HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που θα ορίσουµε) και που είναι χρήσιµη για την αναπαράσταση σχέσεωνκαι που έχει µία βολική γραφική αναπαράσταση. ΟΧΙ ΝΑΙ Εφαρµογές των γράφων Oτιδήποτε µπορεί να µοντελοποιηθεί χρησιµοποιώντας σχέσεις. Εφαρµογές στα δίκτυα, στον προγραµµατισµό ενεργειών, βελτιστοποίηση ροής, σχεδιασµό κυκλωµάτων, προγραµµατισµό κίνησης, αναζήτηση, ταξινόµηση, ΠΡΟΚΛΗΣΗ: ονοµάστε ένα πεδίο στο οποίο η γράφοι δεν είναι χρήσιµοι! 5/21/2015 3 3 5/21/2015 4 4 1
Απλοί γράφοι Θα εισάγουµε ένα πλήθος διαφορετικών τύπων γράφων, ξεκινώντας από τους µηκατευθυνόµενους γράφους: απλοί γράφοι πολυγράφοι Αντιστοιχούν σε συµµετρικές, µη ανακλαστικές διµελείς σχέσεις R. Ένας απλός γράφος G=(V,E) Αναπαράσταση αποτελείται από: απλού γράφου Ένα σύνολο V κορυφών ήκόµβων (το V αντιστοιχεί στο π.ο. της σχέσης), Ένα σύνολο E ακµών: µη διατεταγµένα ζεύγη διαφορετικών στοιχείων u,v V, τ.ω. urv. 5/21/2015 5 5 5/21/2015 6 6 5/21/2015 Παράδειγµα Απλού Γράφου Έστω V το σύνολο κάποιων από τις πολιτείες των ΗΠΑ: Π.χ., V={FL, GA, AL, MS, LA, SC, TN, NC} Έστω E={{u,v} u γειτονεύει µε v} ={{FL,GA},{FL,AL},{FL,MS}, TN NC {FL,LA},{GA,AL},{AL,MS}, {MS,LA},{GA,SC},{GA,TN}, MS AL SC {SC,NC},{NC,TN},{MS,TN}, {MS,AL}} GA LA FL 7 7 Επεκτάσεις Όλοι οι βασικοί τύποι γράφων µπορούν να επεκταθούν για να γίνουν πιό περιγραφικοί. Για παράδειγµα, οι ακµές µπορούν να έχουν κάποια ετικέττα Π.χ., στις ακµές του προηγούµενου παραδείγµατος µπορούµε να βάλουµε ετικέττες µε το είδος των συνόρων µεταξύ των πολιτειών. 5/21/2015 8 8 2
Πολυγράφοι Όπως οι απλοί, αλλά µπορεί να υπάρχουν περισσότερες από µία ακµές που να συνδέουν δύο κόµβους. Π.χ., οι κόµβοι είναι πόλεις, και οι ακµές είναι τµήµατα δρόµων που τις ενώνουν. Παράλληλες ακµές Κατευθυνόµενοι γράφοι Αντιστοιχούν σε τυχαίες σχέσεις R, που δεν χρειάζεται να είναι συµµετρικές. Έναςκατευθυνόµενος γράφος (V,E) αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών V και µία διµελή σχέση E στο V. Εποµένως, οι ακµές είναι διατεταγµένα ζεύγη και όχι σύνολα! Π.χ..: V = το σύνολο των ανθρώπων, E={(x,y) x αγαπά y} 5/21/2015 9 9 5/21/2015 10 10 Κατευθυνόµενοι πολυγράφοι Όπως οι κατευθυνόµενοι γράφοι µε την διαφορά πως µπορεί να υπάρχουν πολλαπλές ακµές που να συνδέουν δύο κόµβους. Π.χ., V=web pages, E=hyperlinks. Ο παγκόσµιος ιστός είναι ένας κατευθυνόµενος πολυγράφος... Ορολογία Εισαγωγή των ακόλουθων όρων: Γειτονικοί κόµβοι, συνδέει, άκρα ακµής, βαθµός, αρχική κορυφή, τερµατική κορυφή, βαθµός κόµβου, έσω-βαθµός, έξω-βαθµός, πλήρης γράφος, κυκλικός γράφος, διµερής γράφος, υπογράφος,... 5/21/2015 11 11 5/21/2015 12 12 3
Γειτνίαση Έστω G ένας µη κατευθυνόµενος γράφος µε σύνολο ακµών E. Έστω e E µεταξύ των κορυφών {u,v}. Τότε λέµε: Οι u, v είναι γειτονικοί / συνδέονται Η ακµή e είναι προσπίπτουσα στις κορυφές u και v. Η ακµή e συνδέει τις κορυφές u και v. Οι κορυφές u και v είναι τα άκρα της ακµής e. Βαθµός µιας κορυφής Έστω G µη κατευθυνόµενος γράφος, µε v V ένα κόµβο του. Οβαθµός του v, deg(v), είναι ο αριθµός των ακµών που προσπίπτουν σε αυτόν. (Κάθε βρόχος µετράει διπλά) Ένας κόµβος µε βαθµό=0 ονοµάζεται αποµονωµένος. 5/21/2015 13 13 5/21/2015 14 14 Βαθµός µιας κορυφής v1 v2 v3 v4 Deg(v1)=0, deg(v2)=deg(v3)=1, deg(v4)=2 Θεώρηµα Έστω G µη-κατευθυνόµενος γράφος µε σύνολο κορυφών V και σύνολο ακµών E. Τότε D= deg( v) = 2 E v V Απόδειξη: κάθε ακµή που εισάγεται στο γράφο έχει ως αποτέλεσµα D:= D+2 5/21/2015 15 15 5/21/2015 16 16 4
