Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Transcript

1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να μελετώνται τα παραδείγματα και οι λυμένες ασκήσεις των υποδείξεων και παραπομπών στα συγγράμματα και στο βοηθητικό υλικό Οι ασκήσεις της τέταρτης εργασίας αναφέρονται στα: Ενότητα 5 (Παράγωγος) Ενότητα 6 (Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού) Ενότητα 7 (Ακρότατα) Ενότητα 8 (Το ανάπτυγμα Taylor) του συγγράμματος του ΕΑΠ «Λογισμός Μιας Μεταβλητής» του Γ Δάσιου Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ως εξής: Συνοδευτικό Εκπαιδευτικό Υλικό : Λογισμός Παράγωγοι, Βασικά Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού, Σειρές Taylor Στόχοι: Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η κατανόηση της έννοιας της παραγώγου και των εφαρμογών της στον υπολογισμό ορίων, εύρεσης ακρότατων και μελέτης συνάρτησης Επίσης σκοπός είναι η κατανόηση ανάπτυξης και εφαρμογής της πολυωνυμικής προσέγγισης μέσω των σειρών Taylor ΠΛΗ ΕΡΓ_4 - ΛΥΣΕΙΣ /

2 Άσκηση (5 μονάδες) α) (Μον ) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο a b, εάν 4 f( ) 9, εάν 4 Να προσδιορισθούν τα a, b ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη για κάθε β) (Μον 9) Να βρείτε, όπου ορίζεται, την πρώτη παράγωγο των συναρτήσεων i) g 5 ii) l h ( ) m γ) (Μον 6) Να υπολογίσετε την δεύτερη παράγωγο l () της συνάρτησης l cos όπου m, μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί και στην συνέχεια τις τιμές l (), l (), l (π), l (π) Λύση α) Για όλα τα με 4 η f είναι παραγωγίσιμη Αναγκαία συνθήκη ώστε η συνάρτηση f να είναι παραγωγίσιμη στο 4 είναι να είναι συνεχής στο σημείο αυτό Συνεπώς θα πρέπει: iii) k l Όμως lim f ( ) lim f ( ) f (4) () 4 4 lim f ( ) lim( a b) 6 4 a b f (4) 4 4 lim f ( ) lim( 9) Επομένως η συνθήκη () ισχύει αν και μόνο αν 6 4a b 5 4a b () f ( ) f (4) Για την παραγωγισιμότητα στο 4 αρκεί να υπάρχει το όριο lim 4 4 f ( ) f (4) f ( ) f (4) τα lim και lim στο και να είναι ίσα: f ( ) f (4) f ( ) f (4) lim = lim στο, δηλαδή αρκεί να υπάρχουν () Έχουμε ότι και 4 f ( ) f (4) 9 (6 4 a b) ab 9 5 lim lim lim ( 9 5)( 9 5) 9 5 lim lim 4 4 ( 4)( 9 5) ( 4)( 9 5) ( 4)( 4) lim lim 4 4 ( 4)( 9 5) lim f ( ) f (4) a b (6 4 a b) lim ( a b) a 4 a ( 4)( 4) a( 4) lim lim ( 4)( 4 a) lim lim( 4 a) 8 a ΠΛΗ ΕΡΓ_4 - ΛΥΣΕΙΣ /

