Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή»
|
|
- Ἔβέρ Πολίτης
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή»
2
3 Η Χρυσή τοµή στην καθηµερινότητά µας Η χρυσή τοµή δεν είναι µόνο ένας µαθηµατικός όρος, αλλά και µια καθηµερινή έκφραση. Τη χρησιµοποιούµε όταν θέλουµε να πούµε ότι η λύση µας σε ένα πρόβληµα ή µια κατάσταση είναι η πιο κατάλληλη, η ιδανικότερη.
4 ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ Θεωρείται ότι δίνει αρµονικές αναλογίες και για το λόγο αυτό έχει χρησιµοποιηθεί στην ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ και τη ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ, τόσο κατά την αρχαία Ελλάδα όσο και κατά την Αναγέννηση. Την χρυσή τοµή εισήγαγε και υπολόγισε ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ( π.χ.) που γεννήθηκε στη ΣΑΜΟ, και ίδρυσε σηµαντικότατη φιλοσοφική σχολή στον Κρότωνα της Μεγάλης Ελλάδας (Κάτω Ιταλία). Η χρυσή τοµή συµβολίζεται µε το γράµµα Φ προς τιµήν του ΦΕΙ ΙΑ, του γνωστότερου ίσως γλύπτη της ελληνικής αρχαιότητας, και του σηµαντικότερου της κλασικής περιόδου.
5 Για να χωρίσουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα µε αναλογίες χρυσής τοµής πρέπει ο λόγος του µεγαλύτερου τµήµατος προς το µικρότερο να είναι ίσος µε το λόγο όλου του τµήµατος προς το µεγαλύτερο. α + β α β Συνεπώς πρέπει:
6 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ακολουθίες (ορισµός): Στα µαθηµατικά, µια ακολουθία είναι µια διατεταγµένη λίστα αντικειµένων. Μια ακολουθία έχει όρους και το πλήθος των όρων της (που µπορεί να είναι και άπειρο) ονοµάζεται µήκος της ακολουθίας. Σε αντίθεση µε τα σύνολα, σε µια ακολουθία έχει σηµασία η διάταξη των αντικειµένων της (πρώτος όρος, δεύτερος, τρίτος και ούτω καθ εξής). Επιπλέον δεν υπάρχει περιορισµός όσον αφορά το πόσες φορές µπορεί να εµφανίζεται ένα αντικείµενο µιας ακολουθίας.
7 ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ Στα Μαθηµατικά, οι Αριθµοί Φιµπονάτσι είναι οι αριθµοί της παρακάτω ακέραιης ακολουθίας: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 Εξ ορισµού, οι πρώτοι δύο αριθµοί Φιµπονάτσι είναι το 0 και το 1, και κάθε επόµενος αριθµός είναι το άθροισµα των δύο προηγούµενων.
8 ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ FIBONACCI Ο Λεονάρντο Πιζάνο γεννήθηκε στην Πίζα το Το όνοµά του προδίδει την καταγωγή του, αφού Φιµπονάτσι σηµαίνει απλά «γιος του Μπονάτσι». Εντούτοις, το όνοµα είναι µάλλον σύγχρονη επινόηση εφόσον δεν υπάρχουν στοιχεία που να αποδεικνύουν ότι στην εποχή του ήταν γνωστός ως Φιµπονάτσι. Στα µαθηµατικά µυήθηκε µέσω της λογιστικής, αφού ο πατέρας του ήταν Ιταλός έµπορος µε διεθνείς εµπορικές συναλλαγές. Πολύ σύντοµα ο Λεονάρντο εκδήλωσε ενδιαφέρον για τα µαθηµατικά. Μέσα από τα επαγγελµατικά ταξίδια του στη Βόρεια Αφρική του δόθηκε η ευκαιρία να διδαχτεί τα αραβικά µαθηµατικά από µουσουλµάνους δασκάλους. Έτσι γνώρισε το ινδοαραβικό σύστηµα αρίθµησης και αντιλήφθηκε αµέσως τα τεράστια πλεονεκτήµατα του. Έγινε ο πιο ένθερµος υπέρµαχός τους στην Ευρώπη όπου επεδίωξε να τα διαδώσει. Σ αυτό οφείλουµε την εισαγωγή τους στον πολιτισµό µας.
