Bhangal S.(2004), Flash Hacks, Εκδοτικός οίκος O Reilly, New York. Bruner J. The relevance of Education, Norton, New York, 1971, p.22. Stunsberry D. Labyrinths: The art of interactive Writing and design, Wadsworth Publishing Company, 1998. ημητριάδης Σ.Ν., Πομπόρτης Α.Σ., Τριανταφύλλου Ε.Γ., (2004). «Τεχνολογία πολυμέσων θεωρία και πράξη», Εκδόσεις Τζιόλα, ISBN: 960-418-025-8 Καμμάς Σταύρος,(2006), Σημειώσεις του μαθήματος: Υπερμέσα: Οργάνωση και Παρουσίαση Εκπαιδευτικού υλικού. Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τμήματος Πολιτισμικής Τεχνολογίας και Επικοινωνίας, Παν. Αιγαίου, Μυτιλήνη. Κολιάδης Ε. «Θεωρίες Μάθησης και Εκπαιδευτική Πράξη, τόμος Γ Γνωστικές Θεωρίες», Ελληνικά Γράμματα, Αθήνα, 1997. Μαυροφίδης Θ.,(2006), «Το αντικειμενοστρεφές μοντέλο του Macromedia Flash», Σημειώσεις του μαθήματος ιαδραστικός Σχεδιασμός, Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τμήματος Πολιτισμικής Τεχνολογίας και Επικοινωνίας, Παν. Αιγαίου, Μυτιλήνη. 35

Κεφάλαιο 3 : Χρυσή Τομή και Άλγεβρα 1. Ορισμός Ο αριθμός Φ είναι γνωστός και σαν «χρυσός αριθμός» ή «αριθμός του Φειδία» επειδή ο διάσημος αυτός Έλληνας γλύπτης της αρχαιότητας σεβάστηκε τη χρυσή αναλογία και τη χρησιμοποίησε στα έργα του. Σύμφωνα με τον Theodore C. (1914), ο Mark Barr, Αμερικανός μαθηματικός, το 1909, έδωσε στη χρυσή τομή το όνομα Φ (phi), από το πρώτο γράμμα του ονόματος του Φειδία. Από αυτόν προέρχεται ο διεθνής συμβολισμός «Φ» (phi) και είναι Φ=1,618033989... Είναι ένας άρρητος αριθμός με μοναδικές ιδιότητες. Ο Χρυσός λόγος εμφανίζεται στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη σε αρκετά σημεία. Σύμφωνα με αυτόν: «Ένα ευθύγραμμο τμήμα λέγεται ότι κόβεται σε άκρο και μέσο λόγο όταν όλο το ευθύγραμμο τμήμα είναι ανάλογο προς το μεγαλύτερο τμήμα όσο και το μεγαλύτερο τμήμα προς το μικρότερο».τον ορισμό με τη διατύπωση διαίρεση σε άκρο και μέσο λόγο τον συναντάμε στην πρόταση 30 του Βιβλίου VΙ, αλλά γίνεται επίσης αναφορά και στο βιβλίο ΙΙ πρόταση 11, στην κατασκευή που αφορά εμβαδά και λύνεται με τη χρήση της χρυσής τομής: i) «Να χωριστεί ένα ευθύγραμμο τμήμα α σε δυο τμήματα, x και y µε τέτοιο τρόπο ώστε, αν το x είναι μεγαλύτερο από το y, το τετράγωνο που σχηματίζεται µε πλευρά το x έχει εμβαδόν ίσο µε το ορθογώνιο που σχηματίζεται με πλευρές α και ψ.(βιβλίο ΙΙ, Πρόταση 11). σχήμα 2: Ευκλείδης, Πρόταση 11, ΒιβλίοII 36

