Κεφ 3 ο. - Συναρτήσεις.

Μαθηματικά B Γυμνασίου Κεφ 3 ο. - Συναρτήσεις. Μέρος Α. Θεωρία. 1. Τι λέμε συνάρτηση; 2. Με τι αντιστοιχούμε κάθε σημείο Μ στο επίπεδο; 3. Πως λέγεται ο άξονας χ χ και πως ο άξονας ψ ψ; 4. Τι είναι το ορθοκανονικό σύστημα αξόνων; 5. Τι είναι γραφική παράσταση συνάρτησης; 6. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα; 7. Στα ανάλογα ποσά τι διατηρείται σταθερό; 8. Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y=a; 9. Τι συμβολίζει το α στη συνάρτηση με τύπο y=a; 10. Τι παριστάνει η συνάρτηση με τύπο y=a+β; 11. Σε ποιο σημείο τέμνει η y=a+β τον άξονα y y; 12. Τι συμβολίζει το α στην εξίσωση y=a+β; 13. Τι παριστάνει η εξίσωση της μορφής a+βy=γ όταν a 0 ή 0 ; 14. Πως βρίσκουμε το σημείο τομής της αχ+βy=γ με τον άξονα χ χ; 15. Πως βρίσκουμε το σημείο τομής της αχ+βy=γ με τον άξονα y y; 16. Ποια ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα; 17. Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά τι διατηρείται σταθερό; a 18. Η συνάρτηση με τύπο y με 0 τι γραφική παράσταση έχει; 19. Σε ποια τεταρτημόρια βρίσκονται οι κλάδοι της υπερβολής όταν α>0 και σε ποια όταν α<0; 20. Ποιο είναι το κέντρο συμμετρίας και ποιοι οι άξονες συμμετρίας της υπερβολής; Σελίδα 1

Mαθηματικά Β Γυμνασίου Μέρος Β. Ασκήσεις. 1. Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου που ορίζουν τα παρακάτω ζεύγη: (-5, 0) (3, 3) (-2, 6) (-7, 1) (1, 2) 2. Να βρείτε σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκονται τα σημεία: Α(-6, 1) Β(-1, -2) Γ(-3, -5) Δ(1, 6) Ε(7, -3) 3. Σε κατάλληλο σύστημα αξόνων να σημειώσετε τα σημεία: Α(500, 500) Β(-300, 200) Γ(600, -100) Δ(-150, -450) Ε(0, 300) 4. Σ' ένα σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις ευθείες που περνάνε από τα σημεία: α) Α(2, 3) και Β(-1, 2) β) Κ(-3, -3) και Λ(2, 2) γ) Ο(0, 0) Σ(0, 5) 5. Σ' ένα σύστημα αξόνων παίρνουμε τα σημεία Α(-5, -2), Β(5, -2), Γ(5, 2), Δ(-5, 2). Να βρείτε τι τετράπλευρο είναι το ΑΒΓΔ και να υπολογίσετε το εμβαδόν του. 6. Δίνονται τα σημεία Α(3, 2) και Β(6, 4). Να υπολογίσετε την απόσταση των σημείων Α και Β. 7. Σ' ένα σύστημα αξόνων να βρείτε τα σημεία Α(0, 3) Β(-3, 2) και Γ(4, -2) και να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ. 8. Σ' ένα σύστημα αξόνων να βρείτε τα σημεία Α(0, 4) Β(-3, -2) και Γ(3, -2) και να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. 9. Να δείξετε ότι τι τρίγωνο με κορυφές Α(-1, 1) Β(1, 1) Γ(-1, 5) είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. 10. Ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι διπλάσιος από τον παρονομαστή αυξημένος κατά 4. Να εκφράσετε τον αριθμητή σαν συνάρτηση του παρονομαστή. 11. Δίνεται η συνάρτηση y=3+4. Να συμπληρώσετε τον διπλανό πίνακα τιμών της συνάρτησης αυτής. -3-2 0 1 4 6 y Σελίδα 2