3 4 Η () ισχύει αν και μόνο αν 8 a δηλαδή 5 6 a και μετά από αντικατάσταση του α στην () 5 89 προκύπτει b Εικόνα Γραφική παράσταση της f στο [,] β) i) Ο αριθμητής είναι πολυωνυμική συνάρτηση ορίζεται και είναι παραγωγίσιμη παντού στο Η συνάρτηση στον παρονομαστή ορίζεται και είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) όμως μηδενίζεται στο άρα η g ορίζεται στο (, + ) \ {} και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό με 5 5 l 5 l l l 5 ( ) g l l l (ii) Η h είναι ορισμένη στο και είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο αυτό ως σύνθεση παραγωγίσιμων στο συναρτήσεων με παράγωγο h ( ) ( )( ) (iii) Η συνάρτηση k ορίζεται όταν και και, δηλαδή που ισχύει αν και μόνο αν (, ) (, ) Στο σύνολο αυτό η συνάρτηση γράφεται: ( ) l l l( ) l( ) k είναι παραγωγίσιμη ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ( ) ( ) k ( ) 4 4 ( )( ) ( ) m m m γ) l ( )cos (cos ) m m m m cos ( si ) m cos si Ειδικότερα, για m=: l ()= cos( ) si( ) m m m m l [ m cos si ] m( cos ) ( si ) = m (m-) m- cos( ) - m m- si( ) - m cos( ) Ειδικότερα, για m=: l () = si( ) cos( ) και για m=: l () = cos( ) 4 si( ) - cos( ) Από τα παραπάνω έχουμε: l ()= αν m >, ενώ αν m =, l ()= cos() =, l ()= αν m >, ενώ αν m =, l ()=, και αν m =, l ()= m m m cos ( ) m l (π) l (π)= m (m)π m- cos(π) π m cos(π)= ( ) [m (m)π m- π m ] ΠΛΗ ΕΡΓ_4 - ΛΥΣΕΙΣ /

4 Άσκηση (5 μονάδες) α (Μον 7) Με χρήση του θεωρήματος μέσης τιμής να αποδείξετε ότι ισχύει si cos, για κάθε, β (Μον 8) Θεωρούμε την συνάρτηση f ( ) i) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας Τ που εφάπτεται στο γράφημα της f (σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οy) στο σημείο ( t, f ( t )) όπου t> ii) Στη συνέχεια, να δείξετε ότι η ευθεία Τ τέμνει τον άξονα των σε μοναδικό σημείο με γνήσια θετική τετμημένη Την τετμημένη αυτή να την ονομάσετε g(t) και να καθορίσετε τον τύπο της iii) Να δείξετε ότι ορίζεται ακολουθία θετικών αριθμών με δεδομένο > και τον αναδρομικό τύπο g( ), =,,, Δείξτε ότι η ακολουθία αυτή είναι κάτω φραγμένη από το, φθίνουσα και βρείτε το όριό της Υπόδειξη: Η εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας στο γράφημα της y στο σημείο f ( ) (, f ( )) είναι y f ( ) f ( )( ) Δηλαδή η εφαπτομένη ευθεία έχει συντελεστή διεύθυνσης f ( ) (κλίση) f ( ) y f ( ) y f ( ) f ( )( ) Λύση α) Για /, η αποδεικτέα γράφεται si cos f ( a) si a, a,, δηλαδή << που ισχύει Για, / θεωρούμε τη συνάρτηση που είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο f ( ) f () Συνεπώς από το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει (, ) έτσι ώστε f ( ), δηλαδή si si cos το οποίο γράφεται cos Όμως, επειδή, δηλαδή έχουμε ότι cos cos( ) cos( ) cos, καθώς η συνάρτηση cos είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, Από την τελευταία σχέση με αντικατάσταση του si ζητούμενη διπλή ανισότητα: cos και για, / cos με ΠΛΗ ΕΡΓ_4 - ΛΥΣΕΙΣ 4/ si, προκύπτει η β) i) Καθώς f ( ) η εξίσωση της ευθείας Τ είναι y ( t ) t( t) ii) Για το σημείο τομής με τον άξονα των έχουμε (,y)=( g(t),) και από την εξίσωση της ευθείας έχουμε (t t )= t (g(t) t) και, λύνοντας ως προς g(t), βρίσκουμε gt () t iii) Ο αναδρομικός τύπος της ακολουθίας είναι g( ) =, με > Πρώτα θα αποδείξουμε ότι > /, για κάθε =,,, με μαθηματική επαγωγή: η σχέση ισχύει για = καθώς => / Υποθέτουμε ότι για =κ ισχύει (υπόθεση επαγωγής) και θα δείξουμε ότι ισχύει για =κ+ Πράγματι ισχύουν οι ισοδυναμίες: καθώς κ > / > Η τελευταία σχέση ισοδυναμεί με δηλαδή ( ) που ισχύει λόγω της υπόθεσης επαγωγής