ii) Μια άλλη διατύπωση είναι: «Να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα α σε µέσο και άκρο λόγο, δηλαδή σε δυο τμήματα x και y, µε τέτοιο τρόπο ώστε αν x είναι το μεγαλύτερο και y το μικρότερο, ο λόγος του τμήματος προς το x είναι ίσος µε το λόγο του x προς το y» (Πρόταση 30, Βιβλίο VΙ). Γ α/2 A χ α E ψ B ηλαδή: a = x = φ x ψ σχήμα 3:Γεωμετρική κατασκευή διαίρεσης τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές ΑΒ=α και BΓ = α/2, οπότε η υποτείνουσα AΓ θα είναι 5α/2. Γράφουμε κύκλο κέντρου Γ και ακτίνας α/2 και έστω το σημείο τομής του κύκλου και της AΓ. Με κέντρο Α και ακτίνα Α γράφουμε κύκλο, ο οποίος τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ε. Αποδεικνύεται ότι ΑΒ/ΑΕ = ( 5+1)/2 ότι το Ε δηλαδή τέμνει την ΑΒ με χρυσή τομή. Πράγματι: (ΑΓ) 2 =(ΒΓ) 2 +(ΑΒ) 2 2 2 2 α 5α α 5 = α + = ΑΓ = 4 4 2 α 5 α α( 5 1) ΑΕ= = Επομένως 2 2 2 ΑΒ α 2( 5+ 1) 5+ 1 = = = ΑΕ α( 5 1) 5 1 2 2 α( 5 1) α( 5 1) ΑΕ 2 2 ( 5 1)(3 + 5) 2( 5 + 1) ( 5 + 1) = = = = = ΕΒ α( 5 1) α(2 5 + 1) 9 5 4 2 α 2 2 ηλαδή ΑΒ = ΑΕ ΑΕ ΕΒ ή a = x = φ x ψ 37

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ Φ: Έστω α χ α χ χ α χ φ = = = = χ ψ χ α χ α χ χ α 1 = = φ φ φ = α χ φ 2 1 1 1 ηλαδή 2 φ φ 1= 0 Επειδή πρόκειται για ευθύγραμμα τμήματα Φ>0, επομένως η θετική ρίζα της εξίσωσης δίνει:. 1+ 5 Φ= = 1,618033989 2 Αν Φ η αρνητική ρίζα της εξίσωσης τότε 1 5 (1 5).(1+ 5) 1 5 4 2 1 Φ= = = = = = 2 2.(1 + 5) 2.(1 + 5) 2.(1 + 5) (1 + 5) Φ ηλαδή 1 1 Φ = = Φ Φ Για τον αριθμό Φ επίσης ισχύει: Φ 2 =Φ+1 και 1 Φ= 1+ Φ Και όπως θα έλεγε ο ιογένης, «ένας + Φτώχεια = εφτυχία». Οποία παραδοξότης! (Καφαντάρης Τ.,2009) 38

2. Ιδιότητες του αριθμού (Dunlap R. A, 1997) Α) Να υπολογιστεί η παράσταση: x = 1+ 1+ 1+ 1+ 1 +..., αν οι τετραγωνικές ρίζες συνεχίζονται επ άπειρον Λύση: Α1) Να γίνουν οι πράξεις με κομπιουτεράκι (βλέπε παράρτημα σελ. 208) Α 2) Έστω x = 1+ 1+ 1+ 1+ 1 +... τότε υψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη έχουμε: 2 x = + + + + + 1 1 1 1 1... επειδή η παράσταση στο δεύτερο μέλος συνεχίζεται επ άπειρο θα έχουμε x 2 = 1+ x που είναι η εξίσωση που ορίζει τον χρυσό λόγο. Άρα x = 1+ 1+ 1+ 1+ 1 +... =Φ 1 Β) Να υπολογιστεί η παράσταση χ= 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 +... Το κλάσμα αυτό λέγεται συνεχές και συνεχίζεται επ άπειρον. (Kelley Ross,1999) 1) απόδειξη με υπολογισμούς στο παράρτημα σελ. 208. 2) Παρατηρούμε ότι ο παρονομαστής είναι επίσης ένα συνεχές κλάσμα γι αυτό ισχύει: 1 x= + x = x+ x 2 1 1 ηλαδή προκύπτει η εξίσωση που δίνει το Φ. Επομένως: 39