9 Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΟΥς ΚΑΡ ΙΑΚΟΥς ΠΑΛΜΟΥς Σε ένα ηλεκτροκαρδιογράφηµα, απεικονίζονται 3 είδη κυµάτων των καρδιακών παλµών : τα κύµατα P, το σύµπλεγµα κυµάτων QRS και τα κύµατα Τ. Έχει παρατηρηθεί, ότι σε ένα ηλεκτροκαρδιογράφηµα ήρεµων καρδιακών παλµών σχηµατίζεται Χρυσή Τοµή, όπως φαίνεται στο σχήµα. Έχει προταθεί ότι, αν υπάρχει σχέση Χρυσής Τοµής σε έναν καρδιακό παλµό στο Τ τµήµα του ηλεκτροκαρδιογραφήµατος, αναπαριστά µία κατάσταση υγείας ειρήνης και αρµονίας.
10
11 Η Ι ΕΑ ΣΥΝ ΕΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΜΟΥΣΙΚΗ Η ιδέα της σύνδεσης των µαθηµατικών και της µουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της µουσικής µε τους αριθµούς. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι µαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της µουσικής και των αριθµών µελετώντας το αρχαίο όργανο µονόχορδο Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι µόνο οι ακριβείς µαθηµατικές σχέσεις έδιναν αρµονικούς ήχους στο µονόχορδο. Για παράδειγµα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη µέση τη χορδή, και όχι περίπου στη µέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθηµα που απορρέει από έναν αρµονικό ήχο. Εύκολα λοιπόν οι Πυθαγόρειοι κατέληξαν στο συµπέρασµα ότι τα µαθηµατικά κυβερνούν τη µουσική ή και ότι, ως ένα βαθµό, η µουσική κυβερνά τα µαθηµατικά.
12 Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΙς ΣΟΝΑΤΕς ΤΟΥ ΜΟΤΣΑΡΤ. Στον καιρό του Μότσαρτ, η µουσική φόρµα της σονάτας εξελίχθηκε σε δύο µέρη: στην Έκθεση και στην Ανάπτυξη και Επανέκθεση. ηλαδή ο Μότσαρτ διαίρεσε τις σονάτες του σύµφωνα µε τη χρυσή αναλογία, µε την Έκθεση ως πιο το σύντοµο τµήµα (x) και την Ανάπτυξη και Επανέκθεση ως το πιο µεγάλο (1-x). Στο πρώτο µέρος της σονάτας αριθ.1 σε Ντο Ματζόρε, παραδείγµατος χάριν, η Έκθεση αποτελείται από 38 µέτρα και η Ανάπτυξη και Επανέκθεση από 62 µέτρα. Η διαίρεση του 38:62 δίνει πηλίκο περίπου 0,613, προσεγγίζοντας το χρυσό αριθµό.
13 Η ΜΕΛΛΙΣΣΑ ΓΝΩΡΙΖΕΙ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ! Γιατί η µέλισσα επιλέγει το κανονικό εξάγωνο και όχι το ισόπλευρο τρίγωνο ή το τετράγωνο για την κατασκευή των κελιών της κερήθρας; Ιδού το ερώτηµα! 1. Είναι το µοναδικό σχήµα µε την µικρότερη περίµετρο ώστε να κλείνει το χώρο. ηλαδή η µέλισσα δαπανά λιγότερο κερί για την κατασκευή των κελιών της. 2.Αν θέλουµε να διαµερίσουµε (να χωρίσουµε σε µικρότερα τµήµατα) ένα δοχείο ώστε να περιέχεται όσο το δυνατό µεγαλύτερος όγκος στα κελιά της διαµέρισης αυτό επιτυγχάνεται µε την επιλογή κανονικών εξαγώνων. Η πλευρά του εξαγώνου (=0,62) σε σχέση µε την πλευρά του ισοδυνάµου τετραγώνου (=1) έχουν σχέση χρυσής τοµής. Πράγµατι ο λόγος 1 / 0,62 = 1,62 όπου 1,62 = φ. Οι πλευρές δηλαδή του των ισοδυνάµων τετραγώνου και εξαγώνου σχηµατίζουν το χρυσό ορθογώνιο στο οποίο ο λόγος των πλευρών ισούται µε 1,62 δηλαδή =φ. Και εύλογα διερωτάται κανείς! Ποιος έβαλε τις συγκεκριµένες γεωµετρικές πληροφορίες στα απειροελάχιστα εγκεφαλικά κύτταρα αυτού του ζουζουνιού;
14 ΦΥΤΑ Τα φυτά δε γνωρίζουν για την ακολουθία Fibonacci, απλά µεγαλώνουν µε τον πιο πρόσφορο και αποδοτικό τρόπο. Όµως η ακολουθία κάνει την εµφάνισή της στη διάταξη των φύλων γύρω από το µίσχο. Εµφανίζεται επίσης στην ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη των πετάλων στις µαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια. Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν αυτή τη σειρά αριθµών στη δοµή της επιφάνειας των κορµών τους, ενώ τα φοινικόδενδρα στους δακτυλίους των κορµών τους.