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. 12. Δίνεται η συνάρτηση y=-5 2 +2 όπου παίρνει τιμές -2, -1, 0, 1, 2, 3. Να γράψετε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης. 13. Δίνεται η συνάρτηση y=-2+3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών της: 1 3 0 2 y 5 0-2 -0,3 14. Δίνετε η συνάρτηση y=4-8. Να βρεθεί ποια από τα σημεία Α(2, 0), Β(4, 8) και Γ(-5,6) είναι σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. 15. Να βρεθούν τα α, β, γ ώστε τα σημεία Α(-3, α), Β(β, 2), Γ(γ, -1) να είναι σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=6-. 16. Δίνεται ο πίνακας τιμών δύο ποσών: Να εξετάσετε αν τα ποσά είναι ανάλογα. 17. Δίνεται ο πίνακας τιμών δύο ποσών: Να εξετάσετε αν τα ποσά είναι ανάλογα. 0,5 1 2 3 6 y 2,5 5 10 15 30 27 30 2 21 5 y 81 90 6 84 20 18. Δίνονται τα σημεία Α(2,3) και Β(4,9). Να παρασταθούν σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων και να βρεθεί η απόσταση ΑΒ. 19. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=+3 όταν χ είναι πραγματικός αριθμός. 20. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=-+1 όταν i. χ είναι πραγματικός αριθμός. ii. -1 2 21. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=2+3 και y=2+5 στο ίδιο σύστημα αξόνων. Τι παρατηρείτε; 22. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=-+3 και y=-+1 και να εξηγήσετε γιατί είναι παράλληλες. Σελίδα 3

Mαθηματικά Β Γυμνασίου 23. Στον παρακάτω πίνακα έχουμε τις αντίστοιχες τιμές δύο ποσών Α και Β Α 2 4 5 8 10 Β 50 25 20 12,5 10 Να εξετάσετε αν τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα. 24. Στον παρακάτω πίνακα έχουμε τις αντίστοιχες τιμές δύο ποσών και y 4 16 32 y 256 128 64 Να συμπληρώσετε τον πίνακα αν ξέρετε ότι τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα. 25. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο y= a. Αν το σημείο Α(5, -1) είναι σημείο της γραφικής της παράστασης, να βρείτε την συνάρτηση και να κάνετε την γραφική της παράσταση. 26. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y= 2 και y= 2 27. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης y= 7 αν -5<χ<-1 ή αν χ>2 28. Μια δεξαμενή γεμίζετε από 4 βρύσες σε 5 ώρες. Σε πόσες ώρες θα γεμίσουν την ίδια δεξαμενή 10 βρύσες; 29. Δίνεται η ευθεία: ψ=κχ-4. A. Να προσδιορίσετε τον αριθμό κ αν η ευθεία διέρχεται από το σημείο (-1,-6). B. Για την τιμή του κ που βρήκατε: α) Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες χ'χ και ψ'ψ. β) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση. γ) Αν Α το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα χ'χ και Β το σημείο τομής με τον ψ'ψ, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ και το μήκος της πλευράς ΑΒ. 1 2 30. Δίνεται η ευθεία: y 1 2 4 2 α) Να βρεθεί η κλίση της ευθείας. β) Να βρεθεί το σημείο τομής της με την ευθεία ψ=χ-1. Σελίδα 4

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. 31. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=(5λ-1)χ+3 διέρχεται από το σημείο Α(1,7). A. Υπολόγισε το λ. B. Συμπλήρωσε τον πίνακα χ - - 0 1 2 Υ Γ. Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης. 32. 0 μισθός ενός καθηγητή μειώθηκε κατά 10%. Α. Να εκφράσετε τις νέες αποδοχές του ως συνάρτηση των προηγούμενων αποδοχών του. Β. Αν οι νέες μηνιαίες αποδοχές του είναι 1200, να βρείτε τις προηγούμενες αποδοχές του. 33. Αν η ευθεία με εξίσωση y=(3κ+2)χ+2μ+3 είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y=2χ+1 και περνάει από το σημείο (0, 2), να βρείτε τους αριθμούς κ, λ. 34. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις ευθείες (ε1): 2χ+3ψ=12, (ε2): ψ=2 και (ε3): χ= 3. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου ΑΒΓ που ορίζεται 2 από τις ευθείες αυτές. 35. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, αν γνωρίζεται ότι διέρχεται και από το σημείο Α(2, 3). Ποια είναι η κλίση της ευθείας; 36. Δίνονται οι ευθείες (ε1): ψ=2(κ-1)χ-3 και (ε2): ψ=(5-κ)χ+1. Να βρείτε την τιμή του κ αν γνωρίζετε ότι οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες και στη συνέχεια να τις σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων. 37. Θεωρούμε τις συναρτήσεις ψ=3χ+2 και ψ= 4χ. Α. Να γίνει η γραφική τους παράσταση, Β. Να βρείτε το σημείο τομής των δύο ευθειών. Γ. Να βρείτε την τετμημένη του σημείου που έχει τεταγμένη -5. 38. Να βρείτε το β αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=1500χ+β τέμνει τον άξονα ψ'ψ στο σημείο (0, 12). 39. Να βρείτε για ποια τιμή του α οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ψ=(2-α)χ+7 και ψ=7χ-2 είναι ευθείες παράλληλες. Σελίδα 5