1 1+ =Φ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 +... Γ) Γνωρίζοντας ότι Φ 2 =Φ+1 οι δυνάμεις του Φ (Kelley Ross,1999) είναι: 3 2 Φ =Φ +Φ=Φ+ +Φ= Φ+ 1 2 1 4 3 2 Φ =Φ +Φ = Φ+ +Φ+ = Φ+ 2 1 1 3 2 5 4 3 Φ =Φ +Φ = Φ+ + Φ+ = Φ+ 3 2 2 1 5 3 6 5 4 Φ =Φ +Φ = Φ+ + Φ+ = Φ+ 5 3 3 2 8 5 7 6 5 Φ =Φ +Φ = Φ+ + Φ+ = Φ+ 8 5 5 3 13 8 Άρα Φ 8 = = 21Φ+13 Φ 9 = =34Φ+21 Παρατηρούμε δηλαδή ότι οι συντελεστές είναι διαδοχικοί όροι της ακολουθίας Fibonacci. ν ν ι ν 2 Ισχύει γενικά: Φ =Φ +Φ, ν Ν, ν 2. [1] Στη γεωμετρική πρόοδο 1,Φ,Φ 2,Φ 3,Φ 4,..κάθε όρος προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων. Η ιδιότητα αυτή της προόδου να είναι συγχρόνως αριθμητική και γεωμετρική είναι χαρακτηριστική γι αυτές τις σειρές και παίζει σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη των οργανισμών, κυρίως στη βοτανική. 40

)Αν πολ/με με 1 1 έχουμε: 1 = + 2 Φ Φ Όμοια: 1 Ε) Φ+ =2 2 Φ 1 1 1 = + 2 3 Φ Φ Φ 1 1 1 = + Φ Φ Φ 2 3 4 και 1 Φ και τα δύο μέλη της σχέσης 1 Φ= 1+ Φ 1 Φ= Φ 1 1 1 1 = + ν 2 ν 1 ν Και γενικά: Φ Φ Φ, ν Ν, ν 2 [2] 1 1 1 1 1 Φ = + + + +... + +..., για ν + 2 3 4 ν Φ Φ Φ Φ Φ Απόδειξη: Από τις προηγούμενες ιδιότητες έχουμε: 1 Φ= 1+ Φ 1 1 1 1 Φ+ 1 1 2 2 = + + =, επομένως Φ+ =2 2 1 1 Φ Φ Φ = 1 Φ 2 Φ Φ Από τη σχέση Φ 2 =Φ+1 Φ 2 1 -Φ=1 Φ(Φ-1)=1 Φ= Φ 1 Οι ιδιότητες [1], [2] αποδεικνύονται και με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. (Ghyka M.. 1977) 41

3. Γραφικός Προσδιορισμός του Φ Ξέροντας ότι Φ 2 =Φ+1, μπορούμε να προσδιορίσουμε γραφικά τον αριθμό Φ, ως το σημείο τομής των συναρτήσεων F(x)=x+1 και F(x)=x 2 10 10 8 f( x) = x+1 6 g( x) = x 2 8 6 4 4 2 2 0-5 5 0-5 5-2 -2-4 -4 (α) (β) σχήμα 4: α)γραφική παράσταση της F(x)=x+1, β)γραφική παράσταση της F(x)=x 2 Το σημείο Α, του σχήματος 5, με συντεταγμένες (1,618,2,618) είναι το σημείο τομής των δύο γραφικών παραστάσεων, δηλαδή προσδιορίζει γραφικά τον αριθμό Φ 12 10 8 6 4 E 2 A (1.618, 2.618) Ο -5 5 10-2 -4 Σχήμα 5:Γραφική παράσταση των F(x)=x+1 και F(x)=x 2 42