15 ΤΟ Φ ΚΑΙ Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Ξεκίνησε από τους Αιγυπτίους µε την κατασκευή των πυραµίδων.οι βασικές σχέσεις του φ χρησιµοποιήθηκαν για την κατασκευή ενός ορθογωνίου τριγώνου το οποίο σχηµατίζει τις διαστάσεις των µεγάλων Πυραµίδων της Αιγύπτου. Η υποτείνουσα όπως φαίνεται δίπλα σχηµατίζει µε τη βάση γωνία 51,83 µοιρών, της οποίας το συνηµίτονο είναι το 1/φ ή 0,618.
16 ΤΟ Φ ΚΑΙ Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Οι Αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν τη χρυσή τοµή ως «χωρισµό ενός ευθύγραµµου τµήµατος σε µέσο και άκρο λόγο» και τη χρησιµοποίησαν εκτεταµένα για οµορφιά και ισορροπία στον σχεδιασµό του Παρθενώνα και σε άλλα έργα αρχιτεκτονικής. Χρησιµοποιήθηκε στον σχεδιασµό της Παναγίας των Παρισίων, στο Παρίσι, το οποίο χτίστηκε στο χρονικό διάστηµα µεταξύ 1163 και 1250.
17 Καλλιτέχνες της Αναγέννησης της περιόδου του 1500 και του Leonardo Da Vinci την γνώριζαν ως θεϊκή αναλογία. Στην Ινδία, χρησιµοποιήθηκε στην κατασκευή του Taj Mahal το οποίο ολοκληρώθηκε το Η χρήση της συνεχίζεται και στην µοντέρνα Ο πύργος CN στο Toronto, ο αρχιτεκτονική, ψηλότερος πύργος στον όπως φαίνεται στο κόσµο, περιέχει την χρυσή κτίριο των τοµή στον σχεδιασµό του. Ο Ηνωµένων Εθνών. λόγος της πλατφόρµας παρατήρησης στα 342 µέτρα προς το συνολικό ύψος των 553,33 µέτρων είναι 0,618, το αντίστροφο του φ!
18 Η χρυσή αναλογία, το χρυσό ορθογώνιο και ο αριθµός Φ. Βήµα 1 Βήµα 2 Βήµα 3 Βήµα 4 Βήµα 5
19 Το ελληνικό γράµµα Φείναι το αρχικό του ονόµατος του Φειδία, δηµιουργού των γλυπτών του Παρθενώνα. Η πρόσοψη του Παρθενώνα όπως φαίνεται και από την φωτογραφία δίπλα, µπορεί νοητά να εγγραφεί σε ένα χρυσό ορθογώνιο που σηµαίνει ότι ο λόγος των διαστάσεών του είναι ο αριθµός Φ.
20 Πεντάλφα: σύµβολο των Πυθαγορείων. Απεικόνιση σε αρχαίο τάφο.
21 Γεωµετρικά σχήµατα που συνδέονται µε τη χρυσή τοµή Χρυσά οξυγώνια τρίγωνα
22 Απλές προσεγγιστικές κατασκευές κανονικών πενταγώνων ωδεκάεδρο, Εικοσάεδρο: Ανάµεσα στα πέντε Πλατωνικά ωδεκάεδρο, Εικοσάεδρο: Ανάµεσα στα πέντε Πλατωνικά στερεά, υπάρχουν και δύο που συνδέονται µε το κανονικό πεντάγωνο και την χρυσή τοµή. Είναι το κανονικό δωδεκάεδρο που οι έδρες του είναι κανονικά πεντάγωνα, και το δυϊκό του, το κανονικό εικοσάεδρο που ανά πέντε ισόπλευρα τρίγωνα ενώνονται για να σχηµατίσουν ένα σχεδόν σφαιρικό πολύεδρο
23 Κανονικό δωδεκάεδρο Leonardo da Vinci: Εικοσάεδρο Κανονικό εικοσάεδρο
24 Χρυσές σπείρες : Κατασκευή Η µία βασίζεται σε διαδοχικά χρυσά ορθογώνια που το ένα περιέχει το άλλο και η άλλη σε διαδοχικά χρυσά οξυγώνιατρίγωνα, που και εδώ, το ένα περιέχει το άλλο.