5 Αρα η ακολουθία έχει κάτω φράγμα το / Θα δείξουμε ότι είναι φθίνουσα: πράγματι, καθώς ο παρονομαστής είναι θετικός και, για τον αριθμητή, αφού αποδείξαμε πριν ότι > /, καθώς τα μέλη είναι θετικά, υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε: > Αρα > + για κάθε φυσικό Συνεπώς, η ακολουθία ως φθίνουσα και κάτω φραγμένη (άρα και φραγμένη) είναι συγκλίνουσα στο Εστω το όριό της που βρίσκεται στο διάστημα [ /, ] λόγω των φραγμάτων (προφανές άνω φράγμα ο πρώτος όρος) Από τον αναδρομικό τύπο και αφού κάθε υπακολουθία της τείνει στο ίδιο με αυτή όριο, για το όριο έχουμε την εξίσωση: και αφού διάφορο του μηδενός που έχει λύσεις Τελικά καθώς η αρνητική ρίζα απορρίπτεται επειδή > Άσκηση ( μονάδες) α) (Μον 6) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : i) lim, ii) l( b) lim, a, b>, iii) lim a β) (Μον 4) Εφόσον υπολογίσετε το όριο lim Λύση α) i) Έχουμε ότι όπου η Συνεπώς l l, iv) lim si cos, να δείξετε ότι lim lim lim e ορίζεται για (, ) (, ) Αλλά l l l lim l lim lim lim lim lim lim lim 4 lim l lim lim e e 7896 ii) l( b) l( b) a a a a lim lim lim lim a a iii) Έχουμε ότι ΠΛΗ ΕΡΓ_4 - ΛΥΣΕΙΣ 5/

6 iv) Έχουμε και επειδή l l l l lim lim lim lim l lim lim lim si si lim lim θα έχουμε ότι si lim Παρόμοια μπορούμε να δείξουμε ότι cos lim Το όριο υπολογίζεται (μετά από παραγοντοποίηση αριθμητή και παρονομαστή) ως εξής : si si lim lim cos cos Στο ερώτημα αυτό δεν μπορεί να εφαρμοσθεί άμεσα ο κανόνας de l Hospital Για να εφαρμοστεί ο κανόνας de l Hospital θα πρέπει να υπάρχει το όριο si lim lim cos cos si το οποίο όμως δεν υπάρχει Για να το δείξουμε μπορούμε να πάρουμε τις ακολουθίες και y και να υπολογίσουμε το όριο cos cos lim lim si si cos cos y lim lim si y si cos Επειδή τα παραπάνω όρια είναι διαφορετικά όρια, άρα δεν υπάρχει το όριο lim και συνεπώς δεν si μπορεί να εφαρμοσθεί ο κανόνας D Hospital β) Έχουμε ότι l( ) και ( ) e l lim lim e ΠΛΗ ΕΡΓ_4 - ΛΥΣΕΙΣ 6/ Συνεπώς αρκεί να βρούμε το όριο της l( ) lim Με τη βοήθεια του κανόνα L Hospital έχουμε ότι