6 4 E 2 A (1.618, 2.61 Ο 5-2 Σχήμα 6 ημιουργία χρυσού ορθογωνίου Στο σχήμα 6 παρατηρούμε ότι το ορθογώνιο ΟΕΑ, που σχηματίζεται από τους άξονες χχ, ψψ και τις ευθείες χ=1,618 και ψ=2,618 είναι ένα χρυσό ορθογώνιο. Πράγματι: οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι Φ, Φ+1 και έχουν λόγο 2 Φ+ 1 Φ = = Φ Φ Φ 4 2 H(0,1 ) A (1.618, 2.618) Ε Ο 1 5-2 Σχήμα 7 ημιουργία χρυσού ορθογωνίου Όμοια το ορθογώνιο ΟΗΕ, του σχήματος 7 που σχηματίζεται από τους άξονες χχ, ψψ και τις ευθείες χ=1,618 και ψ=1 είναι ένα χρυσό ορθογώνιο. Πράγματι: οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι Φ, 1 και έχουν λόγο Φ 43

Σχήμα 8 ημιουργία χρυσού ορθογωνίου Τέλος το ορθογώνιο ΚΜΖ, που σχηματίζεται (σχήμα 8) από τον άξονα χχ και τις ευθείες χ=1, χ=1,618 και ψ=1 είναι επίσης ένα χρυσό ορθογώνιο με διαστάσεις Φ-1 και 1. Πράγματι οι διαστάσεις του ορθογωνίου έχουν λόγο: 1 Φ 1 = Φ 44

4. Η Χρυσή Τομή και οι αριθμοί Fibonacci Θεωρούμε την ακολουθία των αριθμών 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,. που είναι γνωστή ως ακολουθία FIBONACCI και έχει την ιδιότητα: το άθροισμα δύο διαδοχικών όρων της ισούται με τον επόμενο. ίνεται από τον αναδρομικό τύπο α ν = α ν-1 + α ν-2 με α 1 =1, α 2 =1 Ο Kepler το 1608, σε μια επιστολή του προς ένα καθηγητή του στη Λειψία, γράφει για τη σχέση του χρυσού αριθμού με την ακολουθία FIBONACCI: «Από τα δύο κανονικά στερεά, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο,.,δεν μπορούν να σχηματισθούν χωρίς τη θεία αναλογία, όπως την αποκαλούν οι γεωμέτρες σήμερα. Είναι διατεταγμένο έτσι ώστε δύο μικρότεροι όροι από μια διαδοχική σειρά μαζί συγκροτούν μια τρίτη, και οι δύο τελευταίοι, όταν προστεθούν δίνουν τον αμέσως επόμενο όρο και ούτως καθεξής μέχρι το άπειρο, καθώς η αναλογία συνεχίζεται σταθερά., όσο προχωρούμε από τον αριθμό ένα, τόσο πιο τέλειο γίνεται το αποτέλεσμα. Εάν οι μικρότεροι αριθμοί είναι το 1 και 1.. τους προσθέτουμε και το άθροισμα θα είναι το 2, προσθέτουμε σε αυτό τον δεύτερο, που είναι το 1 και παίρνουμε το 3, προσθέτουμε σε αυτό το2 και παίρνουμε το 5, προσθέτουμε το 3 και παίρνουμε το 8, το 5 στο 8 το 13, το 8 στο 13 το 21. Ό,τι είναι το 5 για το 8 είναι το8 για το 13 και ό,τι είναι το 8 στο 13 είναι το 13 στο 21, κατά προσέγγιση». (Livio M. 2002). Ανακάλυψε δηλαδή ότι ο λόγος των διαδοχικών όρων (μεγαλύτερου προς τον μικρότερο) της ακολουθίας προσεγγίζουν τον αριθμό Φ με μεγάλη ακρίβεια καθώς προχωράμε προς τους μεγαλύτερους όρους της αν αν 1 ακολουθίας. ηλαδή = = Φ α α ν 1 ν 2 Πράγματι: 1 / 1 = 1 2 / 1 = 2 3 / 2 = 1,5 5 / 3 = 1,666... 8 / 5 = 1,6 13 / 8 = 1,625 21 / 13 = 1,61538... Στο διάγραμμα του σχήματος 9 παρουσιάζεται η προσέγγιση του Φ. 45