25 Η χρυσή τοµή στη γλυπτική και ζωγραφική
26 Mona Lisa Μελέτη αναλογιών Άγιος Ιερώνυµος Μελέτη αναλογιών σώµατος κατά τον προσώπου γέρου Vitruvious Τον 16ο αιώνα ο Luca Pacioli ( ) γεωµέτρης και φίλος του µεγάλου αναγεννησιακού ζωγράφου Leonardo da Vinci, «ξαναανακάλυψε» την χρυσή τοµή. Το βιβλίο του, όπου µελετούσε τον αριθµό, εικονογραφήθηκε από τον γνωστό καλλιτέχνη
27 Michelangelo ( ) αβίδ Κιονόκρανο Ιωνικού Ρυθµού
28 Η Αγία Οικογένεια Λουόµενοι
29 Σταύρωση Raphael ( )
30 Ο Μυστικός είπνος του Salvador Dali ( ) πλαισιώνεται από ένα χρυσό ορθογώνιο. Χρυσοί λόγοι χρησιµοποιήθηκαν για να καθορίσουν την θέση κάθε φιγούρας ενώ ο θόλος του δωµατίου σχηµατίζεται από τις έδρες κανονικού δωδεκάεδρου που όπως είδαµε είναι ένα από τα στερεά που συνδέεται άµεσα µε την χρυσή τοµή.
31 Η χρυσή τοµή στο ανθρώπινο σώµα και τη φύση Η χρυσή τοµή στο ανθρώπινο σώµα και τη φύση Χρυσές αναλογίες σε φυτά και ζώα Στο σώµα εντόµων, ζώων αλλά και σε πολλά λουλούδια, ιδιαίτερα αυτά µε πέντε πέταλα, µπορούµε να διακρίνουµε λόγους χρυσής τοµής. Στις επόµενες εικόνες φαίνονται κάποια από τα χιλιάδες παραδείγµατα.
32
33 Χρυσές αναλογίες στο ανθρώπινο σώµα Ο αρχιτέκτονας Le Corbusier ( ) κατασκεύασε µια κλίµακα αναλογιών που ονόµασε Le Modulor, η οποία βασίζεται στο ανθρώπινο σώµα. Σύµφωνα µε αυτή, ο οµφαλός διαιρεί το ανθρώπινο σώµα σε λόγο χρυσής τοµής.
34 Προχωρώντας σε λεπτοµερέστερα σηµεία του ανθρωπίνου σώµατος µπορούµε να παρατηρήσουµε και άλλες διαιρέσεις σε χρυσό λόγο. Για παράδειγµα ο καρπός διαιρεί το χέρι από τον αγκώνα και κάτω σε λόγο χρυσής τοµής, ενώ αν παρατηρήσουµε τις φάλαγγες του δείκτη µας, φαίνεται πως καθεµιά βρίσκεται σε χρυσή αναλογία µε την επόµενή της (παρατηρήστε τους αριθµούς Fibonacciστις µετρήσεις).
35 Η χρυσή αναλογία, όπως φαίνεται και στις διπλανές φωτογραφίες, εµφανίζεται στις αναλογίες των δοντιών µας, του αυτιού µας αλλά και σε πολλές άλλες λεπτοµέρειες του προσώπου µας όπως είναι τα χείλη, τα µάτια ή ακόµα και η µύτη. Προσέξετε ιδιαιτέρως την χρυσή σπείρα που εµφανίζεται στο εικονιζόµενο αυτί.
36 Ο πιο άρρητος αριθµός από τους άρρητους! Μία πρώτη διαπίστωση που µπορεί να κάνει ένας µαθητής Γυµνασίου, είναι ότι µπορούµε να προσεγγίσουµε τους άρρητους µε ρητούς αρκετά ικανοποιητικά. Άλλωστε και οι υπολογιστικές µηχανές χρησιµοποιούν µόνο ρητούς, αφού η οθόνη τους περιέχει πεπερασµένα δεκαδικά ψηφία. Υπάρχει όµως ένα θεώρηµα της θεωρίας αριθµών, το θεώρηµα του Hurwitz, που εξηγεί πόσο «καλά» µπορούν οι ρητοί να προσεγγίσουν έναν άρρητο. Και εκεί υπάρχει ένας περιορισµός: η συγκεκριµένη προσέγγιση δεν µπορεί να γίνει καλύτερη για τον αριθµό Φ. Με άλλα λόγια, ο αριθµός Φ προσεγγίζεται κατά τον χειρότερο τρόπο από τους ρητούς, είναι δηλαδή «ο πιο άρρητος από τους άρρητους»!
37 ΤΕΛΟΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΟΥΜΕ ΠΟΛΥ
Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον μαθηματικό ορισμό της αναλογίας χρησιμοποιώντας δύο ευθύγραμμα τμήματα.
Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον μαθηματικό ορισμό της αναλογίας χρησιμοποιώντας δύο ευθύγραμμα τμήματα. Η σκέψη του ήταν πως αν υπάρχει ένα ευθύγραμμο τμήμα και ένα σημείο
Διαβάστε περισσότεραΧρυσή τομή. 3.1 Εισαγωγή
Χρυσή τομή 3.1 Εισαγωγή Ίσως όλοι έχουμε την εντύπωση πως αυτό που λέγεται λόγος χρυσής τομής, είναι μία έμπνευση των αρχαίων Ελλήνων την οποία εκμεταλλεύτηκαν για να κατασκευάσουν κτίσματα ή να δημιουργήσουν
Διαβάστε περισσότεραΥποομάδα 3 Θέμα: Χρυσός Αριθμός Φ- Χρυσή Τομή
Α Γενικό Λύκειο Τοσιτσειο Αρσάκειο Εκάλης Ερευνητική εργασία project :Τα μαθηματικά στην Ακρόπολη Υποομάδα 3 Θέμα: Χρυσός Αριθμός Φ- Χρυσή Τομή Μέλη ομάδας: Χρήστος Παπακωνσταντίνου Βασίλης Πελωριάδης
Διαβάστε περισσότεραΟ χρυσός αριθμός φ. Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών
Ο χρυσός αριθμός φ Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Το πρόβλημα της χρυσής τομής, σε απλή διατύπωση είναι το εξής: Να χωριστεί ένα τμήμα ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΕ Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci»
Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Μάθημα: Άλγεβρα Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Σκοτίδας Τάξη: Β Λυκείου Τμήμα Β2 Ονοματεπώνυμο: Λαμπρινή Μαρίνα Λάππα Σχολικό έτος: 2010 2011 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) Ποιο πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος
Διαβάστε περισσότεραΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ
Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Επιμέλεια: Μιχαηλίσιν Άννα- Μαρία, Τζιώτης Δημήτρης, Τσάτσα Κωνσταντίνα Η συμμετρία στο φυσικό κόσμο Η συμμετρία που κατεξοχήν
Διαβάστε περισσότεραΗ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ
Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ Τα µαθηµατικά και η τέχνη, αν και φαινοµενικά τουλάχιστον, αποτελούν δύο ξεχωριστά πεδία της ανθρώπινης δραστηριότητας, είναι δυνατόν να συνδυαστούν και να δώσουν δηµιουργίες
Διαβάστε περισσότεραProject Α Λυκείου. Ομάδα 3 η Θέμα: Μαθηματικά στην Ακρόπολη Χρυσή τομή- ο αριθμός φ
Project Α Λυκείου Ομάδα 3 η Θέμα: Μαθηματικά στην Ακρόπολη Χρυσή τομή- ο αριθμός φ Πιτόσκας Γιάννης Στεργίου Γιάννης Παπακωνσταντίνου Χρήστος Πελωριάδης Βασίλης ΠΑΡΘΕΝΩΝΑΣ ΚΑΙ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΟΡΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗ
Διαβάστε περισσότεραΥπεύθυνη καθηγήτρια: Χαρίτου Τριανταφυλιά ΠΕ03
Υπεύθυνη καθηγήτρια: Χαρίτου Τριανταφυλιά ΠΕ03 Η ομάδα αποτελείται από τα εξής άτομα : Βασιλική Βαλλιανάτου Κρίστη Κουνάδη Ειρήνη Μαυρογιάννη Ελευθερία Μπαζίγου Κατερίνα Κουρβισιάνου Φιορένια Τουλάτου
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη
ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΟμάδες. 1 η ομάδα: Αρμονικά Κύτταρα Θέμα: Βιολογία Μαθητές: Μπάκου Εύα Μπούρλια Ελένη Πέττα Ελεονώρα Πρεβέντα Βάσω Τσόλη Στέλλα
Ο χρυσός αριθμός Φ Ομάδες 1 η ομάδα: Αρμονικά Κύτταρα Θέμα: Βιολογία Μαθητές: Μπάκου Εύα Μπούρλια Ελένη Πέττα Ελεονώρα Πρεβέντα Βάσω Τσόλη Στέλλα 2 η ομάδα: Μικροί Εξερευνητές Θέμα: Αρχιτεκτονική Μαθητές:
Διαβάστε περισσότεραο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του
Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί
Διαβάστε περισσότεραPROJECT Β ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ ΘΕΜΑ:ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ ΥΠΟΘΕΜΑ:ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ
2 ο ΓΕΛ ΡΕΘΥΜΝΟΥ Σχ. Έτος 2011-12 PROJECT Β ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ ΤΑΞΗ Α' ΘΕΜΑ:ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ ΥΠΟΘΕΜΑ:ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ ΜΑΘΗΤΕΣ:ΚΩΣΤΗΣ ΚΑΛΑΙΤΖΙΔΑΚΗΣ ΣΤΑΜΑΤΗΣ ΜΠΡΙΛΛΑΚΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΑΟΥΔΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΦύση και Μαθηματικά. Η χρυσή τομή φ
Η χρυσή τομή φ Ερευνητική Εργασία (Project) Α' Λυκείου 1ο Γενικό Λύκειο Ξάνθης 2011 2012 Συντονιστές Εκπαιδευτικοί Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Βασιλική Κώττη Συμμετέχοντες Μαθητές Αναστασιάδης Κωνσταντίνος
Διαβάστε περισσότεραΠως η φύση παίρνει μορφή με χρυσές αναλογίες.