7 Άρα Συνεπώς, lim l lim e e l l lim lim lim lim lim lim lim l lim lim e e (βλ παρόμοια άσκηση στο βιβλίο σ 4) Άσκηση 4 (5 μονάδες) α) (Μον5) Δίνεται η συνάρτηση f( ), με, Να προσδιορίσετε: i) Τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της στα οποία είναι α) αύξουσα, β) φθίνουσα ii) Τα τοπικά ακρότατά αυτής (μέγιστα και ελάχιστα) iii) Τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της στα οποία α) στρέφει τα κοίλα άνω, β) στρέφει τα κοίλα κάτω iv) Τα σημεία καμπής v) Τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οy vi) Τις ασύμπτωτες της f vii) Συνοψίστε σε έναν πίνακα τα παραπάνω στοιχεία και δώστε μία γραφική παράσταση της συνάρτησης β) (Μον) Σε ορθοκανονικό σύστημα Οy θεωρούμε σημείο Α στο πρώτο τεταρτημόριο του μοναδιαίου κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και τις προβολές αυτού Β Γ Α και Γ στους άξονες των, y αντίστοιχα Να βρεθεί η θέση του Α ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΟΓ να είναι μέγιστο Υπόδειξη: Για τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου ισχύει ΟΒ +ΟΓ = (Πυθαγόρειο Θεώρημα) 5 Ο Β 5 Λύση α) i) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με παρονομαστή μη μηδενιζόμενο και f 4 Αρα έχουμε: f( ) αν και f( ) αν Επομένως, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, και γνησίως αύξουσα στο διάστημα, ii) Εφόσον η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, έχουμε τοπικό αλλά και ολικό ελάχιστο την τιμή στο = και γνησίως αύξουσα στο διάστημα ΠΛΗ ΕΡΓ_4 - ΛΥΣΕΙΣ 7/,,

8 Αν δεν είχαμε την πληροφορία για το πρόσημο της πρώτης παραγώγου θα εργαζόμαστε ως εξής: Πιθανό τοπικό ακρότατο έχουμε όταν η πρώτη παράγωγος της f μηδενίζεται : f( ) Έχουμε επίσης ότι 4 f 4 6 4, f 4 άρα στο σημείο, Για (iii) Εξετάζουμε το πρόσημο της δευτέρας παραγώγου: f έχουμε τοπικό ελάχιστο f 4 4 Ο παρονομαστής είναι πάντα θετικός, ενώ για τον αριθμητή έχουμε την παραγοντοποίηση : από την οποία φτιάχνοντας τον παρακάτω πίνακα προσήμων των παραγόντων / / + πρόσημο + + πρόσημο + + Πρόσημο f + Στροφή κοίλων της f συμπεραίνουμε το πρόσημο της f και τελικά ότι: η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στα διαστήματα (, και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο διάστημα (, ) όπου f > ), ( iv) Από τον παραπάνω πίνακα αλλαγής της στροφής των κοίλων της f έχουμε ότι τα σημεία, f,, f είναι τα μόνα σημεία καμπής της f, + ) όπου f < (v) Η συνάρτηση τέμνει τον άξονα των στα σημεία όπου στα σημεία,,, και επειδή f y f τέμνει τον άξονα των y στο σημείο (, ) vi) Η συνάρτηση δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτο αφού για κάθε a είναι lim f ( ) f ( a) Έχει όμως οριζόντια ασύμπτωτο την y αφού, a και lim f( ) lim lim lim δηλαδή ΠΛΗ ΕΡΓ_4 - ΛΥΣΕΙΣ 8/

9 lim f( ) lim lim lim vii) Τα παραπάνω συνοψίζονται στον επόμενο πίνακα : f f f σκ τε σκ Μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι f f άρτια και άρα το γράφημα της είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα y y και συνεπώς η συνάρτηση είναι Από την παραπάνω μελέτη προκύπτει η ακόλουθη μορφή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f (συνεχής γραμμή) και της οριζόντια ασύμπτωτης y σ αυτή (διακεκομμένη γραμμή) : 4 4 Εικόνα Γραφική παράσταση της f (συνεχής γραμμή) και της οριζόντια ασύμπτωτης σ αυτή (διακεκομμένη γραμμή) β) Το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΟΓ ισούται προς y και, καθώς + y = με, y μη αρνητικά, παίρνει την μορφή Εχουμε λοιπόν να μεγιστοποιήσουμε την συνάρτηση g ( )( ) στο διάστημα [, ] Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο της g : g στο διάστημα (,) Καθώς ο παρονομαστής έχει θετικό πρόσημο, το πρόσημό της είναι το πρόσημο του αριθμητή που είναι θετικό στο διάστημα (, / ) και αρνητικό στο διάστημα ( /, ) Άρα η συνάρτηση έχει ολικό μέγιστο στο σημείο / την τιμή g( / /)=/ Δηλαδή το ορθογώνιο έχει μέγιστο εμβαδόν όταν γίνεται τετράγωνο / πρόσημο + πρόσημο Πρόσημο g ΠΛΗ ΕΡΓ_4 - ΛΥΣΕΙΣ 9/