Προσέγγιση Φ 2,5 2 Α(ν)/Α(ν-1) 1,5 1 0,5 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 ν σχήμα 9: Προσέγγιση του αριθμού Φ Η ακολουθία Fibonacci μπορεί ακόμα να ορισθεί και από τον τύπο: ( Huntley H.1970) a ν 1+ 5 ν 1 5 ν ( ) ( ) 2 2 Φ ( Φ ) Φ ( Φ) = = = 5 5 5 ν ν ν ν Ξέρουμε ότι 1 1 Φ= 1+ = 1 Φ Φ Φ άρα ο προηγούμενος τύπος γίνεται: α ν ν ν Φ (1 Φ) = (τύπος του Binet) 5 Μια άλλη ιδιότητα της ακολουθίας είναι ότι για κάθε τρεις διαδοχικούς όρους της α ν, α ν-1, α ν-2 ισχύει: 2 α α. α = 1 ν 1 ν ν 2 Στον πίνακα 1 διαπιστώνεται ο τύπος με τη βοήθεια του Excel 46

2 Πίνακας 1: Απόδειξη της σχέσης α 1 α. α = 1 ν ν ν 2 a n a n-1 a n-2 a 2 n-1 a n. a n-2 a 2 n-1-a n.a n-2 a 2 n-1-a n.a n-2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2-1 1 3 2 1 4 3 1 1 5 3 2 9 10-1 1 8 5 3 25 24 1 1 13 8 5 64 65-1 1 21 13 8 169 168 1 1 34 21 13 441 442-1 1 55 34 21 1156 1155 1 1 89 55 34 3025 3026-1 1 144 89 55 7921 7920 1 1 233 144 89 20736 20737-1 1 377 233 144 54289 54288 1 1 610 377 233 142129 142130-1 1 987 610 377 372100 372099 1 1 1597 987 610 974169 974170-1 1 2584 1597 987 2550409 2550408 1 1 4181 2584 1597 6677056 6677057-1 1 6765 4181 2584 17480761 17480760 1 1 10946 6765 4181 45765225 45765226-1 1 17711 10946 6765 1,2E+08 1,2E+08 1 1 28657 17711 10946 3,14E+08 3,14E+08-1 1 46368 28657 17711 8,21E+08 8,21E+08 1 1 47

Τα κουνέλια και οι μέλισσες του Fibonacci Ο Fibonacci το 1202 μελέτησε το πρόβλημα του ρυθμού αναπαραγωγής των κουνελιών κάτω από ιδανικές συνθήκες, που τον οδήγησε μάλλον τυχαία στον ορισμό της ακολουθίας του. Στο τρίτο μέρος του Liber Abaci (κεφ. XII) εμφανίζεται το εξής πρόβλημα (Livio M, 2002): «Κάποιος έχει ένα ζευγάρι κουνελιών σε μια ορισμένη θέση που περιβάλλεται εξ ολοκλήρου από τοίχο. Επιθυμούμε να ξέρουμε πόσα ζευγάρια θα αναπαραχθούν από αυτό σε ένα έτος, εάν η φύση αυτών των κουνελιών είναι τέτοια ώστε να αναπαράγουν κάθε μήνα ένα άλλο ζευγάρι και να αρχίζουν την αναπαραγωγή στο δεύτερο μήνα μετά από τη γέννησή τους» Υποθέτουμε ότι τα κουνέλια δεν πεθαίνουν ποτέ. σχήμα 10: ιάγραμμα αναπαραγωγής των κουνελιών (πηγή: http://www.mcs.surrey.ac.uk/personal/r.knott/fibonacci/fibrab.gif) 48