Θεώρηµα Έστω G µη-κατευθυνόµενος γράφος µε σύνολο κορυφών V και σύνολο ακµών E. Τότε D= deg( v) = 2 E v V Λήµµα: Κάθε µη κατευθυνόµενος γράφος έχει άρτιο πλήθος κόµβων περιττού βαθµού. Παράδειγµα Ερώτηµα: Μπορεί να υπάρχει περιττό πλήθος φοιτητών που να γνωρίζονται µε περιττό πλήθος συµφοιτητών τους πριν µπουν στο CSD; 5/21/2015 17 17 5/21/2015 18 18 Παράδειγµα Υποθέστε ότι οι φοιτητές του ΗΥ118 αναπαριστώνται ως κόµβοι ενός γράφου που αναπαριστά τη σχέση γνωριµίας Μία ακµή µεταξύ δύο κόµβων a και b σηµαίνει ότι η/ο a και η/ο b γνωρίζονταν πριν την εισαγωγή τους στο τµήµα Απάντηση: Αρνητική απάντηση στο ερώτηµα, το πλήθος των φοιτητών µε περιττό αριθµό γνωριµιών δεν µπορεί να είναι περιττός αριθµός! Κατευθυνόµενη γειτνίαση Έστω G κατευθυνόµενος γράφος, και έστω e µία ακµή του G µεταξύ των κορυφών (u,v). Τότε λέµε: Η eξεκινά απότην u, η e καταλήγει στη v. Η e συνδέει την u στη v, η e πηγαίνει από την u στη v Η αρχική κορυφή της e είναι η u Η τερµατική κορυφή της e είναι η v 5/21/2015 19 19 5/21/2015 20 20 5
Βαθµός κορυφής σε κατευθυνόµενους γράφους Έστω G κατευθυνόµενος γράφος και v µία κορυφή του. Ο έσω-βαθµός της v, deg (v), είναι το πλήθος των ακµών που καταλήγουν στη v. Ο έξω-βαθµός της v, deg + (v), είναι το πλήθος των ακµών που ξεκινούν από τη v. Ο βαθµός της v, deg(v): deg (v)+deg + (v), είναι το άθροισµα του έσω- και έξω-βαθµού της v. Θεώρηµα Έστω G=(V, E) κατευθυνόµενος γράφος. Τότε: + 1 deg ( v) = deg ( v) = deg( v) = E v V v V 2 v V Σηµειώστε ότι ο βαθµός µιας κορυφής δεν αλλάζει µε βάση το αν οι ακµές είναι κατευθυνόµενες ή όχι. 5/21/2015 21 21 5/21/2015 22 22 Ειδικές κατηγορίες µη κατευθυνόµενων γράφων Πλήρεις γράφοι K n Κυκλικοί γράφοι C n ιµερείς γράφοι Πλήρεις γράφοι n N, ένας απλός πλήρης γράφος n κορυφών, K n, είναι ένας απλός γράφος µε n κορυφές στον οποίο κάθε κόµβος γειτνιάζει µε όλους τους υπόλοιπους: u,v V: u v {u,v} E. Πλήρεις διµερείς γράφοι K m,n K 1 K 2 K 3 K 4 K5 K 6 n( n 1) i= Πλήθος ακµών του K n : 2 n 1 i= 1 5/21/2015 23 23 5/21/2015 24 24 6
Κυκλικοί γράφοι Θεωρείστε οποιοδήποτε απλό πλήρη γράφο G=(V,E). Μπορεί το E να περιέχει ακµές που συνδέουν ένα κόµβο µε τον εαυτό του; Όχι! Εφόσον είναι απλός, δεν µπορεί να περιλαµβάνει στοιχεία της µορφής {α,α} γιατί το {α,α} δεν είναι σύνολο! Για οποιοδήποτε n 3, ένας κυκλικός γράφος n κορυφών, C n, είναι ένας απλός γράφος όπου V={v 1,v 2,,v n } και E={{v 1,v 2 },{v 2,v 3 },,{v n 1,v n },{v n,v 1 }}. C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 Πόσες ακµές υπάρχουν στο C n ; 5/21/2015 25 25 5/21/2015 26 26 Μπορεί ένας κυκλικός γράφος να είναι πλήρης γράφος; Μπορεί ένας κυκλικός γράφος να είναι πλήρης γράφος; Ναι: Ο πλήρης γράφος Κ 3 είναι κυκλικός εν υπάρχει κανένας άλλος κυκλικός γράφος που να είναι πλήρης 5/21/2015 27 27 5/21/2015 28 28 7