10 Άσκηση 5 (5 μονάδες) α) (Μον 6) Δίνεται η συνάρτηση f()= Να δείξετε ότι η -οστής τάξης παράγωγός της είναι ( ) ( k ) ( k )! f ( ), k k ( ) β) (Μον 6) Nα υπολογίσετε το ανάπτυγμα Maclauri της f καθώς και τις τιμές του για τις οποίες υπάρχει απόλυτη σύγκλιση γ) (Μον ) Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο αποτέλεσμα, να υπολογιστεί το άθροισμα της σειράς Λύση α) Παρατηρούμε ότι για k = ισχύει, εφ όσον είναι γνωστό ότι f f f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Υποθέτουμε ότι ισχύει για k =, δηλ ( ) ( )! f ( ), ( ) Δείχνουμε ότι ισχύει για k = + : ( ) ( ) ( )! [( ) ] f ( ) f ( ) ( )! ( )! ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )! ( )! 4 ( ) ( ) β) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ( k) ( ) f () k f ( ) ( ) k ( ) f () ( )! για κάθε οπότε ( )! ( )! ( ) ( ) ( )!! Η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι f f f f, ( ) (), ()!, ()!,, () ( )! και τελικά ( ) f () ( )! lim lim lim, R!! δηλ συγκλίνει για κάθε (, ) Το παραπάνω όριο το είδαμε και στην άσκηση β γ) Από το προηγούμενο ερώτημα και το γεγονός έχουμε f ( ) ( ) ( ) Για = /, έχουμε Όμως, 9 f ΠΛΗ ΕΡΓ_4 - ΛΥΣΕΙΣ /