Mαθηματικά Β Γυμνασίου 40. Ένα τρίγωνο έχει εμβαδό 45cm 2. Να εκφράσετε το ύψος του υ ως συνάρτηση της βάσης του β και να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που βρήκατε. 41. Αν Ο η αρχή των αξόνων, Α το σημείο τομής με τον άξονα ΧΧ' και Β το σημείο τομής με τον άξονα γγ', να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ. (ή Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζουν η γραφική παράσταση και οι άξονες χχ',γγ'). 42. Μια εταιρία έκανε μείωση μισθών κατά 15%. Να εκφράσετε τους νέους μισθούς των υπαλλήλων ως συνάρτηση των παλιών. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση. Ποιες τιμές δεν έχουν νόημα; 43. Δίνεται η εξίσωση 2χ-3ψ =18 Α) Να λυθεί ως προς ψ Β) Να βρείτε που τέμνει τον άξονα χ'χ Γ) Να βρείτε που τέμνει τον άξονα ψ'ψ Δ) Να βρείτε την κλίση της ευθείας και να σχεδιάσετε την ευθεία. 44. Μια ευθεία έχει κλίση 1 2 και τέμνει τον άξονα yy' στο 3. Να συμπληρωθεί ο πίνακας και να γίνει η γραφική παράσταση X -2 1 Υ 0 3 45. Δίνεται η εξίσωση 2χ-3ψ =18 Α) Να λυθεί ως προς ψ Β) Να βρείτε που τέμνει τον άξονα χ'χ Γ) Να βρείτε που τέμνει τον άξονα ψ'ψ Δ) Να βρείτε την κλίση της ευθείας και να σχεδιάσετε την ευθεία. 46. Δίνεται ευθεία (ε1): y=2χ+4. Να βρεθούν: A. Η ευθεία (ε2) η οποία είναι παράλληλη στην (ε1) ((ε2) // (ε1)) και η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. B. Το σημείο τομής Α της ευθείας (ει) με τον άξονα y'y. Γ. Η ευθεία (ε3) η οποία είναι παράλληλη στον χ χ ((ε3) // χ'χ) και διέρχεται από το σημείο Α. Δ. Το σημείο τομής Β των ευθειών (ε2) και (ε3). Ε. Να σχεδιαστεί κύκλος με κέντρο το Β και ακτίνα την ΒΑ. ΣΤ. Το εμβαδόν της περιοχής που περικλείετε από τα σημεία Ο, Α, Γ. Σελίδα 6

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. 47. Δίνονται οι ευθείες (ε1): y=(6ω-2)χ+κ και (ε2): y=2 2. Να βρεθούν: A. Η τιμή του θετικού ρητού αριθμού ω, ώστε η ευθεία (ε2) να είναι παράλληλη στην (ε1) ((ε2) // (ε1) ). B. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ ώστε η ευθεία (ε1) να διέρχεται από το σημείο Α(2, 8). Γ. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε3), η οποία είναι κάθετη στην (ε2) και διέρχεται από το σημείο Β(2, 2). Δ. Να βρεθεί το εμβαδόν του πολυγώνου που δημιουργείται από τα σημεία ΟΑΓΔ, όπου Γ το σημείο τομής της (ε1) με τον και Δ το σημείο τομής της (ε1) με την ευθεία (ε3). Σελίδα 7