ιµερείς γράφοι Ορισµός: Ένας γράφος ονοµάζεται κανονικός αν και µόνο αν κάθε κόµβος του έχει τον ίδιο βαθµό. Οι πλήρεις γράφοι είναι κανονικοί (n-1 βαθµό για κάθε κόµβο, εάν έχουµε n κόµβους) Οι κυκλικοί γράφοι είναι κανονικοί (βαθµός 2 για κάθε κόµβο) 5/21/2015 29 29 Ένας γράφος G=(V,E)λέγεται διµερής αν και µόνο αν V = V 1 V 2 όπου V 1 V 2 = και e E: v 1 V 1,v 2 V 2 : e={v 1,v 2 }. ηλαδή: Το σύνολο V των κόµβων χωρίζεται σε δύο υποσύνολα έτσι ώστε οι ακµές να συνδέουν κόµβους διαφορετικών υποσυνόλων Ο ορισµός µπορεί εύκολα να τροποποιηθεί για την περίπτωση κατευθυνόµενων γράφων. V 1 V 2 5/21/2015 30 30 ιµερείς γράφοι αναπαριστούν σχέσεις στοιχείων διαφορετικών συνόλων, π.χ., Άντρες / γυναίκες Λέξεις, συνδεδεµένες µε τον αριθµό γραµµάτων τους Λογικές προτάσεις, συνδεδεµένες µε τις προτάσεις που σε φυσική γλώσσα εκφράζουν το νόηµά τους Ερωτήσεις Μπορείτε να σκεφτείτε ένα γράφο µε δύο κορυφές που να µην είναι διµερής; Μπορείτε να σκεφτείτε ένα απλόγράφο µε δύο κορυφές που να µην είναι διµερής; Μπορείτε να σκεφτείτε ένα απλόγράφο µε τρεις κορυφές και ένα µη-κενό σύνολο ακµών που να είναι διµερής; 5/21/2015 31 31 5/21/2015 32 32 8
Ερωτήσεις Μπορείτε να σκεφτείτε ένα γράφο µε δύο κορυφές που να µην είναι διµερής; Ναι, αν υπάρχουν βρόχοι. Μπορείτε να σκεφτείτε ένααπλό γράφο µε δύο κορυφές που να µην είναι διµερής; Όχι, δεν υπάρχει, πρέπει να είναι διµερής Μπορείτε να σκεφτείτε ένα απλό γράφο µε τρεις κορυφές και ένα µη-κενό σύνολο ακµών που να είναι διµερής; Ναι, αρκεί να µην είναι πλήρης Πλήρεις διµερείς γράφοι Για m,n N, ο πλήρης διµερής γράφος K m,n είναι ένας διµερής γράφος τέτοιος ώστε V 1 = m, V 2 = n, και E = {{v 1,v 2 } για κάθε v 1 V 1 και v 2 V 2 } K 4,3 O Km,n έχει m+n κόµβους και mxn ακµές. 5/21/2015 33 33 5/21/2015 34 34 Υπογράφηµα Ένα υπογράφηµα ενός γράφου G=(V,E) είναι ένας γράφος H=(W,F) όπου W V και F E. G H Υπογράφηµα Ένα υπογράφηµα ενός γράφου G=(V,E) είναι ένα γράφηµα H=(W,F) όπου W V και F E. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: αφού ο Η είναι γράφος, υποχρεωτικά το σύνολο F των ακµών του θα συνδέει κορυφές που ανήκουν στο W! 5/21/2015 35 35 5/21/2015 36 36 9
Παραδείγµατα Υπογράφηµα Επικαλύπτον υπογράφηµα Ο γράφος H=(V,F) αποτελεί ένα επικαλύπτον υπογράφηµα του γράφου G=(V,E). ΣΗΜΕΙΩΣΗ: υπογράφηµα µε το ίδιο σύνολο κορυφών αλλά µε σύνολο ακµών F που είναι υποσύνολο του Ε. 5/21/2015 37 37 5/21/2015 38 38 Συµπλήρωµα γραφήµατος Το συµπλήρωµα ενός γράφου G =(V, E ) ως προς ένα γράφο G=(V,E) είναι ένας γράφος G =(Q, E-E ). ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Περιλαµβάνει δηλαδή τις ακµές που ανήκουν στο Ε αλλά όχι στο Ε, και όλες τις κορυφές του V που συνδέονται µε ακµές στο σύνολο Ε-Ε, ΚΑΙ τους αποµονωµένους κόµβους του G. Συνήθως µιλάµε για συµπλήρωµα ενός γράφου ως προς τον αντίστοιχο πλήρη γράφο Συµπλήρωµα γραφήµατος Παράδειγµα: Ο (α) γράφος είναι το συµπλήρωµα του (γ) ως προς τον (β) (α) (β) (γ) 5/21/2015 39 39 5/21/2015 40 40 10