3 ο ΓΕΛ ΧΑΛΑΝΔΡΙΟΥ Πως η φύση παίρνει μορφή με χρυσές αναλογίες. Ομαδα1 Νικολόπουλος Βασίλης Παχής Θοδωρής Τσιάμης Θάνος Φλέγκας Κωνσταντίνος Ομαδα2 Μαγουλά Ολίνα Μακρή Άννα Πάλλη Ευσταρτία Ντίας Στέφανος
Διαβάστε περισσότεραΗ χρυσή τομή και ο χρυσός αριθμός φ
Η χρυσή τομή και ο χρυσός αριθμός φ Ο Johannes Kepler είχε πει ότι η γεωμετρία έχει δύο θησαυρούς: το Πυθαγόρειο Θεώρημα και τη Χρυσή Τομή. Το πρώτο μπορεί να συγκριθεί με μια ποσότητα χρυσού και το δεύτερο
Διαβάστε περισσότεραΤρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος
Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν
Διαβάστε περισσότεραΜουσική και Μαθηματικά!!!
Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Β Κεφάλαιο 4ο Γεωμετρικά Στερεά Χρύσα Παπαγεωργίου Μαθηματικός - Πληροφορικός Το ορθό πρίσμα και τα στοιχεία του Κάθε ορθό πρίσμα έχει: Δύο έδρες παράλληλες, που είναι ίσα
Διαβάστε περισσότεραΜΟΥΣΙΚΗ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΥΣΙΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACCI
ΜΟΥΣΙΚΗ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΥΣΙΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΒΑΣΙΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACCI Θωμάς Μπουλούσης & Χρήστος Παπαχρήστου Επιβλέπουσα καθηγήτρια: Χατσοπούλου Παναγιώτα 1 ο Γυμνάσιο Πεύκων Θεσσαλονίκης ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο
Διαβάστε περισσότερα1 Dodecaeder 3 7 5 11 9. 2 12 4 10 6. 8 Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Dodecaeder Copyright 1998-2005 Gijs Korthals
Διαβάστε περισσότεραΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ
Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ
ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του
Διαβάστε περισσότεραΚανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος
Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα στη φύση, τέχνη, ανθρώπινες κατασκευές, Μαθηματικά Κανονικά πολύγωνα στη φύση Η κηρήθρα είναι ένα φυσικό θαύμα αρχιτεκτονικής Οι μέλισσες έχουν
Διαβάστε περισσότεραΒ. ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗΣ ΕΚΦΡΑΣΗΣ 3. ΚΛΙΜΑΚΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
Β. ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗΣ ΕΚΦΡΑΣΗΣ 3. ΚΛΙΜΑΚΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Η κλίμακα και οι αναλογίες έχουν άμεση σχέση με το μέγεθος των αντικειμένων που περιγράφουν. Φυσικά το μεγάλο και το μικρό μέγεθος είναι σχετικοί
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ
ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην
Διαβάστε περισσότεραΘέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + 2). Την εποχή της Στερεομετρίας.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Παράρτημα Κέρκυρας Χαράλαμπος Δημητριάδης Μαθηματικός Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + ). Την εποχή της Στερεομετρίας. Μέγιστο γινόμενο,
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήµατος ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρηµα έχουν δοθεί
Διαβάστε περισσότεραεγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58].
εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. Η συνεισφορά του Kepler στα Αρχιµήδεια ήταν µεγάλη, γιατί αυτός απέδειξε
Διαβάστε περισσότεραραστηριότητες στο Επίπεδο 1.
ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε
Διαβάστε περισσότεραΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ
Κατασκευή µαθηµατικών fractals ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ 1. Η καµπύλη του Koch H καµπύλη του Κoch ή Νησί του Koch ή χιονονιφάδα του Koch περιγράφηκε για πρώτη φορά από το Σουηδό µαθηµατικό Helge
Διαβάστε περισσότεραΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΦΑΙΔΡΑ ΚΟΥΡΒΙΣΙΑΝΟΥ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΤΣΑΝΤΩΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΑΣΙΜΑΤΗΣ Ερευνητικά Ερωτήματα Ποιοι είναι ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΝα υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
Διαβάστε περισσότεραΛουλούδια και Αριθμοί. ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΣΤΡΟΒΟΛΟΥ Εργασία της Σοφίας Ευαγγέλου A 3 Καθηγήτρια : Ελένη Μελαχροινού
Λουλούδια και Αριθμοί ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΣΤΡΟΒΟΛΟΥ Εργασία της Σοφίας Ευαγγέλου A 3 Καθηγήτρια : Ελένη Μελαχροινού Τελικά, μάλλον τα φυτά ξέρουν καλά μαθηματικά και όπως φαίνεται η Φύση ολόκληρη
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί 26 Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών 27 Η αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΒ Γυμνασίου, Μέρο Α, Κεφάλαιο 2, Πραγματικοί αριθμοί
Β Γυμνασίου, Μέρο Α, Κεφάλαιο, Πραγματικοί αριθμοί v 1.1 8 Περιοδική Έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου Μαθηματικά B Γυμνασίου Μέρο Α - Κεφάλαιο, Α..1 Τετραγωνική ρίζα ενό θετικού αριθμού α, λέγεται ο
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κατασκευή: Το μονόχορδο του Πυθαγόρα 2005-2006 Τόλιας Γιάννης Α1 Λ Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Α. Τσαγκογέωργα Περιεχόμενα: Τίτλος Εργασίας Σκοπός Υπόθεση (Περιγραφή Κατασκευής) Ορισμός Μεταβλητών
Διαβάστε περισσότερα2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.
11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις επί των ρητών αριθµών
Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας
Διαβάστε περισσότεραΠΩΣ ΕΠΗΡΕΑΣΑΝ ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΝ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ
ΠΩΣ ΕΠΗΡΕΑΣΑΝ ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΝ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ Η ΟΜΑΔΑ μας ανέλαβε το θέμα της σχέσης των Μαθηματικών με τη ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ!!! ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ-ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΟΥΛΑ ΕΙΡΗΝΗ, ΡΑΛΛΙΟΥ ΕΥΑΝΘΙΑ, ΤΣΙΜΗΤΡΑ ΑΓΓΕΛΙΚΗ. ΙΣΤΟΡΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΙδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις /
Ιδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις / Οι παρακάτω πίνακες καλύπτουν το μεγαλύτερο μέρος της ύλης του αναλυτικού προγράμματος σπουδών της Γεωμετρίας.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραΟ Βιτρούβιος Άντρας του Λεονάρντο Ντα Βίντσι
Ο Βιτρούβιος Άντρας του Λεονάρντο Ντα Βίντσι Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου είναι ένα διάσημο σχέδιο με συνοδευτικές σημειώσεις του Λεονάρντο Ντα Βίντσι, που φτιάχτηκε περίπου το 1490 σε ένα από τα ημερολόγιά
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»
ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ». 1. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι : 5,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία
Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους
Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, --3 Μ. Παπαδημητράκης. Τώρα θα δούμε μια ακόμη εφαρμογή του Κριτηρίου του Ολοκληρώματος. Παράδειγμα. Γνωρίζουμε ότι η αρμονική σειρά αποκλίνει στο +, το οποίο φυσικά σημαίνει
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)
Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατέρα: e-mail: ιεύθυνση: Τηλέφωνο: Εξεταστικό Κέντρο: Σχολείο προέλευσης: Τάξη: Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για µαθητές της ' και ' τάξης
Διαβάστε περισσότερα11 Το ολοκλήρωµα Riemann
Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την
Διαβάστε περισσότεραΗ γεωμετρία της ζωής. Ερευνητική εργασία Α Λυκείου 2ου ΓΕΛ ΚΑΒΑΛΑΣ
Η γεωμετρία της ζωής Ερευνητική εργασία Α Λυκείου 2ου ΓΕΛ ΚΑΒΑΛΑΣ Τι μελετά η γεωμετρία ; Γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές σχέσεις, δηλαδή με τη σύνθεση του χώρου που
Διαβάστε περισσότερα1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία
1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Η δική µας Εικασία Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν να διχοτοµούν µια τυχαία γωνία µε χρήση κανόνα και διαβήτη, και, κατά συνέπεια, µπορούσαν να διαιρέσουν
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
Διαβάστε περισσότεραΕ Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.
Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Γεωμετρικές έννοιες
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
1 1.4 ΠΥΘΑΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πυθαγόρειο θεώρηµα : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών. γ α α = β + γ β. Αντίστροφο Πυθαγορείου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά
Διαβάστε περισσότεραΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ
Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται
Διαβάστε περισσότερα2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ
1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας
Διαβάστε περισσότεραΣπουδαίοι μαθηματικοί ανά τους αιώνες
Σπουδαίοι μαθηματικοί ανά τους αιώνες ΑΡΧΑΙΟΙ ΧΡΟΝΟΙ Πυθαγόρας (580-500π.Χ) Ευκλείδης (350-270π.Χ) Αρχιμήδης (287-212π.Χ) Διοκλής (240-180π.Χ) ΠΡΩΤΟΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Ήρων (1 Ος αιώνας μ.χ) Υπατία (370-416
Διαβάστε περισσότεραΓεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις
Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση
Διαβάστε περισσότεραMAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος
B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πέτρος Μάρκος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις σε όλα
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Γυμνασίου
Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου Ασκήσεις. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις στις σειρές
. ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά
Διαβάστε περισσότερα1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.
Διαβάστε περισσότερα(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε)
9. Τα τρίγωνα και έχουν κοινή γωνία, άρα: () () A E AB A E A (1) Όµοια τα τρίγωνα και, άρα: () () A E AB A A () E Όµως από το θεώρηµα του Θαλή: A A () ( // ) () () πό (1), (), () έχουµε. () () Άρα () ()
Διαβάστε περισσότεραΠρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού
Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότερα3, ( 4), ( 3),( 2), 2017
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και
Διαβάστε περισσότεραΑ ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;
Διαβάστε περισσότερατέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή
Η ιδέα, ότι όλα τα υλικά πράγµατα συντίθενται από αυτά τα τέσσερα πρωταρχικά στοιχεία, αποδίδεται στον προγενέστερό Εµπεδοκλή, Έλληνα φιλόσοφο, ποιητή και πολιτικό [493-433 π.χ.] που γεννήθηκε στον Ακράγαντα
Διαβάστε περισσότεραα) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της.
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να σχηµατίσετε τις γεωµετρικές προόδους µε: α) α 1 = 5 και λ = 3 2 1 β) α 1 = και λ = 3 1 γ) α 1 = - 20 και λ = 2 2. * Ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στους αριθµούς 2, 16,
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ. Γεωμετρικά σχήματα - Η περίμετρος. Ενότητα 8. β τεύχος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ 46 Γεωμετρικά σχήματα - Η περίμετρος Ενότητα 8 β τεύχος Γεωμετρικά σχήματα-η περίμετρος 46 1η Άσκηση Να κυκλώσεις όλα τα κανονικά πολύγωνα: 60 ο 108 ο 108 ο 120
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία
Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΚύκλος Ερευνητικής Εργασίας: «Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Τεχνολογία»
3ο Γενικό Λύκειο Λάρισας Κύκλος Ερευνητικής Εργασίας: «Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Τεχνολογία» Θέµα Ερευνητικής Εργασίας: ιερεύνηση των εξισώσεων και ανισώσεων µέσα από την επίλυση καθηµερινών προβληµάτων.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ Κεφάλαιο 2: Αναλογίες - Ομοιότητα Κεφάλαιο 3: Πυθαγόρειο Θεώρημα (και μετρικές σχέσεις) Κεφάλαιο 4: Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη Γεωμετρία της Β Λυκείου παρουσιάζονται θεωρήματα και προβλήματα που έχουν μεγάλη ιστορική και μαθηματική αξία. Αξιοποιείται η αναλυτικήσυνθετική μέθοδος και επιχειρείται μία πρώτη επαφή με
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας
Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε
Διαβάστε περισσότεραΕίδη τριγώνων ως προς τις πλευρές
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ 41 Είδη τριγώνων ως προς τις πλευρές Ενότητα 5 β τεύχος Είδη τριγώνων ως προς τις πλευρές 41 1η Άσκηση Να αντιστοιχίσεις: Το σκαληνό τρίγωνο έχει Το ισοσκελές τρίγωνο
Διαβάστε περισσότεραΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β Λυκείου Αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, Οµοιότητα τριγώνων, Εµβαδόν Τετραγώνου. Εµβαδόν Τριγώνου Βασικές γνώσεις Ευκλείδειας Γεωµετρίας Α
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10
ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09
Διαβάστε περισσότερα1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ
1 1. ΛΟΟΣ ΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ ΘΩΡΙ 1. Παραλληλία και ισότητα ν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα σε µία ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία
Διαβάστε περισσότερα