Όπως φαίνεται στο σχήμα 10 Στο τέλος του πρώτου μήνα το ζευγάρι ενηλικιώνεται και ζευγαρώνει. Έχουμε μόνο ένα ζευγάρι. Στο τέλος του δεύτερου μήνα το θηλυκό γεννά ένα νέο ζευγάρι, έτσι έχουμε δύο ζευγάρια κουνελιών. Στο τέλος του τρίτου μήνα το αρχικό ζευγάρι γεννά ξανά ένα νέο ζευγάρι κουνελιών, ενώ το δεύτερο ζευγαρώνει και συνεπώς τα ζευγάρια είναι τρία. Στο τέλος του τέταρτου μήνα το αρχικό ζευγάρι γέννησε ακόμα ένα αλλά και το δεύτερο ζευγάρι γέννησε και αυτό ένα ζευγάρι και έτσι έχουμε στον αγρό πέντε ζευγάρια. Στο τέλος του πέμπτου μήνα το αρχικό ζευγάρι γέννησε ακόμα ένα ζευγάρι, το δεύτερο και τρίτο ζευγάρι γέννησαν και αυτά από ένα ζευγάρι και έτσι έχουμε στον αγρό οκτώ ζευγάρια. Επομένως, το πλήθος των ζευγαριών των κουνελιών στην αρχή κάθε μήνα είναι 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ηλαδή κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Και αυτό γιατί στην αρχή κάθε μήνα έχουμε τα ζευγάρια που είχαμε τον προηγούμενο και επιπλέον τόσα νεογέννητα ζευγάρια όσα και τα ενήλικα ζευγάρια γονέων που έχουμε. Αν συμβολίσουμε με Ν κάθε νέο ζευγάρι κουνελιών και με Ε κάθε ενήλικο, στον πίνακα 2 παρουσιάζεται η διαδικασία αναπαραγωγής αυτών: Πίνακας 2: ιαδικασία αναπαραγωγής των κουνελιών: ΜΗΝΕΣ ΖΕΥΓΗ ΚΟΥΝΕΛΙΩΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΟΥ 0,1 0 Ν 0 1 Ε 1 2 Ε-Ν 1-0 3 Ε-Ν-Ε 1-0-1 4 Ε-Ν-Ε-Ε-Ν 1-0-1-1-0 5 Ε-Ν-Ε-Ε-Ν-Ε-Ν-Ε 1-0-1-1-0-1-0-1 6 Ε-Ν-Ε-Ε-Ν-Ε-Ν-Ε-Ε-Ν-Ε-Ε-Ν 1-0-1-1-0-1-0-1-1-0-1-1-0 Αν αντιστοιχίσουμε το Ν με τον αριθμό 0 και το Ε με το 1 στην τρίτη στήλη του πίνακα έχουμε μια ακολουθία των αριθμών 0,1 που 49

ονομάζεται χρυσή σειρά ή ακολουθία των κουνελιών του Fibonacci ή χρυσή ακολουθία (Phi and the Rabbit sequence, http://www.mcs.surrey.ac.uk/personal/r.knott/fibonacci/fibrab.html#ge n2) που συνδέεται με τον χρυσό αριθμό Φ. Πράγματι αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση F(x)=Φ.x, όπου Φ ο χρυσός αριθμός, η γραφική παράσταση της συνάρτησης παρουσιάζεται στο σχήμα 11. 10 8 6 4 2 f( x) = 1,618 x 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 Ο 5 Σχήμα 11: Γραφική παράσταση της συνάρτησης F(x)=Φ.x Στα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τις ευθείες ψ=1, ψ=2, ψ=3 (σχήμα 11) γράφουμε το 1 και στα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τις ευθείες χ=1, χ=2, χ=3,..γράφουμε το 0. Αν διαβάσουμε τους αριθμούς ξεκινώντας από την αρχή των αξόνων έχουμε την χρυσή σειρά 1011010110110.,δηλαδή την ακολουθία των κουνελιών του Fibonacci και πάλι. Το πρόβλημα με τα κουνέλια δεν είναι βέβαια και τόσο ρεαλιστικό. Τα κουνέλια κάποτε πεθαίνουν και δεν υπάρχει κανένας κανόνας που να καθορίζει ότι τα νεογέννητα κουνέλια θα είναι πάντοτε ζευγάρι (αρσενικό θηλυκό), και ότι το θηλυκό θα ζευγαρώνει πάντα με τον δίδυμο αδελφό του και όχι και με οποιοδήποτε άλλο αρσενικό. 50