11 Για τον προγραμματισμό της μελέτης σας υπάρχει το Χρονοδιάγραμμα Μελέτης το οποίο περιέχεται στον Οδηγό Σπουδών της ΘΕ Ο ακόλουθος πίνακας δεν έχει σκοπό να υποκαταστήσει το Χρονοδιάγραμμα Μελέτης, αλλά να υποδείξει ορισμένα σημεία του διδακτικού υλικού τα οποία σχετίζονται αμέσως με τις ασκήσεις της 4 ης ΓΕ Άσκηση Θεωρία Συναφείς Ασκήσεις Άλλες Ασκήσεις Η άσκηση αναφέρεται στην έννοια της παραγώγου και σε εφαρμογή των κανόνων παραγώγισηςη αντίστοιχη θεωρία είναι: Ενότητα 5 του βιβλίου (Παράγωγοι) και ειδικότερα οι,, ΣΕΥ: Λογισμός Παράγωγοι (Κεφ6) Εργασία 4,-,Ασκ(ι,ιι) Εργασία 4,9-,Ασκ(ι,ιι) Εργασία 4,8-9,Ασκ(ι,ιι) Εργασία 4,7-8 Ασκ Εργασία 4,6-7 Ασκβ Ασκ4α Εργασία 4, -, Άσκ ΣΕΥ Ασκήσεις του αρχείου: Παράγωγοι (Κεφ6) Εργασία 4,7-8 Ασκ Ασκ αυτοαξιολόγησης της ενότητας 5 του βιβλίου Για το α ερώτημα εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής για την απόδειξη ανισώσεων Στο ερώτημα β τίθεται το θέμα του προσεγγιστικού υπολογισμού ριζών μέσω επαναληπτικής μεθόδου Η σχετική θεωρία είναι: Ενότητα 6 του βιβλίου (Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού) και ειδικότερα η 6 και η 6 Η άσκηση αναφέρεται σε εφαρμογή της παραγώγου στον υπολογισμό ορίων Η αντίστοιχη θεωρία βρίσκεται στην 6 του βιβλίου και στην 78 του αρχείου «Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού» στο ΣΕΥ 4 Το α ερώτημα αφορά την μελέτη συνάρτησης (Διαστήματα μονοτονίας, τοπικά και ολικά ελάχιστα-μέγιστα, σημεία καμπής, κυρτότητα καμπύλης, ασύμπτωτες) Ενότητα 7 του βιβλίου (Ακρότατα) Στο β ερώτημα έχουμε μία εφαρμογή εύρεσης μεγίστου σε γεωμετρικό πρόβλημα 5 Οι βασικές έννοιες για την πολυωνυμική προσέγγιση συναρτήσεων υπάρχουν στην Ενότητα 8 του βιβλίου μας και στο ΣΕΥ (σειρές Taylor) Παράδειγμα σελ94, άσκηση αυτοαξιολόγησης σελ96 του βιβλίου Εργασία 4, -,Ασκ(ιιι) Εργασία 4, 9-,Ασκ(ιιι) Εργασία 4, 8-9,Ασκ(ιιι) Εργασία 4,5-6,Ασκ 7 Εργασία 4,-,Ασκ 5 Εργασία Άσκ Εργασία 4, 6-7,Ασκ7 ΣΕΥ Παραδείγματα Εργασία4 Ασκ(i) Εργασία4 9 Ασκ(i) Εργασία4 8 Ασκ ΣΕΥ Κεφ 7, 7, 74(πρδ 74), 75 (Πρδ 75), 76 (Πρδ 75, 75) Εργασία 4,, Ασκ Εργασία 4, 9, Ασκ Εργασία 4, 8, Ασκ Εργασία 4, 7, Ασκ Εργασία 4, 6, Ασκ 5 Εξετ -(α), Άσκ 4 Α Εξετ 9-(α), Άσκ4ii(a,b) Εργασία Άσκ 5 α Εργασία 4, 7, Ασκ 4β ΣΕΥ Παραδείγματα, (α), Εργασία4 Ασκ 4, Εργασία4 9 Ασκ 4, Εργασία6 8 Ασκ 5(δ), Εργασία4 8 Ασκ 4, Εργασία5 7 Ασκ, Εργασία4 5 Ασκ 6, Εργασία6 4 Ασκ 9(α) ΣΕΥ Ασκήσεις του αρχείου: Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού (Κεφ7) και ειδικότερα της 74 Εργασία 4,6-7 Ασκ4β, Ασκ 7 Εργασία 4, -,Ασκ Εργασία 4 4 Ασκ6(γ) Εργασία 4, 7, Ασκ4 Εργασία 4, 8, Ασκγ Εργασία 4, 6, Ασκ6 Εξετ -(β), Άσκ4Α Εξετ 9-(β), Άσκ4α Εργασία5 Ασκ (α), Εργασία6 Ασκ, Εργασία5 Ασκ, Εργασία6 Ασκ, Εργασία4 Ασκ 9, Εργασία4 Ασκ, Εργασία6 Ασκ, Εργασία4 4 Ασκ 6(β)(γ) Σημείωση: Οι παραπάνω παραπομπές αναφέρονται στο βιβλίο «Λογισμός μίας μεταβλητής», Τόμος Α του Γεωργ Δάσιου (αναφέρεται ως Βιβλίο στον προηγούμενο πίνακα) και στο υλικό που υπάρχει αναρτημένο στην ιστοσελίδα Για παράδειγμα, η παραπομπή Εργασία Ασκ5β αναφέρεται στην Άσκηση 5β της Εργασίας του ακαδημαϊκού έτους - Όλες οι παραπομπές σε Ασκήσεις του ΣΕΥ αναφέρονται σε λυμένες ασκήσεις ΠΛΗ ΕΡΓ_4 - ΛΥΣΕΙΣ /